Numeros complexos par 1

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Segunda Lista de Exerćıcios
Fundamentos de Variável Complexa para Engenharia
1. Prove, utilizando a definição, os seguintes limites:
(a) lim
z→z0
(az + b) = az0 + b
(b) lim
z→−3i
(z2 − 5z) = −9 + 15i
2. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
z→i
z3 − 27
z − 3
(b) lim
z→−2i
z3 − 8i
z + 2i
(c) lim
h→0
√
1 + h− 1
h
(d) lim
z→1−i
(|z|2 − iz)
(e) lim
z→−3+i
√
2
z + 3− i
√
2
z2 + 6z + 11
3. Defina os limites lim
z→∞
f(z) = L e lim
z→z0
f(z) =∞. Com isso calcule os limites abaixo:
(a) lim
z→∞
z2 + iz − 2
(1 + 2i)z2
(b) lim
z→i
z2 + 1
z2 + z + 1− i
(c) lim
z→i
7
z2 + 1
4. Mostre, pela definição, que a função f(z) = z − 3Re(z) + i é cont́ınua no ponto z0 = 3− 2i.
5. Mostre que as funções abaixo são cont́ınuas nos pontos dados.
(a) f(z) =
z3 − 1
z − 1
, se |z| 6= 1 e f(z) = 3 se |z| = 1; z0 = 1.
(b) f(z) =
Re(z)
z + iz
− 2z2; z0 = eiπ/4
6. Determine a maior região no plano complexo na qual a função
f(z) =
z2
(|z| − 1)Im(z)
é cont́ınua.
1
7. Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
(a) f(z) = 1− z2 + 4iz5
(b) f(z) = (z2 − i)3(iz + 1)2
(c) f(z) = z − 1
z
(d) f(z) =
z2
4z + 1
(e) f(z) =
z − 3i
z + 3i
8. Mostre que f(z) = |z|2 é diferenciável na origem, porém não é diferenciável em nenhum outro
ponto z 6= 0.
9. Mostre que as funções abaixo não são anaĺıticas em nenhum ponto.
(a) f(z) = Re(z)
(b) f(z) = z̄2
(c) f(z) =
z
z · z̄
2