Derivadas de Funções Exponenciais

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
As funções exponenciais, escritas como 𝑦 - 𝑏𝑥 com 𝑏 > 0 e 𝑏≠1, são 
essenciais em muitos campos devido ao seu crescimento ou decrescimento 
contínuo. A derivada de uma função exponencial 𝑦 - 𝑏𝑥 é encontrada usando a 
relação com logaritmos e é dada por: 
ⅆ
ⅆ𝑥
𝑏𝑥 − 𝑏𝑥 ln(𝑏) 
Para a base 𝑏 - e, a derivada simplifica-se a: 
ⅆ
ⅆ𝑥
ⅇ𝑥 − ⅇ𝑥 
Nesta aula, estudaremos como encontrar a derivada das funções 
exponenciais e analisaremos exemplos práticos de aplicação. Veremos como 
essas propriedades tornam as funções exponenciais ferramentas poderosas 
para modelar fenômenos naturais e resolver problemas em cálculo e equações 
diferenciais. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 04 – 
DERIVADA DA 
FUNÇÃO 
EXPONENCIAL 
 
 
 
4 DERIVADADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
As funções exponenciais podem ser escritas, de maneira geral, como y = f(x) = 
bx , com b > 0 e b ≠ 1, diferenciáveis para todo x. Lembre-se de que a função y = bx é 
a inversa de x = logb (y). Usaremos esse fato para encontrar a derivada de y. 
Temos, então, que: 
x = logb (y) e sua inversa y = bx . 
A derivada da função inversa de x é dada por: 
 
Agora, encontraremos a derivada de x em relação a y: 
 
 
Substituindo na equação anterior, obtemos: 
 
Portanto: 
 
Para o caso especial em que b = e, temos que: 
 
 
 
Relembraremos algumas propriedades dos exponenciais, a seguir: 
xaxb = xa+b 
(xy)a = xaya 
(xa)b = xab 
xa/xb = xa–b 
xa/xb = 1/ xb – a 
(
x
y
)
a
=
xa
ya 
(
x
y
)
−m
= (
y
x
)
m
 
Para a e b, números racionais, e x e y, números reais, evitando raízes pares de 
números negativos e divisíveis por zero (SAFIER, 2011). 
Exemplo 1: Encontre a derivada da seguinte função: 
y = 2x+4 
Antes de encontrarmos a derivada, usaremos as propriedades dos 
exponenciais para reescrever a equação dada. Assim: 
y = 2x ∙ 24 
= 2x ∙ 16 
= 16 ∙ 2x. 
Agora, derivaremos a equação encontrada. Dessa maneira, ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre a derivada da função: 
y = 5x + 10 ex – 2 
Reescrevendo a equação, ficamos com: 
 
Encontrando a derivada, temos que: 
 
 
Portanto: 
 
Exemplo 3: Certa variável de interesse de dois analistas de dados tem 
comportamento como o mostrado na Figura 1, a seguir. Essa variável representa o 
valor de um produto pelo tempo: 
 
Figura 1- Variável y em função de t 
Fonte: https://shre.ink/8QP0 
A função que modela esse dado é dada por: 
Qual foi o mês em que o preço foi máximo? Para encontrar o ponto máximo de uma 
função, primeiramente, derivamos e função e, depois, igualamos a zero. Assim, a 
derivada da função dada é: 
 
 
 
 
 
 
Agora, igualando a zero, ficamos com: 
 
 
Ou seja, em aproximadamente 2,7 meses, o produto teve o seu maior preço. 
Exemplo 4: Suponha que certa população N de bactérias cresça com o tempo t, 
conforme a seguinte função: 
 
 
N = N0 2t , 
 
Onde N0 é a população inicial, e t é dado em horas. Qual é a taxa de variação da 
população por hora? Supondo N0 = 1.000, qual é a taxa após 2 horas? 
Derivando a equação dada, encontramos que: 
 
Após 2 horas, a taxa será: 
 
Ou seja, após duas horas, teremos 2773 bactérias por hora. A Figura 2, a 
seguir, mostra os gráficos de N e de 
dN
dt
. 
Figura 2- Curvas de N e dN/dt 
 
 
 
 
Fonte: https://shre.ink/8cWu 
Exemplo 5: Se f(x) = ex – x, ache f’(x): 
 
Exemplo 6:Calcule a função da derivada: 
 
 
 
 
 
Exemplo 7:Calcule a derivada da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	4 DERIVADADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS