Prova n2 - 1

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Teoria dos Números
A Teoria dos Números é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das propriedades dos números inteiros. Este campo abrange uma ampla gama de tópicos, incluindo primalidade, congruências, funções aritméticas e os teoremas fundamentais que regem o comportamento dos números inteiros. A teoria dos números tem raízes antigas e é um dos campos mais profundos e fascinantes da matemática, com aplicações que se estendem da criptografia moderna à teoria algébrica dos números.
1. Primalidade
Os números primos são os blocos fundamentais dos números inteiros, pois qualquer número inteiro maior que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de números primos, de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética.
Definição: Um número inteiro ppp é chamado de número primo se p>1p > 1p>1 e seus únicos divisores positivos são 1 e ele próprio. Em outras palavras, ppp não pode ser dividido exatamente por nenhum outro número inteiro, exceto por 1 e ppp.
Exemplos de números primos:
· 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Os números compostos são aqueles que podem ser decompostos em um produto de primos. Por exemplo, 12=22×312 = 2^2 \times 312=22×3, então 12 é composto.
Teorema de Euclides: Há infinitos números primos. Este resultado foi provado por Euclides por volta de 300 a.C. A prova é baseada em um argumento por contradição, onde se supusesse que existisse um número finito de primos, seria possível gerar um número novo, maior que todos os primos existentes, contradizendo a suposição.
2. Congruências
As congruências são um conceito fundamental na Teoria dos Números e são amplamente usadas em criptografia, algoritmos e outras áreas da matemática. Uma congruência expressa uma relação de equivalência entre dois números inteiros com relação a um módulo mmm.
Definição: Dizemos que aaa é congruente a bbb módulo mmm, denotado a≡b(modm)a \equiv b \pmod{m}a≡b(modm), se a diferença a−ba - ba−b for um múltiplo de mmm, ou seja, a−b=kma - b = kma−b=km, onde kkk é algum número inteiro.
Exemplo: 17≡5(mod12)17 \equiv 5 \pmod{12}17≡5(mod12) porque 17−5=1217 - 5 = 1217−5=12, que é múltiplo de 12.
Propriedades das Congruências:
· Reflexiva: a≡a(modm)a \equiv a \pmod{m}a≡a(modm).
· Simétrica: Se a≡b(modm)a \equiv b \pmod{m}a≡b(modm), então b≡a(modm)b \equiv a \pmod{m}b≡a(modm).
· Transitiva: Se a≡b(modm)a \equiv b \pmod{m}a≡b(modm) e b≡c(modm)b \equiv c \pmod{m}b≡c(modm), então a≡c(modm)a \equiv c \pmod{m}a≡c(modm).
· Adição e multiplicação preservam congruências: Se a≡b(modm)a \equiv b \pmod{m}a≡b(modm) e c≡d(modm)c \equiv d \pmod{m}c≡d(modm), então a+c≡b+d(modm)a + c \equiv b + d \pmod{m}a+c≡b+d(modm) e a×c≡b×d(modm)a \times c \equiv b \times d \pmod{m}a×c≡b×d(modm).
Teorema Chinês dos Restos: Este teorema fornece uma solução para sistemas de congruências simultâneas. O enunciado diz que, se n1,n2,…,nkn_1, n_2, \dots, n_kn1​,n2​,…,nk​ são números inteiros mutuamente primos, então o sistema de congruências:
x≡a1(modn1)x \equiv a_1 \pmod{n_1}x≡a1​(modn1​) x≡a2(modn2)x \equiv a_2 \pmod{n_2}x≡a2​(modn2​) ⋮\vdots⋮ x≡ak(modnk)x \equiv a_k \pmod{n_k}x≡ak​(modnk​)
tem uma solução única módulo N=n1n2…nkN = n_1 n_2 \dots n_kN=n1​n2​…nk​, e a solução pode ser calculada explicitamente.
3. Funções Aritméticas
As funções aritméticas são funções que associam um número inteiro a outro, geralmente com o objetivo de capturar propriedades importantes desses números, como a quantidade de divisores ou a soma dos divisores.
Funções importantes:
· Função divisor (d(n)d(n)d(n)): Conta o número de divisores de nnn.
· Exemplo: d(6)=4d(6) = 4d(6)=4, pois os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
· Função soma dos divisores (σ(n)\sigma(n)σ(n)): Soma todos os divisores de nnn.
· Exemplo: σ(6)=1+2+3+6=12\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12σ(6)=1+2+3+6=12.
· Função de Möbius (μ(n)\mu(n)μ(n)): Dada por:
· μ(n)=1\mu(n) = 1μ(n)=1 se nnn é o produto de um número par de primos distintos.
· μ(n)=−1\mu(n) = -1μ(n)=−1 se nnn é o produto de um número ímpar de primos distintos.
· μ(n)=0\mu(n) = 0μ(n)=0 se nnn tem um divisor primo repetido.
· Função de Euler (φ(n)\varphi(n)φ(n)): Conta o número de inteiros positivos menores que nnn e que são coprimos com nnn (ou seja, que não têm fatores primos em comum com nnn).
· Exemplo: φ(6)=2\varphi(6) = 2φ(6)=2, pois os números menores que 6 que são coprimos com 6 são 1 e 5.
Essas funções possuem muitas aplicações, principalmente em teorias de números primos e em questões de criptografia.
4. O Último Teorema de Fermat
O Último Teorema de Fermat afirma que:
xn+yn=znx^n + y^n = z^nxn+yn=zn
não possui soluções inteiras não-triviais para n>2n > 2n>2. Ou seja, não existem inteiros xxx, yyy, e zzz que satisfaçam a equação para n>2n > 2n>2.
Este teorema foi conjecturado por Pierre de Fermat em 1637 e permaneceu sem prova por mais de 350 anos. A prova definitiva foi realizada por Andrew Wiles em 1994, utilizando ferramentas sofisticadas da Teoria dos Números, incluindo curvas elípticas e formas modulares.
Exemplo de falha para n=3n = 3n=3: A equação x3+y3=z3x^3 + y^3 = z^3x3+y3=z3 não possui soluções inteiras, e por muitos séculos os matemáticos tentaram encontrar uma solução sem sucesso, até que a prova foi finalmente concluída por Wiles para todos os n>2n > 2n>2.
Conclusão
A Teoria dos Números continua a ser uma área rica e desafiadora da matemática, com muitos problemas não resolvidos e novas descobertas sendo feitas constantemente. Seus conceitos, como primalidade, congruências, funções aritméticas e o Último Teorema de Fermat, têm aplicações que vão desde a criptografia até o entendimento profundo da estrutura dos números inteiros. A exploração dessa área oferece um vislumbre das propriedades mais fundamentais da matemática e de como essas propriedades podem ser aplicadas em várias disciplinas.
Exercícios sobre Teoria dos Números
1. Determinar se 37 é um número primo.
2. Calcular a soma dos divisores de 60.
3. Resolver o sistema de congruências usando o Teorema Chinês dos Restos:
· x≡2(mod3)x \equiv 2 \pmod{3}x≡2(mod3)
· x≡3(mod5)x \equiv 3 \pmod{5}x≡3(mod5)
· x≡1(mod7)x \equiv 1 \pmod{7}x≡1(mod7)
4. Provar que não existem números inteiros x,y,zx, y, zx,y,z que satisfaçam x4+y4=z4x^4 + y^4 = z^4x4+y4=z4.
5. Calcular a função de Euler φ(36)\varphi(36)φ(36).
6. Determinar os divisores de 84 e calcular d(84)d(84)d(84).