Prova n2 - 3

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Geometria Diferencial
A Geometria Diferencial é um ramo da matemática que utiliza ferramentas do cálculo diferencial e integral para estudar as propriedades geométricas de objetos suaves, como curvas, superfícies e suas generalizações, em espaços euclidianos e mais gerais, como os espaços de Riemann. Esse campo é fundamental para a compreensão da estrutura geométrica do espaço, e tem aplicações tanto em física, como na teoria da relatividade, quanto em várias áreas da matemática pura e aplicada.
A Geometria Diferencial se foca em objetos que podem ser descritos localmente por coordenadas diferenciáveis e que possuem estruturas suficientemente suaves (ou seja, podem ser diferenciados infinitamente). Os principais objetos de estudo incluem curvas e superfícies, mas o campo se estende para variedades e espacos de Riemann, além de diversos conceitos como curvatura, geodésicas e o teorema de Gauss-Bonnet.
1. Curvas e Suas Propriedades
Uma curva é uma linha suave que pode ser descrita por uma função contínua de uma variável real t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R para um espaço euclidiano Rn\mathbb{R}^nRn. A Geometria Diferencial estuda as propriedades geométricas das curvas, como sua curvatura e torsão.
Definição de Curvatura: A curvatura de uma curva em um ponto é uma medida de quão rapidamente ela está se afastando de uma linha reta naquele ponto. Para uma curva parametrizada γ(t)\gamma(t)γ(t), a curvatura κ(t)\kappa(t)κ(t) é dada por:
κ(t)=∣d2γ(t)dt2∣(em dimenso˜es superiores, com um caˊlculo mais elaborado).\kappa(t) = \left|\frac{d^2 \gamma(t)}{dt^2}\right| \quad \text{(em dimensões superiores, com um cálculo mais elaborado)}.κ(t)=​dt2d2γ(t)​​(em dimenso˜es superiores, com um caˊlculo mais elaborado).
Torsão: A torsão de uma curva descreve a variação da direção da curva no espaço tridimensional. Se a curva está no plano, ela tem torsão zero, mas, no espaço tridimensional, a torsão mede o quanto a curva sai do plano tangente à curva.
Exemplo:
· A curva γ(t)=(t,t2)\gamma(t) = (t, t^2)γ(t)=(t,t2) no plano R2\mathbb{R}^2R2 tem curvatura κ=2(1+(2t)2)3/2\kappa = \frac{2}{(1 + (2t)^2)^{3/2}}κ=(1+(2t)2)3/22​.
2. Superfícies e Curvatura de Superfícies
Uma superfície é uma generalização de uma curva para duas dimensões. Uma superfície é um objeto bidimensional que pode ser descrito localmente em um espaço tridimensional por uma função x:U⊆R2→R3\mathbf{x}: U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3x:U⊆R2→R3, onde UUU é um domínio aberto em R2\mathbb{R}^2R2. A curvatura de uma superfície em um ponto está relacionada à forma como a superfície se curva no espaço.
Curvatura Normal (ou curvatura gaussiana): A curvatura de uma superfície em um ponto ppp pode ser medida de várias maneiras. Uma das mais importantes é a curvatura gaussiana KKK, que é o produto das curvaturas principais, k1k_1k1​ e k2k_2k2​, associadas às direções principais da curvatura da superfície no ponto ppp.
K=k1⋅k2K = k_1 \cdot k_2K=k1​⋅k2​
· Se K>0K > 0K>0, a superfície é localmente convexa (como uma esfera).
· Se K