Lista Aula 63-65 Gravitação (Lei da Gravitação Universal)

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FÍSICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Tadeu Carvalho
assunto: GraviTação universal (ParTe 2)
frente: FísiCa i
016.508 – 141814/19 
AULAS 63 A 65
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Gravidade
Estamos interessados agora em determinar a expressão do 
campo gravitacional gerado por um planeta esférico, maciço e de 
densidade uniforme em 3 regiões: na superfície do planeta, a uma 
certa altitude (h) e a uma profundidade (p) medidas da superfície do 
planeta. Isso será feito sem levar em conta a rotação do planeta, depois 
será calculado o efeito da rotação na gravidade.
Caso 1: Sem Rotação (w = 0)
R
(M)
B
A
C
h
P
I. Na superfície (Ponto A)
 
P F
m g
G M m
R
g
G M
R
SUP G
SUP
SUP
=
=
=
·
· ·
·
2
2
II. A uma altitude h (Ponto B)
 
P F
m g
G M m
g
G M
ou
g g
R
R h
h G
h
h
h SUP
=
⋅ =
⋅ ⋅
+
=
⋅
+
= ⋅
+




’
(R h)
(R h)
2
2
2
III. A uma profundidade p (Ponto C)
 
P F
m g
G M m
g
G M
onde M
M
R
g
G
P G
p
P
P
=
⋅ =
⋅ ⋅
−
=
⋅
−
=
⋅ −
=
"
’
(R p)
’
(R p)
, ’
(R p)
2
2
3
3
((R p)
(R p)
(R p)
−
⋅ ⋅
−
=
⋅ ⋅ −
= ⋅
−



2
3
3
3
M
R
g
G M
R
ou
g g
R p
R
P
p SUP
É possível construir um gráfico que relaciona a gravidade com 
a distância r ao centro do planeta (g × r):
P
0
R
C
h
A B r
i ∼
i
i ∼
A r R g
G M
r
g
r
B r R h g
G M
r
C r R p g
G M
R
r g r
:
:
:
= ∴ =
⋅
= + ∴ =
⋅
= − ∴ =
⋅
⋅ →

2 2
2
3
1







g – 1
r2
g – r
g
rR
G · M
R2
Caso 2: Com Rotação (w ≠ 0)
Nesse caso, vamos encontrar uma expressão para a gravidade 
na superfície do planeta em função da latitude (L).
Para isso, vamos obter a gravidade “percebida” (g→
ef
) por 
um observador na superfície, lembrando que esse observador está 
acelerado (a→
cp
), logo, a gravidade efetiva será:
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
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g
→
W
a
R
g
SUP
sem rotação
aceleração centrípeta
(devido à rotação)
r
L
g
→
ef
 = g
→
 – a
→
Lembrando que a = w2 · r e r = R · cosL, logo:
a = w2 · R · cosL , assim, obtemos g
→
ef
:
g
L
–a
g
ef
ϕ
ϕ
g1
gef
g
g g gef
� � �
�= − ⊥
Onde g
→
ll
 e g
→
 são componentes paralelo e perpendicular à 
superfície do planeta.
g a senL ou g R senL L
g g a L ou g g R
� �
� �
� �= =
= − = −⊥ ⊥
· · · · cos
· cos · · cos
ω
ω
2
2 22 L
No caso do planeta Terra: 
ω2 0 03
9 8
· ,
,
R
g
≈
≈
m/s
m/s
2
2
Assim, podemos aproximar:
g g g R Lef ef� �⊥ − ⋅ ⋅, ou ainda, g cosω2 2
Assim, nos polos (L = 90º)
g
p
 = g
E no Equador (L = 0º)
g
EQ
 = g – w2 · R
Exercícios
01. Considere uma estrela A e dois planetas B e C alinhados em 
determinado instante, conforme indica a figura. A massa de A 
vale 200 M e as massas de B e C, M e 2M, respectivamente.
5x
A
B
C
x
 Sendo dada a distância x e a Constante da Gravitação (G), calcule, 
no instante da figura, a intensidade da força resultante das ações 
gravitacionais de A e C sobre B.
02. Se existisse um planeta de massa oito vezes maior que a da Terra 
e raio três vezes maior, qual seria a relação entre a aceleração 
da gravidade na superfície desse planeta g
p
 e a aceleração da 
gravidade na superfície da Terra g
T
?
03. Admita que a aceleração da gravidade nos polos da Terra tenha 
intensidade 10 m/s² e que o raio terrestre valha 6,4 · 106 m. Chamemos 
de w
0
 a velocidade angular de rotação do planeta nas circunstâncias 
atuais. Se a velocidade angular de rotação da Terra começasse a 
crescer a partir de w
0
, estabelecer-se-ia um valor w para o qual os 
corpos situados na linha do equador apresentariam peso nulo.
A) Qual o valor de w? Responda em função de w
0
.
B) Qual seria a duração do dia terrestre caso a velocidade angular 
de rotação do planeta fosse igual a w?
04. (Olimpíada Brasileira de Física) Considere que a órbita da Terra em 
torno do Sol seja circular e que esse movimento possua período T. 
Sendo t o tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra 
e c o módulo da velocidade da luz no vácuo, o valor estimado da 
massa do Sol é:
A) G
T4 2
3
2π
(ct) B) 4 2 3
2
π
G T
(ct)
C) G
t4 2
3
2π
=
( )cT D) 4 2 3
2
π
G t
( )cT
E) 
G
T4 2
2
3π
(ct)
05. (Olimpíada Íbero-americana de Física) Uma 
estrela tripla é formada por três estrelas de 
mesma massa M que gravitam em torno 
do centro de massa C do sistema.
 As estrelas estão localizadas nos vértices de 
um triângulo equilátero inscrito em uma 
circunferência que corresponde à trajetória 
por elas descritas, conforme ilustra a figura.
 Considerando-se como dados a massa M 
de cada estrela, o raio R da circunferência 
que elas descrevem e a constante de gravitação universal G, 
determine o período T no movimento orbital de cada estrela.
E
3
Trajetória das
estrelas
R
R
R
C
E
1
E
2
3 F B O N L I N E . C O M . B R
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016.508 – 141814/19 
Módulo de estudo
06. (Olimpíada Brasileira de Física) Em seu trabalho sobre gravitação 
universal, Newton demonstrou que uma distribuição esférica 
homogênea de massa surte o mesmo efeito que uma massa 
concentrada no centro da distribuição. Se no centro da Terra 
fosse recortado um espaço oco esférico, com metade do raio da 
Terra, o módulo da aceleração da gravidade na superfície terrestre 
diminuiria para (g é o módulo da aceleração da gravidade na 
superfície terrestre sem a cavidade):
A) 
3
8
g. B) 
1
2
g.
C) 
5
8
g. D) 
3
4
g.
E) 
7
8
g.
07. Uma casca esférica tem raio interno R
1
, raio externo R
2
 e massa M 
distribuída uniformemente. Uma massa puntiforme m está 
localizada no interior dessa casca, a uma distância d de seu centro 
(R
1
do satélite e G 
a Constante de Gravitação Universal, a massa da Terra pode ser 
calculada por
A) M
R
T G
=
32 2 3
2
π 
B) M
R
T G
=
16 22
3
π
C) M
R
TG
=
8 3π
 
D) M
T
R G
=
4 2 3
2
π
E) M
R
T G
=
2 2 3
2
π
4F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
016.508 – 141814/19 
12. Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem 
advir de irregularidades na distribuição de sua massa. Considere 
a Terra como uma esfera de raio R e de densidade r, uniforme, 
com uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu 
interior. A distância entre os centros O, da Terra, e C, da cavidade, 
é d, que pode variar de 0 (zero) até R – a, causando, assim, uma 
variação do campo gravitacional em um ponto P, sobre a superfície 
da Terra, alinhando com O e C.
R
O
d
a
C
P
 Seja G
1
 a intensidade do campo gravitacional em P, sem a existência 
da cavidade na Terra, e G
2
, a intensidade do campo no mesmo 
ponto, considerando a existência da cavidade. Então, o valor da 
variação relativa (G
1
 – G
2
)/G
1
, que se obtém ao deslocar a posição 
da cavidade, é:
A) a3 / [(R – a)² R].
B) (a / R)³.
C) (a / R)².
D) a / R.
E) nulo.
13. Considere que Mt é a massa da Terra; Rt, seu raio; g, a aceleração 
da gravidade; e G, a constante de gravitação universal. Da 
superfície terrestre e verticalmente para cima, desejamos lançar 
um corpo de massa m para que, desprezada a resistência do ar, 
ele se eleve a uma altura acima da superfície igual ao raio da Terra. 
A velocidade inicial V do corpo, nesse caso, deverá ser de:
A) V
G Mt
Rt
=
⋅
⋅2
 
B) V
g Rt
m
=
⋅
C) V
G Mt
Rt
=
⋅
 
D) V
g Rt
=
⋅
2
E) V
g G Mt
m Rt
=
⋅ ⋅
⋅
14. Na Terra, onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s², um 
astronauta vestido com seu traje espacial pesa 2000 N. Sabendo-se 
que o raio de Marte é a metade do raio da Terra e que a massa 
de Marte é dez vezes menor que a da Terra, determinar:
A) a massa do conjunto astronauta-traje em Marte.
B) o peso do conjunto astronauta-traje em Marte.
15. O gráfico da figura a seguir representa a aceleração da gravidade 
g da Terra em função da distância d ao seu centro.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
01(d 02 81 61 41 21 01 8 6 4 2 0 6 m)
g(m/s²)
 Considere uma situação hipotética em que o valor do raio R
T
 da 
Terra seja diminuído para R’, sendo R’ = 0,8 R
T
, e em que seja 
mantida (uniformemente) sua massa total. Nessas condições, os 
valores aproximados das acelerações da gravidade g
1
 à distância 
R’ e g
2
 a uma distância igual a R
T
 do centro da “Terra Hipotética” 
são, respectivamente:
g1 (m/s2) g2(m/s²)
A) 10 10
B) 8 6,4
C) 6,4 4,1
D) 12,5 10
E) 15,6 10
Gabarito
01 02 03 04 05
– – – – –
06 07 08 09 10
– E A * D
11 12 13 14 15
A D C * E
– Demonstração.
*09. 
A) 
E
2
E
1
E
1
P
E
2
B) R = 3
C) M
D
GT
1
2 3
2
3
=
π
14. 
A) m = 200 kg
B) P = 800 N
Supervisor/diretor: Dawison Sampaio – Autor: Tadeu Carvalho
Dig.: RodErick – Rev.: Sarah