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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Matemática Financeira
Disciplina na modalidade a distância
matematica_financeira_2007.indb 1matematica_financeira_2007.indb 1 7/2/2007 14:06:117/2/2007 14:06:11
matematica_financeira_2007.indb 2matematica_financeira_2007.indb 2 7/2/2007 14:06:327/2/2007 14:06:32
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Matemática 
Financeira.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, 
abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma 
linguagem que facilite seu estudo a distância. 
Por falar em distância, isto não signifi ca que você estará 
sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina 
também será acompanhada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir 
necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou 
Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe 
terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso 
principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual. 
matematica_financeira_2007.indb 3matematica_financeira_2007.indb 3 7/2/2007 14:06:327/2/2007 14:06:32
matematica_financeira_2007.indb 4matematica_financeira_2007.indb 4 7/2/2007 14:06:327/2/2007 14:06:32
Maurici José Dutra
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Design instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Leandro Kingeski Pacheco
Matemática Financeira
Livro didático
2ª edição revista e atualizada
matematica_financeira_2007.indb 5matematica_financeira_2007.indb 5 7/2/2007 14:06:327/2/2007 14:06:32
Copyright © UnisulVirtual 2007
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
513.93
D97 Dutra, Maurici José
Matemática fi nanceira : livro didático / Maurici José Dutra 
; design instrucional Daniela Erani Monteiro Dutra, Leandro 
Kingeski Pacheco. 2. ed. rev. e atual.– Palhoça : UnisulVirtual, 
2007.
202 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografi a.
1. Matemática fi nanceira. I. Will, Daniela Erani Monteiro. II. 
Pacheco, Leandro Kingeski. III. Título.
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
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Tecnologia
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Rodrigo de Barcelos Martins
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Maurici José Dutra
Design Instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Leandro Kingeski Pacheco
Projeto Gráfi co e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Adriana Ferreira dos Santos
Revisão Ortográfi ca
B2B
matematica_financeira_2007.indb 6matematica_financeira_2007.indb 6 7/2/2007 14:06:327/2/2007 14:06:32
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Fundamentos de matemática fi nanceira . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE 2 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE 3 – Descontos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
UNIDADE 4 – Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
UNIDADE 5 – Taxas de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
UNIDADE 6 – Descontos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
UNIDADE 7 – Equivalência de capitais a juros compostos . . . . . . . . . . . . 93
UNIDADE 8 – Seqüências de capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
UNIDADE 9 – Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
UNIDADE 10 – Amortização de empréstimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
UNIDADE 11 – Infl ação e correção monetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
UNIDADE 12 – Operações práticas com o uso da calculadora
HP-12C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18785 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
No desconto composto racional i ir f=
Considerando que 
i Taxa de desconto composto racional
i taxa efetiva
r
f
=
=
Esta é fórmula para o cálculo da relação entre a taxa efetiva de
desconto e a taxa de desconto composto comercial:
V N i
V N i
i i
i
i
i
c
n
f
n
f
n
c
n
f
n c
n
c
= −( )
= +( )
+( ) = −( )
+( )
= −( )
−(
−
−
1
1
1 1
1
1
1
1 )) +( ) =
−( ) +( ) =
+ =
−
=
−
−
=
n
f
n
c f
f
c
f
c
f
i
então
i i
i i
i
i
i
i
.
:
.
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1−− −( )
−
= − +
−
=
−
1
1
1 1
1
1
i
i
i i
i
i i
i
c
c
f
c
c
f
c
c
matematica_financeira_2007.indb 86matematica_financeira_2007.indb 86 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
87
Matemática Financeira
Unidade 6
1. Qual a taxa de desconto composto comercial 
equivalente a 5% a.a. do desconto composto racional?
i a a a a
i i
i
i
i
i i
i
f
f
c
c
c
c
c c
c
= =
=
−
=
−
= −
+
5 0 05
1
0 05
1
0 05 0 05
0 05
% . , .
,
, , .
, ii
i
i
i a a
c
c
c
c
=
=
=
= =
0 05
1 05 0 05
0 05
1 05
0 0476 4 76
,
, . ,
,
,
, , % .
2. Qual a taxa efetiva de desconto composto racional 
equivalente a 18% a.a. do desconto composto 
comercial?
i i
i
i
i
i a a
f
c
c
f
f
f
=
−
=
−
=
= =
1
0 18
1 0 18
0 18
0 82
0 2195 21 95
,
,
,
,
, , % .
matematica_financeira_2007.indb 87matematica_financeira_2007.indb 87 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
Caro aluno, é hora de você colocar em prática a teoria estudada. Considere 
as defi nições e as fórmulas apresentadas nesta unidade e responda as 
questões a seguir. 
1) Determine o valor do desconto composto racional de um título 
de valor nominal de R$ 8.300,00 descontado 6 meses antes de seu 
vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4,2% a.m.
2) O valor de face de uma promissória de um cliente é de R$ 300.000,00. 
Ele deseja trocá-la em um banco que trabalha com uma taxa de 
desconto composto racional de 20% a.a. O vencimento da duplicata é 
para daqui a 162 dias. Qual o valor de desconto?
3) Determine a taxa mensal de desconto composto racional de um título 
com valor de face de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do 
vencimento, gerando um valor líquido de R$ 5.348,00.
matematica_financeira_2007.indb 88matematica_financeira_2007.indb 88 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
89
Matemática Financeira
Unidade 6
4) Qual o desconto composto comercial de um título de valor nominal 
igual a R$ 50.000,00 com vencimento para daqui a 3 anos a uma taxa 
de desconto de 20% a.a.?
5) Qual a taxa de desconto comercial equivalente a 3,5% a.a. do desconto 
racional?
6) Qual a taxa de desconto composto racional equivalente a 15,3% a.a. do 
desconto composto comercial?
matematica_financeira_2007.indb 89matematica_financeira_2007.indb 89 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Calcule a taxa mensal de desconto composto comercial de um título 
de valor nominal igual a R$ 15.000,00, descontado 5 meses antes do 
vencimento e resgatado por R$ 12.103,72.
8) Um título de R$ 30.000,00 foi descontado em uma instituição 
fi nanceira a uma taxa de desconto composto comercial de 6,4% a.m. e 
o valor líquido recebido era de R$ 20.173,27. Quantos meses antes do 
vencimento foi descontado este título?
Síntese
Caro aluno, nesta unidade você aprendeu o desconto composto e 
como calculá-lo em seus dois tipos: o desconto composto racional 
ou por dentro e o desconto composto comercial ou bancário ou 
por fora. Você também aprendeu a taxa de desconto composto 
comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto, além do 
relacionamento entre as taxas de desconto. 
Parabéns por sua caminhada até aqui. Na próxima unidade, você 
estudará equivalência de capitais.
matematica_financeira_2007.indb 90matematica_financeira_2007.indb 90 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
91
Matemática Financeira
Unidade 6
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente os diversos tipos 
de descontos compostos e de suas taxas, utilize as seguintes 
bibliografi as:
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira 
Th ompson, 2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática 
fi nanceira: com HP12C e Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas 
2003.
matematica_financeira_2007.indb 91matematica_financeira_2007.indb 91 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
matematica_financeira_2007.indb 92matematica_financeira_2007.indb 92 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
UNIDADE 7
Equivalência de capitais a juros 
compostos
Objetivos de aprendizagem
 Identifi car o conceito de equivalência de capitais a juros 
compostos.
 Transformar o valor de um capital em uma data 
determinada em outro valor equivalente em uma data 
diferente.
 Determinar o valor atual e analisar alternativas de um 
conjunto de capitais.
Seções de estudo
Seção 1 Equivalência de capitais
Seção 2 Valor atual de um conjunto de capitais
7
matematica_financeira_2007.indb 93matematica_financeira_2007.indb 93 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
94
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Nesta unidade, você estudará como efetuar pagamentos ou 
recebimentos que se encontram em datas de vencimentos 
distintas em pagamentos ou recebimentos equivalentes, porém, 
numa mesma data.
SEÇÃO 1 - Equivalência de capitais a juros compostos
Nesta seção você estudará a equivalência de capitais a juros 
compostos. A equivalência de capitais a juros compostos é 
a maneira de transformar pagamentos (recebimentos), que 
apresentam datas de vencimentos distintas, em pagamentos 
(recebimentos) equivalentes, todos avaliados numa data comum.
Esta é a fórmula para o cálculo de equivalência de dois capitais
a juros compostos
Sejam dois capitais separados por períodos de tempo.
y y i
y y
i
y Valor Atual data desejada
y Valor
n
n
2 1
1
2
1
2
1
1
= +( )
=
+( )
=
=
.
( )
NNo al data nmin ( )
1. Um correntista deve a um banco um título de valor 
nominal de R$ 15.000,00, com vencimento para daqui 
a 6 meses e deseja pagar esta dívida daqui a 2 meses. 
Sabendo-se que o banco trabalha com uma taxa de 
4,5% a.m., calcule o valor deste pagamento.
Fluxo de Caixa
y
y
i a m a m
n meses
2
1
15000
4 5 0 045
4
=
=
= =
=
?
, % . , .
matematica_financeira_2007.indb 94matematica_financeira_2007.indb 94 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
95
Matemática Financeira
Unidade 7
y y
i
y
y
y
n1
2
1 4
1 4
1
1
15000
1 0 045
15000
1 045
15000
1 192
=
+( )
=
+( )
=
( )
=
,
,
, 5519
12578 421y R= $ ,
SEÇÃO 2 - Valor atual de um conjunto de capitais
Nesta seção, você estudará o valor atual de um conjunto de 
capitais. 
Sejam os capitais: y y yn0 1, , ........., , nas datas respectivamente 
0 1 2, , , ........., .n
Dada esta respectiva representação do fl uxo de caixa: 
Fluxo de caixa
matematica_financeira_2007.indb 95matematica_financeira_2007.indb 95 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
96
Universidade do Sul de Santa Catarina
Evidencia-se que
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de um conjunto de
capitais: 
V y y
i
y
i
y
i
n
n= +
+( )
+
+( )
+ +
+( )0
1 2
21 1 1
........
1. Uma empresa tem que efetuar os seguintes 
pagamentos:
a) R$ 220.000,00 daqui a 3 meses;
b) R$ 120.000,00 daqui a 1 ano e 2 meses;
c) R$ 140.000,00 daqui a 2 anos.
Quanto deverá aplicar,hoje, a juros compostos a 
uma taxa de 2,4% a.m. para fazer frente a estes 
compromissos? 
V
V
=
+( )
+
+( )
+
+( )
=
220000
1 0 024
120000
1 0 024
140000
1 0 024
22
3 14 24, , ,
00000
1 024
120000
1 024
140000
1 024
220000
1 073
3 14 24, , ,
,
( )
+
( )
+
( )
=V
7742
120000
1 393797
140000
1 766847
204890 93 86095 75 792
+ +
= + +
, ,
, ,V 337 19
370223 87
,
$ ,V R=
2. Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o 
seguinte plano de pagamento a prazo:
entrada de R$ 5.000,00;
mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00.
Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% 
a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de 
pagamento a prazo? 
matematica_financeira_2007.indb 96matematica_financeira_2007.indb 96 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
97
Matemática Financeira
Unidade 7
y
y y y y R
i a m a m
V y R
i i
0
1 2 3 4
0 2
5000
2 5 0 025
1
1
1
1
=
= = = =
= =
= +
+( )
+
+( )
, % . , .
++
+( )
+
+( )








= +
+( )
+
+( )
1
1
1
1
5000 2500 1
1 0 025
1
1 0 025
3 4
2
i i
V
, ,
++
+( )
+
+( )








= + ( ) +
1
1 0 025
1
1 0 025
5000 2500 0 975610 0
3 4, ,
. , ,V 9951814 0 928599 0 905951
5000 2500 3 761974
( ) + ( ) + ( ) 
= +
=
, ,
. ,
.
V
V 55000 9404 94
14404 94
+
=
,
$ ,V R
Atenção!
Dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros 
compostos quando os seus respectivos valores atuais 
são iguais, em uma data comum.
3. Um terreno é vendido pelos seguintes planos:
Plano A: um único pagamento de R$ 60.000,00 
daqui a 2 anos
Plano B: uma entrada de R$ 15.000,00 + 1 parcela 
para daqui a 15 meses
Se a taxa de juros compostos de mercado é de 1,5% 
a.m., qual o valor da parcela do Plano B para que os 
mesmos sejam equivalentes?
Plano A:
V
V
V
V R
A
A
A
A
=
+( )
=
( )
=
=
60000
1 0 015
60000
1 015
60000
1 429503
4
24
24
,
,
,
$ 11972 63,
matematica_financeira_2007.indb 97matematica_financeira_2007.indb 97 7/2/2007 14:07:197/2/2007 14:07:19
98
Universidade do Sul de Santa Catarina
Plano B:
V x
V x
B
B
= +
+( )
= +
( )
15000
1 0 015
15000
1 015
15
15
,
,
Como V VA B= temos:
41972 63 15000
1 015
41972 63 15000 1 015
269
15
15
,
,
, . ,
= +
( )
= −( ) ( )
=
x
x
x 772 63 1 250232
33722 05
, . ,
$ ,x R=
Atenção!
A melhor alternativa de pagamento é a que oferece o 
menor valor atual.
A melhor alternativa de investimento é aquela que 
oferece valor atual maior do que o valor investido.
4. Um proprietário recebeu as seguintes propostas 
para a venda de uma casa:
Proposta A) Entrada de R$ 100.000,00 + R$ 50.000,00 
em 6 meses + R$ 60.000,00 em 1 ano.
Proposta B) Entrada de R$ 80.000,00 + R$ 60.000,00 
em 5 meses + R$ 70.000,00 em 10 meses.
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 3% 
a.m., qual a melhor proposta para o vendedor?
Proposta A)
V
V
A
A
= +
+( )
+
+( )
= +
100000 50000
1 0 03
60000
1 0 03
100000 50000
1 0
6 12, ,
, 33
60000
1 03
100000 50000
1 194052
60000
1 425761
6 12( )
+
( )
= + +
,
, ,
V
V
A
A == + +
=
100000 41874 22 42082 79
183957 01
, ,
$ ,V RA
matematica_financeira_2007.indb 98matematica_financeira_2007.indb 98 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
99
Matemática Financeira
Unidade 7
Proposta B)
V
V
B
b
= +
+( )
+
+( )
= +
(
80000 60000
1 0 03
70000
1 0 03
80000 60000
1 03
5 10, ,
, ))
+
( )
= + +
=
5 10
70000
1 03
80000 60000
1 159274
70000
1 343916
80
,
, ,
V
V
B
B 0000 51756 53 52086 59
183843 12
+ +
=
, ,
$ ,V RB
Resposta: a melhor proposta é a A.
matematica_financeira_2007.indb 99matematica_financeira_2007.indb 99 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
100
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
Chegou a hora de mais algumas atividades de auto-avaliação. Mantenha-
se atento aos enunciados e reporte-se às defi nições e às fórmulas 
abordadas nesta unidade para resolver os seguintes problemas: 
1) Uma empresa tem as seguintes duplicatas para pagar:
Duplicata A: Valor de R$ 80.000,00. Vencimento 4 meses.
Duplicata B: Valor de R$ 150.000,00. Vencimento 10 meses.
Duplicata C: Valor de R$ 200.000,00. Vencimento 15 meses.
Se a taxa de juros compostos é de 2,3% a.m., quanto a empresa deve 
aplicar hoje para fazer frente a estes compromissos?
matematica_financeira_2007.indb 100matematica_financeira_2007.indb 100 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
101
Matemática Financeira
Unidade 7
2) Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a 
prazo com o seguinte plano de pagamento:
20% de entrada.
Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 
3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da 
primeira. 
Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma 
taxa de juros compostos de 2% a.m.?
3) Uma pessoa deve R$ 10.000,00 com vencimento em 1 ano e R$ 30.000 
com vencimento em 3 anos. A mesma faz um acordo para pagar R$ 
20.000,00 hoje e o restante daqui a 2 anos. Quanto esta pessoa deve 
pagar daqui a 2 anos, se a taxa de juros compostos é de 5% a.s.?
matematica_financeira_2007.indb 101matematica_financeira_2007.indb 101 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
102
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Qual das alternativas de pagamento é a melhor para uma taxa de juros 
compostos de 7,5% a.m.?
Alternativa A: Pagamento de R$ 150.000,00 à vista.
Alternativa B: Entrada de R$ 50.000,00 + R$ 80.000,00 em 90 dias + R$ 
60.000,00 em 140 dias.
5) Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de R$ 3.000,00 
e R$ 6.000,00 vencíveis respectivamente em 4 meses e 8 meses. Se 
a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidação dos títulos, qual o 
valor a pagar, considerando que o banco opera com uma taxa de juros 
compostos de 2,3% a.m.?
matematica_financeira_2007.indb 102matematica_financeira_2007.indb 102 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
103
Matemática Financeira
Unidade 7
Síntese
Caro aluno, nesta unidade, você aprendeu a equivalência de 
capitais a juros compostos, determinou o valor atual de um 
conjunto de capitais e fez um estudo das alternativas pelo valor 
atual.
Na próxima unidade, você estudará seqüência de capitais.
Saiba mais
Caro aluno, se você quiser estudar mais profundamente a 
equivalência de capitais, utilize as seguintes bibliografi as:
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fi nanceira 
objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva. 1999.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para 
concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 
2003.
SHINODA, Carlos. Matemática fi nanceira para 
usuário do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática 
fi nanceira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
matematica_financeira_2007.indb 103matematica_financeira_2007.indb 103 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
matematica_financeira_2007.indb 104matematica_financeira_2007.indb 104 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
UNIDADE 8
Seqüência de capitais
Objetivos de aprendizagem
 Identifi car o conceito de seqüência uniforme de capitais.
 Distinguir e trabalhar seqüências uniformes de termos 
postecipados e antecipados e seqüências diferidas.
 Calcular o valor atual, o montante e a prestação de 
seqüências uniformes postecipadas, antecipadas, 
diferidas e com parcelas adicionais.
Seções de estudo
Seção 1 Seqüência uniforme de capitais
Seção 2 Seqüência uniforme de termos 
postecipados
Seção 3 Seqüência uniforme de termos antecipados
Seção 4 Montante de uma seqüência uniforme
Seção 5 Seqüência uniforme diferida
Seção 6 Seqüência uniforme com parcelas 
adicionais
8
matematica_financeira_2007.indb 105matematica_financeira_2007.indb 105 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
106
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Nesta unidade, você estudará as seqüências uniformes de capitais 
que apresentamuma gama de aplicações que fazem parte do 
dia-a-dia das pessoas. Você estudará a seqüência uniforme de 
capitais, de termos postecipados, de termos antecipados, diferida, 
com parcelas adicionais além do montante de uma seqüência 
uniforme. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - Seqüência uniforme de capitais
Nesta seção, será apresentado para você o conceito de seqüência 
uniforme de capitais. A seqüência uniforme de capitais é uma 
seqüência de capitais y y yn1 2, , ........., respectivamente nas datas 
1 2, , .........., , , , ,n mês trimestre semestre ano etc( )( ), onde: 
1y = yy y Rn2 = = =......... .
Atenção!
O regime de capitalização que usaremos para 
trabalhar com a seqüência uniforme de capitais é o 
composto.
SEÇÃO 2 - Seqüência uniforme de termos postecipados
Nesta seção você estudará a seqüência uniforme de termos 
postecipados. 
A seqüência uniforme de termos postecipados é uma seqüência 
uniforme onde y sem entrada0 0= ( ).
Podemos representar grafi camente o fl uxo de caixa da seqüência 
uniforme de termos postecipados do seguinte modo:
matematica_financeira_2007.indb 106matematica_financeira_2007.indb 106 7/2/2007 14:07:207/2/2007 14:07:20
107
Matemática Financeira
Unidade 8
Fluxo de caixa
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma seqüência
uniforme de termos postecipados:
V R
i
R
i
R
i n
=
+
+
+( )
+ +
+( )1 1 12 ............
V R
i i i n
=
+
+
+( )
+ +
+( )








1
1
1
1
1
12 ........
Onde a soma entre colchetes representa a soma de uma P.G. tal 
que o primeiro termo: a
i1
1
1
=
+
e a razão: q
i
=
+
1
1
 . Sabemos 
que: 
s a q
q
s
i
i
i
n
n
= −
−






=
+
+




−
+




−










1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 

=
+( )
−
−












=
− +( )
+( ) −
=
+( ) −
s
i
i
s
i
i i
s
i
n
n
n
n
1
1
1
1 1
1
1 1
1
.
++( )
=
+( ) −
+( )








i i
V R
i
i i
n
n
n
.
.
.
1 1
1
matematica_financeira_2007.indb 107matematica_financeira_2007.indb 107 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
108
Universidade do Sul de Santa Catarina
O fator 
1 1
1
+( ) −
+( )
i
i i
n
n .
 é chamado de a i a n cantoneira in¬ ( ), então:
V R a in= ¬.
 
1. Uma televisão de 29 polegadas é vendida em 5 
prestações mensais de R$ 350,00 cada uma. Sendo 
a 1ª prestação paga 1 mês após a compra, a taxa de 
juros cobrada pela loja é de 2,5% a.m., qual é o preço à 
vista da televisão?
R
n
i a m a m
a
=
=
= =
¬ =
+( ) −
+( )
350
5
2 5 0 025
1 0 025 1
1 0 025 0
5 2 5
5
5
, % . . , .
,
, .
,
,,
,,
025
4 6458285 2 5a ¬ =
V R a i
V
V R
n= ¬
=
=
350 4 645828
1626 04
. ,
$ ,
2. Um automóvel é vendido em uma loja por R$ 
32.000,00. A loja propõe as seguintes condições para 
fi nanciamento:
Proposta A: 12 prestações mensais iguais 
postecipados.
Proposta B: 24 prestações mensais iguais 
postecipados.
Proposta C: 36 prestações mensais iguais 
postecipados.
A taxa de juros usada é de 3,2% a.m. Qual o valor de 
cada prestação nas 3 modalidades de fi nanciamento?
V
n
i a m a m
=
=
= =
32000
12
3 2 0 032, % . , .
matematica_financeira_2007.indb 108matematica_financeira_2007.indb 108 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
109
Matemática Financeira
Unidade 8
Proposta A: 
a
a
12 3 2
12
12
12 3 2
1 0 032 1
1 0 032 0 032
9 836204
¬ =
+( ) −
+( )
¬ =
,
,
,
, . ,
,
V R a i
R
R
R R
n= ¬
=
=
=
32000 9 836204
32000
9 836204
3253 29
. ,
,
$ ,
Proposta B:
a
a
24 3 2
24
24
12 3 2
1 0 032 1
1 0 032 0 032
16 576379
¬ =
+( ) −
+( )
¬ =
,
,
,
, . ,
,
V R a i
R
R
R R
n= ¬
=
=
=
.
. ,
,
$ ,
32000 16 576379
32000
16 576379
1930 46
Proposta C: 
a
a
36 3 2
36
36
36 3 2
1 0 032 1
1 0 032 0 032
21 195027
¬ =
+( ) −
+( )
¬ =
,
,
,
, . ,
,
V R a i
R
R
R R
n= ¬
=
=
=
.
. ,
,
$ ,
32000 21 195027
32000
21 195027
1509 79
matematica_financeira_2007.indb 109matematica_financeira_2007.indb 109 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
110
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 3 - Seqüência uniforme de termos antecipados
Nesta seção, você estudará a seqüência uniforme de termos 
antecipados. Uma seqüência uniforme de termos antecipados é 
uma seqüência uniforme onde = (com entrada).
O fl uxo de caixa de uma seqüência uniforme de termos 
antecipados pode ser representado grafi camente do seguinte 
modo:
Fluxo de caixa
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma seqüência
uniforme de termos antecipados:
V R R a in= + ¬−1
1. Um aparelho eletrônico é vendido em 5 
pagamentos iguais de R$ 200,00. Sabendo-se que 
a taxa de fi nanciamento é de 3% a.m. e que o 1º 
pagamento é dado como entrada, qual o preço à 
vista do eletrodoméstico?
R
i a m a m
n
n
a
=
= =
=
− =
=
+( ) −
+( )¬
200
3 0 03
5
1 4
1 0 03 1
1 0 03 0 0
4 3
4
4
% . . , .
,
, . , 33
1 03 1
1 03 0 03
3 717098
4 3
4
4
4 3
a
a
¬
¬
= ( ) −
( )
=
,
, . ,
,
matematica_financeira_2007.indb 110matematica_financeira_2007.indb 110 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
111
Matemática Financeira
Unidade 8
200
1V R R a
V
n i−= + ¬
=
.
++
= +
=
200 3 717098
200 743 42
943 42
. ,
,
$ ,
V
V R
2. Uma casa, cujo valor à vista é R$ 49.244,56, é 
vendida em prestações mensais e iguais de R$ 
2.500,00, sendo a primeira dada como entrada. Se 
a taxa de fi nanciamento é de 1,8% a.m., determine 
o número de prestações pagas no fi nanciamento.
R
i a m a m
V
an i
n
=
= =
=
¬ =
+( ) −
+
−
−
2500
1 8 0 018
49244 56
1 0 018 1
1
1
1
, % . . , .
,
,
00 018 0 018
1 018 1
1 018 0 018
1
1
1
1
, . ,
,
, . ,
.
( )
¬ = ( ) −
( )
= +
−
−
−
−
n
n i
n
na
V R R aan i− ¬1
49244 56 2500 2500
1 018 1
1 018 0 018
1
1,
,
, . ,
= + ( ) −
( )








−
−
n
n
49244 56 2500 2500
1 018 1
1 018 0 018
4674
1
1,
,
, . ,
− = ( ) −
( )








−
−
n
n
44 56 2500
1 018 1
1 018 0 018
46744 56
2500
1
1,
,
, . ,
,
= ( ) −
( )








−
−
n
n
== ( ) −
( )








= ( )
−
−
−
1 018 1
1 018 0 018
18 697824
1 018
1
1
1
,
, . ,
,
,
n
n
n −−
( )








( ) − =
−
−
1
1 018 0 018
1 018 1 18 697824 0 018 1
1
1
, . ,
, , . , . ,
n
n 0018
1 018 1 0 336561 1 018
1 018 0 3365
1
1 1
1
( )
( ) − = ( )
( ) −
−
− −
−
n
n n
n
, , . ,
, , 661 1 018 1
0 663439 1 018 1
1
1
. ,
, ,
( ) =
( ) =
−
−
n
n
matematica_financeira_2007.indb 111matematica_financeira_2007.indb 111 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
112
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 018 1
0 663439
1
1,
,
,
( ) =−n
0018 1 507298
1 018 1 507298
1 1 018
1
1
( ) =
( ) = ( )
−( ) ( )
−
−
n
n
n
,
ln , ln ,
. ln , == ( )
− = ( )
( )
− =
ln ,
ln ,
ln ,
,
,
1 507298
1
1 507298
1 018
1 0 410318
0 01784
n
n
00
1 23
23 1
24
n
n
n
− =
= +
=
SEÇÃO 4 - Montante de uma seqüência uniforme
Nesta seção, você estudará como calcular o montante de uma 
seqüência uniforme, seja de termos postecipados, seja de termos 
antecipados. 
Montante de uma seqüência uniforme de termos postecipados
Podemos representar grafi camente o fl uxo de caixa do montante 
de uma seqüência uniforme de termos postecipados do seguinte 
modo:
Fluxo de caixa
matematica_financeira_2007.indb 112matematica_financeira_2007.indb 112 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
113
Matemática Financeira
Unidade 8
Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma
seqüência uniforme:
M C i
C R a
M R a i
M R
i
i i
n
n i
n i
n
n
n
= +( )
= ¬[ ]
= ¬[ ] +( )
=
+( ) −
+( )






1
1
1 1
1 .


+( )
=
+( ) −







1
1 1
i
M R
i
i
n
n
O fator 
1 1+( ) −i
i
n
 é chamado de fator de acumulação de capitais 
e representado por Sn i¬ S n cantoneira i, ,( ) .
1. Gustavo deposita durante 8 meses em um fundo 
de investimento a quantia de R$ 1.350,00 por mês. 
Sabendo que este fundo remunera seus depósitos 
a umataxa de 1,5% a.m., quanto Gustavo terá no 
instante do último depósito?
R
n
i a m a m
=
=
= =
1350
8
1 5 0 015, % . . , . .
M R
i
i
M
M
n
=
+( ) −







=
+( ) −







=
1 1
1350
1 0 015 1
0 015
1350
1
8,
,
,,
,
. ,
,
015 1
0 015
1350 8 432839
11384 33
8( ) −







=
=
M
M
matematica_financeira_2007.indb 113matematica_financeira_2007.indb 113 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
114
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Quanto João deve depositar ao fi nal de cada mês 
durante 1 ano em um banco que paga 2,4% a.m. de 
juros, para que, no instante do último depósito, tenha 
um montante de R$ 30.000,00?
M
n meses
i a m a m
M R
i
i
n
=
=
= =
=
+( ) −







30000
12
2 4 0 024
1 1
300
, % . , . .
000
1 0 024 1
0 024
30000
1 024 1
0 024
12
12
=
+( ) −







= ( ) −



R
R
,
,
,
,




=
=
=
30000 13 717833
30 000
13 717833
2186 93
R
R
R
. ,
.
,
,
Montante de uma seqüência uniforme de termos antecipados
Podemos representar grafi camente o fl uxo de caixa do montante 
de uma seqüência uniforme de termos antecipados do seguinte 
modo:
Fluxo de caixa
matematica_financeira_2007.indb 114matematica_financeira_2007.indb 114 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
115
Matemática Financeira
Unidade 8
Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma seqüência
uniforme de termos antecipados:
V R R a
V R R
i
i i
V R
i
n i
n
n
n
= + ¬
= +
+( ) −
+( )








= +
+( )
−
−
−
−
.
.
1
1
1
1
1 1
1
1
1 −−
+( )








= +
+( )
+( ) −
+( )
+( )






−
1
1
1
1
1
1
1
1
1i i
V R
i
i
i
i
i
n
n
n
.
.








= +
+( ) − +( )
+( )








=
+( ) + +(
V R
i i
i i
V R
i i i
n
n
n
1
1 1
1
1 1
.
. )) − +( )
+( )








=
+( ) +( ) − +( )
+( )




n
n
n
n
i
i i
V R
i i i
i i
1
1
1 1 1
1
.
.
.




=
+( ) −
+( )








+( )V R
i
i i
i
n
n
1 1
1
1
.
M V i
M R
i
i i
i i
M R
i
n
n
n
n
n
= +( )
=
+( ) −
+( )








+( ) +( )
=
+( )
.
.
.
1
1 1
1
1 1
1 −−







+( )1
1
i
i.
matematica_financeira_2007.indb 115matematica_financeira_2007.indb 115 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
116
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma pessoa aplica no início de cada mês a quantia 
de R$ 1.200,00 durante 6 meses em um fundo que 
paga 1,8% a.m. de juros. Qual a quantia acumulada?
R
n meses
i a m a m
=
=
= =
1200
6
1 8 0 018, % . , .
M R
i
i
i
M
n
=
+( ) −







+( )
=
+( ) −







1 1
1
1200
1 0 018 1
0 018
6
.
,
,
. 11 0 018
1200
1 018 1
0 018
1 018
1200 6 27
6
+( )
= ( ) −







( )
=
,
,
,
. ,
. ,
M
M 66568 1 018
7667 46
. ,
$ ,M R=
2. Um aplicador necessita acumular a quantia de R$ 
68.800,00 nos próximos 6 anos. Se depositar no início 
de todos os meses, a partir de hoje, a quantia de R$ 
600,00, em um fundo que paga uma taxa de 1,2% 
a.m., será que o aplicador acumulará tal valor?
R
n anos meses
i a m a m
M R
i
i
n
=
= =
= =
=
+( ) −






600
6 72
1 2 0 012
1 1
, % . . , .

+( )
=
+( ) −







+( )
=
.
,
,
. ,
,
1
600
1 0 012 1
0 012
1 0 012
600
1 01
72
i
M
M
22 1
0 012
1 012
600 113 371782 1 012
688
72( ) −







( )
=
=
,
. ,
. , . ,
$
M
M R 339 35,
matematica_financeira_2007.indb 116matematica_financeira_2007.indb 116 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
117
Matemática Financeira
Unidade 8
SEÇÃO 5 - Seqüência uniforme diferida
Nesta seção, você estudará a seqüência uniforme diferida. A 
seqüência uniforme diferida é uma seqüência uniforme que 
apresenta períodos de carência (m). No período após a carência 
serão efetuados os pagamentos ou recebimentos.
Podemos representar grafi camente o fl uxo de caixa de uma 
seqüência uniforme diferida do seguinte modo:
Fluxo de caixa
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma seqüência
uniforme diferida:
V R a
V V i
V i R a
V R a
i
m n i
m
m
m
n i
n i
m
= ¬
= +( )
+( ) = ¬
= ¬
+( )
.
.
.
1
1
1
1. Alfredo adquire um carro para ser pago em 10 
prestações mensais e iguais de R$ 6.002,16, com 2 
meses de carência. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., 
qual o valor do carro adquirido por Alfredo?
R
n
m
i a m a m
V R a
i
n i
m
=
=
=
= =
= ¬
+( )
6002 15
10
2
2 5 0 025
1
,
, % . . , . .
matematica_financeira_2007.indb 117matematica_financeira_2007.indb 117 7/2/2007 14:07:217/2/2007 14:07:21
118
Universidade do Sul de Santa Catarina
a ¬ =
1
10 2 5,
++( ) −
+( )
¬ = ( ) −
( )
0 025 1
1 0 025 0 025
1 025 1
1 025
10
10
10 2 5
10
10
,
, . ,
,
,
,a
.. ,
,
, . ,
,
,
,
0 025
8 752064
6002 16 8 752064
1 025
52531 29
1 0506
2
=
=
( )
=
V
V
225
50000 04V R= $ ,
2. Um empréstimo de R$ 45.000,00 será pago em 10 
prestações trimestrais com 2 anos de carência. Calcule 
o valor das prestações sabendo-se que o agente 
fi nanceiro cobra uma taxa de 6,5% a.t.
V
n trimestres
m trimestres
i a t a t
V R a
=
=
=
= =
=
45000
10
8
6 5 0 065, % . , . .
. nn i
mi
a
a
¬
+( )
¬ =
+( ) −
+( )
¬ =
1
1 0 065 1
1 0 065 0 065
1
10 6 5
10
10
10 6 5
,
,
,
, . ,
,0065 1
1 065 0 065
1 877137 1
1 877137 0 065
10
10
10 6 5
( ) −
( )
¬ = − =
, . ,
,
, . ,,a 77 188830,
45000 7 188830
1 0 065
45000 7 188830
1 065
45000
8
8
=
+( )
=
( )
=
R
R
R
. ,
,
. ,
,
. 77 188823
1 654996
45000 1 654996
7 188830
10359 80
,
,
. ,
,
$ ,
R
R R
=
=
matematica_financeira_2007.indb 118matematica_financeira_2007.indb 118 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
119
Matemática Financeira
Unidade 8
SEÇÃO 6 - Seqüência uniforme com parcelas adicionais
Nesta seção, você estudará a seqüência uniforme com parcelas 
adicionais. Esta seqüência uniforme, como o próprio nome diz, 
caracteriza-se por apresentar parcelas adicionais. 
Podemos representar grafi camente o fl uxo de caixa de uma 
seqüência uniforme com parcelas adicionais do seguinte modo:
Fluxo de caixa
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma seqüência
uniforme com parcelas adicionais:
V R a Vn i X= ¬ + ∑. onde VX é o valor atual de cada parcela 
adicional.
1. Uma casa é vendida em 24 prestações mensais 
de R$ 3.500,00 cada, postecipadas, mais 3 
prestações semestrais de R$ 7.000,00 cada, também 
postecipadas. Se a taxa de juros do fi nanciamento é 
de 1,5% a.m., qual o preço da casa?
R
n meses
i am a m
V R a V
a
n i X
n i
=
=
= =
= ¬ +
¬ =
+(
∑
3500
24
1 5 0 015
1 0 015
, % . , .
.
, )) −
+( )
¬ = ( ) −
( )
=
24
24
24
24
1
1 0 015 0 015
1 015 1
1 015 0 015
20
, . ,
,
, . ,
,an i 0030405
matematica_financeira_2007.indb 119matematica_financeira_2007.indb 119 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
120
Universidade do Sul de Santa Catarina
V
V
X
X
∑ =
+( )
+
+( )
+
+( )
=
.
, , ,
7000
1 0 015
7000
1 0 015
7000
1 0 015
7000
6 12 18
11 015
7000
1 015
7000
1 015
7000
1 093443
7000
6 12 18, , ,
,
( )
+
( )
+
( )
= +
∑
VX 11 195618
7000
1 307341
6401 80 5854 71 5354 38 17610 8
, ,
, , , ,
+
= + + =
∑
∑VX 99
V
V R
= +
=
3500 20 020305 17610 89
87717 31
. , ,
$ ,
2. Uma máquina é vendida em 10 prestações 
mensais, sendo 5 prestações iniciais de R$ 5.000,00 
postecipadas e 5 prestações fi nais de R$ 8.000,00. 
Considerando uma taxa de juros de 5% a.m., qual é o 
preço da máquina?
V a a
a
i
i= ¬ + ¬
( )
¬ =
+( ) −
+( )
5000
8000
1 05
1 0 05 1
1 0 05 0
5 5
5 5
5
5 5
5
5
.
.
,
,
, . ,005
1 05 1
1 05 0 05
4 3294775 5
5
5a ¬ = ( ) −
( )
=
,
, . ,
,
V
V R
= +
=
5000 4 329477 8000 4 329477
1 276282
48785 44
. , . ,
,
$ ,
matematica_financeira_2007.indb 120matematica_financeira_2007.indb 120 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
121
Matemática Financeira
Unidade 8
Atividades de auto-avaliação
Leia com atenção o enunciadoe resolva as seguintes atividades, 
considerando as defi nições e as fórmulas apresentadas até esta unidade: 
1) Calcule o valor da prestação mensal de um empréstimo de R$ 6.000,00 
que será amortizado em 12 prestações mensais postecipadas, sabendo 
que o banco cobra uma taxa de juros de 2% a.m.
2) Uma loja vende um automóvel à vista por R$ 16.500,00. Se o 
comprador quiser fazer um fi nanciamento em 36 parcelas mensais e 
iguais onde o 1º pagamento será efetuado no 1º mês após a compra a 
uma taxa de juros de 2,1% a.m., qual o valor da prestação?
matematica_financeira_2007.indb 121matematica_financeira_2007.indb 121 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
122
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Uma mercadoria custa R$ 90.380,71 à vista, podendo ser vendida em 
prestações mensais de R$ 10.500,00 sendo a primeira prestação dada 
como entrada. Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 3,5% a.m., 
qual o número de prestações pagas?
4) Carlos depositou uma certa quantia durante 10 meses de forma 
antecipada a uma taxa de 2,5% a.m., obtendo um montante de R$ 
250.000,00. Quanto depositou mensalmente Carlos?
matematica_financeira_2007.indb 122matematica_financeira_2007.indb 122 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
123
Matemática Financeira
Unidade 8
5) Um produto é vendido à vista por R$ 2.000,00 ou em 10 prestações 
mensais iguais sem entrada, com uma carência de 90 dias após a 
compra. Qual o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros é 
de 6% a.m.?
6) Uma casa é colocada à venda por R$ 60.000,00 ou em 36 prestações 
mensais de R$ 1.600,00 cada uma postecipada mais 3 anuais 
iguais postecipadas de reforço. Sabendo-se que a taxa de juros do 
fi nanciamento é de 2% a.m., qual o valor das prestações anuais?
matematica_financeira_2007.indb 123matematica_financeira_2007.indb 123 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
124
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Pedro deposita no fi nal de cada mês durante 7 meses a quantia de R$ 
4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o 
montante no instante do último depósito?
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu seqüências uniformes, 
postecipadas, antecipadas, diferidas e com parcelas adicionais. 
Você também desenvolveu a habilidade de cálculo, considerando 
cada uma destas seqüências. 
Na próxima unidade você estudará depreciação.
matematica_financeira_2007.indb 124matematica_financeira_2007.indb 124 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
125
Matemática Financeira
Unidade 8
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente as seqüências de 
capitais, utilize as seguintes bibliografi as:
GUERRA, Fernando. Matemática fi nanceira através da 
HP-12C. Florianópolis: UFSC, 1997.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática fi nanceira 
aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
matematica_financeira_2007.indb 125matematica_financeira_2007.indb 125 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
matematica_financeira_2007.indb 126matematica_financeira_2007.indb 126 7/2/2007 14:07:227/2/2007 14:07:22
UNIDADE 9
Depreciação
Objetivos de aprendizagem
 Identifi car o conceito de depreciação.
 Distinguir, analisar e calcular os diversos tipos de 
depreciação.
Seções de estudo
Seção 1 Depreciação
Seção 2 Método de depreciação linear
Seção 3 Método de depreciação a taxa constante
Seção 4 Método de depreciação de Cole
9
matematica_financeira_2007.indb 127matematica_financeira_2007.indb 127 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
128
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Você sabe que alguns objetos por diversas razões sofrem desgaste 
ao longo do tempo. Nesta unidade, você estudará este fenômeno 
e como calculá-lo através de diversos métodos, basicamente o de 
depreciação linear, a taxa constante e o de Cole.
SEÇÃO 1 - Depreciação
O objetivo desta seção é apresentar o conceito de depreciação. 
A depreciação de um bem é a perda de valor motivada pelo 
desgaste, envelhecimento e inovações tecnológicas.
A depreciação pode ser entendida como a diferença entre o preço 
de compra de um bem e o seu valor residual depois de um tempo 
de uso.
Trataremos, nesta unidade, exclusivamente da depreciação 
teórica, tendo em vista que a depreciação real é muito complexa e 
antieconômica. A depreciação teórica é uma estimativa da real.
SEÇÃO 2 - Método de depreciação linear
Você estudará, nesta seção, o método de depreciação linear. O 
método de depreciação linear de um bem é muito simples, pois 
basta dividir a diferença entre o valor de compra e o valor residual 
pela quantidade de anos de sua vida útil.’
Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação linear: 
D V R
nL = −
Onde DL = Valor da depreciação Linear
V = Valor de compra
R = Valor residual
n = Vida útil
matematica_financeira_2007.indb 128matematica_financeira_2007.indb 128 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
129
Matemática Financeira
Unidade 9
1. Calcule o valor da depreciação de um automóvel, 
cujo valor de compra é de R$ 32.000,00, sabendo-se 
que sua vida útil é de 12 anos e valor residual é de R$ 
8.000,00. Faça o plano de depreciação linear.
V
R
n anos
D V R
n
D
D
D
L
L
L
L
=
=
=
= −
= −
=
=
32000
8000
12
32000 8000
12
24000
12
20000
Plano de depreciação
n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 32.000,00
1 2000,00 2.000,00 30.000,00
2 2000,00 4.000,00 28.000,00
3 2000,00 6.000,00 26.000,00
4 2000,00 8.000,00 24.000,00
5 2000,00 10.000,00 22.000,00
6 2000,00 12.000,00 20.000,00
7 2000,00 14.000,00 18.000,00
8 2000,00 16.000,00 16.000,00
9 2000,00 18.000,00 14.000,00
10 2000,00 20.000,00 12.000,00
11 2000,00 22.000,00 10.000,00
12 2000,00 24.000,00 8.000,00
matematica_financeira_2007.indb 129matematica_financeira_2007.indb 129 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
130
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Uma máquina comprada por R$ 168.000,00 após 10 
anos de uso terá um valor residual de R$ 48.000,00. 
Faça o plano de depreciação linear da máquina.
V
R
n anos
D V R
n
D
D
L
L
L
=
=
=
= −
= −
=
168000
48000
10
168000 48000
10
120000
10
DDL =12000
Plano de depreciação
n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 168.000,00
1 12000,00 12.000,00 156.000,00
2 12000,00 24.000,00 144.000,00
3 12000,00 36.000,00 132.000,00
4 12000,00 48.000,00 120.000,00
5 12000,00 60.000,00 108.000,00
6 12000,00 72.000,00 96.000,00
7 12000,00 84.000,00 84.000,00
8 12000,00 96.000,00 72.000,00
9 12000,00 108.000,00 60.000,00
10 12000,00 120.000,00 48.000,00
matematica_financeira_2007.indb 130matematica_financeira_2007.indb 130 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
131
Matemática Financeira
Unidade 9
SEÇÃO 3 - Método da taxa constante
Nesta seção, você estudará o método de taxa constante. O 
método de taxa constante é o método que estabelece uma taxa de 
desconto composto comercial constante para depreciar o valor de 
um bem ao fi nal de cada período (mês, ano, etc.).
Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação pelo método da
taxa constante:
R V i n= −( )1
Onde V = Valor de Compra
 R = Valor Residual
 n = Vida útil
 i = Taxa Constante
1. Elabore um plano de depreciação de um bem pelo 
método da taxa constante, sabendo que o mesmo foi 
adquirido por R$ 35.000,00 com vida útil de 6 anos e 
valor residual de R$ 5.000,00.
R
V
n anos
R V i
i
i
n
=
=
=
= −( )
= −( )
= −
5000
35000
6
1
5000 35000 1
5000
35000
1
6
(( )
−( ) =
− = ( )
− =
= −
6
6
1
6
1 0 14285714
1 0 14285714
1 0 723020031 0
i
i
i
i
,
,
,
,,
, , % . .
72302003
0 27697997 27 697997i a a= =
matematica_financeira_2007.indb 131matematica_financeira_2007.indb 131 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
132
Universidade do Sul de Santa Catarina
Plano de depreciação
n Taxa 
Constante
Valor da 
Depreciação 
Depreciação 
Acumulada Residual
0 35.000,00
1 27,697997% 9.694,30 9.649,30 25.305,70
2 27,697997% 7.009,17 16.703,47 18.296,53
3 27,697997% 5.067,77 21.771,24 13.228,76
4 27,697997% 3.664,10 25.435,34 9.564,66
5 27,697997% 2.649,22 28.084,56 6.915,44
6 27,697997% 1.915,44 30.000,00 5.000,00
2. Um equipamento adquirido por R$ 50.000,00 terá 
um valor residual de R$ 10.000,00 após 5 anos de uso. 
Faça o plano de depreciação deste equipamento pelo 
Método da Taxa Constante.
R
V
n anos
R V i
i
i
n
=
=
=
= −( )
= −( )
−( ) =
−
10000
50000
5
1
10000 50000 1
1 1
5
1
5
5
ii
i
i a a
= 



− =
= =
1
5
1 0 72477966
0 27522034 27 522034
1
5
,
, , % .
matematica_financeira_2007.indb 132matematica_financeira_2007.indb 132 7/2/2007 14:07:237/2/2007 14:07:23
133
Matemática Financeira
Unidade 9
Plano de depreciação
n Taxa 
Constante
Valor da 
Depreciação 
Depreciação 
Acumulada Residual
0 50.000,00
1 27,522034% 13.761,02 13.761,02 36.238,98
2 27,522034% 9.973,70 23.734,72 26.265,28
3 27,522034% 7.228,74 30.963,46 19.036,54
4 27,522034% 5.239,24 36.202,70 13.797,30
5 27,522034% 3.797,30 40.000,00 10.000,00
SEÇÃO 4 - Método de Cole
Nesta seção, você estudará o método de depreciação de Cole. 
Este método é elaborado da seguinte maneira: Divide-se o total 
da depreciação de um bem em frações, onde o numerador deve 
expressar os períodos que faltam para o fi nal de sua vida útil e 
o denominador é a soma dos dígitos que representam cada um 
desses períodos.
Esta é a fórmula para o cálculo de depreciação pelo método de Cole:
V V RD = −
Onde VD = Valor da Depreciação Total
 V = Valor de Compra
 R = Valor Residual
n
n
n
n1 2
1
1 2
1
1 2+ + +
−
+ + + + +.....
,
....
, .....................,
......+ n
 
 
matematica_financeira_2007.indb 133matematica_financeira_2007.indb 133 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
134
Universidade do Sul de Santa Catarina
considerando que estas frações deverão ser multiplicadas pelo
valor da depreciação total.
1. Elabore o plano de depreciação pelo Método de 
Cole de uma máquina adquirida por R$ 125.000,00 
com um valor residual de R$ 55.000,00 após 5 anos de 
vida útil.
V
R
n anos
V V R
V
V
D
D
D
=
=
=
= −
= −
=
125000
55000
5
125000 55000
70000
Plano de depreciação
n Fração Valor da 
Depreciação
Depreciação 
Acumulada Residual
0 125.000,00
1
5
15
23.333,33 23.333,33 101.666,67
2
4
15
18.666,67 42.000,00 83.000,00
3
3
15
14.000,00 56.000,00 69.000,00
4
2
15
9.333,33 65.333,33 59.666,67
5
1
15
4.666,67 70.000,00 55.000,00
matematica_financeira_2007.indb 134matematica_financeira_2007.indb 134 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
135
Matemática Financeira
Unidade 9
2. Um agricultor compra um equipamento de uso rural 
por R$ 100.000,00 e após 6 anos de uso, o preço de 
revenda é estimado em R$ 35.000,00. Elabore o plano 
de depreciação pelo Método de Cole.
V
R
n anos
V V R
V
V
D
D
D
=
=
=
= −
= −
=
100000
35000
6
100000 35000
65000
Plano de depreciação
n Fração Valor da 
Depreciação
Depreciação 
Acumulada Residual
0 100.000,00
1
6
21
18.571,43 18.571,43 81.428,57
2
5
21
15.476,19 34.047,62 65.952,38
3
4
21
12.380,95 46.428,57 53.571,45
4
3
21
9.285,71 55.714,28 44.285,72
5
2
21
6.190,48 61.904,76 38.095,24
6
1
21
3.095,24 65.000,00 35.000,00
matematica_financeira_2007.indb 135matematica_financeira_2007.indb 135 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
136
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, 
considerando as defi nições e as fórmulas apresentadas até esta unidade.
1) Um automóvel que custa R$ 42.000,00 será depreciado em 4 anos pelo 
método de depreciação linear. O valor residual após este período é de 
R$ 22.000,00. Elaborar o plano de depreciação. 
2) Uma máquina no valor de R$ 250.000,00 será depreciada totalmente 
(sem valor residual), em 10 anos, pelo método de depreciação linear. 
Elabore o plano de depreciação.
matematica_financeira_2007.indb 136matematica_financeira_2007.indb 136 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
137
Matemática Financeira
Unidade 9
3) Um equipamento com tecnologia avançada foi adquirido por R$ 
1.250.000,00 e terá um valor residual após 5 anos de uso de R$ 
650.000,00. Elabore o plano de depreciação pelo método da taxa 
constante.
4) Uma máquina adquirida por R$ 50.000,00 terá um valor residual 
de 30% do valor de compra. Sabendo que sua vida útil é de 6 anos, 
elabore o plano de depreciação pelo método da taxa constante.
matematica_financeira_2007.indb 137matematica_financeira_2007.indb 137 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
138
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Uma empresa adquiriu uma máquina para aumentar sua produção por 
R$ 60.000,00, com vida útil de 5 anos e valor residual de 40% do valor 
de compra. Elabore o plano de depreciação pelo método de Cole.
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu a depreciação de um bem e a 
calcular a depreciação utilizando o método de depreciação 
linear, o método de depreciação à taxa constante e o método de 
depreciação de Cole.
Na próxima unidade, você estudará as amortizações de 
empréstimos. 
matematica_financeira_2007.indb 138matematica_financeira_2007.indb 138 7/2/2007 14:07:247/2/2007 14:07:24
139
Matemática Financeira
Unidade 9
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente depreciação, utilize 
as seguintes bibliografi as:
KHUNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert 
Reinoldo. Matemática fi nanceira aplicada e análise de 
investimentos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2001.
FRANCISCO, Walter de. Matemática fi nanceira. 5ª 
ed. São Paulo: Atlas, 1985.
ZEBTGRAF, Walter. Calculadora fi nanceira HP-
12C. São Paulo: Atlas, 1994.
SHINODA, Carlos. Matemática fi nanceira para 
usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
MOTTA, Regis da Rocha. Análise de investimentos: 
tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: 
Atlas, 2002.
matematica_financeira_2007.indb 139matematica_financeira_2007.indb 139 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
matematica_financeira_2007.indb 140matematica_financeira_2007.indb 140 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
UNIDADE 10
Amortização de empréstimos
Objetivos de aprendizagem
 Identifi car o conceito de sistemas de amortização de 
empréstimos.
 Conhecer as diversas notações, fórmulas e planilhas nos 
estudos dos sistemas de amortização de empréstimos.
 Trabalhar com os diversos tipos de amortização de 
empréstimos.
Seções de estudo
Seção 1 Conceito de sistema de amortização de 
empréstimo, notações, fórmulas e planilhas 
utilizadas nos sistemas de amortização de 
empréstimos
Seção 2 Sistema de amortização constante (SAC)
Seção 3 Sistema de amortização francês (price ou 
SAF)
Seção 4 Sistema de amortização americano (SAA)
10
matematica_financeira_2007.indb 141matematica_financeira_2007.indb 141 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
142
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Caro aluno, no cotidiano é fácil observar situações que são 
comuns a um certo número de pessoas, como, por exemplo, 
contrair empréstimo para aquisição da casa própria. Nesta 
unidade, você estudará os diversos sistemas de amortização de 
empréstimos, o sistema de amortização constante, o sistema de 
amortização francês e o sistema de amortização americano.
SEÇÃO 1 - Conceito de sistemas de amortização de 
 empréstimo, notações, fórmulas e 
 planilhas utilizadas nos sistemas de 
 amortização de empréstimos 
Nesta seção, você estudará o conceito de sistemas de amortizaçãode empréstimo, assim como as notações, fórmulas e planilhas 
utilizadas neste sistema.
Sistemas de amortização de empréstimo
Por defi nição, os sistemas de amortização de empréstimos são 
as variadas formas aplicadas pelos credores para receberem o 
principal e os juros do devedor.
Considere as seguintes notações no estudo dos sistemas de
amortização de empréstimo:
St = Saldo devedor no instante t 
St− =1 Saldo devedor no instante anterior a t
i = Taxa de juros 
Rt = Prestação efetivada no instante t
At = Amortização no instante t
Jt = Juros no período que vai de t-1 a t 
matematica_financeira_2007.indb 142matematica_financeira_2007.indb 142 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
143
Matemática Financeira
Unidade 10
P = Principal (valor do empréstimo)
n = número de períodos
Estas são as fórmulas básicas para o estudo de sistemas de
amortização de empréstimo: 
P A A An= + + +1 2 ........
S S J R
A R J
J S i
J R A
S S A
t t t t
t t t
t t
t t t
t t t
= + −
= −
=
= −
= −
−
−
−
1
1
1
.
Este modelo de planilha dispõe os elementos fundamentais 
do sistema de amortização de empréstimo: 
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
Total
matematica_financeira_2007.indb 143matematica_financeira_2007.indb 143 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
144
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Um empréstimo de R$ 30.000,00 será amortizado 
trimestralmente da seguinte maneira: 
A A A A1 2 3 45000 7000 8000 10000= = = =, , , 
Os juros serão também pagos trimestralmente a uma 
taxa de 8,3%a.t. Construa a planilha do empréstimo.
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 - - - 30000
1 5000,00 2490,00 7490,00 25000
2 7000,00 2075,00 9075,00 18000
3 8000,00 1494,00 9494,00 10000
4 10000,00 830,00 10830,00 -
Total 30000,00 6889,00 36889,00 -
SEÇÃO 2 - Sistema de amortização constante (SAC)
Nesta seção, você estudará o sistema de amortização constante 
(SAC). O sistema de amortização constante apresenta as 
seguintes características:
É o empréstimo em que o principal é amortizado com 
parcelas constantes (iguais) que se obtém dividindo-se o 
valor do principal pelo número de prestações.
As prestações e os juros são decrescentes.
matematica_financeira_2007.indb 144matematica_financeira_2007.indb 144 7/2/2007 14:07:257/2/2007 14:07:25
145
Matemática Financeira
Unidade 10
Estas são as fórmulas utilizadas no sistema de amortização
constante (SAC):
A A A A A P
n
R A J A P i
R A J A P A
n= = = = = =
= + = +
= + = + −( )
1 2 3
1 1
2 2
............
.
. ii A P i A i
R A P n A i A P i n A in
= + −
= + − −( )  = + − −( )
. .
.
.
.
. . . .1 1
1. Um banco empresta R$ 50.000,00 a um cliente que 
deverá ser pago em 10 parcelas mensais pelo sistema 
de amortização constante (SAC) a uma taxa de 3,5% 
a.m., Faça a planilha de empréstimo.
P
n
A P
n
A
=
=
=
= =
50000
10
50000
10
5000
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 50.000,00
1 5.000,00 1750,00 6.750,00 45.000,00
2 5.000,00 1575,00 6.575,00 40.000,00
3 5.000,00 1400,00 6.400,00 35.000,00
4 5.000,00 1225,00 6.225,00 30.000,00
5 5.000,00 1050,00 6.050,00 25.000,00
6 5.000,00 875,00 5.875,00 20.000,00
7 5.000,00 700,00 5.700,00 15.000,00
8 5.000,00 525,00 5.525,00 10.000,00
9 5.000,00 350,00 5.350,00 5.000,00
10 5.000,00 175,00 5.175,00 -
Total 50.000,00 9.625,00 59.625,00 -
matematica_financeira_2007.indb 145matematica_financeira_2007.indb 145 7/2/2007 14:07:267/2/2007 14:07:26
146
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Um banco empresta para uma empresa R$ 
150.000,00 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas 
anuais, com uma carência de 2 anos (a 1ª prestação 
será paga no início do 3ª ano) a uma taxa de 15% a.a. 
Os juros serão capitalizados durante a carência. Faça a 
planilha do empréstimo.
C
i a a a a
n
m
P C i
P
m
=
= =
=
=
= +( )
= +( ) =
150000
15 0 15
6
2
1
150000 1 0 15 12
% . , .
, 998375 00
198375
6
33062 50
,
,
A P
n
A
=
= =
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
tJt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 - - - 150.000,00
1 - - - 172.500,00
2 - - - 198.375,00
3 33.062,50 29.756,25 62.818,75 165.312,50
4 33.062,50 24.796,87 57.859,37 132.250,00
5 33.062,50 19.837,50 52.900,00 99.187,50
6 33.062,50 14.878,12 47.940,62 66.125,00
7 33.062,50 9.918,75 42.981,25 33.062,50
8 33.062,50 4.959,37 38.021,87 -
Total 198.375,00 104.146,86 302.521,86 -
matematica_financeira_2007.indb 146matematica_financeira_2007.indb 146 7/2/2007 14:07:267/2/2007 14:07:26
147
Matemática Financeira
Unidade 10
SEÇÃO 3 - Sistema de amortização francês ou tabela 
 price
Nesta seção, você estudará o sistema de amortização de 
empréstimo francês ou tabela price. O sistema de amortização 
francês (SAF) apresenta as seguintes características:
O principal mais os juros são devolvidos em prestações 
constantes e consecutivas ao fi nal de cada período. 
As amortizações constituem uma seqüência crescente em 
P. G. e os juros uma seqüência decrescente.
Atenção!
A taxa de juros deve estar na mesma unidade do 
período de capitalização.
Quando o período da taxa não coincide com 
o período de capitalização, usamos a Taxa por 
período de capitalização (Taxa efetiva).
O saldo devedor em um determinado instante é 
igual ao valor atual das prestações a vencer.
Esta é a fórmula utilizada no sistema de amortização francês
ou tabela price
P = Principal
R = Prestação
P R an i= ¬. 
onde: a
i
i in i
n
n¬ =
+( ) −
+( )
1 1
1 .
 
matematica_financeira_2007.indb 147matematica_financeira_2007.indb 147 7/2/2007 14:07:267/2/2007 14:07:26
148
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma instituição fi nanceira libera um empréstimo 
para uma indústria no valor de R$ 600.000,00 para 
ser pago pelo sistema de amortização francês em 120 
meses a uma taxa de 1,5% a.m. Faça a planilha até o 4º 
mês e calcule o saldo devedor no 100º mês.
P
n
i a m a m
P R a
a
n i
=
=
= =
= ¬
¬ =
+( )
600000
120
1 5 0 015
1 0 015
120 1 5
1
, % . , .
.
,
,
220
120
120 1 5
120
120
1
1 0 015 0 015
1 015 1
1 015 0 0
−
+( )
¬ = ( ) −
( )
, . ,
,
, . ,
,a
115
55 498454
1 0 015 1
1 0 015 0 015
20 1 5
20
20
20 1 5
=
¬ =
+( ) −
+( )
¬
,
,
, . ,
,
,
a
a == ( ) −
( )
=
1 015 1
1 015 0 015
17 168639
20
20
,
, . ,
,
V R a
R
R
n i= ¬
=
= =
.
. ,
,
,
600000 55 498454
600000
55 498454
10811 11
S
S R
100
100
10811 11 17 168639
185612 04
=
=
, . ,
$ ,
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 - - 600.000,00
1 1.811,11 9.000,00 10.811,11 598.188,89
2 1.838,28 8.972,83 10.811,11 596.350,61
3 1.865,85 8.945,26 10.811,11 594.484,76
4 1.893,84 8.917,27 10.811,11 592.590,92
matematica_financeira_2007.indb 148matematica_financeira_2007.indb 148 7/2/2007 14:07:267/2/2007 14:07:26
149
Matemática Financeira
Unidade 10
2. Um banco empresta R$ 200.000,00 para uma 
empresa, cuja devolução deverá ser feita em 12 
prestações trimestrais pela tabela price. A taxa de 
juros cobrada é de 16% a.a. Ache o saldo devedor 
após pagar a 5ª prestação.
P
n
i a t a t
a
=
=
= = =
¬ =
+( ) −
+( )
200000
12
16
4
4 0 04
1 0 04 1
1 0 04
12 4
12
% % . , .
,
, 112
12 4
12
12
0 04
1 04 1
1 04 0 04
9 385074
200000
9 38
. ,
,
, . ,
,
,
a
R
¬ = ( ) −
( )
=
=
55074
21310 43= ,
S R a
a
a
5 7 4
7 4
7
7
7 4
7
1 0 04 1
1 0 04 0 04
1 04 1
1 04
= ¬
¬ =
+( ) −
+( )
¬ ( ) −
( )
.
,
, . ,
,
, 77
5
0 04
6 002055
21310 43 6 002055 127906 37
. ,
,
, . , $ ,
=
= =S R
matematica_financeira_2007.indb 149matematica_financeira_2007.indb 149 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
150
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 4 - Sistema de amortização americano (SAA)
Nesta seção, você estudará o sistema de amortização americano 
(SAA). Osistema de amortização americano apresenta as 
seguintes características:
O principal do empréstimo é pago de uma só vez. 
Os juros podem ser pagos periodicamente ou serem 
capitalizados e pagos no fi nal do vencimento do 
empréstimo.
1. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago 
após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo 
sistema de amortização americano. Os juros serão 
capitalizados. Observe a planilha.
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 - - - 350.000,00
1 - - - 402.500,00
2 - - - 462.875,00
3 - - - 532.306,25
4 612.152,19 - 612.152,19 -
Total 612.152,19 - 612.152,19 -
2. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago 
após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo 
sistema de amortização americano. Os juros serão 
pagos no fi nal de cada ano. Observe a planilha.
Período
n( )
Amortização
At( )
Juros
Jt( )
Prestações
Rt( )
Saldo Devedor
St( )
0 - - - 350.000,00
1 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00
2 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00
3 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00
4 350.000,00 52.500,00 402.500,00 -
Total 350.000,00 210.000,00 560.000,00 -
matematica_financeira_2007.indb 150matematica_financeira_2007.indb 150 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
151
Matemática Financeira
Unidade 10
Atividades de auto-avaliação
A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades 
programadas para a sua auto-avaliação.
1) Um cliente solicita a um banco um empréstimo de R$ 40.000,00 pelo 
sistema de amortização francês em 60 prestações mensais. Sabendo-se 
que o banco cobra uma taxa de juros de 2,8% a.m., obtenha o valor da 
prestação e o saldo devedor depois de pagar a 20ª prestação.
2) Um empréstimo de R$ 20.000,00 deverá ser pago em 5 prestações 
bimestrais pelo sistema de amortização constante com juros de 8% a.b. 
Elaborar o plano de amortização do empréstimo (planilha).
matematica_financeira_2007.indb 151matematica_financeira_2007.indb 151 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
152
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Um empréstimo de R$ 250.000,00 vai ser amortizado em 5 prestações 
anuais pelo SAC com uma taxa de juros de 8,5% a.a. com carência de 2 
anos. Os juros serão pagos durante a carência. Faça a planilha.
matematica_financeira_2007.indb 152matematica_financeira_2007.indb 152 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
153
Matemática Financeira
Unidade 10
4) Um empréstimo de R$ 300.000,00 será saldado em 50 prestações 
mensais a uma taxa de 1,5% a.m. Determine a parcela de juros relativa a 
15ª prestação pelo sistema de amortização francês (price).
5) Um valor de R$ 500.000,00 é fi nanciado a um cliente de um banco 
que cobra uma taxa de 7,5% a.a. para ser amortizado pelo sistema 
americano com 4 anos de carência. Sabendo-se que os juros são 
pagos anualmente, construa a planilha. de compra. Elabore o plano de 
depreciação pelo método de Cole.
matematica_financeira_2007.indb 153matematica_financeira_2007.indb 153 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
154
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o conceito de sistema de 
amortização de empréstimos. Especifi camente, você aprendeu 
o sistema de amortização constante, o sistema de amortização 
francês e o sistema de amortização americano.
Na próxima unidade, você estudará infl ação e correção 
monetária. 
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente os sistemas de 
amortização de empréstimos, utilize as seguintes bibliografi as:
GUERRA, Fernando. Matemática fi nanceira através 
da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
matematica_financeira_2007.indb 154matematica_financeira_2007.indb 154 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
155
Matemática Financeira
Unidade 10
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
matematica_financeira_2007.indb 155matematica_financeira_2007.indb 155 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
matematica_financeira_2007.indb 156matematica_financeira_2007.indb 156 7/2/2007 14:07:277/2/2007 14:07:27
UNIDADE 11
Infl ação e correção monetária
Objetivos de aprendizagem
 Distinguir os conceitos de infl ação e correção monetária.
 Determinar índice de preços, variação percentual de 
preços (taxa de infl ação) e taxa de desvalorização da 
moeda.
 Determinar a taxa de infl ação acumulada, aparente e 
real.
 Corrigir valores monetários.
Seções de estudo
Seção 1 Conceito de infl ação, índice de preços e 
variação percentual de preços
Seção 2 Taxa de desvalorização da moeda
Seção 3 Taxa acumulada de infl ação
Seção 4 Taxa aparente e taxa real
Seção 5 Correção monetária
11
matematica_financeira_2007.indb 157matematica_financeira_2007.indb 157 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
158
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Você sabe que quando o preço das mercadorias sobe num curto 
período de tempo, ocorre uma perda de poder aquisitivo do seu 
dinheiro. Nesta unidade, estudaremos esta relação em função da 
perspectiva da infl ação. Você estudará o conceito de infl ação, os 
índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de 
desvalorização da moeda, a taxa acumulada de infl ação, as taxas 
aparente e real de juros além de correção monetária.
SEÇÃO 1 - Conceito de infl ação, índice de preços e 
 variação percentual de preços (taxa de 
 infl ação) 
Nesta seção, você estudará o conceito de infl ação, o índice de 
preços e variação percentual de preços (taxa de infl ação).
Infl ação
A infl ação é um fenômeno que atinge a maioria das economias 
mundiais. Ela é caracterizada por alta persistente e generalizada 
dos preços de bens de consumo, capitais, produção, insumos e 
mão-de-obra. 
A infl ação é calculada em diversos índices de preços em um 
período. 
Esta é a fórmula para o cálculo do índice de preços em um período
P(0,t) =
P
p
t
0
Os índices de preços mais conhecidos no Brasil são o IPA, o 
IPCA, o INPC e o IGPM.
matematica_financeira_2007.indb 158matematica_financeira_2007.indb 158 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
159
Matemática Financeira
Unidade 11
Esta é a fórmula para o cálculo da variação percentual de preços
(taxa de infl ação):
J P
P
t= −
0
1
1. Em 01/06/2004, o preço de um produto era de R$ 
5,50. Em 10/07/2004, o preço do mesmo era de R$ 
6,20. Qual a taxa de infl ação do período?
P
P
J P
P
J
J
J
t
t
=
=
= −
= −
= −
= =
6 20
5 50
1
6 20
5 50
1
1 127273 1
0 127273 1
0
0
,
,
,
,
,
, 22 73, % .a p
SEÇÃO 2 - Taxa de desvalorização monetária
Nesta seção, você estudará a taxa de desvalorização monetária. 
A taxa de desvalorização da moeda mede a perda do poder de 
compra da moeda causada pela infl ação.
Dado que 
TDM = Taxa de desvalorização da Moeda
J = Taxa de infl ação do período
Esta é a fórmula para o cálculo da taxa de desvalorização monetária:
TDM J
J
=
+1
matematica_financeira_2007.indb 159matematica_financeira_2007.indb 159 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
160
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Se a taxa de infl ação for de 6,5% num período. Qual 
a taxa de desvalorização monetária correspondente?
J a p a p= =6 5 0 065, % . , . .
TDM J
J
TDM
TDM a p
=
+
=
+
= = =
1
0 065
1 0 065
0 065
1 065
0 061 6 1
,
,
,
,
, , % . .
2. Se a taxa de infl ação num dado período for de 
30%. Qual a queda do poder de compra ao fi nal do 
período?
J a p
TDM J
J
TDM
TDM
= =
=
+
=
+
= = =
30 0 30
1
0 30
1 0 30
0 30
1 300 230769 2
% . ,
,
,
,
,
, 33 08, % .a p
SEÇÃO 3 - Taxa acumulada de infl ação
Nesta seção, você estudará a taxa acumulada de infl ação. 
Esta é a fórmula para o cálculo da taxa acumulada de infl ação:
J J J JAC n= +( ) +( ) ( ) +( ) −1 1 1 11 2 .............
Onde, J
1
, J
2
...J
n
 são as taxas de infl ação por períodos, e, JAC = 
Taxa acumulada de infl ação
matematica_financeira_2007.indb 160matematica_financeira_2007.indb 160 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
161
Matemática Financeira
Unidade 11
1. Em 5 meses consecutivos, o preço de uma 
mercadoria aumentou 1,5%, 1,6%, 2%, 2,1% e 2,2%. 
Qual a taxa acumulada de infl ação do período?
J
J
AC
AC
= +( ) +( ) +( ) +( ) +( ) −
=
1 0 015 1 0 016 1 0 02 1 0 021 1 0 022 1
1 09
, , , , ,
, 77581 1 0 097581 9 76− = =, , % .a p
2. Se em 2 meses consecutivos as taxas de infl ação 
foram respectivamente 2,2% e 2,5%. Qual a taxa de 
infl ação acumulada no bimestre?
J
J a b
AC
AC
= +( ) +( ) −
= − = =
1 0 022 1 0 025 1
1 04755 1 0 04755 4 75
, ,
, , , % .
3. Se a taxa de infl ação acumulada no bimestre é de 
3,5%, e no 1º mês a taxa de infl ação foi de 2,1%, qual a 
taxa de infl ação do 2º mês?
J J J
J
J
AC = +( ) +( ) −
= +( ) +( ) −
+ = +
1 1 1
0 035 1 0 021 1 1
0 035 1 1 021 1
1 2
2
2
, ,
, , (( )
= +( )
+ =
+ =
=
1 035 1 021 1
1 1 035
1 021
1 1 013712
1 01371
2
2
2
2
, ,
,
,
,
,
J
J
J
J 22 1 0 013712 1 37− = =, , %
SEÇÃO 4 - Taxa aparente e taxa real
Nesta seção, você estudará a taxa aparente e a taxa real. A taxa 
aparente é a taxa que incide sobre uma operação fi nanceira em 
termos nominais, incluindo-se assim os efeitos infl acionários. 
A taxa real se refere ao ganho obtido após haver descontado da 
remuneração a infl ação.
Vamos considerar que:
r = Taxa real de juros do período
i = Taxa aparente do período
J = Taxa de infl ação do período
matematica_financeira_2007.indb 161matematica_financeira_2007.indb 161 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
162
Universidade do Sul de Santa Catarina
Sabemos que: 
M C i1 1= +( ) 
M C i J2 = +( )
Assim, esta é a fórmula para o cálculo da taxa aparente e da taxa real: 
r M
M
r
C i
C J
r i
J
r i
J
= −
+ =
+( )
+( )
+ = +
+
= +
+
−
1
2
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1. Um banco em suas aplicações fi nanceiras usa uma 
taxa aparente de 35% a.a. Se a taxa de infl ação for de 
25% a.a., qual o ganho real auferido pelo banco?
i a a a a
J a a a a
r i
J
r
= =
= =
= +
+
−
= +
+
35 0 35
25 0 25
1
1
1
1 0 35
1 0 25
% . , . .
% . . , .
,
,
−−
= −
= −
= =
1
1 35
1 25
1
1 08 1
0 08 8
r
r
r a a
,
,
,
, % . .
matematica_financeira_2007.indb 162matematica_financeira_2007.indb 162 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
163
Matemática Financeira
Unidade 11
2. Durante dois semestres consecutivos, as taxas de 
infl ação foram de 8% e 10%. Se um investidor aplicou 
seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros 
de 18%a.a., qual a sua taxa real de perda?
J a s a s
J a s a s
i a a
JAC
1
2
8 0 08
10 0 10
18
1 0 08 1 0 1
= =
= =
=
= +( ) +
% . , .
% . , .
% .
, , 00 1
1 08 1 10 1
1 1880 1 0 1880
( ) −
= −
= − =
J
J
AC
AC
, . ,
, ,
1 1
1
1 1 0 18
1 0 1880
1 1 18
1 1880
0 993266 1
+ = +
+
+ = +
+
+ =
= −
=
r i
J
r
r
r
r
AC
,
,
,
,
,
−− =0 06734 0 6734, , % de perda no período
SEÇÃO 5 - Correção monetária
Nesta seção, você estudará a correção monetária. A correção 
monetária é o mecanismo utilizado para corrigir o valor da 
moeda corroida pela infl ação.
Dado que
P = Principal
JAC = Taxa de correção acumulada
Vc = Valor corrigido
Decorre que o valor do principal P( ) corrigido monetariamente 
da data zero até a data n é calculado pela seguinte fórmula:
V P P J P J J Jc AC n= + = +( ) +( ) ( ) +( ). . . .......... .1 1 11 2
matematica_financeira_2007.indb 163matematica_financeira_2007.indb 163 7/2/2007 14:07:287/2/2007 14:07:28
164
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser atualizada 
monetariamente por 3 meses com as seguintes taxas 
de correção: 1,8%, 2% e 2,2%. Qual o valor da dívida 
corrigida?
P
J
J
J
VC
=
= =
= =
= =
= +
50000
1 8 0 018
2 0 02
2 2 0 022
50000 1 0 018
1
2
3
, % ,
% ,
, % ,
,(( ) +( ) +( )
=
. , . ,
,
1 0 02 1 0 022
53060 20VC
Atividades de auto-avaliação
Caro aluno, considere as defi nições e as fórmulas apresentadas até esta 
unidade e responda as questões a seguir: 
1) O preço de uma mercadoria no início do mês de abril de um 
determinado ano era de R$ 620,00; a mesma mercadoria no início de 
maio do mesmo ano custava R$ 655,00. Qual a taxa de infl ação do mês?
matematica_financeira_2007.indb 164matematica_financeira_2007.indb 164 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
165
Matemática Financeira
Unidade 11
2) Por três meses consecutivos as taxas de infl ação foram: 0,96%, 1,2% e 
1,4% respectivamente. Qual a taxa de infl ação acumulada no trimestre?
3) Se a taxa de infl ação de um dado período é de 22,3%, qual a queda do 
poder aquisitivo ao fi nal do período?
4) Uma instituição fi nanceira deseja ter um ganho real de 8% a.a. nas suas 
operações de empréstimos. Se a taxa de infl ação prevista para o ano é 
de 25%, qual a taxa aparente usada pela instituição?
matematica_financeira_2007.indb 165matematica_financeira_2007.indb 165 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
166
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Paulo comprou em uma loja mercadorias no valor total de R$ 22.500,00, 
que deveria ser pago um mês após a compra. Por motivos fi nanceiros 
Paulo só efetuou o pagamento três meses depois do vencimento. As 
taxas de correção nos meses de atraso foram respectivamente 0,8%, 
0,9% e 1,2%. Quanto Paulo pagou pela dívida, sem juros?
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o conceito de infl ação, os 
índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de 
desvalorização da moeda, a taxa acumulada de infl ação, as taxas 
aparente e real de juros além de correção monetária.
Na próxima unidade, você aprenderá a usar a calculadora HP-
12C nos problemas econômicos e fi nanceiros. 
matematica_financeira_2007.indb 166matematica_financeira_2007.indb 166 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
167
Matemática Financeira
Unidade 11
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente infl ação e correção 
monetária, utilize as seguintes bibliografi as:
GUERRA, Fernando. Matemática fi nanceira através 
da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de Investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática 
fi nanceira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986.
matematica_financeira_2007.indb 167matematica_financeira_2007.indb 167 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
matematica_financeira_2007.indb 168matematica_financeira_2007.indb 168 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
UNIDADE 12
Operações práticas com o uso 
da calculadora HP-12C
Objetivos de aprendizagem
 Utilizar corretamente as funções da calculadora HP-12C.
 Operar as funções básicas da calculadora HP-12C.
 Resolver os problemas fi nanceiros usando a calculadora 
HP-12C.
Seções de estudo
Seção 1 Estudo da utilização da calculadora HP-12C
Seção 2 Operações básicas utilizando a calculadora 
HP-12C
Seção 3 Resolver problemas fi nanceiros utilizando a 
calculadora HP-12C
12
matematica_financeira_2007.indb 169matematica_financeira_2007.indb 169 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
170
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iníciode conversa 
Caro aluno, nesta unidade, você estudará algumas operações 
práticas de matemática fi nanceira utilizando a calculadora HP-
12C. Você aprenderá o manuseio básico desta calculadora, as 
suas operações básicas assim como a resolução de problemas 
fi nanceiros mais complexos.
SEÇÃO 1 - Estudo da utilização da calculadora HP-12C 
Esta seção trata da utilização da calculadora HP-12C. Realizar 
cálculos fi nanceiros sem uso de uma boa calculadora de qualidade 
é uma tarefa muito complicada. Uma calculadora muito utilizada 
por profi ssionais do mercado fi nanceiro é a HP-12C, tendo em 
vista a facilidade de compreensão na realização de cálculos. A 
seguir, apresentaremos os procedimentos básicos necessários para 
o seu uso:
Para ligar a calculadora, pressione a tecla (ON).
Para apagar o que aparece no visor, pressione a tecla 
(CLX).
Para apagar todos os registros, pressione as teclas ( f ) 
(REG).
Para apagar as memórias fi nanceiras, pressione as teclas
( f ) (FIN).
Para introduzir um número no visor da calculadora, basta 
teclar o número e pressionar a tecla (ENTER).
Para armazenar um número na memória, tecle o número 
desejado e pressione as teclas (STO) e após qualquer 
dígito de “0” a “9” ou “.0” a “.9”.
Para buscar um número na memória, tecle (RCL) e o 
dígito que você usou para armazená-lo.
Para fi xar a quantidade de casas decimais, tecle ( f ) e o 
dígito que vai representar o número de casas decimais 
desejada.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
matematica_financeira_2007.indb 170matematica_financeira_2007.indb 170 7/2/2007 14:07:297/2/2007 14:07:29
171
Matemática Financeira
Unidade 12
 Para trocar no visor o ponto pela vírgula, deve-se 
desligar a calculadora e pressionar a tecla (.) juntamente 
com a tecla (ON) e soltar primeiramente a tecla (ON).
 Para calcularmos o número de dias entre duas datas, 
limpe o visor da calculadora e digite a data inicial 
da seguinte maneira: dia mês e ano ( g ) (DMY) 
(ENTER) e digite a data fi nal: dia mês e ano e use as 
teclas ( g ) ( ∆ DYS ).
1. Calcule o número de dias entre as datas: 03/01/2004 
e 23/08/2004.
(f) (Reg) 
03.012004 ( g ) (DMY) (ENTER)
23.082004 ( g ) ( ∆ DYS ) --> 233 dias
SEÇÃO 2 - Operações básicas utilizando a calculadora 
 HP-12C
Nesta seção, você estudará algumas funções básicas da 
calculadora HP-12C, como operações aritméticas, o cálculo 
da potência, o cálculo do inverso de um número, o cálculo da 
raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural e o cálculo da 
porcentagem.
Operações aritméticas
Para efetuar as operações aritméticas simples, introduza o 
primeiro número e pressione a tecla (ENTER), introduza o 
segundo número e a operação a ser realizada. Os números 
deverão ser introduzidos obedecendo às regras das operações 
aritméticas.
9.
10.
matematica_financeira_2007.indb 171matematica_financeira_2007.indb 171 7/2/2007 14:07:307/2/2007 14:07:30
172
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Calcule:
a) 80 X 5
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 80 (ENTER) 5 ( X ) 400 Produto
b) 16 – 18 6
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 16 (ENTER) 18( CHS ) 
(ENTER) 6 ( ) ( + ) 13 Apresenta o 
Resultado Final
Cálculo da potência
Para elevarmos um número a um expoente qualquer , basta 
pressionar as teclas: ( f ) (REG) ( Y ) (ENTER) ( X ) e Y X .
1. Calcule:
a) 36
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 3 (ENTER) 6 (Y X ) 729 Potência
b) 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 1(ENTER) 3 ( ) (ENTER) 5 Y X 0,004115 Potência
Cálculo do inverso de um número
Para calcular o inverso de um número basta introduzir um 
número X e pressionar a tecla 1
X
 .
matematica_financeira_2007.indb 172matematica_financeira_2007.indb 172 7/2/2007 14:07:307/2/2007 14:07:30
173
Matemática Financeira
Unidade 12
1. Calcule o inverso de 12:
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 12 [ 1
X ] 0,083333 Inverso
Cálculo da raiz quadrada
Para calcular a raiz quadrada, utilizando a calculadora HP-12C, 
basta introduzir um número X > 0 e pressionar as teclas: ( g )
( X ).
1. Calcule a raiz quadrada de 16.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 16 ( g ) X 4 Raiz quadrada
Atenção!
Quando queremos calcular raiz cúbica, raiz quarta, 
etc. de um número X, usamos o procedimento da 
potenciação.
1. Calcule a raiz cúbica de 27.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 27 (ENTER) 3 ( 1
X ) (Y X ) 3 Raiz cúbica
Cálculo do logaritmo natural
Para calcularmos o logaritmo natural de um número X > 0, basta 
introduzir na calculadora HP-12C um número e pressionar as 
teclas: ( g ) ( ln ).
matematica_financeira_2007.indb 173matematica_financeira_2007.indb 173 7/2/2007 14:07:307/2/2007 14:07:30
174
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Calcule o logaritmo natural do número 5.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5 ( g ) ( ln ) 1,609438 Logaritmo natural
Cálculo de porcentagem
Para calcularmos a porcentagem de um número, basta digitar 
o número X e pressionar a tecla (ENTER) na calculadora, 
introduzir a porcentagem e pressionar ( % ).
1. Calcule 25% de 200.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 200 (ENTER) 25 ( % ) 50 Valor da Porcentagem
2. Se uma mercadoria é vendida por R$1.800,00 para 
pagamento em 30 dias. Qual o valor à vista se a loja 
oferece um desconto de 12 %?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 1800 (ENTER) 12 ( % )( - ) 216 1584
SEÇÃO 3 - Resolver problemas fi nanceiros utilizando a 
 calculadora HP-12C
Nesta seção, você estudará como calcular, utilizando a 
calculadora HP-12C, o regime de capitalização simples, o regime 
de capitalização composta, assim como as seqüências uniformes 
de termos postecipados e antecipados.
matematica_financeira_2007.indb 174matematica_financeira_2007.indb 174 7/2/2007 14:07:307/2/2007 14:07:30
175
Matemática Financeira
Unidade 12
Considere estas teclas da calculadora HP-12C como essenciais para a
resolução de problemas fi nanceiros
n = prazo
i = taxa de juros por período de capitalização
PV = valor presente (capital inicial)
PMT = valor da prestação da série uniforme
FV = valor futuro (montante)
Regime de capitalização simples
Para calcular os juros simples na HP-12C, execute procedimentos 
análogos aos exemplos seguintes. Lembre-se: a taxa deve ser 
anual e o prazo em dias.
1. Calcule os juros simples e o montante de um capital 
de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa de 15% a.a. 
durante 210 dias.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital
210 ( n ) 210 Prazo
15 ( i ) 15 Taxa
( f ) ( INT ) 218,75 Juros
+ 2718,75 Montante
2. Calcule os juros simples exatos e o montante de 
um capital de R$ 2.500,00 aplicado durante 210 dias a 
uma taxa de 15% a.a.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital
210 ( n ) 210 Prazo
15 ( i ) 15 Taxa
( f ) ( INT ) (R ↓ ) ( X Y ) 215,75 Juros
+ 2715,75 Montante
matematica_financeira_2007.indb 175matematica_financeira_2007.indb 175 7/2/2007 14:07:317/2/2007 14:07:31
176
Universidade do Sul de Santa Catarina
Regime de capitalização composta
No regime de capitalização composta, usamos as teclas brancas. 
Para calcular o regime de capitalização composta utilizando 
a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos 
exemplos seguintes.
1. Qual o montante obtido pela aplicação de um 
capital de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos 
de 2,5% a.m. durante 6 meses?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5000 ( CHS ) ( PV ) -5000 Capital
6 ( n ) 6 Prazo
2,5 ( i ) 2,5 Taxa
( F V ) 5798,47 Montante
2. Calcule os juros de um empréstimo de R$ 
100.000,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros 
compostos de 4,5% a.m.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 100000 ( CHS ) ( PV ) -100000 Capital
8 ( n ) 8 Prazo
4,5 ( i ) 4,5 Taxa
( F V ) 142210,06 Montante
(RCL) (PV) ( + ) 42210,06 Juros
3. Se um capital de R$ 130.000,00 foi aplicado a 
juros compostos em um fundo que rende 1,8% 
a.m. e sabendo-se que o valor de resgate foi de R$ 
144.687,17,Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 193
Sumário
matematica_financeira_2007.indb 7matematica_financeira_2007.indb 7 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
matematica_financeira_2007.indb 8matematica_financeira_2007.indb 8 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
Palavras do professor
Caro aluno (a),
Gostaria de parabenizá-lo(a) pela sua escolha em fazer 
este curso. Certamente você terá condições de aprender 
tudo o que for necessário para o melhor aprimoramento 
em sua vida profi ssional.
A disciplina Matemática Financeira, na modalidade 
a distância, foi desenvolvida especialmente para você, 
levando em consideração os aspectos particulares da 
formação a distância. 
O material didático apresenta aspectos teóricos e cálculos 
fi nanceiros dentre os quais destacamos: regimes de 
capitalização, descontos, depreciação, infl ação e correção 
monetária e as diversas modalidades de empréstimos que 
são ferramentas fundamentais na gestão fi nanceira de 
qualquer empresa ou pessoa.
Quanto ao seu rendimento e produtividade, sugerimos 
que antes de iniciar seus estudos, elabore um cronograma 
pessoal para que não se perca no tempo que irá despender 
com esta matéria.
Lembramos que você não está sozinho nesta caminhada, 
pois estaremos sempre à disposição para ajudá-lo.
Desejamos êxito na disciplina.
Bom estudo! 
Professor Maurici José Dutra
matematica_financeira_2007.indb 9matematica_financeira_2007.indb 9 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
matematica_financeira_2007.indb 10matematica_financeira_2007.indb 10 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo/a no 
desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará 
elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e 
sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudo. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam. Assim, a construção de competências 
se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
o livro didático; 
o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - 
EVA; 
as atividades de avaliação (complementares, a 
distância e presenciais). 
Ementa
Juros. Descontos. Equivalência de capitais. Empréstimos. 
Sistemas de dívidas. Equivalência de fl uxo de caixa. 
Carga horária
60 horas – 4 créditos
Objetivos da disciplina
Desenvolver os conceitos fundamentais e práticos da 
Matemática Financeira, fornecendo aos alunos um 
embasamento que servirá como pré-requisito para as 
futuras disciplinas nesta área.
matematica_financeira_2007.indb 11matematica_financeira_2007.indb 11 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade defi nem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de 
habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste 
sentido, veja as unidades que compõem o Livro Didático desta 
disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. 
Agenda de atividades/ Cronograma 
Verifi que com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da 
realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação 
com os seus colegas e tutor. 
Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas 
ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias 
Avaliação a Distância 1
Avaliação Presencial
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
matematica_financeira_2007.indb 12matematica_financeira_2007.indb 12 7/2/2007 14:06:337/2/2007 14:06:33
13
Matemática Financeira
matematica_financeira_2007.indb 13matematica_financeira_2007.indb 13 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
14
matematica_financeira_2007.indb 14matematica_financeira_2007.indb 14 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
UNIDADE 1
Fundamentos de matemática 
fi nanceira
Objetivos de aprendizagem
 Compreender os conceitos fundamentais de matemática 
fi nanceira.
 Classifi car e identifi car os regimes de capitalização.
Seções de estudo
Seção 1 O que é porcentagem?
Seção 2 Regimes de formação dos juros
Seção 3 Fluxo de caixa
1
matematica_financeira_2007.indb 15matematica_financeira_2007.indb 15 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática fi nanceira, 
é necessário que você fi que familiarizado com o signifi cado 
de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da 
mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos 
relativos aos fundamentos da matemática fi nanceira, tais como 
porcentagem, regime de capitalização e fl uxo de caixa, bem como 
realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - O que é porcentagem?
Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também 
conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática 
fi nanceira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros. 
Porcentagem (percentagem)
A expressão por cento é usada para indicar uma fração cujo 
denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das 
razões centesimais, muito usada no meio econômico fi nanceiro, é 
substituir o denominador 100 pelo símbolo %.
1. 
30
100
30= % (Trinta por cento).
2. 
5
100
5= % (Cinco por cento).
3. Transformação da forma porcentual para a forma 
unitária.
matematica_financeira_2007.indb 16matematica_financeira_2007.indb 16 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
17
Matemática Financeira
Unidade 1
Forma porcentual Transformação Forma unitária
30%
30
100 0,30
5%
5
100 0,05
12,2%
122
100 0,122
Como se calcula a porcentagem de uma quantia?
Quando estamos resolvendo um problema que envolva 
porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de 
proporção.
1. Qual é o valor de 35% de 70?
35
100 70
35 70
100
24 5
=
= =
x
x . ,
(Aqui usando a forma porcentual)
2. Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à 
quantia de R$ 40,00?
160
40
1
40
160
0 25 25
=
= = =
x
x , %
(Agora usando a forma
 unitária)
3. Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos 
são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos 
são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais 
escrevendo a proporção)
x
x meninos
=
=
0 65 1600
1040
, .
matematica_financeira_2007.indb 17matematica_financeira_2007.indb 17 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Termos importantes usados na matemática fi nanceira
Observe estes termos próprios da matemática fi nanceira, abaixo, 
e a utilização destes, na seqüência.
Capital (C) Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma 
determinada data.
Juros (J) Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo 
de tempo.
Prazo (n) Número de períodos que compõem o intervalo de tempo 
utilizado.
Montante (M) Soma do capital aplicado mais os juros. M C J= +
Taxa de juros (i)
É o coefi ciente resultante da razão entre o juro e o capital. A 
cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.
i J
C
=
Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em 
uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a 
taxa de juros do período?
J
C
n meses
i a p ou a b
=
=
=
= = =
4500
60000
2
4 500
60 000
0 075 7 5 7 5.
.
, , % . . , % . ..
Atenção!
Comparaçõesqual o prazo da aplicação?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 130000 ( CHS ) ( PV ) -130000 Capital
1,8 ( i ) 1,8 Taxa
144687,17 (FV) 144687,17 Montante
( n ) 6 Prazo
matematica_financeira_2007.indb 176matematica_financeira_2007.indb 176 7/2/2007 14:07:317/2/2007 14:07:31
177
Matemática Financeira
Unidade 12
4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 300.000,00 para 
ser paga daqui a 2 anos. A taxa de juros do mercado é 
de 23% a.a. Quanto esta pessoa deverá depositar hoje 
para fazer frente a este compromisso?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 300000 ( CHS ) ( FV ) -300000 Montante
23 ( i ) 23 Taxa
2 ( n ) 2 Prazo
( PV ) 198294,66 Capital
5. Um capital de R$ 250.000,00 é emprestado a uma 
taxa de juros compostos de 16% a.a. pelo prazo de 3 
anos e 8 meses. Qual o montante pelas convenções 
linear e exponencial?
Convenção Linear
(sem a letra c no visor)
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 250000 ( CHS ) ( PV ) -250000 Capital
3,666667 ( n ) 3,666667 Prazo
16 ( i ) 16 Taxa
( FV ) 431847,91 Montante
Convenção Exponencial
(Com a letra c no visor)
Para cálculos pela convenção exponencial na HP-12C é 
necessário introduzir no visor a letra c. Para isto, basta 
pressionar as teclas (STO) (EEX)
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) (STO)(EEX) 0,000000 c Introdução da letra c
250000 (CHS) (PV) -250000 c Capital
3,666667 ( n ) 3,666667 c Prazo
16 ( i ) 16 c Taxa
( FV ) 430810,21 c Montante
matematica_financeira_2007.indb 177matematica_financeira_2007.indb 177 7/2/2007 14:07:317/2/2007 14:07:31
178
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seqüências uniformes
As seqüências uniformes de termos, postecipados e antecipados, 
também podem ser calculadas com a calculadora HP-12C. 
Seqüência uniforme de termos postecipados
Para calcular a seqüência uniforme de termos postecipados 
utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos 
análogos aos exemplos seguintes.
1. Uma loja vende uma mercadoria em 8 prestações 
mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga 
30 dias após a compra. A taxa de juros é de 4,5% a.m. 
Qual o preço da mercadoria à vista?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 300(CHS) (PMT) -300 Prestação
8 ( n ) 8 Prazo
4,5 ( i ) 4,5 Taxa
( PV ) 1978,76 Preço à vista
2. Um correntista deposita ao fi nal de cada mês a 
quantia de R$ 5.000,00. Durante 10 meses, o banco 
remunera com uma taxa de juros compostos de 2,8% 
a.m. Qual o montante ao fi nal do último depósito?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5000 (CHS) (PMT) -5000 Prestação
10 ( n ) 10 Prazo
2,8 ( i ) 2,8 Taxa
( FV ) 56794,24 Montante
matematica_financeira_2007.indb 178matematica_financeira_2007.indb 178 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
179
Matemática Financeira
Unidade 12
3. Um correntista deposita em um fundo durante 
10 meses uma certa quantia. O saldo fi nal é de R$ 
50.000,00. Sabendo que o banco remunera com uma 
taxa de juros compostos 1,8% a.m., pergunta-se: qual 
o depósito mensal do correntista?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 50000 (CHS) (FV) -50000, Montante
10 ( n ) 10 Prazo
1,8 ( i ) 1,8 Taxa
( PMT ) 4608,24 Depósito
Seqüência uniforme de termos antecipados
Nas seqüências uniformes de termos antecipados, use as teclas 
( g ) (BEG), aparecendo no visor a expressão (BEGIN). Para 
calcular a seqüência uniforme de termos antecipados, utilizando a 
calculadora HP-12C, execute procedimento análogo ao exemplo 
seguinte.
1. Uma loja vende uma mercadoria em 5 prestações 
mensais e iguais de R$580,00 sendo a primeira dada 
como entrada. A loja trabalha com uma taxa de juros 
compostos de 1,3% a.m. Qual o preço da mercadoria 
à vista?
Tecla Visor Resultado
 ( g ) (BEG)
0,000000 
(BEGIN)
Introdução da 
palavra BEGIN
( f ) (REG) 580 (CHS) (PMT) -580 Prestação
5 ( n ) 5 Prazo
1,3 ( i ) 1,3 Taxa
( PV ) 2826,52 Preço à Vista
matematica_financeira_2007.indb 179matematica_financeira_2007.indb 179 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
180
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
Leia com atenção as questões propostas e resolva-as utilizando a 
calculadora HP-12C.
1) Resolva as expressões numéricas:
a) 1 10 5 2+ + . 
b) 5 729+
c) 27 2 3 23 + ÷.
d) 3 1
9
2 + 
e) ln ln2 15+ 
matematica_financeira_2007.indb 180matematica_financeira_2007.indb 180 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
181
Matemática Financeira
Unidade 12
2) Calcule 15% de R$ 1.060,00
3) Uma mercadoria é vendida por R$ 18.000,00 para pagamento em 2 
meses. À vista, a loja oferece um desconto de 25%. Qual o preço da 
mercadoria à vista?
4) Qual o número de dias entre as datas: 21/03/2004 e 25/09/2004?
matematica_financeira_2007.indb 181matematica_financeira_2007.indb 181 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
182
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Uma pessoa nasceu no dia 22/03/1972 e faleceu em 25/06/2004, 
quantos dias esta pessoa viveu?
6) Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 25.000,00 
aplicado a uma taxa de 12% a.a. durante 3 meses.
7) Quais os juros simples exatos de uma aplicação de R$ 4.320,00 durante 
830 dias a uma taxa de 30% a.a. 
matematica_financeira_2007.indb 182matematica_financeira_2007.indb 182 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
183
Matemática Financeira
Unidade 12
8) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 22.500,00 a uma taxa de 
juros compostos de 3,2% a.m., durante 25 meses. 
9) Calcule os juros compostos de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 
2 anos e 3 meses a uma taxa de 5% a.t. 
10) Maria aplicou R$ 35.500,00 em um banco que paga uma taxa de juros 
compostos de 26% a.a. durante 20 meses. Determine o montante 
recebido utilizando as convenções linear e exponencial. 
matematica_financeira_2007.indb 183matematica_financeira_2007.indb 183 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
184
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Gustavo emprestou a quantia de R$ 1.545,00 a seu amigo. A taxa 
cobrada pelo empréstimo foi de 25%a.a. e o prazo de 3 anos e 5 
meses. Calcule o valor que Gustavo obteve pelas convenções linear e 
exponencial. 
12) Qual o montante obtido ao efetuarmos 20 depósitos de R$ 1.200,00 
iguais e mensais a uma taxa de 3,1% a.m.? 
13) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 12.000,00, mas a mesma 
pode ser fi nanciada em 6 prestações mensais e iguais de R$ 2.400,00 
cada, sendo a primeira dada como entrada. Qual a taxa mensal de juros 
do fi nanciamento? 
matematica_financeira_2007.indb 184matematica_financeira_2007.indb 184 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
185
Matemática Financeira
Unidade 12
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C 
para resolver os problemas fi nanceiros, tais como operações 
aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um 
número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo 
natural e o cálculo da porcentagem. Você também aprendeu 
como calcular o regime de capitalização simples, o regime de 
capitalização composta, assim como as seqüências uniformes de 
termos postecipados e antecipados – utilizando a calculadora HP-
12C.
Parabéns pelo empenho e comprometimento em sua caminhada!
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente o uso da calculadora 
HP-12C, utilize as seguintes bibliografi as:
GUERRA, Fernando. Matemática fi nanceira através 
da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fi nanceira, 
objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
.SHINODA, Carlos. Matemática fi nanceira para 
usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
ZENTGRAF, Walter. Calculadora fi nanceira HP-12c. 
São Paulo: Atlas. 1994.
matematica_financeira_2007.indb185matematica_financeira_2007.indb 185 7/2/2007 14:07:327/2/2007 14:07:32
matematica_financeira_2007.indb 186matematica_financeira_2007.indb 186 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
Para concluir o estudo
Na disciplina Matemática Financeira, você aprendeu 
conceitos importantes, efetuou cálculos fi nanceiros para 
determinar: juros, capitais, montantes, taxas, prazos e 
descontos nos regimes juros simples e compostos.
Trabalhou com seqüências uniformes e analisou as 
diversas modalidades de empréstimos, usou os diversos 
métodos para depreciar um bem. Entendeu a diferença 
entre Infl ação e Correção Monetária e ainda aprendeu 
a utilizar a calculadora HP-12C como instrumento 
facilitador na resolução dos problemas.
Tenho certeza que você usará os conhecimentos 
adquiridos no seu dia-a-dia e em futuras disciplinas da 
área.
Professor Maurici José Dutra
matematica_financeira_2007.indb 187matematica_financeira_2007.indb 187 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
matematica_financeira_2007.indb 188matematica_financeira_2007.indb 188 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática fi nanceira aplicada. 
São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira. 11ª 
ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
FRANCISCO, Walter De. Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: 
Atlas, 1985.
GUERRA, Fernando. Matemática fi nanceira através da HP-12C. 
Florianópolis: Editora UFSC, 1997.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática 
fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. 
Matemática fi nanceira: aplicada e análise de investimentos. 3ª 
ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática 
fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira, objetiva e 
aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: aplicações à 
análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos. 
São Paulo: Atlas, 2003
SCHINODA, Carlos. Matemática fi nanceira para usuários do 
Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
ZENTGRAF, Walter. Calculadora fi nanceira HP-12C. São Paulo: 
Atlas, 1994
matematica_financeira_2007.indb 189matematica_financeira_2007.indb 189 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
matematica_financeira_2007.indb 190matematica_financeira_2007.indb 190 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
Sobre o professor conteudista
Maurici José Dutra é mestre em Matemática pela 
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É 
graduado em Matemática pela Universidade Federal 
de Santa Catarina (UFSC). É professor aposentado da 
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi 
membro do conselho departamental da Universidade 
Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi coordenador de 
ensino do Departamento de Matemática da Universidade 
Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi professor e 
chefe do Departamento de Matemática da Fundação 
Universitária de Criciúma (FUCRI) de 1973 a 1975. Foi 
professor da Fundação e Sistema Barddal de Ensino de 
2000 a 2004. Atualmente, é professor da Universidade 
do Sul de Santa Catarina (UNISUL). É membro do 
núcleo de estudo em educação Matemática (NEEM). 
Professor-tutor na modalidade de ensino a distância da 
Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL).
matematica_financeira_2007.indb 191matematica_financeira_2007.indb 191 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
matematica_financeira_2007.indb 192matematica_financeira_2007.indb 192 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
Respostas e comentários das 
atividades de auto-avaliação
Após resolver as atividades de auto-avaliação, confi ra as 
respostas, desprezando as possíveis e mínimas diferenças 
causadas pelos arredondamentos das calculadoras.
Unidade 1
1) a) 36%
b) 125%
2) a) 0,12
b) 2,12
3) 17,20% a.s
4) 
Período (n)
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
1 100,00 2.100,00 100,00 2.100,00
2 100,00 2.200,00 105,00 2.205,00
3 100,00 2.300,00 110,25 2.315,25
4 100,00 2.400,00 115,76 2.431,01
5) Ótica do investidor 
matematica_financeira_2007.indb 193matematica_financeira_2007.indb 193 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
194
Universidade do Sul de Santa Catarina
Ótica do investidor
Unidade 2
1) R$ 1.500,00
2) 8 meses
3) R$ 2.240,00
4) 4,605% a.m
5) 
J R
J R
e
C
=
=
$ ,
$ ,
1953 42
1980 56
6) a) 
J R
J R
e
C
=
=
$ ,
$ ,
355 07
360 00
b) 
J R
J R
e
C
=
=
$ ,
$ ,
491 51
498 33
7) R$ 4.860,00
8) 
J R
J R
e
C
=
=
$ ,
$ ,
117 27
118 90
Unidade 3
1) 
d R
V R
b
L
=
=
$ . ,
$ . ,
9 000 00
41 000 00
matematica_financeira_2007.indb 194matematica_financeira_2007.indb 194 7/2/2007 14:07:337/2/2007 14:07:33
195
Matemática Financeira
2) i a mb = 4 5, % . .
3) d Rr = $ ,404 41
4) 
d R
d R
c
r
=
=
$ ,
$ ,
540 00
397 06
5) 3,57% a.m.
Unidade 4
1) R$ 35.242,59
2) R$ 1444,45
3) 10,6682% a.m.
4) 24 meses
5) Convenção Exponencial
M R= $ . ,17 863 38
Convenção Linear
M R= $ . ,17 896 88
 
6) R$ 36.664,19
7) R$ 2.615,55
Unidade 5
1) a) 36,07% a.a.
b) 0,279989 a.a. = 28% a.a.
c) 0,206272 a.a. = 20,63% a.a.
d) 0,2544 a.a. = 25,44% a.a.
2) 0,265319 a.a. = 26,53% a.a.
3) R$ 25.501,57
4) R$ 4.981,41
matematica_financeira_2007.indb 195matematica_financeira_2007.indb 195 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
196
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) a) R$ 124.436,35
b) R$ 125.429,72
Unidade 6
1) R$ 1.815,57
2) R$ 23.630,68
3) 3% a.m.
4) R$ 24.400,00
5) 3,38% a.a.
6) 18,06% a.a.
7) 4,2% a.m
8) 6 meses
Unidade 7
1) R$ 334.734,07
2) O valor da primeira prestação é R$ 945,70 e o da segunda prestação R$ 
472,85.
3) R$ 13.925,73
4) À vista
5) R$ 7.741,20
Unidade 8
1) R$ 567,36
2) R$ 657,78
3) 
n =10
4) R$ 21.770,43
5) R$ 323,64
6) R$ 10.112,33
7) R$ 33.963,44
matematica_financeira_2007.indb 196matematica_financeira_2007.indb 196 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
197
Matemática Financeira
Unidade 9
1) DL = 5000
n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 - - 42.000,00
1 5.000,00 5.000,00 37.000,00
2 5.000,00 10.000,00 32.000,00
3 5.000,00 15.000,00 27.000,00
4 5.000,00 20.000,00 22.000,00
2) DL = 25 000.
n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 - - 250.000,00
1 25.000,00 25.000,00 225.000,00
2 25.000,00 50.000,00 200.000,00
3 25.000,00 75.000,00 175.000,00
4 25.000,00 100.000,00 150.000,00
5 25.000,00 125.000,00 125.000,00
6 25.000,00 150.000,00 100.000,00
7 25.000,00 175.000,00 75.000,00
8 25.000,00 200.000,00 50.000,00
9 25.000,00 225.000,00 25.000,00
10 25.000,00 250.000,00 -
matematica_financeira_2007.indb 197matematica_financeira_2007.indb 197 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
198
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) R V i
i
i a a
n= −( )
= −( )
= =
1
650000 1250000 1
0 12259386 12 259386
5
, , % .
n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 - - - 1.250.000,00
1 12,259386 153.242,32 153.242,32 1.096.757,68
2 12,259386 134.455,76 287.698,08 962.301,92
3 12,259386 117.972,31 405.670,39 844.329,61
4 12,259386 103.509,63 509.180,02 740.819,98
5 12,259386 90.819,98 600.000,00 650.000,00
4) R V i
i
i a a
n= −( )
= −( )
= =
1
15000 50000 1
0 18181118 18 181118
6
, , % . .
n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual
0 - - - 50.000,00
1 18,181118% 9.090,56 9.090,56 40.909,44
2 18,181118% 7.437,79 16.528,35 33.471,65
3 18,181118% 6.085,52 22.613,87 27.386,13
4 18,181118% 4.970,10 27.592,97 22.407,03
5 18,181118% 4.073,85 31.666,82 18.333,18
6 18,181118% 3.333,18 35.000,00 15.000,00
matematica_financeira_2007.indb 198matematica_financeira_2007.indb 198 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
199
Matemática Financeira
5) VD = − =60000 24000 36000
n Fração Valor da DepreciaçãoDepreciação Acumulada Residual
0 - - - 60.000,00
1
5
15
12.000,00 12.000,00 48.000,00
2
4
15
9.600,00 21.600,00 38.400,00
3
3
15
7.200,00 28.800,00 31.200,00
4
2
15
4.800,00 33.600,00 26.400,00
5
1
15
2.400,00 36.000,00 24.000,00
Unidade 10
1) 
R R
S R
=
=
$ ,
$ ,
1383 96
33049 9020
2) 
A = =20000
5
4000
n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 - - - 20.000,00
1 4.000,00 1.600,00 5.600,00 16.000,00
2 4.000,00 1.280,00 5.280,00 12.000,00
3 4.000,00 960,00 4.960,00 8.000,00
4 4.000,00 640,00 4.640,00 4.000,00
5 4.000,00 320,00 4.320,00 -
Total 20.000,00 4.800,00 24.800,00 -
matematica_financeira_2007.indb 199matematica_financeira_2007.indb 199 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
200
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) 
n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 - - - 250.000,00
1 - 21.250,00 21.250,00 250.000,00
2 - 21.250,00 21.250,00 250.000,00
3 50.000,00 21.250,00 71.250,00 200.000,00
4 50.000,00 17.000,000 67.000,00 150.000,00
5 50.000,00 12.750,00 62.750,00 100.000,00
6 50.000,00 8.500,00 58.500,00 50.000,00
7 50.000,00 4.250,00 54.250,00 -
Total 250.000,00 106.250,00 356.250,00 -
4) J R15 3556 40= $ ,
5) 
n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 - - - 500.000,00
1 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00
2 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00
3 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00
4 500.000,00 37.500,00 537.500,00 -
Total 500.000,00 150.000,00 650.000,00 -
Unidade 11
1)
2) 
3) 
matematica_financeira_2007.indb 200matematica_financeira_2007.indb 200 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
201
Matemática Financeira
4) 
i a a= 35% . .
5) 
R$ . ,23 158 73
Unidade 12
1) 
a) 21 = f REG 5 ENTER 2 x 10 + 1 + 
b) 32 = f REG 729 g X 5 + 
c) 6 = f REG 27 ENTER 3 1
X Y X 2 ENTER 3 x 2 +
d) 9,111111 = f REG 3 ENTER 2 Y X 9 1
X + 
e) 3,401197 = f REG 2 g in 15 g in + 
2) R$ 159,00 = f REG 1060 ENTER 15 %
3) R$ 13.500,00 = f REG 18000 ENTER 25 % 
4) 188 dias = f REG g DMY 
21 . 032004 g 
25 . 092004 ENTER 
 
5) 11.783 dias = f REG g DMY 
25 . 062004 ENTER 
22 . 031972 g 
6) R$ 750,00 e R$ 25.750,00 = f REG 25000 ENTER CHS PV 12 i 90 n 
f INT 
7) J Re = $ ,2947 07 = f REG 4320 CHS PV 830 n 30 i f INT R ↓ x y
 
8)R$ 49.450,99 = f REG 22500 CHS PV 3,2 i 25 n FV
9) R$ 5.513,28 = f REG 10000 CHS PV 9 n 5 i FV RCL PV +
matematica_financeira_2007.indb 201matematica_financeira_2007.indb 201 7/2/2007 14:07:347/2/2007 14:07:34
202
Universidade do Sul de Santa Catarina
10) Convenção Linear (Sem a letra c no visor)
M R= $ ,52483 20 = f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 
n FV
Convenção Exponencial (Com a letra c no visor)
M R= $ ,52181 02 = f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 n 
FV
11) Convenção Linear (Sem a letra c no visor)
M R= $ ,3331 91= f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 n FV
Convenção Exponencial (Com a letra c no visor)
M R= $ ,3311 60 = = f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 n 
FV
12) M R= $ ,32574 45 = f REG 1200 CHS PMT 3,1 i 20 n FV
13) i a m= 7 93, % . . = f REG g BEG 12000 CHS PV 2400 PMT 6 
n i
matematica_financeira_2007.indb 202matematica_financeira_2007.indb 202 7/2/2007 14:07:357/2/2007 14:07:35simples de operações aritméticas com 
quantias que estejam em datas diferentes fi cam 
inviáveis, quando estudamos matemática fi nanceira.
matematica_financeira_2007.indb 18matematica_financeira_2007.indb 18 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
19
Matemática Financeira
Unidade 1
SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros
Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se 
aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa 
preestabelecida por período, este capital se transformará em um 
valor chamado montante de acordo com duas convenções:
Regime de juros simples.
Regime de juros compostos.
Regime de juros simples
No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos 
levando sempre em conta somente o capital inicial (principal).
Regime de juros compostos
Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados 
ao capital inicial, formando um novo capital que participará da 
geração de juros no próximo período.
Atenção!
Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o 
regime de juros compostos passa a denominar-se 
regime de capitalização composta.
matematica_financeira_2007.indb 19matematica_financeira_2007.indb 19 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo
Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa 
de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, 
obtemos os seguintes resultados:
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0 - 3.000,00 - 3.000,00
1 360,00 3.360,00 360,00 3.360,00
2 360,00 3.720,00 403,20 3.763,20
3 360,00 4.080,00 451,58 4.214,78
4 360,00 4.440,00 505,77 4.720,56
SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa
Você estudará agora o fl uxo de caixa. O fl uxo de caixa de uma 
operação fi nanceira é representado por um eixo horizontal no 
qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um 
instante inicial (origem).
As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas 
para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são 
representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas 
para baixo.
Modelo Simplifi cado
(+) entrada
0 tempo (n)
(-) saída
matematica_financeira_2007.indb 20matematica_financeira_2007.indb 20 7/2/2007 14:06:347/2/2007 14:06:34
21
Matemática Financeira
Unidade 1
Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade 
bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. 
Apresente o fl uxo de caixa na visão do aplicador e do 
captador.
Visão do aplicador
33.200
0 6
30.000
Visão do captador
30.000
6
33.200
Atividades de auto-avaliação
Agora que você já estudou toda a unidade 1, realize as atividades de auto-
avaliação propostas.
1) Converta para a forma porcentual:
0,36 - ...................
1,25 - ...................
2) Converta para a forma unitária:
12% - ....................
212% - ..................
matematica_financeira_2007.indb 21matematica_financeira_2007.indb 21 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de 
juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na 
forma porcentual?
4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos 
montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a 
uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta.
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0
1
2
3
4
5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa 
de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o 
fl uxo de caixa na ótica do investidor e do captador.
matematica_financeira_2007.indb 22matematica_financeira_2007.indb 22 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
23
Matemática Financeira
Unidade 1
Síntese
Ao fi nalizar esta unidade, você deve ter compreendido os 
conceitos e regras apresentados, pois serão muito úteis na 
continuação da disciplina.
Você aprendeu alguns fundamentos da matemática fi nanceira, 
como a porcentagem e certos termos importantes como capital, 
juros, prazo, montante e taxa de juros; o regime de formação de 
juros (juros simples e juros compostos); e o fl uxo de caixa e sua 
representação gráfi ca.
Na próxima unidade você estudará mais profundamente cada 
regime de capitalização. Até lá!
matematica_financeira_2007.indb 23matematica_financeira_2007.indb 23 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Para você aprimorar ainda mais seus conhecimentos acerca dos 
temas estudados nesta unidade, consulte os seguintes livros:
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. 
Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
matematica_financeira_2007.indb 24matematica_financeira_2007.indb 24 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
UNIDADE 2
Juros simples
Objetivos de aprendizagem
 Resolver problemas envolvendo juros simples e 
montante.
 Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros 
exatos e comerciais).
 Converter taxas de juros.
 Entender o conceito de valor atual e valor nominal e 
calculá-los.
Seções de estudo
Seção 1 Juros simples
Seção 2 Montante
Seção 3 Taxas proporcionais
Seção 4 Juros simples exatos e comerciais
Seção 5 Valor atual e valor nominal
2
matematica_financeira_2007.indb 25matematica_financeira_2007.indb 25 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Uma vez que você já se habituou aos termos básicos desta 
disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você 
está pronto para aprofundá-los. Nesta unidade, você desenvolverá 
um estudo simplifi cado do regime de juro simples, considerando 
um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, 
montante e valor atual e nominal.
SEÇÃO 1 - Juros simples
Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros 
simples, fi cou estabelecido que: 
O juro é produzido unicamente pelo capital inicial 
(principal).
O juro é igual em todos os períodos (constantes).
Conheça, agora, como se calcula os juros simples.
Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples
matematica_financeira_2007.indb 26matematica_financeira_2007.indb 26 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
27
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição 
bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 
2,4% a.m. Qual o juro auferido?
 
C
i a m
n meses
J C i n
J R
=
= =
=
=
= =
15000
2 4 0 024
10
15000 0 024 10 3
, % , .
. .
. , . $ 6600 00,
2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 
50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?
C
i a t
n anos trimestres
J C i n
J
=
= =
= =
=
=
50000
6 0 06
3 12
50000 0 0
% , . .
. .
. , 66 12 36 000 00. $ . ,= R
3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, 
sabendo-se que o rendimento obtido na operação 
será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato 
é de 2% a.m. durante 2 anos.
C
J
i a m
n anos meses
J C i n
C J
i n
C
=
=
= =
= =
=
=
=
?
% , .
. .
.
,
2400
2 0 02
2 24
2400
0 022 24
5000 00
.
$ ,= R
matematica_financeira_2007.indb 27matematica_financeira_2007.indb 27 7/2/2007 14:06:357/2/2007 14:06:35
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja 
colocada na forma unitária.
A taxa de juros e o número de períodos (n) devem 
estar sempre na mesma unidade de tempo.
Quando a taxa e o prazo estão em unidades de 
tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre 
o prazo.
Nada muda na forma de calcular os juros simples 
quando o períodofor fracionário.
SEÇÃO 2 - Montante
Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é 
montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um 
capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos 
juros.
Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de
juros simples
M C J
como
J C i n
então
M C C i n
M C i n
= +
=
= +
= +( )
:
. .
:
. .
.1
matematica_financeira_2007.indb 28matematica_financeira_2007.indb 28 7/2/2007 14:06:367/2/2007 14:06:36
29
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros 
simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o 
montante adquirido?
C
i a a
n anos
M
M C i n
M
M
=
= =
=
=
= +( )
= +( )
18000
6 0 06
3
1
18000 1 0 06 3
% , . .
?
.
, .
== +( )
= =
18000 1 0 18
18000 1 18 21240 00
,
. , $ ,M R
2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à taxa 
de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 7.000,00. 
Determine o prazo da aplicação.
M
C
i a m
n
M C i n
i n M
C
i n M
C
n
M
C
=
=
= =
=
= +( )
+ =
= −
=
7000
4000
5 0 05
1
1
1
% , . .
?
.
.
.
−−
=
−
= −
= =
1
7000
4000
1
0 05
1 75 1
0 05
0 75
0 05
15
i
n
n
n meses
,
,
,
,
,
matematica_financeira_2007.indb 29matematica_financeira_2007.indb 29 7/2/2007 14:06:367/2/2007 14:06:36
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como podemos resolver este problema por 
outra forma: 
M C J
J M C
J
J C i n
n J
C i
n
n
= +
= −
= − =
=
=
=
=
7000 4000 3000
3000
4000 0 05
30
. .
.
. ,
000
200
15n meses=
SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais
Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais. Você 
sabe quando duas taxas são proporcionais?
Atenção!
Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples 
quando 
i
i
n
n
1
2
1
2
=
1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 
24% a.a.?
i
i a m
m
m
24
1
12
24
12
2
%
% % .
=
= =
Em certas literaturas especializadas 
utiliza-se a nomenclatura taxas 
proporcionais ou equivalentes a 
juros simples. 
matematica_financeira_2007.indb 30matematica_financeira_2007.indb 30 7/2/2007 14:06:367/2/2007 14:06:36
31
Matemática Financeira
Unidade 2
2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 
2% a.m.?
i
i a a
a
a
2
12
1
2 12 24
%
% . % .
=
= =
SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou 
 bancários
Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros 
simples comerciais ou bancários.
Juros simples exatos
Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes 
características:
o prazo é contado em dias.
mês = número real de dias conforme calendário.
ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto).
Você sabe como se deve contar os dias entre 
duas datas?
Para determinarmos o número de dias entre 
duas datas, devemos subtrair o número de dias 
correspondente à data posterior do número de dias 
da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos 
acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando 
o fi nal do mês de fevereiro estiver envolvido no 
prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, 
comentaremos se o ano for bissexto.
matematica_financeira_2007.indb 31matematica_financeira_2007.indb 31 7/2/2007 14:06:367/2/2007 14:06:36
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
matematica_financeira_2007.indb 32matematica_financeira_2007.indb 32 7/2/2007 14:06:367/2/2007 14:06:36
33
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Ache os juros simples exatos auferidos em uma 
aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 
20 de abril de 2003 à 1ª de julho de 2003.
Usando a tabela temos: 
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
n
n
= −
=
182 110
72
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
15000 0 16 72
365
473 42
matematica_financeira_2007.indb 33matematica_financeira_2007.indb 33 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Determine o juro simples exato obtido em uma 
aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 
9% a.a.
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
13300 0 09 146
365
478 80
Juros simples comercial
Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes 
características:
mês = 30 dias. 
ano civil = 360 dias.
Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, 
usaremos os juros comerciais.
1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação de 
R$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% 
a.m?
C
i a m a m
n ano e meses meses
J C i n
J
=
= =
= =
=
=
66000
2 2 0 022
1 2 14
660
, % . , .
. .
000 0 022 14
20328 00
. , .
$ ,J R= 
matematica_financeira_2007.indb 34matematica_financeira_2007.indb 34 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
35
Matemática Financeira
Unidade 2
2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 
3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00?
J
i a m a m
n ano e meses meses
J C i n
C J
i n
C
=
= =
= =
=
=
=
900
3 0 03
1 3 15
9
% . , . .
. .
.
000
0 03 15
2000 00
, .
$ ,C R=
SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual
Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um 
compromisso fi nanceiro.
Valor nominal
O valor nominal (N) (ou de face) é defi nido como o valor do 
compromisso fi nanceirona data de seu vencimento.
Valor atual
O valor atual (V) é defi nido como o valor do compromisso 
fi nanceiro em uma data anterior a de seu vencimento.
Fluxo de caixa
O seguinte gráfi co se refere ao fl uxo de caixa, considerando o 
valor nominal e o valor atual.
matematica_financeira_2007.indb 35matematica_financeira_2007.indb 35 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
N
V 0 n
Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual
no regime de juros simples
N V J
N V V i n
N V i n
= +
= +
= +( )
. .
.1
V N
i n
=
+1 .
1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. 
Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., 
calcule o seu valor atual nas seguintes datas:
a) hoje;
b) 2 meses antes do vencimento;
c) daqui a 3 meses.
a) Hoje
48000
V=? 0
10
V N
i n
V
V R
=
+
=
+
= =
1
48000
1 0 02 10
48000
1 2
40000 00
.
, .
,
$ ,
matematica_financeira_2007.indb 36matematica_financeira_2007.indb 36 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
37
Matemática Financeira
Unidade 2
b) Dois meses antes do vencimento
48000
V=? 8
10
V N
i n
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 2
46153 85
.
, .
$ ,
c) Daqui a 3 meses
48000
V=? 3 10
V N
i n
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 7
42105 26
.
, .
$ ,
2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor 
nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui 
a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de 
rentabilidade do aplicador?
N
V
n meses
=
=
=
18000
16000
6
N V i n
i
i
= +( )
= +( )
+ =
1
18000 16000 1 6
1 6 18
.
.
. 0000
16000
1 6 1 125
6 1 125 1
6 0 125
0 125
6
0 0208 2 08
+ =
= −
=
= = =
i
i
i
i
,
,
,
, , , % aa m.
matematica_financeira_2007.indb 37matematica_financeira_2007.indb 37 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades 
programadas para a sua auto-avaliação.
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 
10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos?
2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado 
a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 
6.728,00?
3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se 
obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. 
durante 24 meses?
matematica_financeira_2007.indb 38matematica_financeira_2007.indb 38 7/2/2007 14:06:377/2/2007 14:06:37
39
Matemática Financeira
Unidade 2
4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em 
regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa 
mensal obtida na aplicação?
5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação fi nanceira 
no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro 
de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e 
comerciais da operação?
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições:
• R$ 6.000,00 aplicados por 180 dias a 12% a.a.
• R$ 5.200,00 aplicados por 230 dias a 15% a.a.
matematica_financeira_2007.indb 39matematica_financeira_2007.indb 39 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição 
bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros 
simples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata?
8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do 
dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de 
juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com 
uma taxa de 16% a.a.?
Síntese
Nesta unidade, você estudou com profundidade os diversos 
tipos de juros simples, os juros simples exatos e comerciais, bem 
como montante, equivalência de taxas além de valor atual e valor 
nominal. 
Você também aprendeu a calcular juros simples, exatos e 
comerciais, e a converter taxas de juros. Você ainda estudou a 
distinção entre valor atual e valor nominal e como calculá-los.
Na unidade seguinte, você estudará os diversos tipos de descontos 
simples. Bom estudo!
matematica_financeira_2007.indb 40matematica_financeira_2007.indb 40 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
41
Matemática Financeira
Unidade 2
Saiba mais
Para você aprofundar-se ainda mais nos temas estudados na 
unidade, consulte as bibliografi as:
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e 
suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.
matematica_financeira_2007.indb 41matematica_financeira_2007.indb 41 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
matematica_financeira_2007.indb 42matematica_financeira_2007.indb 42 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
UNIDADE 3
Descontos simples
Objetivos de aprendizagem
 Compreender o conceito de desconto simples.
 Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples 
(comercial e racional).
 Relacionar os tipos de descontos simples.
 Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros 
simples.
Seções de estudo
Seção 1 Descontos
Seção 2 Relação entre desconto simples racional e 
desconto simples bancário (comercial)
3
matematica_financeira_2007.indb 43matematica_financeira_2007.indb 43 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de 
desconto simples, a relação entre os descontos simples racional 
e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de 
desconto simples e de juros simples.
SEÇÃO 1 - Descontos
Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto 
simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário 
ou comercial (por fora). 
Descontos Simples
Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma 
dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do 
vencimento).
Nas operações fi nanceiras serão utilizados títulos de 
créditos tais como:
Nota promissória
Duplicata
Letra de câmbio
d N V= −
onde: d = Desconto
 N = Valor nominal (no vencimento)
 V = Valor atual (antes do vencimento)
matematica_financeira_2007.indb 44matematica_financeira_2007.indb 44 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
45
Matemática Financeira
Unidade 3
Desconto simples racional (por dentro)
O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro 
simples gerado pelo valor atual.
O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula:
d V i n
como N V i n V N
i n
d N V
d N N
i n
d N
i
r
r
r
r
=
= +( ) =
+
= −
= −
+
= −
+
. .
: .
.
.
1
1
1
1 1
1 ..
. .
.
n
d N i n
i nr






=
+1
1. Qual o valor do desconto racional simples de 
uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 
descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 
30% a.a.?
N
i a a a a
n dias do ano
d N i n
ir
=
= =
= = =
=
+
24000
30 0 3
120 120
360
1
3
1
% . . , .
. .
..
. , .
, .
$ ,
n
d Rr
( )
=
+
=
24000 0 3 1
3
1 0 3 1
3
2181 82
matematica_financeira_2007.indb 45matematica_financeira_2007.indb 45 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um 
banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que 
o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a 
taxa mensal de desconto racional simples utilizada 
pelo banco?
N
V
n meses
N V i n
i n N
V
i n N
V
i
N
V
=
=
=
= +( )
+ = −
= −
=
−
12000
11214 95
2
1
1 1
1
,
.
.
.
11
12000
11214 95
1
2
0 035 3 5
n
i
i am
=
−
= =
,
, , % .
Desconto simples bancário ou comercial (por fora)
O desconto simples bancário ou comercial (d
b
) é o desconto mais 
utilizado pelos bancos na remuneração do capital.
Atenção!
O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro 
simples calculado sobre o valor nominal.
matematica_financeira_2007.indb 46matematica_financeira_2007.indb 46 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
47
Matemática Financeira
Unidade 3
Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário
ou comercial:
d N i nb b= . . 
Onde:
N = valor nominal
b
i = taxa de desconto simples bancário
n = prazo
1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento 
no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco 
em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o 
desconto simples bancário da operação?
N
i a m a m
n dias meses
d N i n
d
c
b b
b
=
= =
= =
=
=
15000
2 5 0 025
85 85
30
1
, % . . , .
. .
55000 0 025 85
30
1062 50
. , .
$ ,d Rb =
E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate:
d N V
V N d N N i n
V N i n
b
b b
b
= −
= − = −
= −( )
. .
.1
matematica_financeira_2007.indb 47matematica_financeira_2007.indb 47 7/2/2007 14:06:387/2/2007 14:06:38
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma empresa descontou um título com valor de 
face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do 
vencimento com uma taxa de desconto bancário 
simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu 
líquido na operação?
V
N
i a m a m
n meses e dias meses
V N
b
=
=
= =
= =
=
?
, % . , . .
,
.
14500
2 4 0 024
3 15 3 5
11
14500 1 0 024 3 5
13282 00
−( )
= −( )
=
i n
V
V R
b .
, . ,
$ ,
A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário
(comercial) é assim representada:
d V i n
d N i n
i n
d N i n
d
d
N i n
i n
N i n
d
d i
r
r
b
r
b
r
b
=
=
+
=
= +
=
+
. .
. .
.
. .
. .
.
. .
1
1
1
1 ..
.
n
d d i nb r= +( )1
matematica_financeira_2007.indb 48matematica_financeira_2007.indb 48 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
49
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 
meses antes de seu vencimento em uma instituição 
fi nanceira que trabalha com uma taxa de desconto 
simples de 3,2% a.m.. Determine:
a) O valor do desconto simples bancário
b) O valor do desconto simples racional
a)
N
i a m a m
n
d
d R
b
b
=
= =
=
=
=
48000
3 2 0 032
6
48000 0 032 6
9216 00
, % . , .
. , .
$ ,
b) 
d d
i n
d
d R
r
b
r
r
=
+
=
+
=
1
9216
1 0 032 6
7731 54
.
, .
$ ,
SEÇÃO 2 - Relação entre taxa de desconto simples e 
 taxa de juros simples
Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto 
simples e a taxa de juros simples. 
A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples
é formulada do seguinte modo:
matematica_financeira_2007.indb 49matematica_financeira_2007.indb 49 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
i
B
 = taxa de desconto simples
i = taxa de Juros Simples
J N V
V i n N V
i n N V
V
i n N
V
i n N
N d
i n
N N d
N d
C
b
b
b
= −
= −
= −
= −
=
−
−
=
− −( )
−
. .
.
.
.
.
1
1
oomo d N i n
então i n N i n
N N i n
i i
i n
b b
b
b
b
b
: . .
: .
. .
. .
.
=
=
−
=
−1
1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo 
de vencimento em 3 meses foi descontada em um 
banco que trabalha com uma taxa de desconto 
simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate 
e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco?
N
i a m a m
n meses
V N i n
V
b
b
=
= =
=
= −( )
= −
25500
3 2 0 032
3
1
25500 1 0 0
, % . , . .
.
, 332 3
23052 00
.
,
( )
=V
i i
i n
i
i a m
b
b
=
−
=
−
= =
1
0 032
1 0 032 3
0 0354 3 54
.
,
, .
, , % . .
matematica_financeira_2007.indb 50matematica_financeira_2007.indb 50 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
51
Matemática Financeira
Unidade 3
2. Se uma empresa desconta uma duplicata com 
vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma 
taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de 
desconto simples bancário utilizada?
i 3,4% a.m. = 0,034 a.m.
n 3 meses
i i
i n
i
i
i i
i i
i
b
b
b
b
b b
b b
=
−
=
−
−( ) =
− =
1
0 034
1 3
0 034 1 3
0 034 0 102
.
,
.
, .
, , .
bb b
b
b
b
i
i
i
i a m
+ =
=
=
= =
0 102 0 034
1 102 0 034
0 034
1 102
0 03085 3
, ,
, . ,
,
,
, . ,, % . .085 a m
matematica_financeira_2007.indb 51matematica_financeira_2007.indb 51 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, 
considerando as defi nições e as fórmulas apresentadas até esta unidade.
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 
50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo 
que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário 
de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido?
2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira 
de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento 
daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. 
Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada?
matematica_financeira_2007.indb 52matematica_financeira_2007.indb 52 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
53
Matemática Financeira
Unidade 3
3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi 
comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto 
simples comercial de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, 
qual seria o valor deste desconto?
4) Uma loja desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 
vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples comercial de 
6% a.m. Qual é o valor do desconto simples racional e comercial da 
operação?
5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma 
duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de 
desconto simples bancário equivalente utilizada?
matematica_financeira_2007.indb 53matematica_financeira_2007.indb 53 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o conceito de desconto simples, 
seus diversos tipos e comparações. Relacionou as taxas de juros 
simples e de descontos simples bancário ou comercial. 
Na próxima unidade, você começará a estudar o regime de juros 
compostos. Continue em frente!
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente o assunto desconto 
simples, utilize as seguintes bibliografi as:
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para 
concursos. São Paulo: Atlas, 2003.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
matematica_financeira_2007.indb 54matematica_financeira_2007.indb 54 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
UNIDADE 4
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
 Conhecer os conceitos sobre juros compostos.
 Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.
 Usar corretamente as convenções exponencial e linear.
 Calcular valor nominal e valor atual.
Seções de estudo
Seção 1 Juros compostos
Seção 2 Convenção exponencial e linear
Seção 3 Valor nominal e valor atual 
4
matematica_financeira_2007.indb 55matematica_financeira_2007.indb 55 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao 
regime de juros simples. Neste capítulo você estudará o regime 
de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações 
comerciais e fi nanceiras.
SEÇÃO 1 - Juros compostos
Os juroscompostos são os juros incorporados ao capital inicial ao 
fi nal de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo 
capital para o período seguinte.
A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do 
montante, juros, capital, taxa e prazo:
Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos: 
matematica_financeira_2007.indb 56matematica_financeira_2007.indb 56 7/2/2007 14:06:397/2/2007 14:06:39
57
Matemática Financeira
Unidade 4
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: 
M C J
J M C
J C i C
J C i
n
n
= +
= −
= +( ) −
= +( ) −



1
1 1
Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: 
M C i
C M
i
n
n
= +( )
=
+( )
1
1
Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i M
C
i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+ = 



= 



−
1
1
1
1
1
1
Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i N
C
n i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+( ) = 



+( ) = 



1
1
1
1
ln ln
. ln ln
==




+( )
ln
ln
M
C
i1
matematica_financeira_2007.indb 57matematica_financeira_2007.indb 57 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
1. O fator 1+( )i n é chamado fator de acumulação de 
capital.
2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma 
unidade de tempo.
1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 
4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a 
uma taxa de 3,5% a.m.?
C
i a m a m
n meses
M C i
M
M
n
=
= =
=
= +( )
= +( )
4500
3 5 0 035
9
1
4500 1 0 035 9
, % . , .
,
== ( )
=
=
4500 1 035
4500 1 362897
6133 04
9,
. ,
$ ,
M
M R
2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros 
compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule 
os juros auferidos na aplicação.
C
i a m a m
n meses
J C i
J
n
=
= =
=
= +( ) −



= +
12000
2 0 02
6
1 1
12000 1 0 02
% . , .
,(( ) −



= ( ) −



= −( )
=
6
6
1
12000 1 02 1
12000 1 126162 1
12000 0
J
J
J
,
,
. ,,
$ ,
126162
1513 95J R=
matematica_financeira_2007.indb 58matematica_financeira_2007.indb 58 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
59
Matemática Financeira
Unidade 4
3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa 
de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 
após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”.
M
i a m a m
n ano e meses meses
C M
i
C
n
=
= =
= =
=
+( )
=
19500
3 5 0 035
1 3 15
1
1
, % . , .
99500
1 0 035
19500
1 035
19500
1 675349
11639 3
15
15
+( )
=
( )
=
=
,
,
,
$ ,
C
C
C R 77
4. A que taxa mensal de juros compostos, um capital 
de R$ 12.500,00 pode transformar-se em R$ 15.373,42, 
no período de 7 meses?
C
M
n meses
i M
C
i
n
=
=
=
= 



−
= 


12500
15373 42
7
1
15373 42
12500
1
,
,

−
= ( ) −
= −
= =
1
7
1
7
1
1 229874 1
1 03 1
0 03 3
i
i
i a m
,
,
, % .
matematica_financeira_2007.indb 59matematica_financeira_2007.indb 59 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
5. Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 
pode ser pago pela quantia de R$ 47.900,00, se a taxa 
de juros compostos cobrada for de 4% a.m.?
M
C
i a m a m
n
M
C
i
n
=
=
= =
=




+( )
=
47900
35000
4 0 04
1
47900
3
% . , .
ln
ln
ln
55000
1 0 04
1 368571
1 04
0 313767
0 039




+( )
= ( )
( )
=
ln ,
ln ,
ln ,
,
,
n
n
2221
8n meses=
SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear
Nesta seção, você estudará a convenção exponencial e linear. Tais 
convenções são usadas quando os períodos não são inteiros.
Convenção exponencial
No caso da convenção exponencial, o montante é calculado 
a juros compostos durante todo o período (parte inteira + 
fracionária).
matematica_financeira_2007.indb 60matematica_financeira_2007.indb 60 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
61
Matemática Financeira
Unidade 4
A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção
exponencial é a seguinte: 
M C i
n período eiro
p
q período fracionário
n p
q= +( )
=
=
+
1
int
Convenção linear
No caso da convenção linear, o montante é calculado a juros 
compostos durante a parte inteira do período e a juros simples 
durante o período fracionário.
A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção
linear é a seguinte: 
M C i p
q
in= +( ) +





1 1. .
1. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros 
compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa 
de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções 
exponencial e linear?
Pela convenção exponencial:
C
i a m a m
n meses e dias meses meses
=
= =
= = + = +
2000
6 0 06
4 15 4 15
30
4 1
2
% . , .
==
= +( )
= +( )
= ( )
=
+
4 5
1
2000 1 0 06
2000 1 06
4 5
4 5
,
,
,
$
,
,
meses
M C i
M
M
M R
n p
q
22000 1 2998
2599 60
. ,
,M =
matematica_financeira_2007.indb 61matematica_financeira_2007.indb 61 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pela convenção linear: 
M C i p
q
i
M
M
n= +( ) +






= +( ) +( )
=
1 1
2000 1 0 06 1 0 5 0 06
2000 1
4
. .
, . , . ,
,006 1 0 03
2000 1 262477 1 03
2600 70
4( ) +( )
=
=
. ,
. , . ,
$ ,
M
M R
2. Calcule o montante pelas convenções exponencial 
e linear do capital de R$ 14.700,00 aplicado à taxa 
de juros compostos de 10% a.a. durante 5 anos e 3 
meses.
Pela convenção exponencial:
C
i a a a a
n anos e meses meses meses
=
= =
= = + = + =
14700
10 0 1
5 3 5 3
12
5 1
4
% . , .
221
4
1
14700 1 0 1
14700 1 1
147
21
4
21
4
meses
M C i
M
M
M
n p
q= +( )
= +( )
= ( )
=
+
,
,
000 1 649345
24245 37
. ,
$ ,M R=
Pela convenção linear: 
M C i p
q
i
M
M
n= +( ) +






= +( ) +



=
1 1
14700 1 0 1 1 1
4
0 1
1470
5
. .
, . . ,
00 1 61051 1 025
24266 36
, . ,
$ ,
( ) ( )
=M R
matematica_financeira_2007.indb 62matematica_financeira_2007.indb 62 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
63
Matemática Financeira
Unidade 4
SEÇÃO 3 - Valor atual e valor nominal 
Nesta seção, você estudará novamente o valor atual e o valor 
nominal, só que agora na perspectiva de juros compostos. 
Observe que os conceitos dados em juros simples para valor atual 
e valor nominal são análogos para juros compostos. Veja:
Fluxo de caixa
Este gráfi co se refere ao fl uxo de caixa, considerando o valor atual 
e o valor nominal. 
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal
no regime de juros compostos:
N Valor No al
V Valor Atual
N V i
V N
i
n
n
=
=
= +( )
=
+( )
min
1
1
matematica_financeira_2007.indb 63matematica_financeira_2007.indb 63 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma empresa desconta uma promissória de R$ 
50.000,00 em um banco com vencimento para daqui 
a 6 meses, sendo que o banco cobra uma taxa de 
juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da 
promissória nas seguintes datas:
a) hoje
b) 3 meses antes do vencimento
c) daqui a 4 meses
a) Hoje
N
i a m a m
n
V N
i
V
n
=
= =
=
=
+( )
=
+( )
=
50000
1 5 0 015
6
1
50000
1 0 015
50
6
, % . , . .
,
0000
1 093443
45727 12
,
$ ,V R=
b) 3 meses antes do vencimento
V
V R
=
+( )
=
=
50000
1 0 015
50000
1 045678
47815 87
3, ,
$ ,
c) Daqui a 4 meses
V
V R
=
+( )
=
=
50000
1 0 015
50000
1 030225
48533 09
2, ,
$ ,
matematica_financeira_2007.indb 64matematica_financeira_2007.indb 64 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
65
Matemática Financeira
Unidade 4
2. Um certo capital é aplicado a 12% a.a. a juros 
compostos, produzindo um montante de R$ 1.320,00 
após 3 anos. Qual o valor atual deste capital?
N
i a a a a
n anos
V N
i
V
V
n
=
= =
=
=
+( )
=
+( )
=
1320
12 0 12
3
1
1320
1 0 12
1
3
% . . , . .
,
3320
1 12
1320
1 404928
939 55
3, ,
$ ,
( )
=
=V R
Atividades de auto-avaliação
Caro aluno, considere as defi nições e as fórmulas apresentadas até estaunidade e responda as questões a seguir. 
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 26.000,00 aplicado 
a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses.
matematica_financeira_2007.indb 65matematica_financeira_2007.indb 65 7/2/2007 14:06:407/2/2007 14:06:40
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 4.200,00 
aplicado a uma taxa de 3% a.m. durante 10 meses.
3) Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 dias a juros 
compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mensal da 
operação?
4) Em que prazo uma aplicação a juros compostos de R$ 24.000,00 
produzirá um montante de R$ 61.519,30 à taxa de 4% a.m.?
matematica_financeira_2007.indb 66matematica_financeira_2007.indb 66 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
67
Matemática Financeira
Unidade 4
5) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 
15% a.a. Pergunta-se:
a) Qual o montante pela convenção exponencial?
b) Qual o montante pela convenção linear?
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma 
instituição fi nanceira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um 
compromisso de valor nominal igual a R$ 38.000,00 que vence daqui a 
3 meses?
7) Determine os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 a uma taxa de 
juros compostos de 1% a.m. durante 10 meses.
matematica_financeira_2007.indb 67matematica_financeira_2007.indb 67 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o regime de capitalização 
composto, isto é, determinou montante, capital, juros e taxas na 
perspectiva dos juros compostos. Nesta mesma perspectiva, você 
também aprendeu as convenções exponencial e linear assim como 
calculou o valor atual e o valor nominal. 
Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de 
juros.
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente a capitalização 
composta, utilize as seguintes bibliografi as:
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. São Paulo: Pioneira Th ompson, 
2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
CESAR, Benjamin. Matemática fi nanceira. 5ª ed. Rio 
de Janeiro: Impetus, 2004.
matematica_financeira_2007.indb 68matematica_financeira_2007.indb 68 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
UNIDADE 5
Taxas de juros
Objetivos de aprendizagem
 Compreender e calcular taxas equivalentes.
 Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas.
 Aplicar as taxas em problemas fi nanceiros.
Seções de estudo
Seção 1 Taxas equivalentes
Seção 2 Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva
5
matematica_financeira_2007.indb 69matematica_financeira_2007.indb 69 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros 
compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e 
nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as 
taxas e os prazos dados sempre estavam na mesma unidade de 
tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de 
juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.
SEÇÃO 1 - Taxas equivalentes
Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por defi nição, 
duas taxas são ditas equivalentes a juros compostos quando 
aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e 
produzem o mesmo montante.
Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes: 
M C i
M C i
Como M M Temos
C i C i
n
n
n n
1 1
2 2
1 2
1 2
1
1
1 1
1
2
1
= +( )
= +( )
=
+( ) = +( )
: :
22
2
1
2
1
1
2
1 1
1 1
1 1
1 2
1 2
2 1
+ = +( )
= +( ) −
= +( ) −
i i
i i
ou
i i
n
n
n
n
n
n
matematica_financeira_2007.indb 70matematica_financeira_2007.indb 70 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
71
Matemática Financeira
Unidade 5
1. No regime de juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 4% a.m.?
i Taxa anual
n ano
i a m a m
n meses
i i
n
n
1
1
2
2
1 2
1
4 0 04
12
1
2
=
=
= =
=
= +( )
% . , . .
11 1
1 0 04 1
1 04 1
0 6010 60 10
1
12
1
1
12
1
−
= +( ) −
= ( ) −
= =
i
i
i a a a a
,
,
, .. , % .
2. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 
juros compostos de 8% a.a.
i a a a a
n ano
i taxa quadrimestral
n quadrimestr
1
1
2
2
8 0 08
1
3
= =
=
=
=
% . , .
ees
i i
i
i a q
n
n
2 1
2
1
3
2
1 1
1 0 08 1
0 0259 2 60
1
2= +( ) −
= +( ) −
= =
,
, , % .
matematica_financeira_2007.indb 71matematica_financeira_2007.indb 71 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva
Nesta seção, você estudará a taxa nominal ou aparente e a taxa 
efetiva. 
Taxa nominal ou aparente
Por defi nição, a taxa é nominal ou aparente quando o período de 
capitalização não coincide com o período da taxa.
Atenção!
Geralmente a taxa nominal é anual. 
Taxa efetiva
A taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas 
transações fi nanceiras.
Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetiva: 
i Taxa No al
i Taxa Efetiva
K número de capitalizações para um p
f
=
=
=
min
eeríodo da taxa no al
i Taxa por período de capitalizaçãoK
min
=
i i
K
i i
i i
i i
i i
K
K
f K
K
f K
K
f K
K
f
K
=
+ = +( )
+ = +( )
= +( ) −
= +



−
1 1
1 1
1 1
1 1
matematica_financeira_2007.indb 72matematica_financeira_2007.indb 72 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
73
Matemática Financeira
Unidade 5
1. Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada 
trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.
2. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 
12.500,00 durante 2 anos a uma taxa nominal de 48% 
a.a. com capitalização mensal de juros?
= Taxa efetiva trimestral 
= Taxa efetiva mensal 
matematica_financeira_2007.indb 73matematica_financeira_2007.indb 73 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
3. Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 
42.000,00 por 3 anos a uma taxa de 24% a.a. com 
capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e 
qual o montante recebido?
4. Qual das taxas abaixo será a melhor para um 
investimento?
a) 20% a.a. capitalizados ao dia;
b) 20,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente;
c) 22% a.a. capitalizados anualmente.
a) 
i
i
i
K
f
f
= =
= +( ) −
= − =
0 2
360
0 000556
1 0 000556 1
1 221530 1 0 2215
360
, ,
,
, , 330 22 15= , % .a a
b) 
i
i
i
K
f
f
= =
= +( ) −
= − =
0 205
3
0 068333
1 0 068333 1
1 219326 1 0 219326
3
, ,
,
, , == 21 93, % .a a
matematica_financeira_2007.indb 74matematica_financeira_2007.indb 74 7/2/2007 14:06:417/2/2007 14:06:41
75
Matemática Financeira
Unidade 5
c) 
i a af = 22% .
Resposta: a melhor alternativa é a taxa de 22,15% a.a. 
(item a).
Atividades de auto-avaliação
Caro aluno, leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes 
atividades, considerando as defi nições e as fórmulas já apresentadas.
1) Qual a taxa anual de juros compostos equivalentes as seguintes taxas:
a) 2,6% a.m..
b) 4,2% a.b.
c) 4,8% a.t.
d) 12% a.s.
matematica_financeira_2007.indb 75matematica_financeira_2007.indb 75 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Um banco paga juros compostos a uma taxa de 24% a.a. capitalizados 
bimestralmente. Qual a sua taxa efetiva anual?
3) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 à taxa de juros 
compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente durante 24 
meses.
4) Um capital de R$ 2.500,00foi aplicado em uma instituição fi nanceira a 
uma taxa nominal de 108% a.a., capitalizados mensalmente, durante 8 
meses. Qual é o montante?
matematica_financeira_2007.indb 76matematica_financeira_2007.indb 76 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
77
Matemática Financeira
Unidade 5
5) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00 por 1 ano à taxa 
de 45% a.a. com capitalização:
a) mensal
b) diária (considere o ano com 360 dias)
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu os diversos tipos de taxas, as 
equivalentes, a nominal ou aparente e a efetiva. Você também 
aprendeu a aplicar estas taxas a problemas fi nanceiros.
Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de descontos 
compostos.
matematica_financeira_2007.indb 77matematica_financeira_2007.indb 77 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você deseja estudar mais profundamente os diversos tipos de 
taxas, utilize as seguintes bibliografi as:
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
fi nanceira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática fi nanceira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
fi nanceira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira 
Th ompson, 2002.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática fi nanceira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e 
suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.
matematica_financeira_2007.indb 78matematica_financeira_2007.indb 78 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
UNIDADE 6
Descontos compostos
Objetivos de aprendizagem
 Entender e calcular desconto composto.
 Diferenciar e calcular os descontos compostos, o racional 
e o comercial ou bancário.
 Classifi car e calcular os tipos de taxas de descontos.
Seções de estudo
Seção 1 Descontos compostos e suas classifi cações
Seção 2 Taxas de descontos
6
matematica_financeira_2007.indb 79matematica_financeira_2007.indb 79 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa 
Caro aluno, nesta unidade, você estudará dois tipos de descontos 
compostos, o desconto racional ou por dentro além do desconto 
bancário ou comercial ou por fora. Você também estudará as 
taxas de desconto. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - Descontos compostos e suas classifi cações
Nesta seção, você estudará os descontos compostos, 
especifi camente o desconto composto racional ou por dentro e o 
desconto comercial ou bancário ou por fora. 
Desconto composto
O desconto composto é o abatimento obtido na quitação ou 
na venda de um título em data anterior ao seu vencimento 
observando os critérios de capitalização composta. Os tipos de 
descontos compostos são:
Desconto composto racional ou por dentro
Desconto composto comercial (bancário) ou por fora
Desconto composto racional ou por dentro
O desconto composto racional ou por dentro é a diferença entre 
o valor nominal ou valor atual de um título, quitado antes do 
vencimento.
matematica_financeira_2007.indb 80matematica_financeira_2007.indb 80 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
81
Matemática Financeira
Unidade 6
Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto racional
ou por dentro:
D N V
V N
i
D N N
i
D N
i
D N i
r
n
r n
r n
r
= −
=
+( )
= −
+( )
= −
+( )








= − +(
1
1
1 1
1
1 1 ))



−n
1. Determine o valor do desconto composto racional 
e o valor do resgate de um título de R$ 15.600,00, 
descontado 5 meses antes do seu vencimento, 
sabendo-se que a taxa de desconto composto 
racional é de 4% a.m.
N
i a m a m
n meses
D N i
D
r
n
r
=
= =
=
= − +( )



=
−
15600
4 0 04
5
1 1
15600 1
% . . , . .
−− +( )



= − ( )



= −( )
−
−
1 0 04
15600 1 1 04
15600 1 0 821927
5
5
,
,
,
D
D
r
r
DD
D
r
r
=
=
15600 0 178073
2777 94
. ,
,
V N D
V
V R
r= −
= −
=
15600 2777 94
12822 06
,
$ ,
matematica_financeira_2007.indb 81matematica_financeira_2007.indb 81 7/2/2007 14:07:177/2/2007 14:07:17
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Um título de valor nominal igual a R$ 60.200,00 
foi pago 4 meses antes do vencimento. Se a taxa de 
desconto composto racional era de 8% a.m., qual o 
valor líquido deste título?
N
i a m a m
n meses
D N i
D
r
n
r
=
= =
=
= − +( )



= −
−
60200
8 0 08
4
1 1
60200 1 1
% . , .
++( )



= − ( )



= −( )
−
−
0 08
60200 1 1 08
60200 1 0 735030
4
4
,
,
,
D
D
D
r
r
r ==
=
60200 0 264970
15951 20
. ,
,Dr
V N D
V
V R
r= −
= −
=
60200 15951 20
44248 80
,
$ ,
Observe outra maneira de resolver o mesmo 
problema:
N V i
V N
i
V
V
V
n
n
= +( )
=
+( )
=
+( )
=
( )
=
1
1
60200
1 0 08
60200
1 08
60200
1 3
4
4
,
,
, 660489
44248 80V R= $ ,
matematica_financeira_2007.indb 82matematica_financeira_2007.indb 82 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
83
Matemática Financeira
Unidade 6
Desconto composto comercial (bancário) ou por fora
O desconto composto comercial (bancário) ou por fora é a soma 
dos descontos comerciais simples, calculados isoladamente em 
cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título.
Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto comercial
(bancário) ou por fora: 
D N V
D N N i
D N i
c
c
n
c
n
= −
= − −( )
= − −( )



1
1 1
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: 
V N d
d N i
então
V N N i
V N i
1 1
1
1
1 1
= −
=
= −
= −( )
.
:
.
V V d
d V i
então
V V i
V N i i
V N i
2 1 2
2 1
2 1
2
2
2
1
1 1
1
= −
=
= −( )
= −( ) −( )
= −( )
.
:
.
.
então
V N i n
:
= −( )1
Cálculo da taxa de desconto comercial composto: 
Cálculo do prazo: 
matematica_financeira_2007.indb 83matematica_financeira_2007.indb 83 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 é 
descontado em um banco 3 meses antes de seu 
vencimento. Se a taxa de desconto comercial usada 
pelo banco é de 8% a.m., qual é o valor do desconto?
N
i a m a m
n meses
D N i
D
c
n
c
=
= =
=
= − −( )



= − −
15000
8 0 08
3
1 1
15000 1 1
% . , .
00 08
15000 1 0 92
15000 1 0 778688
15
3
3
,
,
,
( )



= − ( )



= −( )
=
D
D
D
c
c
c 0000 0 221312
3319 68
. ,
$ ,D Rc =
Observe outra maneira de resolver este mesmo 
problema:
V N i
V
V
V
V
n= −( )
= −( )
= ( )
=
=
1
15000 1 0 08
15000 0 92
15000 0 778688
1
3
3
,
,
. ,
11680 32,
D N V
D
D R
c
c
c
= −
= −
=
15000 11680 32
3319 68
,
$ ,
matematica_financeira_2007.indb 84matematica_financeira_2007.indb 84 7/2/2007 14:07:187/2/2007 14:07:18
85
Matemática Financeira
Unidade 6
2. Um cliente vai a um banco descontar uma duplicata 
que vence daqui a 6 meses com valor de face de R$ 
7.500,00. Considerando que o banco trabalha com 
uma taxa de desconto composto comercial de 3,5% 
a.m., qual o valor do desconto?
N
i a m a m
n meses
D N i
D
c
n
c
=
= =
=
= − −( )



= −
7500
3 5 0 035
6
1 1
7500 1 1
, % . , .
−−( )



= − ( )



= −( )
=
0 035
7500 1 0 965
7500 1 0 807540
7
6
6
,
,
,
D
D
D
c
c
c 5500 0 192460
1443 45
. ,
$ ,D Rc =
SEÇÃO 2 - Taxas de descontos
Nesta seção, você estudará taxas de descontos. Basicamente, há a 
taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva 
de desconto.
Taxa de desconto composto comercial ou por fora
A taxa de desconto composto comercial ou por fora ( i
c
 ) é a taxa 
que é utilizada para calcular este desconto.
Taxa efetiva de desconto
A taxa efetiva de desconto ( i f ) é a taxa de desconto composto 
racional que é aplicada sobre o valor atual no período, gerando 
um montante igual ao valor nominal.
matematica_financeira_2007.indb 85matematica_financeira_2007.indb