Livro-Texto - Unidade I

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Autor: Prof. Cristiano Roberto Martins Foli
Colaboradores: Prof. Ariathemis Moreno Bizuti
 Prof. José Carlos Morilla
Resistência dos Materiais
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Professor conteudista: Cristiano Roberto Martins Foli
Natural de Franca (SP), graduado em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita 
Filho – Unesp (2002), mestrado em Engenharia Aeronáutica e Mecânica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica – 
ITA (2004) e doutorado em Engenharia Aeronáutica e Mecânica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA (2011). 
Ministra aulas em cursos de Engenharia na UNIP desde 2006, tais como: Resistência dos Materiais, Complementos de 
Resistência dos Materiais, Estática nas Estruturas, Estruturas Hiperestáticas, Teoria das Estruturas. É coordenador do 
curso de Engenharia Civil da UNIP – São José dos Campos, desde 2011.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F665s Foli, Cristiano Roberto Martins.
Resistência dos materiais / Cristiano Roberto Martins Foli. - São 
Paulo: Editora Sol, 2018.
192 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIV, n. 2-044/18, ISSN 1517-9230.
1. Equilíbrio das estruturas. 2. Tensão e deformação. 3. Flexão. 
I. Título.
CDU 621,7
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Unip Interativa – EaD
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Sumário
Resistência dos Materiais
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – ESTÁTICA ...........................................................................................9
1.1 Sistema internacional de medidas (SI) ........................................................................................ 10
1.2 Resultante de uma força ................................................................................................................... 11
1.2.1 Composição de forças ............................................................................................................................11
1.2.2 Decomposição de forças .......................................................................................................................11
1.3 Momento estático ................................................................................................................................ 17
2 EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS .................................................................................................................. 24
2.1 Classificação das estruturas ............................................................................................................. 24
2.2 Vínculos ou apoios ............................................................................................................................... 26
2.2.1 Apoio simples ou de primeiro gênero ............................................................................................ 26
2.2.2 Articulação ou apoio de segundo gênero ..................................................................................... 27
2.2.3 Engate ou apoio de terceiro gênero ................................................................................................ 27
2.3 Tipos de carregamento ....................................................................................................................... 27
2.4 Cálculo de reações de apoio ............................................................................................................ 28
3 ESFORÇOS SOLICITANTES ............................................................................................................................. 49
3.1 Força cortante (V) ................................................................................................................................. 49
3.2 Momento fletor (M) ............................................................................................................................ 50
3.3 Convenção de sinais ............................................................................................................................ 50
3.4 Diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) ........................................................ 51
3.5 Diagrama de força normal (N) ........................................................................................................ 75
4 TENSÃO E DEFORMAÇÃO ............................................................................................................................. 86
4.1 Tensão ....................................................................................................................................................... 86
4.2 Deformação ............................................................................................................................................ 88
4.3 Diagrama tensão x deformação ..................................................................................................... 89
4.4 Lei de Hooke ........................................................................................................................................... 92
4.5 Tensão admissível ................................................................................................................................. 97
Unidade II
5 CISALHAMENTO .............................................................................................................................................107
5.1 Tensão de cisalhamento ..................................................................................................................108
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5.2 Deformações no cisalhamento .....................................................................................................118
6 TORÇÃO .............................................................................................................................................................122
6.1 Tensão de cisalhamento na torção .............................................................................................122
6.2 Convenção de sinais ..........................................................................................................................125
6.3 Deformação em um eixo circular ................................................................................................132trata-se do espaço constante entre o limite de proporcionalidade e a ruptura 
do material.
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Unidade I
 Saiba mais
O ensaio de tração segue normas técnicas determinadas pela 
ABNT, especificamente a contida em ISO 6892, que estipula o método 
de ensaio de tração de materiais metálicos e define as propriedades 
mecânicas que podem ser determinadas à temperatura ambiente. 
Para mais informações, leia: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS 
TÉCNICAS. NBR ISO 6892: Materiais metálicos – Ensaio de Tração. Parte 1: 
Método de ensaio à temperatura ambiente. Rio de Janeiro, 2013.
Os materiais, durante o ensaio de tração, podem ser frágeis e dúcteis devido às suas propriedades e 
diagramas tensão x deformação semelhante.
• Materiais frágeis: apresentam pouca ou nenhuma deformação na região plástica, por exemplo: 
concreto, vidro, giz, ferro fundido, cerâmica. Eles demonstram grande limite de resistência, 
principalmente quando submetidos à compressão. Suas grandes desvantagens são não absorverem 
impacto, por possuírem baixa ductilidade, e o acontecimento de fraturas repentinas.
• Material dúctil: têm grandes deformações plásticas antes da ruptura, por exemplo: latão, 
alumínio e aço. Apesar de sua resistência ser menor que a dos materiais frágeis, sua capacidade 
de deformação o torna mais maleável, fazendo com que a sua ruptura não seja tão brusca.
Tensão
Frágil
Dúctil
Deformação
Figura 123 – Diagrama tensão x deformação – Materiais dúcteis e frágeis
4.4 Lei de Hooke
A disciplina Resistência dos Materiais abrange a parte inicial do diagrama tensão x deformação, ou 
seja, a peça ou estrutura projetada não deve ultrapassar o limite de escoamento do material. Para efeito 
de projeto, se a peça iniciar o escoamento plástico por segurança, ela deve ser retirada de uso.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Na região inicial do diagrama, a relação entre tensão e deformação é linear, sendo a tensão 
diretamente proporcional à deformação.
Tem-se pela equação: Σ = E . ε
E representa o módulo de elasticidade do material ou módulo de Yong. O módulo de elasticidade é 
uma propriedade do material, cuja característica vem da força de atração entre os átomos. A tabela a 
seguir apresenta o módulo de elasticidade de alguns materiais selecionados.
 Observação
A lei de Hooke somente pode ser usada na região elástica, ou seja, antes 
do limite de escoamento do material.
Tabela 5 – Propriedade dos materiais
Materiais Limite escoamento (MPa) Módulo de elasticidade (GPa)
Aço estrutural ASTM-A36 247 200
Alumínio – Liga 2014-T4 290 73
Latão – C23000 124 115
Bronze – C76100 331 105
Titânio (6Al,4%V) 727 114
Exemplo 1
Uma carga de 250 kN é aplicada a uma barra com 70 cm de comprimento e diâmetro de 10 cm, 
provocando um alongamento de 0,20 mm. Determine o módulo de elasticidade do material:
Figura 124
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Unidade I
Resolução:
Dados:
3
2 2
2
F 250.10 N
Lo 80cm 800mm
L 0,20mm
d 10cm 0,1m
.d .0,1
A 0,0078m
4 4
=
= =
∆ =
= =
π π= = =
Utilizando as equações apresentadas neste capítulo:
F
A
σ =
L L Lo
Lo Lo
∆ −ε = =
Σ = E . ε
Para o cálculo do módulo de elasticidade, será utilizada a lei de Hooke, portanto deve-se determinar 
a tensão e a deformação da barra.
3
6
2
F 250.10 N
32,05.10 32,05MPa
A 0,0078 m
σ = = ≅ ≅
L 0,20
0,00025
Lo 800
∆ε = = =
6
932,05.10
E. E 128.10 Pa 128GPA
0,0025
σσ = ε → = = ≅ ≅
ε
Exemplo 2
Uma barra de alumínio possui seção transversal retangular com 45 cm de base e 170 cm de altura, seu 
comprimento é de 2 m. A carga axial aplicada nela é de 900 kN. Determine seu alongamento. EAl = 70 GPa.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 125
Resolução:
F = 900 kN = 900 . 103N
LO = 2 m
A = b . h = 0,45 . 1,8 = 0,81 m2
E = 70 GPa = 70 . 109Pa
Utilizando a lei de Hooke, tem-se:
Σ = E . ε
Substituindo as equações de tensão e deformação,
F L
E.
A Lo
∆= , isolando o alongamento ∆L tem-se:
3
5
9
F.Lo 900.10
L 1,587.10 m 0,0158mm
E.A 70.10 .0,81
−∆ = = ≅ ≅
 
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Unidade I
Exemplo 3
Determine o deslocamento da barra de aço A submetida às forças dadas (Eaço= 220 GPa).
Figura 126
Resolução:
Diagrama de força normal.
Figura 127
O deslocamento será calculado para três regiões, e o deslocamento total será a soma:
A1 = A2 = 600 mm2 = 6 . 10-3m2
A3 = 200 mm2 = 2 . 10-3m2
Lo1 = Lo2 = 400 mm = 0,4 mm
Lo3 = 500 mm = 0,5 m
F.Lo
L
E.A
∆ =
3
1 6 3
F.Lo 330.10 .0,4
L 0,100m
E.A 220.10 .6.10−∆ = = =
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3
2 6 3
F.Lo 70.10 .0,4
L 0,021m
E.A 220.10 .6.10−
−∆ = = = −
3
3 6 3
F.Lo 180.10 .0,5
L 0,204m
E.A 220.10 .2.10−∆ = = =
∆Ltotal = ∆L1 + ∆L2 + ∆L3 = 0,100 - 0,021 + 0,204
∆Ltotal = 0,283 m = 283 mm 
4.5 Tensão admissível
No projeto de uma peça ou estrutura, o engenheiro deve garantir que a carga limite do material não 
seja atingida, ou seja, tal objeto deverá suportar, em condições normais de utilização, um carregamento 
menor que esse limite.
O carregamento menor é chamado de admissível, de projeto ou trabalho. Ao se utilizar a carga 
admissível, somente uma parte da capacidade do material está sendo utilizada, a outra é reservada para 
garantir ao produto condições seguras de utilização.
Σesc
Σadm
Deformação
Trabalho
Segurança
Tensão
Figura 128 – Tensão admissível
Para materiais dúcteis, a tensão admissível é determinada pela relação entre a tensão de escoamento 
do material (Σe) e o coeficiente de segurança (CS). Em materiais frágeis, utiliza-se a tensão de ruptura ao 
invés da tensão de escoamento.
e
admMaterial ductil
CS
σ→ σ =
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Unidade I
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admMaterial frágil
CS
σ→ σ =
A escolha do coeficiente de segurança adequado para diferentes aplicações requer uma análise 
cuidadosa. Sua determinação é feita com base nas normas de cálculo, muitas vezes pelo próprio 
projetista, baseado em experiências e de acordo com seu critério. Os principais fatores que devem ser 
levados em consideração são:
• material a ser utilizado;
• tipos de carregamento;
• ambiente de utilização;
• grau de importância da estrutura projetada.
Este último item deve ser sempre classificado como essencial para o aumento na segurança. Quanto 
maior o risco à vida humana, maior deve ser o conhecimento da peça ou estrutura projetada.
Exemplo 1
A barra circular mostrada tem seções de aço, latão e alumínio. São aplicadas cargas axiais nas partes 
transversais A, B, C e D. Se as tensões normais são 250 MPa no aço, 100 MPa no latão e 170 MPa no 
alumínio, determine os diâmetros para cada uma das seções. Considere o fator de segurança (CS) igual 
a 2 para aplicação.
Figura 129
Resolução:
Diagrama de força normal.
Figura 130
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Alumínio: 
6
adm
170.10
85MPa
2
σ = =
Latão: 
6
adm
100.10
50MPa
2
σ = =
Aço: 
6
adm
250.10
125MPa
2
σ = =
2
adm
adm adm adm
F F d F 4.F
A d
A 4 .
πσ = → = = = → =
σ σ π σ
3
alum alum6
4.370.10
d d 0,0744m 74,4mm
.85.10
= → = =
π
3
lat lat6
4.130.10
d d 0,0573m 57,3 mm
.50.10
= → = =
π
3
aço aço6
4.280.10
d d 0,0534m 53,4mm
.125.10
= → = =
π
 
Exemplo 2
Determine o diâmetro dos cabos para sustentar um motor de massa de 300 kg, sabendo que 
ele é feito de aço, com tensão de escoamento de 220 MPa. Considere o fator de segurança de 3,0 
para aplicação.
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UnidadeI
Figura 131
Resolução:
Figura 132
∑Fy = 0
F.sen(45º ) F.sen(45º ) 3000 0
2F.sen(45º ) 3000
3000
F 2121,32N
2.sen(45º )
+ − =
=
= ≅
6
adm
220.10
73,33MPa
3,0
σ = =
101
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5 2
6
adm
F F 2121,32
A A 2,892.10 m
A 73,33.10
−σ = → = → = =
σ
2 5d 2.2,892.
A d
2
−π= → =
π
d = 4,29 . 103 m = 4,29 mm 
Exemplo 3
Determine as áreas mínimas das seções transversais das barras 1, 2 e 3 da estrutura. As barras são de 
alumínio – Liga 2014-T4 (Σe = 290 MPa) e o coeficiente de segurança indicado para esta estrutura é 2,0.
Figura 133
Resolução:
Força axial na barra 3.
Figura 134
∑ME = 0
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Unidade I
- RF3 x 7 + 640 x 4 = 0
RF3 = 365,7 kN
RF3 é a reação na barra 3, portanto a força na barra 3 é:
F3 = 365,7 kN↓
Força axial nas barras 1 e 2.
Figura 135
Como as cargas estão aplicadas de forma simétrica, tem-se:
240 365,7
RF1 RF2 302,8kN
2
+= = =
Então, a força nas barras 1 e 2, é:
F1 = F2 = 302,8 kN↓
Cálculo das áreas
6
adm
290.10
145MPa
2
σ = =
F F
A
A
σ = → =
σ
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Barras 1 e 2:
3
3 2
1 2 6
302,8.10
A A 2,08.10 m
145.10
= = =
A1 = A2 = 20,8 cm2
Barra 3:
3
3 2
3 6
365,7.10
A 2,52.10 m
145.10
= =
A3 = 25,2 cm2
 
 Resumo
Nesta unidade foi apresentada uma revisão dos conceitos de força 
e momento.
Foi feito o estudo do equilíbrio de estruturas utilizando as três 
equações de equilíbrio estático (somatória de forças em x, y e momento). 
Esses conceitos foram aplicados na construção dos diagramas de força 
cortante, momento fletor e de força normal. Tais diagramas serão 
importantes para os estudos futuros.
Por fim, demonstrou-se os conceitos de tensão e deformação, inserindo a 
geometria e as propriedades dos materiais, iniciando o dimensionamento de peças 
e estruturas sujeitas a cargas que geram tensões normais de tração e compressão.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2011, adaptada) Na figura a seguir, tem-se a representação de uma viga submetida 
a um carregamento distribuído W e a um momento externo m. A partir dessa representação, é possível 
determinar os diagramas do esforço cortante e do momento fletor.
W m
O
Figura 136
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Unidade I
Assinale a opção que representa o diagrama do esforço cortante e momento fletor, respectivamente:
A)
B)
C)
D)
E)
Figura 137
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas
Para responder esta questão, é necessário saber que, no trecho onde se tem uma força distribuída 
de intensidade constante, o gráfico da força cortante é uma reta inclinada e, o do momento fletor, uma 
parábola. Nos demais, o gráfico da cortante é uma constante e o do momento fletor, uma reta.
Essencial, ainda, se faz saber que na seção onde está aplicado o momento M ocorrerá uma 
descontinuidade no gráfico do momento. Nessa seção, o gráfico da força cortante não sofre 
nenhuma alteração.
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora o gráfico da cortante pareça correto, o do momento não apresenta a 
descontinuidade na seção de aplicação de M e não possui a forma de parábola no trecho onde está 
aplicada a força distribuída.
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B) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora o gráfico da cortante pareça correto, o do momento não apresenta a forma 
de parábola no trecho onde está aplicada a força distribuída. Além disso, nos trechos onde a cortante é 
constante, o gráfico do momento deve ser de linhas inclinadas e não de trechos constantes.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora o gráfico da cortante pareça correto, entretanto, a partir da seção onde está 
aplicado o momento M, esse gráfico mostra uma força cortante constante e igual a zero. Além disso, 
existe um trecho no diagrama de parábola no diagrama de momentos onde não existe força distribuída 
aplicada na barra.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: o gráfico da cortante não apresenta a forma de reta inclinada no trecho onde está 
aplicada a força distribuída. O gráfico do momento não apresenta a forma de parábola no trecho onde 
está aplicada a carga distribuída e não apresenta a descontinuidade na seção onde está o momento M.
E) Alternativa correta.
Justificativa: o gráfico da cortante parece estar correto, pois apresenta o trecho em forma de reta 
inclinada onde é aplicada a carga distribuída; é constante no restante da barra e não sofre alteração 
pela presença de M. O gráfico do momento apresenta a descontinuidade na seção de aplicação de M; 
é representado por retas inclinadas no trecho onde a cortante é constante e apresenta a forma de 
parábola no trecho onde está aplicada a força distribuída.
Questão 2. (Enade 2014, adaptada) Um vaso de pressurização de uma linha hidráulica para pressão 
de 4 N/mm2, conforme ilustra a figura, tem seu bocal de inspeção com diâmetro interno de 200 mm 
fixada por oito parafusos de cabeça sextavada M10 x 40 com porca. Considere que tanto a tampa quanto 
o espelho de fixação são confeccionados em aço e que a espessura total da junta (espelho + tampa) é de 
28 mm. Sabe-se que o parafuso é feito de um material cujo limite de escoamento é 540 Mpa.
Figura 138
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Unidade I
Na situação descrita, qual o coeficiente de segurança dos parafusos?
A) 2,00.
B) 1,35.
C) 5,40.
D) 2,70.
E) 1,00.
Resolução desta questão na plataforma.6.4 Aplicação de conceitos de torção em engrenagens ............................................................138
Unidade III
7 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS ..............................................................150
7.1 Momento estático ..............................................................................................................................150
7.2 Centro de gravidade de uma figura plana ...............................................................................152
7.3 Momento de inércia ..........................................................................................................................161
7.4 Translação de eixos ............................................................................................................................164
7.5 Módulo resistente ..............................................................................................................................168
7.6 Raio de giração ....................................................................................................................................168
8 FLEXÃO ...............................................................................................................................................................173
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APRESENTAÇÃO
A disciplina Resistência dos Materiais tem como principal objetivo relacionar as cargas aplicadas a 
uma peça ou estrutura às deformações resultantes, projetando assim dimensões e aplicações para um 
funcionamento sem falhas. São apresentados ao estudante de Engenharia conceitos e fundamentos 
de fenômenos referentes ao projeto de corpos rígidos, o que permite associar aplicações práticas de 
pensamentos complexos em situações reais da vida profissional.
Portanto, o objetivo geral é prover ao aluno o desenvolvimento da habilidade de análise dos 
fenômenos e capacitá-lo ao uso e emprego das equações fundamentais que regem os corpos rígidos.
O livro-texto abordará a revisão de alguns tópicos, com ênfase mais aprofundada em:
• revisão de mecânica geral;
• equilíbrio das estruturas;
• esforços solicitantes;
• tensão e deformação.
Em seguida, demonstrará novos conceitos e tratará sobre:
• cisalhamento;
• torção.
Por fim, retratará os seguintes assuntos:
• características geométricas de figuras planas;
• flexão.
Recomenda-se uma leitura apurada do texto, quantas vezes for preciso, para que seja adquirido o 
conceito apresentado.
INTRODUÇÃO
Este livro-texto é indicado aos alunos dos cursos de Engenharia, no qual consta a disciplina de 
Resistência dos Materiais. Os conceitos básicos são abordados de forma simples e objetiva para que o 
estudante dê início à análise estrutural e do comportamento dos materiais.
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A disciplina de Resistência dos Materiais considera um conhecimento prévio em mecânica, física, 
matemática e, principalmente, em estática. Porém, nos capítulos iniciais, esses conceitos serão revistos.
As teorias e equações apresentadas serão aplicadas em exercícios resolvidos; assim, o aluno terá um 
contato mais prático com os conceitos da disciplina.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Unidade I
1 REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – ESTÁTICA
Figura 1 
O estudo da Mecânica é dividido em três grandes áreas de conhecimento: Mecânica dos Corpos 
Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos. A resistência dos materiais se baseia 
nas leis da Estática e será aplicada para corpos rígidos e corpos deformáveis.
A Estática está fundamentada na primeira e terceira leis de Newton, que compreendem corpos 
rígidos sob ação de forças em equilíbrio. Desta maneira, será feita uma revisão de conceitos de grandezas 
vetoriais (força e momento).
O estudo dos efeitos de uma ou várias forças sobre um corpo é de extrema importância em resistência 
dos materiais, uma vez que, em todo projeto de Engenharia, o efeito das forças sobre a peça ou estrutura 
definirá um funcionamento sem apresentar falha.
• Força: segundo as leis de Newton, define-se força como a ação de um corpo sobre outro. É 
utilizado para sua representação, o conceito vetorial; portanto, a força tem um ponto de aplicação, 
intensidade, direção e sentido:
Equação: F m.a=


Quando a força é aplicada a um corpo, pode provocar deformação e/ou movimento. Um dos conceitos 
mais utilizados é o da força peso.
• Peso: é força que existe sobre todos os corpos, sendo exercida sobre eles por meio do campo 
gravitacional da Terra, conforme figura a seguir:
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Unidade I
Peso: características vetoriais
Direção: vertical
Sentido: de cima pra baixo
Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo
Figura 2 – Força peso
Consequentemente, cuidados devem ser utilizados para não se confundir massa e peso, porque, enquanto 
o peso de um corpo muda de acordo com a gravidade, o da massa nunca varia, ou seja, é constante.
1.1 Sistema internacional de medidas (SI)
Para padronizar as unidades de medida de várias grandezas, é adotado o SI. O quadro a seguir 
apresentará valores, definidos como básicos, e também os valores estabelecidos a partir deles, 
denominados derivados.
Quadro 1 – Unidade de medidas do Sl
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Força Newton N = kg.m/s2
Peso Newton N = kg.m/s2
Pressão Pascal Pa = N/m2
Tensão Pascal Pa = N/m2
A utilização de unidades maiores ou menores que a do SI pode ser acompanhada de múltiplos e 
submúltiplos das referidas unidades mediante o emprego dos prefixos SI. Vejamos alguns exemplos.
Quadro 2 – Múltiplos e submúltiplos da unidade
Prefixos Símbolo Fator
Giga G 109
Mega M 106
Quilo K 103
Deci D 10-1
Centi C 10-2
Mili M 10-3
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como dito, a força é uma grandeza vetorial, e conceitos de mecânica vetorial serão apresentados.
 Lembrete
As unidades mais comumente utilizadas para força são: Newton (N) ou 
Quilograma-força (kgf), em que 1 kgf é aproximadamente 10 N. Elas devem 
ser representadas no Sistema Internacional de Medidas (SI).
1.2 Resultante de uma força
Quando temos várias forças sendo aplicadas a um corpo determinado, a força resultante (efeito de 
uma só força) ajuda no estudo de seus efeitos sobre o corpo. A força resultante pode ser determinada 
por composição ou decomposição das forças.
1.2.1 Composição de forças
A soma ou subtração de forças somente será feita se elas estiverem na mesma direção, encontrando 
sua resultante.
Figura 3 – Composição de forças
Portanto, forças com a mesma direção e sentido são somadas, enquanto aquelas com a mesma 
direção e sentidos opostos são subtraídas.
1.2.2 Decomposição de forças
Forças com direções diferentes da sua resultante podem ser encontradas através da decomposição daquelas 
que talvez estejam no plano (direções x e y) ou no espaço (direções x, y e z), como demonstrado a seguir:
Figura 4 – Forças no espaço
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Unidade I
Para essa situação, utiliza-se a resultante Fr

ou suas componentes Fx, Fy e Fz para o estudo do efeito 
no corpo.
De maneira geral, o efeito das forças no plano é a maneira mais utilizada para análise de problemas 
envolvendo forças.
F

 = força a ser decomposta
α = ângulo formado por F

 em relação ao eixo x
Fx, Fy = componentes nas direções x e y
Figura 5 – Forças no plano
Utilizando a trigonometria, tem-se para essa situação:
( )
( )
( )
Fx F cos
Fy Fsen
Fy
tg
Fx
= α
= α
= α
Pelo Teorema de Pitágoras, a resultante fica:
2 2F Fx Fy= +

Exemplo 1
Dadas duas forçassobre um parafuso, determine a resultante atuando:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 6 
Resolução:
Como a força resultante é dada por 2 2F Fx Fy= +

, tem-se que calcular a componente das duas 
forças em relação a x (Fx) e a y (Fy).
Fx1 = F1cos(15º) = 200 * 0,96 ≅ 192 kN
Fx2 = F2cos(35º + 15º) = F2cos(50º) = 50 * 0,64 ≅ 32 kN
Fx = Fx1 + Fx2 ≅ 224 kN
Fy1 = F1sen(15º) = 200 * 0,25 ≅ 50 kN
Fy2 = F2sen(35º + 15º) = F2sen(50º) = 50 * 0,76 ≅ 38 kN
Fy = Fy1 + Fy2 ≅ 88 kN 
Logo, a força resultante é:
2 2F 224 88 240,66kN= + ≅

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Unidade I
Portanto, podem-se substituir as duas forças (F1 e F2) por uma única F

. Porém, qual seria o ângulo 
que essa nova força resultante teria sobre o parafuso: 15º, 35º ou um novo ângulo?
Figura 7 
Utilizando a relação trigonométrica, temos:
tg
cateto oposto
cateto adjacente
Fy
Fx
( ) ,α = = = =88
224
0 392
arctg(0,392) ≅ 21,40º
Ou seja, pode-se substituir o efeito das duas forças por uma única de aproximadamente 240,66 kN, 
com um ângulo de 21,40º.
Exemplo 2
Verifique se o sistema de forças está em equilíbrio:
Figura 8 
Resolução:
Em um sistema de forças em equilíbrio, a somatória de todas as forças em x e y são iguais a zero.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 
Fx = - F1cos(60º) - F2sen(30º) + F4 = - 10 - 5 + 15 = 0
Fy = + F1sen(60º) - F2cos(30º) - F3 = 17,32 - 8,66 - 8,66 = 0
Sim, o sistema está em equilíbrio de forças.
Exemplo 3
Determine as forças nos cabos para manter o motor em equilíbrio:
Figura 9 
Resolução:
Transformando nosso sistema de eixos x e y, temos:
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Unidade I
Figura 10 
Lembrando que P = m . a = 100 . 10 = 100 N
Para manter o sistema em equilíbrio, a somatória das forças em x e y tem que ser igual a zero, então:
∑Fx = 0 → FAcos(25º) - FBcos(65º) = 0 (1)
∑Fy = 0 → -FAsen(25º) + FBsen(65º) = 0 (2)
isolando FA na equação (1), tem-se:
FBcos(65º )
FA FA 0,466FB
cos(25º )
= → =
 (3)
Substituindo FA da equação (3) na equação (2):
- 0,466FB . sen(25º) + FBsen(65º) - P = 0
- 0,466FB + 0,906FB - 1000 = 0
- 0,196FB + 0,906FB = 1000
 0,71FB = 1000
FB ≅ 1408,45 N
Substituindo FB na equação (3):
FA = 0,466 . 1408,45 ≅ 656,33 N
FA = 656,33 N
FB = 1408,45 N
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1.3 Momento estático
Momento é definido como a grandeza física que dá a medida da tendência de uma força “F” provocar 
rotação em torno de um eixo fixo. A determinação do deve levar em consideração o módulo da força “F” 
e a distância da força em relação ao eixo fixo.
Figura 11 – Força e momento
O momento escalar é determinado como a relação do vetor “F”, que atua sobre um corpo rígido fixo 
no ponto “O”, da seguinte maneira:
Equação: M = Fxd
onde:
M é o momento escalar;
O é o polo ou o centro de momento;
d é a distância perpendicular de “O”, a linha de ação de “F”.
A unidade de momento é força vezes distância, portanto, no SI: M=N.m (Newton metro).
A fim de entender melhor o efeito da força em relação ao eixo fixo, um bom exemplo é a aplicação 
da força para se abrir uma porta.
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Unidade I
Figura 12 – Efeito da força sobre um eixo fixo
 Lembrete
Para cálculo do momento, força e distância devem formar um ângulo 
de 90º.
Na figura é possível ver duas forças, uma na direção tangencial à distância do eixo fixo (F1), e outra 
perpendicular à distância do eixo fixo (F2). A força F1 tem efeito de compressão sobre a porta, não tendo 
efeito giro. Já a F2, quando aplicada à maçaneta, faz com que a porta gire em torno do eixo fixo, abrindo 
ou fechando.
Quanto maior a distância de aplicação da força em relação ao eixo fixo, maior será o momento; por 
isso, quanto maior a distância da maçaneta da porta (posição A), mais fácil a sua abertura. Esse mesmo 
conceito pode ser aplicado na troca de um pneu de carro: quanto maior for a barra da ferramenta, 
menor o esforço para girar o parafuso.
No exemplo apresentado, o efeito da força faz com que o objeto gire em torno de um eixo fixo. 
Porém, no curso de Resistência dos Materiais, projetam-se peças ou estruturas resistentes a esse giro, 
ou seja, a aplicação da força não necessariamente trará giro ao corpo.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 1
Determine o momento da força em relação ao ponto “O” em cada uma das barras:
a)
F = 300 N
5 m
O
Figura 13 
Solução:
M = F x d
M = 300 x 5
M = 1500 N . m
Neste momento é importante determinar o sentido de giro da estrutura. Como ela está travada no 
ponto “O”, a tendência de giro é no sentido horário, lembrando que a estrutura não irá fazê-lo, trata-se 
apenas de sua tendência.
b)
5 m
3 m
O
F = 300 N
Figura 14 
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Unidade I
Resolução:
M = F x d
M = 300 x 3
M = 900 N . m sentido horário
Linha de ação da força F
F = 300 N
3 m
5 m
O
Figura 15 
Observe que, se unirmos a linha de ação de “F” com a distância de 5 m, não teremos um ângulo de 
90º. Portanto, a distância que gera momento é de 3 m.
c)
F = 300 N
F = 200 N
3 m
5 m
O
Figura 16 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 Observação
Neste exemplo têm-se duas forças, logo, deve-se considerar o efeito 
delas sobre o eixo “O”. Este livro-texto sempre irá considerar como positivo 
o sentido anti-horário, nada impedindo que se adote o contrário. Os 
resultados encontrados invariavelmente serão os mesmos.
y+
x+
+M
Figura 17 
Resolução:
M = F x d
M = -300 x 3 - 200 x 5
M = -1900
O sinal negativo mostra o sentido de giro; uma vez que foi adotado anti-horário como positivo, 
temos que o sentido real de giro é horário. Assim, será dada uma resposta positiva.
M = 1900 N . m sentido horário
d)
F = 300 N
F = 500 N
3 m
2,5 m 2,5 m
O
Figura 18 
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Unidade I
Resolução:
M = F x d
M = -300 x 3 + 500 x 2,5
M = + 350
M = 350 N . m sentido anti-horário
e)
100 kN
40º
4 m3 m
O
Figura 19 
Resolução:
Neste exemplo tem-se uma força com ângulo de 40º. Para o cálculo do momento, é necessário 
efetuar a decomposição da força nas direções x e y.
100 kN
40º
4 m3 m
O
Figura 20 
Fx = F . cos(40º) = 100 . 0,766 ≅ 76,6 kN
Fy = F . sen(40º) = 100 . 0,642 ≅ 64,2 kN 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Pode-se se observar que a linha de ação da força Fx não forma ângulo de 90º, não gerando momento. 
Já a decomposição da força em relação ao eixo y, configura um ângulo de 90º e será utilizada para o 
cálculo do momento.
M = F x d = - 64,2 x 3 ≅ - 192,6
M ≅ 192,6 N . m sentido horário
f)
F1 = 250 N
2 m 5 m
30º
O
60º
3 m
36,87º
F2 = 300 N
F3 = 500 N
Figura 21 
Resolução:
Decompondo-se as forças em relação a x e y, utilizando somente aquelas que geram momento, 
tem-se:
M = F x d
M = - F1cos(30º) x 2 - F2sen(60º) x 5 - F3cos(36,87º) x 5 + F3sen(36,87º)
M ≅ - 433,04 - 1299,03 + 2000 - 1200
M ≅ - 2532
M ≅ 2532 N . m sentido horário 
 
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Unidade I
 Saiba mais
Para o estudo de Mecânica Geral, é importante que o aluno entenda 
o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais, tais como: 
unidades, modelos e leis de movimento e equilíbrio.A fim de conhecer mais 
a respeito, leia: HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
2 EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS
Figura 22 
Ao olhar a seu redor, é possível encontrar uma infinidade de estruturas. Elas estão presentes em 
vários formatos: máquinas, automóveis, aviões, edifícios e até mesmo no corpo humano, na forma de 
ossos, músculos, tendões etc. Trata-se de sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e 
ao meio exterior, constituindo um conjunto estável.
O comportamento de uma estrutura independe de sua finalidade, e os mesmos conceitos são 
utilizados nas diversas áreas de conhecimento, ou seja, idêntica teoria que explica o funcionamento de 
uma estrutura mecânica aplica-se, por exemplo, àquelas civis, navais ou aeronáuticas.
2.1 Classificação das estruturas
As estruturas podem ser classificadas em três principais grupos dependendo de sua geometria, ou 
seja, em função das dimensões de comprimento, espessura e altura. São elas:
• Unidimensionais: uma dimensão predomina sobre as outras. Por exemplo: vigas, treliças, 
pilares e colunas.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 23 – Barra unidimensional
• Bidimensionais: duas dimensões predominam sobre a terceira. Por exemplo: placas, lajes e chapas.
Figura 24 – Chapa bidimensional
• Tridimensionais: três dimensões têm a mesma ordem de grandeza. Por exemplo: barragens e blocos.
Figura 25 – Bloco tridimensional
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Unidade I
 Observação
Há também a classificação quanto ao seu equilíbrio estático: sendo 
isostáticas, hipostáticas e hiperestáticas. Para as duas primeiras, os esforços 
internos e externos são determinados utilizando-se as três equações de 
equilíbrio estático (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0). Para as estruturas hiperestáticas, 
somente as três equações de equilíbrio não determinam os esforços. Este 
livro-texto abordará somente problemas isostáticos ou hipostáticos.
2.2 Vínculos ou apoios
Para uma estrutura em equilíbrio estático, quando a somatória de todas as forças aplicadas a ela é 
zero, deve-se impedir o deslocamento de pontos da estrutura, introduzindo vínculos (barreiras). Os 
pontos impedidos de deslocamento reagirão às forças aplicadas à estrutura em sentido contrário. 
O objetivo aqui é determinar o valor dessa força conhecida, como reação de apoio.
No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em 
duas direções e rotação. Dependendo do tipo de apoio, ele impedirá tais movimentos.
2.2.1 Apoio simples ou de primeiro gênero
Esse tipo de apoio trava a estrutura em uma única direção, portanto, tem-se apenas uma reação.
Figura 26 – Apoio simples
Para facilitar a representação, utilizam-se as seguintes simbologias:
Figura 27 – Representações de apoio simples
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como exemplo de movimento, tem-se o skate: pode-se movimentá-lo para frente e para trás e 
girar, porém, se o skatista ficar parado em cima, haverá uma reação no sentido contrário, impedindo o 
deslocamento para baixo.
2.2.2 Articulação ou apoio de segundo gênero
Esse tipo de apoio trava a estrutura em duas direções, portanto têm-se duas reações de apoio.
Figura 28 – Apoio de segundo gênero e sua representação
Como exemplo, tem-se a dobradiça da porta, para a qual o único movimento possível é o de rotação. 
Ela impede os movimentos para baixo e para cima, assim como para frente e para trás.
2.2.3 Engate ou apoio de terceiro gênero
Esse tipo de apoio trava a estrutura em três direções, logo, têm-se três reações de apoio. Nesse tipo 
de vínculo é necessário calcular o momento.
Figura 29 – Apoio de terceiro gênero e sua representação
Como exemplo de movimento, tem-se um poste enterrado no solo: todos os movimentos estão impedidos.
2.3 Tipos de carregamento
Segundo Philpot (2013), em geral, vários tipos de cargas são suportados pelas estruturas. Aquelas 
que atuam em um pequeno comprimento são denominadas cargas concentradas. As cargas de pilares 
(colunas) ou de outros elementos, assim como as forças de reações de apoio, são representadas 
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Unidade I
tipicamente por cargas concentradas. As cargas concentradas também podem representar cargas por 
roda de veículos ou as forças aplicadas por equipamentos à estrutura. As cargas que se estendem ao 
longo de uma parte da estrutura são denominadas cargas distribuídas. Aquelas que possuem módulo 
constante são denominadas cargas uniformemente distribuídas. Exemplos delas incluem o peso da laje 
de um piso de concreto ou as forças resultantes da ação do vento. Em alguns casos, a carga pode ser 
linearmente distribuída, o que significa que a carga distribuída, como o próprio termo sugere, tem seu 
módulo variando de modo uniforme ao longo do vão de carregamento. Pressões de neve, de solo e de 
fluidos são exemplos de considerações que podem criar cargas linearmente distribuídas. Uma estrutura 
também pode estar sujeita aos momentos concentrados, que tendem a flexioná-la e a girá-la. Com 
frequência, eles são criados por outros elementos que se conectam à estrutura principal.
Carga 
concentrada
Carga 
uniformemente 
distribuída
Carga linearmente 
distribuída
Momento 
concentrado 
(carga momento)
Figura 30 – Símbolos usados para vários tipos de cargas
2.4 Cálculo de reações de apoio
Para o cálculo das reações de apoio, serão utilizados os conceitos de estática, ou seja, um corpo está 
em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que nele atuam forem nulas.
∑Fx = 0 
∑Fy = 0 
∑M = 0 
Serão utilizados exemplos para melhor explicar o procedimento do cálculo das reações de apoio.
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Exemplo 1
Calcule as reações de apoio da estrutura:
100 kN
4 m4 m B
A
Figura 31 
Resolução:
A fim de facilitar o desenvolvimento do exercício, é possível colocar todas as forças em um diagrama, 
chamado diagrama de corpo livre (DCL).
Ray Rby
Rbx
100 kNDCL
Figura 32 
Lembrando que do lado A temos um vínculo de primeiro gênero, e do lado B, de segundo gênero. 
Portanto, precisamos determinar o valor das reações causadas por tais vínculos.
 Observação
Este livro-texto sempre adotará o seguinte sistema de eixos:
y+
x+
+M
Figura 33 
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Unidade I
O procedimento utilizado para resolver esses tipos de exercício será:
1) A somatória de forças em x deve ser igual a zero (sistema em equilíbrio).
∑Fx = 0
Como há somente RBx na direção x, então:
Rbx = 0
2) A somatória de forças em y deve ser igual a zero (sistema em equilíbrio).
∑Fy = 0 
Em y, têm-se:
Ray + Rby - 100 = 0
Ray + Rby = 100
Por enquanto, não é possível determinar as reações devido às duas incógnitas.
3) A somatória de momento em um ponto deve ser igual a zero (sistema em equilíbrio). Pode-se 
escolher qualquer trecho, geralmente seleciona-se aquele onde estão as duas reações de apoio. Neste 
caso, o ponto B.
∑MB = 0 
Rayx8 100x4 0
Rayx8 100x4
100x4
Ray
8
Ray 50kN
− + =
− = −
=
=
4) Após a determinação de uma das reações de apoio através da equação de momento, volta-se à 
somatória de forças em y para determinar a faltante, portanto:
Ray + Rby =100
50 + Rby =100
Rby = 100 - 50
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Rby = 50 kN
Ray = 50 kN
Rby = 50 kN
Neste exemplo, pode-se perceber que há uma força no centro da estrutura; a força se distribuirá 
igualmente para os dois lados (A e B).
Exemplo 2
Calcule as reações de apoio da estrutura:100 kN200 kN
3 m2 m 3 m B
A
Figura 34 
Resolução:
Ray Rby
Rbx
200 kN 100 kNDCL
Figura 35 
1) ∑Fx = 0
Rbx = 0
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 200 -100 = 0
Ray + Rby = 300
3) ∑MB = 0
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Unidade I
Rayx8 200x6 100x3 0
Rayx8 200x6 100x3
1500
Ray
8
Ray 187,5kN
− + + =
− = − −
=
=
4)
Ray + Rby =300
187,5 + Rby =300
Rby = 300 - 187,5
Rby = 112,5 kN
Ray = 187,5 kN
Rby = 112,5 kN 
 
Exemplo 3
Calcule as reações de apoio da estrutura:
8 m 2 m
150 kN
35º
BA
Figura 36 
Ray Rby
Rax
150 kN
DCL
Fx
Fy
Figura 37 
Fx = Fcos(35º) ≅ 150 x 0,82 ≅ 123 kN
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Fy = Fsen(35º) ≅ 150 x 0,57 ≅ 85,5 kN 
1) ∑Fx = 0
Rax - 123 = 0
Rax = 123 kN
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 85,5 = 0
Ray + Rby = 85,5
 Lembrete
Sempre que se tiver uma força inclinada, ela deverá ser decomposta nos 
eixos x e y para análise de seus efeitos sobre a estrutura.
3) Neste exemplo será encolhido o ponto A para somatória de momentos.
∑MA = 0
Rbyx10 85,5x8 0
Rbyx10 85,5x8
684
Rby
10
Rby 68,4kN
− + =
− =
=
=
4)
Ray + Rby =85,5
Ray + 68,4 =85,5
Ray = 85,5 - 68,4
Ray = 17,1 kN
Ray = 123 kN
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Unidade I
Ray = 17,1 kN
Rby = 68,4 kN
 
Exemplo 4
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Q = 50 kN/m
4 m
A
B
Figura 38 
A carga está uniformemente distribuída; sempre que ela estiver assim, deverá ser concentrada. Para 
concentrá-la, deve-se calcular a área da carga distribuída. Note que a carga representa um retângulo, 
em que o valor é a altura. A carga concentrada é encontrada multiplicando-se o comprimento da carga 
pelo seu valor.
Ray Rby
Rax
50 x 4 = 200 kN
2 m 2 m
DCL
Figura 39 
O ponto de aplicação da carga concentrada deve ser no centro geométrico da figura, no caso do 
retângulo na metade do comprimento total da carga distribuída. Atenção, esse ponto não fica no centro 
da estrutura, mas no centro da carga distribuída.
Uma vez que a carga foi concentrada, o exercício fica semelhante aos anteriores.
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 200 = 0
Ray + Rby = 200
3) ∑MA = 0
Rbyx4 200x2 0
Rbyx4 200x2
400
Rby
4
Rby 100kN
− =
=
=
=
4)
Ray + Rby = 200
Ray + 100 = 200
Ray = 200 - 100
Ray = 100 kN
Rax = 0 kN
Ray = 100 kN
Rby = 100 kN 
Exemplo 5
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Q = 50 kN/m
5 m 6 m
A
B
Figura 40 
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Unidade I
Ray Rby
Rax
50 x 6 = 300 kN
8 m 3 m
DCL
Figura 41 
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 300 = 0
Ray + Rby = 300 
3) ∑MA = 0
Rbyx11 300x8 0
Rbyx11 300x8
2400
Rby
11
Rby 218,18kN
− =
=
=
=
4)
Ray + Rby = 300
Ray + 218,18 = 300
Ray = 300 - 218,18
Ray = 81,82 kN
Rax = 0 kN
Ray = 81,82 kN
Rby = 218,18 kN
 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 6
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Q = 30 kN/m
100 kN
5 m 3 m 0,5 m2 m
A
B
Figura 42 
Ray Rby
Rax
3 x 30 = 90 kN100 kN
6,5 m 2 m2 m
DCL
Figura 43 
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 100 - 90 = 0
Ray + Rby = 190
3) ∑MA = 0 
Rbyx10,5 90x8,5 100x2 0
Rbyx10,5 90x8,5 100x2
965
Rby
10,5
Rby 91,90kN
− − =
= +
=
=
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Unidade I
4)
Ray + Rby = 190
Ray + 91,90 = 190
Ray = 190 - 91,90
Ray = 98,10 kN
Rax = 0 kN
Ray = 98,10 kN
Rby = 91,90 kN
 
Exemplo 7
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Q = 60 kN/m
6 m
A
B
Figura 44 
A carga é linearmente distribuída e a figura geométrica é um triângulo. Portanto, para calcular 
a carga concentrada, deve-se determinar a área do triângulo, em que o valor da carga é a altura do 
triângulo.
Ray Rby
Rax
4 m
= 2 m
= 180 kNDCL
6
3
6 x 60
2
Figura 45 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como a carga tem a forma de triângulo, seu ponto de aplicação fica no centro geométrico do 
triângulo, ou seja, é o valor da base (comprimento da carga) dividido por 3.
Uma vez que a carga foi concentrada, o exercício fica semelhante aos anteriores.
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 180 = 0
Ray + Rby = 180
3) ∑MA = 0
Rbyx6 180x4 0
Rbyx6 180x4
720
Rby
6
Rby 120kN
− =
=
=
=
4)
Ray + Rby = 180
Ray + 120 = 180
Ray = 180 - 120
Ray = 60 kN
Rax = 0 kN
Ray = 60 kN
Rby = 120 kN
 
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Unidade I
Exemplo 8
Calcule as reações de apoio da estrutura:
4 mA
B4 m
40 kN . m
Figura 46 
Ray Rby
Rax
40 kN . m
4 m 4 m
DCL
Figura 47 
Neste exemplo, tem-se um momento concentrado de 40 kN.m; consequentemente, o procedimento 
adotado para o cálculo das reações de apoio será igual. O cuidado que se deve ter é que o momento 
independe da distância: em qualquer ponto em que for calculado na estrutura, seu valor será de 40 kN.m.
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby = 0
Apesar de não haver força em y, não significa que as reações sejam nulas. A soma das duas é que 
será zero, ou seja, elas terão sentidos opostos.
3) ∑MA = 0
Rbyx8 40 0
Rbyx8 40
40
Rby
8
Rby 5
+ =
= −
−=
= −
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No início do exemplo, considerou-se no DCL o sentido de Rby para cima. Ao encontrar o valor 
negativo de Rby, não é que as contas estejam erradas, mas o sentido de Rby. Portanto, basta indicar no 
final do exemplo o sentido correto de B.
Rby = 5 kN↓
4) Como já se sabe, o sentido de Rby adotará o valor negativo para Rby (pois aponta o contrário ao 
eixo considerado positivo de y).
Ray - Rby = 0
Ray - 5 = 0
Ray = 5 kN
Rax = 0 kN
Ray = 5 kN↑
Rby = 5 kN↓
 
Exemplo 9
Calcule as reações de apoio da estrutura:
100 kN
4 m
Figura 48 
Ray
Rax
100 kN
4 m
DCL
Ma
Figura 49 
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Unidade I
Neste exemplo, a estrutura está engastada, ou seja, possui vínculo de terceiro gênero. Além de 
calcular as reações em x e y, tem-se uma terceira reação a ser calculada, o momento (Ma).
O sentido de Ma pode ser escolhido aleatoriamente: se ao final dos cálculos ficar positivo, estará 
correto, caso contrário, basta invertê-lo. Para tanto, pode-se ver que a força de 100 kN tem a tendência 
de fazer a estrutura girar no sentido horário; como Ma é uma reação, ela deverá ser contrária.
Um cuidado a ser tomado é que a estrutura esteja vinculada somente em A, não havendo reações 
em outro ponto.
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray - 100 = 0
Ray = 100 kN
3) ∑MA = 0
- 100 x 4 + Ma = 0
Ma = 100 x 4
Ma = 400 kN . m
Rax = 0 kN
Ray = 100 kN
Ma = 400 kN . m
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 10
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Q = 25 kN/m
8 m
Figura 50 
Ray
Rax
200 kN
4 m 4 m
DCL
Ma
Figura 51 
1) ∑Fx = 0
Rax = 0
2) ∑Fy = 0
Ray - 200 = 0
Ray = 200 kN 
3) ∑MA = 0
- 200 x 4 + Ma = 0
Ma = 200 x 4
Ma = 800 kN . m
Rax = 0 kN
Ray = 200 kN
Ma = 800 kN . m
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Unidade I
Nos exemplos seguintes, serão calculadas as reações de apoio às estruturas denominadas pórticos.
Exemplo 11
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Figura 52 
Figura 53 
45
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISSerá adotado o mesmo procedimento dos exemplos anteriores.
1) ∑Fx = 0
Rax - 10 = 0
Rax = 10 kN
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 20 = 0
Ray + Rby = 20
3) ∑MA = 0
Rbyx4 20x2 10x3 0
Rbyx4 10
10
Rby
4
Rby 2,5kN
− + =
=
=
=
4)
Ray + Rby = 20
Ray + 2,5 = 20
Ray = 20 - 2,5
Ray = 17,5 kN
Rax = 10 kN
Ray = 17,5 kN
Rby = 2,5 kN
 
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Unidade I
Exemplo 12
Calcule as reações de apoio da estrutura:
Figura 54 
Figura 55 
1) ∑Fx = 0
Rax + 30 = 0
Rax = - 30
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como o valor da reação em x ficou negativa, isso indica que o sentido adotado no DCL está errado, 
portanto: Rax = 30 kN ←
2) ∑Fy = 0
Ray + Rby - 30 - 25 - 20 = 0
Ray + Rby = 75
3) ∑MA = 0
Rbyx5 20x6 25x3 30x1 30x1,5 0
Rbyx5 180
180
Rby
5
Rby 36kN
− − − + =
=
=
=
4)
Ray + Rby = 75
Ray + 54 = 75
Ray = 75 - 54
Ray = 21 kN
Rax = 30 kN←
Ray = 21 kN
Rby = 54 kN
Exemplo 13
Uma empilhadeira de 2.700 kg é usada para levantar um caixote de 1.500 kg. Determine a reação em 
cada uma das duas (a) rodas dianteiras A e (b) traseiras B.
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Unidade I
0,4 m 0,6 m
A B
G’
G
0,3 m
Figura 56 
Para o exemplo, tem-se o seguinte DCL:
Figura 57 
Cuidado com o valor da força que deve ser transformada em Newton. Para simplificação, a gravidade 
será adotada com 10 m/s2.
∑Fx = 0
Ray + Rby - 15 - 28 = 0
Ray + Rby = 43
∑MB = 0
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
15x1,3 Rayx0,9 28x0,3 0
Rayx0,9 27,9
27,9
Rby
0,9
Rby 31kN
− + =
=
=
=
Ray + Rby = 46
Ray - 31 = 46
Ray = 12 kN
Como a empilhadeira possui duas rodas dianteiras e duas traseiras, as reações são divididas por dois. 
A reação na roda dianteira é de 6 kN, com 15,5 kN na traseira.
 
3 ESFORÇOS SOLICITANTES
Anteriormente foi demonstrado o efeito da aplicação de forças externas em um ponto e o que ele 
gerava em outro local (reações de apoio). Estudaremos o efeito dessa força internamente na estrutura. 
As forças internas podem gerar forças de tração ou compressão (forças normais), forças cortantes 
(cisalhantes) e momentos internos (momento fletor). Para o projeto de uma estrutura, deve-se estudar 
o efeito da força ao longo da estrutura, que varia com o seu comprimento. Uma das maneiras de estudar 
o comportamento das forças internas ao longo da estrutura é com a utilização de diagramas de força 
cortante, diagrama de momento fletor e diagrama de força normal.
Os diagramas expressam os valores de forças cortantes, momentos fletores e forças normais como 
funções de uma posição arbitrária x ao longo da estrutura. Com as suas respectivas equações, é 
possível determinar seus valores para qualquer ponto ao longo da estrutura. Tais informações são 
úteis aos engenheiros, para estabelecer os pontos de máximo valor das forças e definir onde colocar 
materiais de reforço.
A construção de diagramas será abordada através de exemplos de aplicação. No início, serão 
apresentados os diagramas de força cortante e momento fletor; ao final, o diagrama de força normal.
3.1 Força cortante (V)
Esforço cortante é a força perpendicular à peça, que é calculada a partir da tensão cisalhante sobre 
ela. O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma 
seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da peça. É indicado 
pela letra “V”.
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Unidade I
O exemplo a seguir ilustra como o esforço cortante atua em uma barra qualquer.
Figura 58 – Força cortante
3.2 Momento fletor (M)
O momento fletor é definido como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas 
de um dos lados da seção tomada como referência em relação a um eixo nela contido, no caso, o eixo 
z. O momento fletor tende a flexionar a peça, como resultado de tensões normais de sinais contrários 
na mesma seção, ou seja, tende a fazer a seção girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano, 
comprimindo uma parte e distendendo a outra. O momento fletor é indicado pela letra “M”.
Figura 59 – Momento fletor
3.3 Convenção de sinais
Para a construção dos diagramas de força cortante e momento fletor, é importante definir uma 
convenção de sinais antes de determinar as equações que definirão os esforços internos. Este livro-texto 
seguirá a seguinte convenção de sinais:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 60 – Convenção de sinais
Para melhor entendimento, resolveremos os exercícios sempre utilizando a convenção demonstrada na 
figura à esquerda, ou seja, um esforço cortante interno positivo de baixo para cima e um momento fletor 
positivo no sentido anti-horário. Nada impede que se utilize a convenção mostrada na figura à direita.
3.4 Diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M)
Os exemplos a seguir demonstrarão de forma prática a construção dos diagramas de força cortante 
(V) e momento fletor (M).
 Saiba mais
Para determinar a magnitude e o sentido da força cisalhante e do 
momento fletor em uma seção arbitrária da peça, aplica-se o método 
das seções, que consta em: UGURAL, A. C. Mecânica dos materiais. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009.
Exemplo 1
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para seguinte estrutura:
100 kN
4 mA
B4 m
Figura 61 
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Unidade I
Resolução:
Para facilitar a resolução do exemplo, será seguido um roteiro de cálculo.
1) Determine as reações de apoio.
 Observação
Este é um passo importante, pois, caso as reações sejam determinadas 
de forma incorreta, todos os cálculos estarão errados.
Ray Rby
Rbx
100 kNDCL
Figura 62 
∑Fx = 0
Rbx = 0
∑Fy = 0
Ray + Rby - 100 = 0
Ray + Rby = 100
∑MB = 0 
- Rayx8 + 100 x 4 = 0
Ray = 50 kN
Ray + Rby = 100
50 + Rby = 100
Rby = 50 kN
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ray = 50 kN
Rby = 50 kN
Rbx = 0
2) O próximo passo a ser seguido é fazer cortes na estrutura e introduzir os esforços internos. Eles 
devem ser realizados antes e depois de uma carga concentrada, lembrando que as reações de apoio são 
cargas concentradas. O corte é executado em uma posição arbitrária e desconhecida.
100 kN
4 m4 m
a
A
Bb
a b
Figura 63 
É necessário iniciar pelo corte a-a.
As equações que serão encontradas estão no intervalo entre 0 ≤ x ≤ 4, onde 0 representa o início 
da estrutura.
Ray = 50 kN
M+
V+
x
Figura 64 
Para determinar a força cortante (V), será calculada a somatória de forças em y.
∑Fy = 0
50 - V = 0
Portanto,
V = 50 kN
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Unidade I
Essa equação será utilizada para a construção do diagrama de força cortante.
Para determinar o momento fletor (M), será calculada a somatória de momentos no corte.
∑Ma - a = 0
- 50 . x + M = 0
Consequentemente,
M = 50 . xkN . m
Uma verificação importante pode ser feita: a derivada do momento M é igual a cortante V. Caso 
contrário, há algum erro.
Ao finalizar o corte a-a, passe ao corte b-b.
Ray = 50 kN
100 kN
x
x - 44 m
b
b
V+
M+
Figura 65 
Para esse segundo corte, a estrutura deve ser novamente desenhada, desconsiderando o corte a-a.
As novas equações que forem encontradas valem no intervalo entre 4 ≤ x ≤ 8; o intervalo de valores 
de x deve ser acumulado, ou seja, onde um intervalo terminar, outro deve começar. Neste exemplo, 
como temos dois cortes, o término será o final da estrutura.
A distância precisa ser sempre do início da estrutura atéo corte e vale x. Como já se conhece a 
distância do início até a carga de 100 kN e o seu comprimento total é x, a parte que falta da força até 
o corte é x-4.
Procedendo como no corte anterior, determinam-se as equações de força cortante e momento fletor.
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∑Fy = 0
50 - 100 - V = 0
V = - 50 kN
∑Mb - b = 0 
- 50 . x + 100 . (x - 4) + M = 0
- 50 . x + 100 . x - 400 + M = 0
M = - 50 . x + 400
Resumindo:
Tabela 1 
Intervalo Cortante (V) (kN) Momento fletor (M) (kN.m)
0 ≤ x ≤ 4 V = 50 M = 50 . x
4 ≤ x ≤ 8 V = - 50 M = - 50 . x + 400
3) Construção do diagrama de força cortante e momento fletor.
Figura 66 
Para construção do diagrama de força cortante, observa-se que, no intervalo entre 0 ≤ x ≤ 4, a 
equação é constante a 50 kN. No intervalo, em que há cargas concentradas sempre, o valor da cortante 
será constante. O mesmo ocorre no intervalo 4 ≤ x ≤ 8.
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Unidade I
A equação para a construção do diagrama de momento fletor é linear, ou seja, uma reta. Para a 
construção de uma reta, são necessários dois pontos. O ideal é que sejam usados os pontos de início e 
fim de intervalo.
0 ≤ x ≤ 4 
M = 50 . x
para x = 0 → M = 50 . 0 = 0
para x = 4 → M = 50 . 4 = 200
Marcando os dois pontos no diagrama e ligando-os com uma reta, tem-se a primeira parte 
do diagrama.
4 ≤ x ≤ 8 
M = - 50 . x + 400
para x = 4 → M = -50 . 4 + 400 = 200
para x = 8 → M = -50 . 8 + 400 = 0
Assinalando os dois pontos no diagrama e ligando-os com uma reta, tem-se a segunda parte 
do diagrama.
 
 Observação
No diagrama de momento fletor, o valor de x onde um intervalo termina 
é igual onde outro começa, portanto, nesse ponto, ambas as equações 
encontradas devem ter o mesmo valor, ou seja, substituindo o valor 4 nas 
equações dos dois intervalos, encontra-se o valor 200 kN.m. Esta é uma 
maneira de conferir se as equações estão corretas, o que ocorre somente se 
não houver momento concentrado na estrutura. Tal situação será estudada 
em exemplos posteriores.
Em estruturas com apoios de primeiro e segundo gêneros (estruturas 
apoiadas), o diagrama de momento fletor sempre será zero nos apoios. Em 
estruturas engastadas, o diagrama se inicia ou termina com o valor do 
momento no engaste.
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Exemplo 2
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para a seguinte estrutura:
100 kN 150 kN
4 m3 m3 mA
B
Figura 67 
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
Ray Rby
Rbx
100 kN 150 kNDCL
Figura 68 
Os procedimentos para se determinar as reações de apoio já foram apresentados, portanto:
Rbx = 0
Ray = 130 kN
Rby = 120 kN
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Unidade I
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
100 kN 150 kN
3 m 3 m 4 m
c
cb
b
a
A
B
a
Figura 69 
Intervalo: 0 ≤ x ≤ 3
Ray = 130 kN X
a
a
V+
M+
Figura 70 
∑Fy = 0
130 - V = 0
V = 130 kN
∑Ma - a = 0
- 130 . x + M = 0
M = 130 . x
Intervalo: 3 ≤ x ≤ 6
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ray = 130 kN
3 m
100 kN
x - 3
x
b
b
V+
M+
Figura 71 
∑Fy = 0
130 - 100 - V = 0
V = 30 kN
∑Mb - b = 0
- 130 . x + 100 . (x - 3) + M = 0
- 130 . x + 100 . x - 300 + M = 0
M = 30 . x + 300
Intervalo: 6 ≤ x ≤ 10
Ray = 130 kN 3 m
100 kN 150 kN
3 m x - 6
x
c
c
V+
M+
Figura 72 
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Unidade I
∑Fy = 0
130 - 100 - 150 - V = 0
V = - 120 kN
∑Mc - c = 0
- 130 . x + 100 . (x - 3) + 150 . (x - 6) + M = 0
- 130 . x + 100 . x - 300 + 150 . x - 900 + M = 0
M = -120 . x + 1200
Resumindo:
Tabela 2 
Intervalo Cortante (V) (kN) Momento fletor (M) (kN.m)
0 ≤ x ≤ 3 V = 130 M = 130 . x
3 ≤ x ≤ 6 V = 30 M = 30 . x + 300
6 ≤ x ≤ 10 V = -120 M = - 120 . x + 1200
3º passo – construção do diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M).
Figura 73 
0 ≤ x ≤ 3 
M = 130 . x
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
para x = 0 → M = 0
para x = 3 → M = 330 
3 ≤ x ≤ 6 
M = 30 . x + 300
para x = 3 → M = 330
para x = 6 → M = 480
6 ≤ x ≤ 10 
M = - 120 . x + 1200
para x = 6 → M = 4800
para x = 10 → M = 0
 
Nos exemplos anteriores, foram vistos o diagrama de força cortante e o momento fletor para cargas 
concentradas. Agora, serão construídos os diagramas para cargas distribuídas.
Exemplo 3
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para seguinte estrutura:
Q = 100 kN/m
5 m
A
B
Figura 74 
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
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Unidade I
Os procedimentos para determinar as reações de apoio já foram apresentados, portanto:
Rax = 0
Ray = 250 kN
Rby = 250 kN
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
A principal diferença no corte, quando se tem uma carga distribuída, é que ele deve ser feito dentro 
da carga distribuída em uma posição arbitrária e desconhecida x.
a
aA
B
5 m
Q = 100 kN/m
Figura 75 
Como a carga está distribuída no comprimento total da estrutura, o intervalo será entre 0 ≤ x ≤ 5.
Q = 100 kN/m
100 . x
x/2 x/2
x
a
a
V+
M+
Ray = 250 kN
Figura 76 
Sempre que uma carga estiver distribuída, ela deve ser concentrada. Como visto, multiplica-se o 
comprimento pelo valor da carga, sendo seu ponto de aplicação o centro. Na parte da estrutura que 
foi cortada, o valor se mantém 100kN/m, porém o seu comprimento foi reduzido a x. Portanto, a carga 
concentrada é 100.x e seu ponto de aplicação fica na metade de x. Conforme os exemplos anteriores:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
∑Fy = 0
250 - 100 . x - V = 0
V = 250 - 100x
∑Ma - a = 0
2
x
250.x 100.x. M 0
2
M 250.x 50.x
− + + =
= −
Outra diferença encontrada no diagrama para cargas distribuídas é que a equação da cortante 
sempre será de primeiro grau (reta) e o momento fletor uma equação de segundo grau (parábola).
3º passo – construção do diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M).
Figura 77 
0 ≤ x ≤ 5 
V = 250 - 100 . x
para x = 0 → V = 250
para x = 5 → V = - 250
Como a equação da cortante é de primeiro grau, liga-se os dois pontos com uma reta.
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Unidade I
0 ≤ x ≤ 5 
M = 250 . x - 50 . x2
para x = 0 → M = 0
para x = 5 → M = 0
Como a equação do momento fletor é de segundo grau, liga-se os dois pontos com uma parábola; 
o sinal do termo quadrático definirá o lado da parábola.
Um conteúdo importante que deve ser encontrado para cargas distribuídas é o ponto máximo ou 
mínimo da parábola. Quando a cortante passar pelo eixo zero, ou seja, V=O, tem-se um ponto de máximo 
ou mínimo da parábola, então:
V 250 100.x
0 250 100x
250
x
100
x 2,5m
= −
= −
=
=
Aplicando o valor de x encontrado na equação do momento fletor, tem-se o valor de momento máximo.
M = 250 . x - 50 . x2 
M = 250 . 2,5 - 50 . 2.52
M = 312,5 kN . m
 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 4
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para seguinte estrutura:
2 m 2 m 2 m 2 m B
B
50 kN
150 kN/m
Figura 78 
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
Rbx = 0
Ray = 150 kN
Rby = 200 kN
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
50 kN
150 kN/m
dcba
dcba
2 m 2 m 2 m 2 m
B
A
Figura 79 
Intervalo: 0 ≤ x ≤ 2
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Unidade I
Ray = 150 kN x M+
V+
a
a
Figura 80 
∑Fy = 0
150 - V = 0
V = 150 kN
∑Ma - a = 0
- 150 . x + M = 0
M = 150 . x
Intervalo: 2 ≤ x ≤ 4
Ray = 150 kN
x
M+
2 m2 m x - 2
50 kN
V+
b
b
Figura 81 
∑Fy = 0
150 - 50 - V = 0
V = 100 kN
∑Mb - b = 0
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- 150 . x + 50 . (x - 2) + M = 0
- 150 . x + 50 . x - 100 + M = 0
M = 100 . x + 100
Intervalo: 4 ≤ x ≤ 6
Ray = 150 kN
x
M+
2 m2 m x - 4
50 kN 150 . (x - 4)
V+
c
c
Figura 82 
∑Fy = 0
150 - 50 - 150 . (x - 4) - V = 0
150 - 50 - 150 . x + 600 - V = 0
V - 150 . x + 700
∑Mc - c = 0
( )
( )2
2
2
2
(x 4)
150.x 50.(x 2) 150. x 4 . M 0
2
150.x 50.x 100 75 x 8x 16 M 0
150.x 50.x 100 75.x 600.x 1200 M 0
700.x 75.x 1100 M 0
M 75.x 700.x 1100
−− + − + − + =
− + − + − + + =
− + − + − + + =
− + + + =
= − + −
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Unidade I
Intervalo: 6 ≤ x ≤ 8
50 kN
2 m 2 m 2 m x - 6
x
M+
V+
d
d
300 kN
150 kN/m
Ray = 150 kN
Figura 83 
∑Fy = 0
150 - 50 - 300 - V = 0
V = - 200 kN
∑Md - d = 0
- 150 . x + 50 . (x - 2) + 300 . (x - 5) + M = 0
- 150 . x + 50 . x - 100 + 300 . x - 1500 + M = 0
M = - 200 . x + 1600
Resumindo:
Tabela 3 
Intervalo Cortante (V) (kN) Momento fletor (M) (kN.m)
0 ≤ x ≤ 2 V = 150 M = 150 . x
2 ≤ x ≤ 4 V = 100 M = 100 . x + 100
4 ≤ x ≤ 6 V = - 150 . x + 700 M = - 75 . x2 + 700 . x - 1100
6 ≤ x ≤ 8 V = - 200 M = - 200 . x + 1600
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3º passo – construção do diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M).
Aplicando as equações como nos exemplos anteriores, tem-se:
Figura 84 
 Observação
Na região onde a carga é distribuída, é preciso determinar o momento 
máximo, que ocorre onde a cortante é zero.
V = - 150 . x + 700
0 = - 150 . x + 700
x = 4,67
M = - 75 . x2 + 700 . x -1100
M = - 75 . (4,672) + 700 . 4,67 - 1100
M = 533,3 kN . m
 
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Unidade I
Exemplo 5
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para a seguinte estrutura:
100 kN
4 m
Figura 85 
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
Ray
Rax
100 kN
4 m
DCL
Ma
Figura 86 
Como visto, estruturas engastadas geram reação de momento no engaste, portanto:
Rax = 0
Ray = 100 kN
Ma = 400 kN . m
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
Ma = 400 kN . m
Ray = 100 kN
x
a
a
V+
M+
Figura 87 
Intervalo: 0 ≤ x ≤ 4
∑Fy = 0
100 - V = 0
V = 100 kN
∑Ma - a = 0
- 100 . x + 400 + M = 0
M = 100 . x - 400
3º passo – construção do diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M).
Figura 88 
0 ≤ x ≤ 4 
M = 100 . x - 400
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Unidade I
para x = 0 → M = - 400
para x = 4 → M = 0 
Exemplo 6
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para seguinte estrutura:
M = 80 kN . m
Q = 50 kN . m
2 m1 m1 m
Figura 89 
1º passo – reações de apoio.
Rax = 0
Ray = 100 kN
Ma = 220 kN . m 
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
M = 80 kN . m
Q = 50 kN . mc
c
b
b
a
a 1 m 1 m 2 m
Figura 90 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Intervalo: 0 ≤ x ≤ 1
Ma = 220 kN . m
Ray = 100 kN
x
a
a
V+
M+
Figura 91 
∑Fy = 0
100 - V = 0
V = 100 kN
∑Ma - a = 0
- 100 . x + 220 + M = 0
M = 100 . x - 220
Intervalo: 1 ≤ x ≤ 2
Ma = 220 kN . m
1 m x - 1
M+
V+
b
b
x
Ma = 80 kN . m
Ray = 100 kN
Figura 92 
∑Fy = 0
100 - V = 0
V = 100 kN
∑Mb - b = 0
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Unidade I
- 100 . x + 220 + 80 + M = 0
M = 100 . x - 300
Intervalo: 2 ≤ x ≤ 4
Ma = 220 kN . m
1 m 1 m x - 2
50 . (x - 2)
M+
c
c
V+
x
Mx = 80 kN . m
Ray = 100 kN
Figura 93 
∑Fy = 0
100 - 50 . (x - 2) - V = 0
100 - 50 . x + 100 - V = 0
V = 200 - 50 . x
∑Mc - c = 0
( ) ( )
( )2
2
2
x 2
100.x 220 80 50. x 2 . M 0
2
100.x 220 80 25 x 4.x 4 M 0
100.x 220 80 25.x 100.x 100 M 0
M 25.x 200.x 400
−
− + + + − + =
− + + + − + + =
− + + + − + + =
= − + −
Resumindo:
Tabela 4 
Intervalo Cortante (V) (kN) Momento fletor (M) (kN.m)
0 ≤ x ≤ 1 V = 100 M = 100 . x - 220
1 ≤ x ≤ 2 V = 100 M = 100 . x - 300
2 ≤ x ≤ 4 V = 200 - 50 . x M = - 25 . x2 + 200 . x - 400
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3º passo – construção do diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M).
Figura 94 
No diagrama de momento fletor observa-se um degrau para o comprimento x = 2 m. Essa diferença 
é ocasionada pelo momento concentrado de 70 kN.m.
 
3.5 Diagrama de força normal (N)
O diagrama de força normal apresenta o efeito da força que age no sentido de compressão ou tração 
na peça ou estrutura, ou seja, na direção perpendicular à área da seção transversal. O efeito provocado 
pela força normal é de alongamento ou encurtamento da estrutura, mantendo sua seção transversal 
paralela e plana.
Figura 95 – Efeitos da força normal
A convenção de sinais adotada considera a força normal como positiva se seu efeito for de tração e 
negativa se ele for de compressão. Adotaremos a força normal positiva saindo do corte.
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Unidade I
Figura 96 – Sinais no corte
Exemplo 1
Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura:
25 kN
5 m
Figura 97 
1º passo – reações de apoio.
Ray
Rax 25 kN
DCL
Ma
Figura 98 
∑Fx = 0
Rax - 25 = 0
Rax = 25 kN
∑Fy = 0 
Ray = 0
∑FMa = 0
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ma = 0
Rax = 25 kN
Ray = 0
Ma = 0
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
Figura 99 
∑Fx = 0
25 + N = 0
N = - 25 kN
3º passo – construção do diagrama de força normal.
Figura 100
Pode-se observar que a força normal de compressão de 25 kN age em todo o comprimento da estrutura.
 
Exemplo 2
Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura:
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Unidade I
Placas de 
suporte
60 kN
80 kN
d
c
b
a
120 kN
Figura 101
1º passo – reações de apoio.
Ray = - 100 kN
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
Placas de 
suporte
60 kN
80 kN
d
c
b
a
120 kN
Figura 102
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Analisando de baixo para cima:
N
Ray = 100 kN
Figura 103
∑Fy = 0
100 + N = 0
N = -100 kN
120 kN
N
Ray = 100 kN
Figura 104
∑Fy = 0
100 - 120 + N = 0
N = 20 kN 
80
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Unidade I
80 kN
c
b
a
120 kN
N
Ray = 100 kN
Figura 105
100 - 120 + 80 + N = 0
N = - 60 kN
3º passo – construção do diagrama de força normal.
Figura 106
81
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 3
Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura:
Figura 107
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
Ray = 53,3 kN↑
Rbx = 120 kN→
Rby = 73,3 kN↓
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
Ela será dividida em três partes e analisada do ponto A ao ponto B.
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Unidade I
Figura 108
Na barra 1, somente a reação de apoio de 53,3 kN causa compressão. Então, nessa região, o diagrama fica:
Figura 109
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As forças de 53,3 kN e 120 kN são transferidas para a barra 2. Nela, a energia que causa força normal 
é 120 kN, que foi transportada da barra 1.
As forças agora devem ser transferidas para barra 3. Em x, teremos 120 kN, que não causa força 
normal na barra 3. Em y, temos a somatória delas (53,3-60+70= 73,3).
Figura 110
Nessa região, o diagrama fica:
Figura 111
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Unidade I
Exemplo 4
Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura:
Figura 112
Resolução:
1º passo – reações de apoio.
Ray = 167,1 kN↑
Rbx = 210 kN→
Rby = 67,9 kN↓ 
2º passo – fazer os cortes na estrutura.
As cargas distribuídas devem ser concentradas; será adotado o mesmo procedimento do 
exemplo anterior.
A estrutura será dividida em quatro partes e analisada do ponto A ao ponto B.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 113
Analisando da mesma maneira o exemplo anterior, tem-se o diagrama de força cortante.
Figura 114
 
Estudamos os três principais efeitos de uma força aplicada a uma peça ou estrutura, construindo o seu 
diagrama. A seguir, inseriremos o material e a geometria da peça da qual é feita, podendo assim projetá-la.
Ao se aplicar uma força na peça ou estrutura, aparecerão tensões que podem ser normais (diagrama 
de força normal), cisalhantes (diagrama de força cortante) e de flexão (diagrama de momento fletor). 
Por isso, existe a importância de se conhecer os diagramas aqui apresentados.
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Unidade I
4 TENSÃO E DEFORMAÇÃO
Anteriormente analisou-se o efeito da aplicação de forças sobre uma peça ou estrutura, considerando 
a estática das leis de Newton. Apenas com conhecimento dos efeitos da aplicação dessas leis, o engenheiro 
não será capaz de projetar uma peça para que ela funcione sem apresentar falha.
Um projeto de engenharia deve levar em consideração a relação entre as forças aplicadas a uma 
peça, a geometria e o material a ser utilizado. A realização de um projeto que atenda aos quesitos de 
segurança e à funcionalidade, como de carros, aviões, pontes, edifícios e equipamentos, deve levar em 
consideração sua resistência, rigidez e estabilidade.
É necessário o conhecimento das forças internas e deformações que agem no interior do corpo 
como um entendimento das características mecânicas do material usado para fazer a peça ou estrutura.
4.1 Tensão
Tensão é o resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção analisada na 
estrutura submetida a solicitações mecânicas.
Força
Tensão
Área
=
A tensão pode ser de dois tipos: cisalhante e normal.
Te
ns
ão
 c
isa
lh
an
te
Tensão normal
Figura 115 – Tensões agindo em uma peça
• Tensão cisalhante (τ): é provocada por torção e cisalhamento, além de atuar na direção tangencial 
à área da seção transversal.
• Tensão normal (Σ): é ocasionada por tração, compressão e flexão que ocorrem na direção normal 
(perpendicular) à área da seção transversal.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Matematicamente, quando uma força normal “F”, que atua na peça, origina nela uma tensão normal 
“Σ” (sigma), que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada “F” e a área da 
seção transversal da peça “A”, temos:
Equação: 
F
A
σ =
Figura 116 – Tensão normal
A unidade de medida no SI é:
• F: Newton (N);
• A: metros quadrados (m2);
• Σ: N/m2 (Pa).
Na prática, o pascal torna-se uma medida pequena para tensão; então, se usa múltiplos desta 
unidade (MPa, GPa).
Exemplo 1
Uma barra de seção circular com 70 mm de diâmetro é tracionada por uma carga 100 kN. Determine 
a tensão normal atuante na barra:
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Unidade I
100 kN
Figura 117
3
2 2
2
F 100.10 N
d 80mm 0,08m
.d .0,08
A 0,005m
4 4
=
= =
π π= = =
3
6
2
F 100.10 N
20.10 20MPa
A 0,005 m
σ = = = =
 
4.2 Deformação
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Tais alterações 
são denominadas deformação (ε).
Matematicamente se expressa a deformação como a relação entre a variação do comprimento da 
peça (∆L) e comprimento inicial da peça (Lo):
Equação: 
L L Lo
Lo Lo
∆ −ε = =
Figura 118 – Deformação
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A deformação é adimensional, porém algumas literaturas apresentam a unidade como comprimento/
comprimento (por exemplo, mm/mm).
Exemplo 1
Uma carga de 25 kN é aplicada a um fio metálico com 500 mm de comprimento e diâmetro de 10 
mm, provocando um alongamento de 0,20 mm. Determine a deformação deste fio:
Figura 119
Resolução:
Dados:
L0 = 500 mm
∆L = 0,20 mm
Note que o alongamento é a variação de comprimento do fio, não a deformação. Uma maneira de 
diferenciar as informações é por meio da unidade; lembre-se que a deformação é adimensional.
L 0,20
0,0004
Lo 500
∆ε = = =
 
Como visto, a aplicação de força em um corpo provoca nele tensão e deformação. Pode-se então 
relacionar a tensão e a deformação através de um gráfico conhecido como diagrama tensão x deformação.
4.3 Diagrama tensão x deformação
Para projetar adequadamente um componente estrutural ou mecânico, o engenheiro deve entender 
e trabalhar respeitando as características e as limitações do material usado no objeto. Materiais como 
aço, alumínio, plástico e madeira respondem de maneira diferente a cargas e tensões aplicadas. A fim 
de determinar a resistência e as características dos elementos, são exigidos ensaios laboratoriais. De 
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Unidade I
acordo com Philpot (2013), um dos mais simples e eficientes modos para se obter informações úteis aos 
projetos de engenharia sobre um material é denominado ensaio de tração.
Ele consiste em aplicar uma força variável em um corpo de prova cujas dimensões são padronizadas pela 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Em se tratando de chapas, pode ser cilíndrico ou chato.
Figura 120 – Corpos de prova para ensaio de tração
O corpo de prova é colocado em uma máquina de tração, que vai aumentando o valor da carga 
aplicada ao corpo de prova até seu rompimento.
Garra 
superior
Garra inferior
Comprimento 
útil
F FA
Lo
Bordas de 
lâmina
Extensômetro
Figura 121 – Esquematização de um ensaio de tração
Atualmente, as máquinas de tração são equipadas com sensores e conectadas a computadores. No 
início do ensaio de tração, o operador insere os dados de comprimento inicial (Lo) e a área do corpo de 
prova (A). Os sensores (extensômetros) medem a variação do comprimento inicial, enquanto as células 
de carga mensuram a variação da força. Esses dados são enviados ao computador, que calcula a tensão 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(força/área) e a deformação (variação do comprimento/comprimento inicial); a partir daí, cria-se o 
diagrama tensão x deformação.
Figura 122 – Principais pontos do diagrama tensão x deformação
No diagrama tensão x deformação, pode-se observar alguns pontos importantes:
• Tensão de proporcionalidade: representa o valor máximo da tensão; abaixo deste, o material 
retorna ao estado inicial.
• Tensão limite de resistência: corresponde à máxima tensão atingida no ensaio de tração.
• Tensão de ruptura: equivale à ruptura do corpo de prova.
• Deformação elástica: refere-se ao trecho da curva tensão x deformação, compreendido entre a 
origem e o limite de proporcionalidade.
• Deformação plástica: