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F́ısica III-A - 2020/1
Lista 3: Potencial Elétrico
1. (F) Qual é a diferença de potencial necessária para acelerar um elétron do repouso até uma velocidade igual a
40% da velocidade da luz no vácuo? Dados: me = 9.1× 10−31 kg, e = 1.6× 10−19 C, c = 3.0× 108 m/s.
2. (F) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes +q e −q (q > 0) separadas por uma
distância d. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme ~E e o vetor momento de dipolo
elétrico associado ~p faz um ângulo φ com ~E.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um
campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
U = −pE cosφ = −~p · ~E,
onde p = |~p| = qd.
(b) Faça um gráfico de U(φ). Em qual orientação o dipolo está em equiĺıbrio estável? E em equiĺıbrio instável?
3. (F) Duas cargas puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância d, produzem um potencial V (P ) = 0 em um
ponto P do espaço que está a uma distância finita das duas cargas. Considere que o potencial gerado por cada
carga é nulo para pontos infinitamente afastados delas.
(a) As duas cargas podem ter o mesmo sinal? Justifique.
(b) O campo elétrico também será necessariamente nulo no ponto P? Justifique.
(c) Calcule o trabalho realizado pela força elétrica para trazer uma terceira carga puntiforme q do infinito até
o ponto P .
4. (F) Um modelo simples para um cristal iônico de estrutura cúbica como o NaCl consiste em posicionarmos
cargas puntiformes +q e −q (q > 0) sobre os vértices de um cubo de aresta d, conforme mostrado na figura
abaixo. Considere que a energia potencial elétrica do sistema é nula quando todas as cargas estão infinitamente
afastadas umas da outras.
(a) Determine a energia potencial elétrica total desta configuração e discuta a sua estabilidade.
(b) Determine o potencial elétrico no centro do cubo, supondo que o potencial produzido por cada carga é nulo
em um ponto infinitamente afastado delas.
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5. (M) Um anel circular fino, isolante, de raio R possui uma carga Q uniformemente distribúıda sobre seu compri-
mento.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo anel para um ponto ao longo do eixo perpendicular ao plano do
anel e que passa por seu centro, a uma distância z do centro.
(b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto.
(c) Uma part́ıcula puntiforme de massa m e carga q, de mesmo sinal que Q, encontra-se em movimento ao longo
do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente
afastada do anel, vale v0, qual será a menor distância entre a part́ıcula e o centro do anel?
6. (D) Um disco circular isolante de raio R possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por
σ(r) = σ0 (R/r), onde σ0 é uma constante positiva e r é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma
distância z do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior.
(b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto. Compare com o resultado obtido na primeira lista de
exerćıcios.
Dado (verifique!): ∫
dx√
x2 + a2
= ln
∣∣∣x+
√
x2 + a2
∣∣∣+ const
7. (D) Uma barra fina e isolante de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas
com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade linear de carga
não-uniforme dada por λ(x) = λ0 (x/a) (−a ≤ x ≤ a), onde λ0 é uma constante positiva. Considere que o
potencial eletrostático produzido por esta barra é nulo em um ponto infinitamente afastado dela.
(a) Determine a carga total da barra.
(b) Determine o potencial eletrostático produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X , a uma distãncia
xP > a da origem.
(c) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item (b) no limite xP � a. Interprete o resultado.
Dado:
ln
(
1 + x
1− x
)
≈ 2x+
2
3
x3, para |x| � 1
8. (M) Um fio fino e retiĺıneo, carregado com uma densidade linear de carga constante λ, é posicionado sobre o
eixo de uma casca ciĺındrica condutora, neutra, de raio interno a e raio externo b > a. Ambos são infinitos e o
sistema se encontra em equiĺıbrio eletrostático.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo sistema em um ponto localizado
a uma distância s do eixo, considerando as regiões (i) s b.
(b) Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superf́ıcies interna e externa da casca ciĺındrica.
(c) Determine o potencial elétrico produzido pelo sistema no mesmo ponto indicado no item (a), considerando
as mesmas regiões do espaço. Tome como zero um ponto sobre a superf́ıcie externa da casca, ou seja, s = b.
9. (M) Considere uma esfera maciça de raio R, carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e
positiva ρ.
(a) Esta esfera é condutora ou isolante? Justifique.
(b) Sejam A, B e C pontos localizados no interior, na superf́ıcie e no exterior da esfera, respectivamente. Sejam
VA, VB e VC os valores do potencial elétrico nestes pontos, respectivamente. Sem calcular explicitamente
os potenciais, ordene esses três potenciais do maior para o menor.
(c) O que mudaria na resposta do item anterior se ρ fosse negativo?
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10. (D) Uma esfera maciça de raio R possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por ρ(r) =
ρ0(r/R), onde ρ0 é uma constante positiva e r é a distância até o centro dela.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em um ponto localizado
a uma distância r do centro, considerando as regiões (i) r ≤ R e (ii) r > R.
(b) Determine o potencial elétrico no mesmo ponto, considerando as mesmas regiões do espaço. Tome como
zero um ponto infinitamente afastado da esfera.
(c) Faça gráficos do potencial e da intensidade do campo elétrico como função de r.
11. (M) Uma placa isolante, infinita, de espessura 2d é posicionada paralelamente ao plano XY de um sistema
de coordenadas, de forma a ocupar a região delimitada por −d ≤ z ≤ d. Ela está uniformemente carregada
com uma densidade volumétrica de carga ρ0. Utilizando o campo elétrico calculado para este sistema na lista
anterior, obtenha o potencial elétrico em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre o plano médio da
placa, ou seja, z = 0.
12. (F) Considere três objetos, I, II e III, mostrados na figura abaixo, na presença do campo eletrostático gerado
por uma carga puntiforme positiva (indicada por um sinal positivo no centro da figura), alterado pela presença
dos objetos. Todas as linhas orientadas (“com setinhas”) mostradas são linhas de campo elétrico e V indica o
potencial elétrico.
(a) O objeto I pode ser um condutor em equiĺıbrio eletrostático? Justifique.
(b) Se VA > VB , o objeto II pode ser um condutor em equiĺıbrio eletrostático? Justifique.
(c) Se o objeto III é um condutor em equiĺıbrio eletrostático, devemos ter necessariamente VC = 0? Justifique.
13. (M) O potencial eletrostático produzido por uma certa distribuição de cargas em uma região do espaço é dado
por V (x, y, z) = B(x2 + y2 + z2), onde B é uma constante positiva.
(a) Determine o vetor campo elétrico na mesma região.
(b) Determine o trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar uma part́ıcula de carga q do ponto (0, 0, z0)
ao ponto (0, 0, 2z0).
(c) Considere agora uma região esférica de raio R, centrada na origem. Qual é a carga total contida nesta
região? Sugestão: Utilize um sistema de coordenadas esféricas.
14. (M) Uma esfera condutora de raio a possui inicialmente uma carga total Q e encontra-se muito afastada de uma
segunda esfera condutora neutra de raio b. A seguir, conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino,
mantendo a separação entre elas. Apósreestabelecido o equiĺıbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo
de carga no fio, determine:
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superf́ıcie de cada esfera.
(b) As cargas adquiridas por cada esfera.
Dica: Lembre que, quando um condutor se encontra em equiĺıbrio eletrostático, o potencial deve ter o
mesmo valor em todos os pontos de sua parte maciça.
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