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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA -
CAMPUS LAURO DE FREITAS
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE ENERGIA
MARIA SARA TEIXEIRA DE SANTANA
TRABALHO 1 - MODELAGEM DE UM MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
Lauro de Freitas/BA
2024
1. INTRODUÇÃO
Em Sistemas de Controle, os atuadores são definidos como dispositivos
responsáveis por converter sinais de controle em ações físicas, possibilitando que o
sistema execute alguma tarefa específica. Eles recebem sinais elétricos, seja tensão
ou corrente, e convertem em força, calor ou outras formas de energia aplicáveis em
um sistema controlado. No presente trabalho, será modelado por meio do MATLAB
um motor de corrente contínua.
2. DESENVOLVIMENTO
2.1. DEFINIÇÕES
Os motores elétricos são máquinas preparadas para transformar energia elétrica em
energia mecânica a partir da interação de um campo magnético com condutores de
corrente elétrica. Os motores são comumente compostos pelos circuitos indutor,
induzido e magnético. Sendo assim constituídos por partes móveis e fixas, a
nomenclatura adotada para o elemento fixo é estator enquanto o elemento móvel é
denominado de rotor. Como o próprio nome sugere, os motores de corrente
contínua são alimentados em corrente contínua.
Figura 1 - Circuito Elétrico equivalente da armadura.
O torque e a velocidade de um motor dependem diretamente da intensidade do
campo gerado através dos enrolamentos energizados do motor que, por sua vez,
tem uma relação de dependência com a corrente que os atravessa. Essa relação
nos motores de corrente contínua é definida por:
(1)𝑁 = 𝐾 
(𝑉−𝐼
𝑎
𝑅
𝑎
)
𝑍ϕ
Onde tem-se que:
𝐾 = 60 𝐴
𝑃
𝑅
𝑎
= 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
𝐼
𝑎
 = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
𝑉 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
ϕ = 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎
𝑍 = 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
Dessa maneira, ao ajustar a tensão e/ou corrente do rotor será alterada a
velocidade do motor. Na adoção do controle de armadura nos motores de corrente
contínua, a tensão aplicada à armadura é ajustada para controlar a velocidade do
motor de maneira que não seja alterada a tensão aplicada ao campo. A Figura 1
representa o circuito equivalente da armadura e o diagrama de corpo livre do
controle da armadura em um motor de corrente contínua. Como é possível observar
na imagem, a entrada do sistema é a fonte de tensão aplicada na armadura do
motor enquanto a velocidade rotacional do eixo, traduzida na relação matemática
, é a sua saída. O campo magnético é constante (fixo) e devido a isso o torque do𝑑θ
𝑑𝑡
motor é equivalente a corrente de armadura multiplicada pela constante de(𝐼
𝑎
)
torque do motor , esse controle pela armadura é definido como:(𝐾
𝑡
)
(2)𝑇 = 𝐾
𝑡
 . 𝐼
𝑎
 
A força contra-eletromotriz, , é caracterizada por ser proporcional à velocidade𝑒
angular do eixo por um fator constante :𝐾
𝑒
(3)𝑒 = 𝐾
𝑒
 . θ̇
Em termos do Sistema Internacional de Medidas (SI), as constantes de torque do
motor e da força contra-eletromotriz são iguais . Baseado na Segunda Lei(𝐾
𝑡
= 𝐾
𝑒
)
de Newton e na Lei de Kirchhoff das Tensões, tem-se que:
(4)𝐽θ̈ + 𝑏 θ̇ = 𝐾𝑖
˙
(5)𝐿 ∂𝑖
∂𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝑉 − 𝐾θ ˙
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações acima tem-se que:
A. Para a equação diferencial (4):
1. ℒ[θ̈(𝑡)] = 𝑠2Θ(𝑠)
2. ℒ[θ̇(𝑡)] = 𝑠Θ(𝑠)
3. ℒ[𝑖(𝑡)] = 𝐼(𝑠)
(6)𝑠2Θ(𝑠) + 𝑠𝑏Θ(𝑠) = 𝐾𝐼(𝑠) ⇒ 𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏) θ(𝑠) = 𝐾𝐼(𝑠)
B. Para a equação diferencial (5):
1. ℒ[𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 ] = 𝑠𝐿𝐼(𝑠)
2. ℒ[𝑅𝑖] = 𝑅𝐼(𝑠)
3. ℒ[𝑉] = 𝑉(𝑠)
4. ℒ[𝐾θ̇] = 𝑠𝐾Θ(𝑠)
(7)𝑠𝐿𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝑠𝐾Θ(𝑠) ⇒ (𝐿𝑠 + 𝑅) 𝐼(𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝑠θ(𝑠)
Eliminando tem-se que:𝐼(𝑠)
𝐼(𝑠) = 𝑠(𝐽𝑠+𝑏)Θ(𝑠)
𝐾
𝑠𝐿( 𝑠(𝐽𝑠+𝑏)Θ(𝑠)
𝐾 ) + 𝑅( 𝑠(𝐽𝑠+𝑏)Θ(𝑠)
𝐾 ) = 𝑉(𝑠) − 𝑠𝐾Θ(𝑠)
𝑠𝐿(𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)Θ(𝑠)) + 𝑅(𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)Θ(𝑠) = 𝐾𝑉(𝑠) − 𝑠𝐾2Θ(𝑠)
Ao eliminar das duas equações e a velocidade de rotação ser considerada a𝐼(𝑠) 
saída e a tensão de armadura ser a entrada, tem-se que:
(8)𝐻(𝑠) = Θ(𝑠)
𝑉(𝑠)
𝐻(𝑠) = 𝐾
(𝐽𝑠+𝑏)(𝐿𝑠+𝑅)+𝐾2
Substituindo pelos valores pré-estabelecidos tem-se que:
𝐻(𝑠) = 0.01
(0.08𝑠+0.2)(0.5𝑠+2)+(0.01)2 ⇒ 0.01
0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001
2.2. SIMULAÇÃO NO SIMULINK
2.2.1. Primeira Etapa:
Na Figura 2, é demonstrado um esquemático em forma de Diagrama de Blocos que
foi extraído e executado no Simulink com a finalidade de analisar o comportamento
desse sistema. Nessa etapa foram estabelecidos os parâmetros mecânicos e os
termos de tensão que são representados na equação elétrica.
Figura 2 - Modelo em Diagrama de Blocos de um Motor DC [1].
Em seguida, com a finalidade de salvar todos os componentes como um bloco único
foi adicionado o formato de subsistema (Figura 3).
Figura 3 - Subsistema do Motor DC [1].
Para simular a resposta ao Degrau, precisou ser definido alguns parâmetros
relevantes para a execução da simulação. Dentre eles, a definição do tempo de dez
segundos para qual a simulação deve ser executada e a adição do sinal de entrada
e o escopo para a exibição da saída como demonstrado na Figura 4. Um aspecto
importante é que para o fornecimento da entrada Degrau Unitário apropriada foi
necessário definir o .𝑡 = 0
Figura 4 - Simulação da Resposta ao Degrau [1].
A Figura 5 representa justamente a saída em resposta a entrada Degrau Unitário,
através desse gráfico é possível observar o comportamento transitório do sinal que
começa em 0 até se estabilizar em 0.025. Essa representação gráfica é essencial
no controle de atuadores, já que permite a análise de como esses equipamentos
respondem a mudanças na entrada.
Figura 5 - Resposta Gráfica ao Degrau [1].
Para simular a resposta a Rampa, precisou ser definido alguns parâmetros
relevantes para a execução da simulação. Dentre eles, a definição do tempo de dez
segundos para qual a simulação deve ser executada e a adição do sinal de entrada
e o escopo para a exibição da saída como demonstrado na Figura 6.
Figura 6 - Simulação da Resposta a Rampa.
A Figura 7 representa a saída em resposta a entrada Rampa, através desse gráfico
é possível observar um crescimento com característica linear ao longo do tempo.
Figura 7 - Resposta Gráfica a Rampa [1].
Ao comparar graficamente a resposta às duas entradas, no Degrau tem-se um
formato típico de uma curva exponencial. Enquanto a Rampa cresce quase
linearmente após o transiente.
2.2.2. Segunda Etapa:
Na segunda etapa foi adotado o método da Função de Transferência (Equação 8)
para comparar a resposta encontrada em cálculos para as entradas Degrau Unitário
e a Rampa Unitária com os resultados obtidos com a simulação que utiliza o bloco
“Função de Transferência” como é demonstrado nas Figuras 8 e 9.
Figura 8 - Diagrama de Blocos da resposta da Função de Transferência ao input
Degrau.
Figura 9 - Diagrama de Blocos da resposta da Função de Transferência ao input
Rampa.
As Figuras 9 e 10 tem um comportamento idêntico aos obtidos anteriormente nas
Figuras 5 e 7, caracterizando assim a contundência existente entre os dois métodos
utilizados.
Figura 9 - Resposta gráfica da Função de Transferência ao input Degrau.
Figura 10 - Resposta gráfica da Função de Transferência ao input Rampa.
2.2.3. Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final
2.2.3.1. Para Degrau Unitário:
Para utilizar os teoremas com uma entrada correspondente a um degrau unitário
tem-se que:
(9)ω(𝑠) = 𝐻(𝑠) . 𝑉(𝑠)
Sabendo que:
𝑉(𝑠) = 1
𝑠
Então:
ω(𝑠) = 0.01
𝑠(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001
1. Valor Inicial:
Para o teorema do Valor Inicial tem-se que:
(10)ω(0) =
𝑠 ∞
lim
→
𝑠 . 𝐻(𝑠)
ω(0) =
𝑠 ∞
lim
→
𝑠 . 0.01
𝑠(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
Simplificando o tem-se que:𝑠
ω(0) =
𝑠 ∞
lim
→
 0.01
(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
Para , o termo dominante no denominador é . Dessa maneira:𝑠 → ∞ 0. 04𝑠2
ω(0) ≈ 0.01
0.04𝑠2 → 0
Portanto:
ω(0) = 0
2. Valor Final:
Para o Teorema do Valor Final tem-se que:
(11)ω(∞) =
𝑠 0
lim
→
𝑠 . 𝐻(𝑠)
ω(∞)= 
𝑠 0
lim
→
𝑠 0.01
𝑠(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
.
Simplificando o tem-se que:𝑠
ω(∞) =
𝑠 0
lim
→
 0.01
(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
Para , o termo dominante no denominador é . Dessa maneira:𝑠 → 0 0. 4001
ω(∞) = 0.01
0.4001 ≈ 0. 025
Comparando com os resultados obtidos através do Simulink, os valores inicial e final
encontrados por meio do cálculo dos teoremas são contundentes com o apontado
pelo Escopo da simulação na Figura 9. Uma vez que a resposta da velocidade
angular inicia em zero e após o período de transiente, onde os termos exponenciais
decaem, a simulação apontou a velocidade angular estabilizando na casa dos 0.025
o que também é visualizado com os valores calculados anteriormente.
2.2.3.2. Para Rampa Unitária:
Para utilizar os teoremas com uma entrada correspondente a uma rampa unitária
tem-se que:
(12)Ω(𝑠) = 𝐻(𝑠) . 𝑅(𝑠)
Sabendo que:
𝑅(𝑠) = 1
𝑠2
Então:
Ω(𝑠) = 0.01
𝑠2(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001
1. Valor Inicial:
Para o teorema do Valor Inicial tem-se que:
(10)ω(0+) =
𝑠 ∞
lim
→
𝑠 . Ω(𝑠)
ω(0+) =
𝑠 ∞
lim
→
𝑠 . 0.01
𝑠2(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001
Simplificando o tem-se que:𝑠
ω(0+) =
𝑠 ∞
lim
→
 0.01
𝑠(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001
Para , o termo dominante no denominador é . Dessa maneira:𝑠 → ∞ 0. 04𝑠3
ω(0+) ≈ 0.01
0.04𝑠3 → 0
2. Valor Final:
Para o Teorema do Valor Final tem-se que:
(11)ω(∞) =
𝑠 0
lim
→
𝑠 . Ω(𝑠)
ω(∞) = 
𝑠 0
lim
→
𝑠 0.01
𝑠2(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
.
Simplificando o tem-se que:𝑠
ω(∞) =
𝑠 0
lim
→
 0.01
𝑠(0.04𝑠2+0.26𝑠+0.4001)
Para , o termo dominante no denominador é . Dessa maneira:𝑠 → 0 0. 26𝑠 + 0. 4001
ω(∞) = 0.01
𝑠(0.4001) ⇒ ω(∞) → ∞
O valor inicial é igual a zero uma vez que no instante inicial, a rampa ainda não
aplicou uma tensão ao sistema. O valor final que tende ao infinito indica que a curva
tende a crescer. No entanto, sua inclinação será reduzida, pois é controlada pelos
parâmetros do sistema.
3. CONCLUSÃO
Através das simulações e cálculos realizados nesse relatório, foi possível concluir
que ambos os métodos tendem a gerar resultados correspondentes. A concordância
entre diferentes meios é fundamental para conferir robustez, confiabilidade e
validade aos resultados obtidos na experimentação. A própria validação desses
resultados concede um caráter de não dependência a métodos, mas reflete um
fenômeno que é real e pode ser generalizado.
4. REFERÊNCIAS
[1] MATHWORKS. Simulink: Simulation and Model-Based Design [software]. Versão
Online. Natick: The MathWorks, 2024. Disponível em:
. Acesso em: 13. dez. 2024.
[2] RAJ, Narayan Prasad; CHAKRABORTY, Abhijit; ACHARJYA, U. Modeling,
simulation and implementation of brushed DC motor speed control using optical
incremental encoder feedback. ResearchGate, 2015. Disponível em:
. Acesso em: 13 dez. 2024.
[3] MOURA, Marcos. Controle de velocidade de motores de corrente contínua para
um sistema de testes de semicondutores de potência. 2014. 81 f. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores) – Instituto Politécnico
do Porto, Porto, 2014. Disponível em:
. Acesso em: 13 dez. 2024.
https://matlab.mathworks.com/