Lab04- Sistema de terceira ordem (1)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
CAMPUS SENADOR ARTHUR VIRGÍLIO 
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT 
 
 
 
 
 
 
 
IAGO VIANA CORRÊA – 21853732 
WALLACE MAGALHÃES DE JESUS – 21855009 
 
 
 
 
 
 
 
LABOLATÓRIO DE SISTEMA DE CONTROLE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS - AM 
2022 
IAGO VIANA CORRÊA – 21853732 
WALLACE MAGALHAÃES DE JESUS – 21855009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LABOLATÓRIO DE SISTEMA DE CONTROLE 
 
Relatório sobre Comportamento Dinâmico de um 
Sistema de 3ª ordem, voltado para a disciplina de 
Laboratório de Sistema de Controle, do curso de 
Engenharia Elétrica, como requisito para obtenção 
de nota parcial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS - AM 
2022 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO 4 
1.1 IDENTIFICAÇÃO 4 
1.2 OBJETIVO 4 
1.3 PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA 5 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6 
2.1 SISTEMA DE 3ª ORDEM 6 
2.2 SERVOMOTOR CC 6 
2.2.1 O que é? 6 
2.2.2 Princípio de funcionamento 7 
3 METODOLOGIA 8 
3.1 MODELAGEM DO SISTEMA 9 
3.2 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA 10 
3.3 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA FECHADA 10 
4 EXPERIMENTO 12 
5 INTEPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 18 
5.1 MODELAGEM DO SISTEMA 18 
5.2 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA 19 
6 CONCLUSÃO 21 
7 REFERÊNCIAS 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 INTRODUÇÃO 
O seguinte relatório será acordado sobre o comportamento dinâmico de um sistema de 
3ª ordem, sendo esse tema muito pertinente atualmente, visto que é fundamental o 
entendimento de como se podem identificar o comportamento desses circuitos de 3ª ordem 
quando submetidos à função degrau. Portanto o trabalho é dividido em: introdução; 
fundamentação teórica, parte crucial do relatório, no qual será explicada toda a parte teórica; 
Metodologia e Ensaios de simulação, em que será mostrado cada passo que os alunos deverão 
seguir e observações importantes; Interpretação de resultados, nas quais serão discutidas todas 
as informações obtidas em todas as etapas, sejam elas mostradas em gráficos ou tabelas. E por 
fim, a conclusão. 
1.1 IDENTIFICAÇÃO 
O trabalho consiste em aplicar diferentes tipos de entradas com o objetivo de analisar 
as saídas obtidas e então através do comportamento dinâmico de um sistema de 3ª ordem. 
1.2 OBJETIVO 
1. Compreender o funcionamento eletromagnético de um servomotor DC 
operando com tensão de campo constante e controle pela armadura; 
2. Observar e caracterizar o comportamento transitório e permanente de um 
sistema de 3ª ordem, ou superior; 
3. Constatar o efeito de realimentação de saída no comportamento dinâmico de 
sistema; 
4. Conhecer as formas de modelagem de função de transferência no 
Matlab/Simulink; 
5 
 
5. Realizar Sistemas a partir de subsistemas modelados por função de 
transferência; 
6. Modelar, simplificar e determinar a função de transferência equivalente por 
DFS por álgebra do DFS e fórmula de Mason; 
7. Compreender o conceito de polo dominante e utilizá-lo para predizer o 
comportamento dinâmico de sistemas com ordem igual ou superior. 
1.3 PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA 
O desenho abaixo representa um Sistema de Controle de posição composto por 
Servomotor DC acoplado a uma antena parabólica através de uma caixa de redução de 
engrenagem. 
6 
 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
2.1 SISTEMA DE 3ª ORDEM 
Um sistema de terceira ordem é caracterizado por uma equação diferencial de terceira 
ordem, o qual pode ser aproximado para índices de segunda ordem, através de raízes 
dominantes do sistema de segunda ordem. Isto é válido quando a parte real das raízes 
dominantes for equivalente a um décimo da parte real da terceira raiz. 
 
𝐶(𝑠) =
1
(𝑠 2 + 2𝜁𝑠 + 1)(𝛾𝑠 + 1)
 
 
|
1
𝛾
| ≥ 10|𝜁𝜔𝑛| 
 
Como pode ser visto acima, mas vale ressaltar que a frequência natural deve ser 
unitária, ou seja, 𝜔𝑛 = 1. 
Entretanto, essa técnica de polo dominante deve ser usada quando houver uma função 
de transferência que não possui zeros próximos aos polos dominantes, senão a resposta será 
afetada, visto que a resposta a um degrau de um sistema é depende da localização do zero. 
Sendo que o terceiro polo aumenta o tempo de subida e a resposta fica mais lenta. 
2.2 SERVOMOTOR CC 
2.2.1 O que é? 
Um Servo motor CC é formado basicamente por um pequeno motor de corrente 
contínua, um potenciômetro de realimentação, uma caixa de engrenagens e um circuito 
eletrônico para fazer o seu acionamento, assim como é mostrado na imagem abaixo. 
 
 
7 
 
O servo é parecido com um motor de corrente contínua comum, onde o seu 
estator é constituído por uma estrutura cilíndrica e um imã acoplado ao interior de sua 
armação. Além disso a polaridade da tensão de controle é capaz de determinar o 
sentido do torque desenvolvido pelo motor. 
 
2.2.2 Princípio de funcionamento 
Um servo motor de corrente contínua funciona da seguinte maneira, uma tensão 
contínua de referência é regulada para um valor correspondente à saída desejada. 
Dependendo do circuito de controle podemos gerar esta tensão usando potenciômetro, 
modulação por largura de pulso (PWM) ou através de temporizadores. 
Para fazer o controle do Servo motor de forma digital podemos utilizar um 
microcontrolador para então produzir sinais de controle com maior precisão e assim 
fornecer pulsos de tensão, que são obtidos através da técnica de PWM. 
Para garantir um melhor desempenho em relação ao seu funcionamento, os 
Servo motores necessitam de um sinal de realimentação que corresponde ao 
posicionamento atual do servo, sendo obtido através de um sensor de posição. Este 
sensor de posicionamento é na verdade um potenciômetro interno que fornece um sinal 
de tensão correspondente ao ângulo do eixo do motor. 
Este sinal de tensão relacionado à posição atual do motor é comparado com a 
tensão desejada, ou seja, com a tensão que é obtida pela largura de pulso. Assim 
produzindo um sinal de erro com tensão positiva ou negativa. 
Se o sinal de erro for positivo, a tensão aplicada na armadura do motor faz com 
que o rotor gire em uma direção. Porém se o erro for negativo, a tensão da armadura 
inverte e neste caso o rotor do motor gira na direção oposta. Enquanto houver o sinal 
de erro o motor permanecerá girando, ou seja, o motor vai girar até o sinal de erro ser 
zero. 
Neste artigo mencionamos algumas vezes o termo PWM e caso você não saiba 
exatamente o que é, fique tranquilo! Abaixo tem um vídeo do canal Mundo da Elétrica 
explicando exatamente o que é PWM. 
8 
 
3 METODOLOGIA 
Para execução desse trabalho, primeiramente foi dado o circuito ao qual foi analisado, 
se tratando de um sistema de 3ª ordem ao qual se encontra na figura abaixo um Sistema de 
controle de posição composto por Servomotor DC acoplado a uma antena parabólica através 
de uma caixa de redução de engrenagem: 
 
 
 
Figura 01: Sistema disponibilizado para o relatório. 
 
Onde, 
𝑅𝑎 = 10 Ω – Resistência de armadura 
𝐿𝑎 = 125 mH - Indutância de armadura 
𝐾𝐵 = 0.45 V.s/rad – Cte. de fcem do motor 
𝐾𝑡 = 15 N.m/A – Cte de torque do motor 
𝐽𝑚 = 2.5 Kg.m2 – Inércia motor +engr1 
𝐽2 = 0.075 Kg.m2 - Inércia engr2+ engr3 
𝐽4 = 20 Kg.m2 – Inércia engr4 + antena 
𝐵𝑚 = 0.25 N/m/s – Coef. atrito rotor +engr1 
𝐵2 = 0.085 N/m/s - Coef. atrito engrs. 2 e 3 
𝐵4 = 0.35 N/m/s - Coef. atrito engr 4+Antena 
𝑁1 = 15 – Número de dentes da engrenagem 1 
𝑁2 = 90– Número de dentes da engrenagem 2 
𝑁3 = 30 – Número de dentes da engrenagem 3 
𝑁4 = 160– Número de dentes da engrenagem 4 
𝑢 = 𝑒𝑎– Tensão de armadura 
𝑦 = 𝜃𝐿– Posição angular da antena 
𝐾𝑝 = 0,05 v/rad – Cte Sensor posição 
𝐾𝑡 = 0,04 V/rad/s Cte Tacômetro 
𝐾4 = 30 Ganho do Amplificador de Potência 
𝐸𝑟𝑒𝑓 Referência ( set point em Graus) 
𝐾1 = Ganho da realimentação de posição 
𝐾2Ganho da realimentação de velocidade 
𝐾5 = 𝐾𝑝 ∗ 𝐾1 ∗ 𝑝𝑖/180 Ganho da unidade de referência 
9 
 
3.1 MODELAGEM DO SISTEMA 
a) Faça o circuitoeletromecânico da planta e mostre que o motor DC controlado pela 
tensão de armadura pode ser modelado pelo DFS abaixo. Onde 𝑇𝐿 é o torque de 
carga produzido pelo subsistema de transmissão mais a antena. 
 
 Figura 02: Diagrama de fluxo de sinal do motor DC. 
b) Complete o DFS acima para incluir o subsistema de transmissão do trem de 
engrenagem mais a carga (antena). Obtenha o modelo para a Planta em malha aberta 
explicitando as funções de transferência (motor , engrenagens, antena). Explicite o 
torque de carga visto pelo motor em função da velocidade e posição angular da 
antena. 
c) Mostre que o DFS obtido em b poderá ser reduzido ao DFS abaixo onde todas as 
tramitâncias são realizáveis (implementadas com somador, integrador e 
amplificador). Determine o momento de inercia Jeq e o atrito Beq equivalentes vistos 
pelo motor. 
 
Figura 03: Diagrama de fluxo do sinal simplificado. 
10 
 
3.2 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA 
Análise do Sistema em Malha Aberta - Realize o DFS em 1c no Simulink utilizando 
blocos de função de transferência, amplificador, somador e integrador. Determine: Momento 
de inércia equivalente visto pelo motor. Mostre que 𝐽𝑒𝑞 = 2.5542 𝐾𝑔. 𝑚
2 Atrito viscoso 
equivalente visto pelo motor, mostre que 𝐵𝑒𝑞 = 0.2530 𝑁/𝑚/𝑠. 𝑛𝐺 
 
Figura 03: Circuito no Simulink 
a) Simule a planta em malha aberta para uma entrada degrau ea(t) = 110δ-1(t) volts. Plot 
a velocidade do motor em rpm. Justifique o valor da velocidade e da posição em 
regime permanente, bem como o tipo de comportamento dinâmico apresentado e o 
teórico esperado. 
3.3 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA FECHADA 
Implemente no Simulink, as realimentações. Faça o Set-point = 60º. Para os valores de 
ganhos dados nos itens a seguir: 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Figura 04: Circuito no simulink com o controlador. 
i. Faça a simulação apresentando os gráficos de 𝜔𝑚(𝑡) 𝑒 𝐿(𝑡) em escalas adequadas 
ii. Determine a função de transferência global do sistema, os polos e zeros em malha 
fechada. 
iii. Determine a resposta teórica para uma entrada degrau 𝑟(𝑡) = 60𝛿 − 1(𝑡) 
iv. Compare a resposta teórica com a simulada e justifique o tipo de comportamento 
dinâmico obtido. 
a) Simule para K1=4,6062 K2=0.2257 
b) Simule para K1=29.4795 K2=0.2807 
c) Simule para K1=4.6062 K2=0.0528 
d) Simule para K1=57,5772 K2=0,1683 
e) Simule para K1=2.8789 K2=0,575 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
4 EXPERIMENTO 
 
 Figura 05: Theta para uma entrada degrau de 110. 
 
 Figura 06: RPM com a entrada degrau de 110 
13 
 
 
Figura 07: RPM com entrada de 60 graus para K1=4,6062 K2=0.2257 
 
 
 
 
 
 Figura 08: Theta com entrada de 60 graus para K1=4,6062 K2=0.2257 
 
14 
 
 
Figura 09: RPM com entrada de 60 graus para K1=29.4795 K2=0.2807 
 
 
 
 
 
 Figura 10: Theta com entrada de 60 graus para K1=29.4795 K2=0.2807 
 
15 
 
 
Figura 11: RPM com entrada de 60 graus para K1=4.6062 K2=0.0528 
 
 
 
 
 
 Figura 12: Theta com entrada de 60 graus para K1=4.6062 K2=0.0528 
 
16 
 
 
Figura 13: RPM com entrada de 60 graus para K1=57,5772 K2=0,1683 
 
 
 
 
 
 Figura 14: Theta com entrada de 60 graus para K1=57,5772 K2=0,1683 
 
17 
 
 
Figura 15: RPM com entrada de 60 graus para K1=2.8789 K2=0,575 
 
 
 
 
 Figura 16: Theta com entrada de 60 graus para K1=2.8789 K2=0,575 
 
18 
 
5 INTEPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
5.1 MODELAGEM DO SISTEMA 
Primeiramente, foi feito o circuito eletromecânico da plante mostrando o motor DC até 
chega do diagrama de fluxo de sinal da figura 02: 
 
Para o funcionamento do sistema requer que se faça a transmissão da velocidade 
angular pelas engrenagens, para isto, há uma constante que se refere ao número de dentes das 
engrenagens do sistema. E para obter a resposta angular requerida, usa-se um integrador e 
então pode-se descrever o torque visto pelo motor em função da velocidade e posição angular 
da antena. Com isso, diminui-se um nó e obtém-se a função de transferência 𝑇𝑚(𝑠) tanto em 
função da velocidade angular quanto da posição angular. 
19 
 
5.2 ANÁLISE DO SISTEMA EM MALHA ABERTA 
 
 Figura 17: G1 e G2 funções de transferência 
 
Como se pode observar foi achada a função de transferência da figura 03 para montar 
o circuito no siimulink, depois para confirmar o valor do regime permanente do RPM da 
figura 06 da seguinte maneira: 
 
20 
 
 
Sendo no valor de regime permanente aproximado da simulação, em torno de 177.8, 
para fazer a função residue obtemos no matlab a seguinte expressão: 
𝑌(𝑡) =
0.81
𝑠 + 79
−
178
𝑠 + 0.36
+
177.8
𝑠
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
6 CONCLUSÃO 
Este relatório tem como finalidade explicar, mostrar, modelar matematicamente e 
simular o sistema dado em laboratório, o qual se remete a um servomotor controlado 
interligado a uma antena. Neste sistema, compreendeu-se o funcionamento eletromagnético 
do servomotor DC, o qual atua em campo constante, observa-se e caracteriza-se o 
comportamento transitório e permanente do sistema que é de terceira ordem, prova-se o efeito 
causado pela realimentação do sistema, ao modelá-lo realizouse a função de transferência, da 
qual se pode analisar os polos e zeros para determinar o comportamento da resposta da 
função. O sistema foi simulado no software Simulink do Matlab e utilizou-se princípios 
ensinados na disciplina de Sistemas de Controle. 
O experimento como todo foi de extrema importância para a análise do 
comportamento do circuito em um sistema de 3ª ordem, pois através das simulações foi 
possível comprovar toda a parte teórica e matemáticas que são ensinados nas aulas teóricas. 
assuntos de real relevância para a matéria de sistema de controles, possível assim ter um 
melhor entendimento no comportamento dos circuitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
7 REFERÊNCIAS 
DORF, R. C., BISHOP, R. H. (2011). Modern Control Systems. New York: Prentice Hall. 
 
Definição de um Servomotor DC, disponível em: 
< https://www.mundodaeletrica.com.br/o-que-e-servo-motor-e-como-funciona/ >. Acesso em 
13/06/2022. 
 
	1 introdução
	1.1 Identificação
	1.2 Objetivo
	1.3 Proposição do Problema
	2 Fundamentação teórica
	2.1 sistema de 3ª Ordem
	2.2 Servomotor cc
	2.2.1 O que é?
	2.2.2 Princípio de funcionamento
	3 Metodologia
	3.1 MOdelagem do sistema
	3.2 Análise do sistema em malha aberta
	3.3 Análise do sistema em malha fechada
	4 Experimento
	5 Intepretação dos resultados
	5.1 Modelagem do sistema
	5.2 Análise do sistema em malha aberta
	6 Conclusão
	7 Referências