02 - Perda de carga no escoamento de fluidos

Prévia do material em texto

MECÂNICA 
DOS FLUIDOS
Germano Scarabeli Custódio Assunção
Perda de carga no 
escoamento de fluidos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir escoamentos laminar e turbulento.
 � Explicar como se calcula o número de Reynolds.
 � Calcular a perda de carga em escoamentos internos.
Introdução
A compressão correta dos escoamentos de fluidos através de tubulações e 
superfícies externas tem diversas aplicações, desde estudos biomecânicos 
do escoamento do sangue intravenoso até o escoamento do ar sobre a 
fuselagem de um avião. Geralmente, quando focamos nossos estudos 
nessa área, uma característica importante do fluido é a sua energia: de 
pressão, de movimento (energia cinética) ou de altura (energia potencial).
Neste contexto, a perda de carga nada mais é que a perda de energia 
do fluido quando ele percorre determinada trajetória. Nessa situação, por 
causa do efeito viscoso do fluido, ocorre atrito devido à interação entre 
o fluido em si e à interação entre o fluido e as superfícies sólidas circun-
dantes. Essa perda de energia não é algo desejável, pois, por exemplo, 
haveria mais gasto de energia com bombas para bombear o fluido por 
uma tubulação (pois parte da energia é dissipada) ou menos energia 
estaria disponível para ser transformada em energia elétrica em uma 
turbina, devido, também, à dissipação. Para se quantificar essas perdas, 
alguns parâmetros fundamentais de caracterização do escoamento são 
importantes.
Neste capítulo, você aprenderá como classificar os escoamentos qua-
litativamente e quantitativamente, por meio do número de Reynolds, e 
a calcular a perda de carga em escoamentos internos.
Classificações dos escoamentos
A mecânica dos fluidos é a ciência que se dedica a estudar o comportamento 
dos fluidos em contato entre si ou com superfícies sólidas. O fluido pode estar 
em repouso (estática dos fluidos) ou em movimento (dinâmica dos fluidos), 
conforme Çengel e Cimbala (2015).
Neste contexto, usualmente algumas classificações introdutórias dos es-
coamentos de fluidos servem de base para estudos mais avançados dentro 
da mecânica dos fluidos. O primeiro conceito importante refere-se ao tipo 
de espaço onde ocorre o escoamento, podendo ser escoamento interno ou 
externo. O escoamento interno refere-se a situações em que o fluido está em 
um espaço confinado, como um duto de distribuição de água ou de produção de 
petróleo. O escoamento externo denota escoamentos em que o fluido está em 
espaços não confinados, como ao redor de um prédio ou de uma asa de avião.
Outra classificação importante quando estudamos escoamentos dos fluidos 
diz respeito ao comportamento da densidade do fluido durante o escoamento. 
Um escoamento é dito incompressível quando sua densidade permanece 
constante ao longo do tempo, como ocorre usualmente nos escoamentos de 
líquidos (substâncias incompressíveis). Do contrário, temos que o escoamento 
é compressível, ou seja, sua densidade varia sensivelmente com o tempo, e 
esse efeito não pode ser desprezado, como ocorre frequentemente em gases.
A classificação quanto à viscosidade do fluido é outra forma de se enxergar o 
movimento. A viscosidade representa, quantitativamente, o grau de dificuldade 
da movimentação de partículas de um fluido, ou seja, a resistência interna ao 
movimento. Em escoamentos viscosos, há maior dificuldade de movimentação 
e, consequentemente, maior energia gasta nesse processo de movimentação. 
Na prática, todos os escoamentos são viscosos, pois não existe fluido com 
viscosidade zero. Entretanto, usualmente alguns fluxos são classificados como 
escoamentos não viscosos, quando as forças viscosas são desprezíveis em 
relação às forças inerciais e de pressão. Por simplificar a análise, é frequente, 
embora não real, o uso de viscosidade nula no escoamento. 
Escoamentos laminares e turbulentos
Dentro desses conceitos introdutórios, outra classificação extremamente prática 
e relevante dos escoamentos diz respeito ao tipo de movimento das moléculas 
dos fluidos: se esse movimento ocorre de uma forma mais ordenada ou ale-
atória. Quando um fluido escoa com baixas vazões, o escoamento é suave e 
ordenado — chamado de escoamento laminar. Nessa situação, o fluido escoa 
Perda de carga no escoamento de fluidos2
em camadas paralelas, sem mistura lateral ou correntes transversais ao fluxo 
principal. Um escoamento laminar é, portanto, aquele em que as partículas 
fluidas movem-se em camadas lisas ou lâminas (FOX; MCDONALD; PRI-
TCHARD, 2014). Pensando em termos do vetor velocidade, o escoamento 
laminar é aquele em que o fluido tem somente uma direção. Assim, por exem-
plo, para o fluxo ao longo do eixo x, teríamos que a velocidade de todas as 
partículas do fluido seria igual a V
→
 = uî. Na prática, o escoamento laminar é 
pouco encontrado, sendo observado em escoamentos que apresentam elevada 
viscosidade ou em micro canais, segundo Çengel e Cimbala (2015). 
O escoamento usualmente observado ocorre de forma aleatória e desorde-
nada — chamado de escoamento turbulento. Nessa situação, as partículas 
dos fluidos misturam-se enquanto se movimentam, ou seja, há movimentação 
transversal e lateral à direção principal do movimento. Considerando como 
direção do fluxo o eixo x, a velocidade nesse tipo de escoamento pode ser 
considerada tridimensional e representada por V
→
 = (u + u´)î + v´î + w´k^, sendo 
a velocidade principal representada por u, e as velocidades transversais e 
laterais representadas pelos valores infinitesimais uʹ, vʹ e k^ .
O estudo do escoamento turbulento, embora muito mais difícil de ser mo-
delado e ainda hoje não resolvido pela física clássica devido à aleatoriedade do 
movimento, é mais importante do ponto de vista prático do que o escoamento 
laminar, pois é observado na maioria das situações reais: fluxo na fuselagem 
de carros e aviões, gases de chaminés e torres de resfriamentos, escoamentos 
em redes de distribuição e saneamento, linhas de destruição de ar e gases, etc. 
O movimento caótico no escoamento turbulento gera vórtices que interagem 
uns com os outros, o que aumenta as perdas por atrito. Em termos práticos, 
isso aumenta, por exemplo, a energia requerida de uma bomba para transportar 
fluido em uma tubulação.
A passagem do escoamento laminar para o turbulento não ocorre de forma 
abrupta, mas suave entre esses dois padrões. Nesse caso, o escoamento é 
chamado de escoamento de transição: aquele em que há algumas flutuações 
intermitentes do fluido em um escoamento laminar, embora não seja suficiente 
para caracterizar um escoamento turbulento (KESSLER, 2016).
Ambos os escoamentos podem facilmente ser observados por meio de uma 
simples experiência em casa, conforme sugerem Potter, Wiggert e Ramadan 
(2015, p. 90): abra a torneira somente o suficiente para que a água escoe como 
uma corrente silenciosa; observe que, devido ao movimento ordenado das 
moléculas, é possível inclusive ver através da água — esse é o escoamento 
laminar; ao se abrir mais a torneira, observa-se que o movimento da água não 
permanece mais ordenado como antes e não é possível mais ver a transparência 
3Perda de carga no escoamento de fluidos
(devido aos movimentos transversais das lâminas de água); nesse caso, temos 
que o escoamento é turbulento.
A Figura 1, a seguir, ilustra outra situação, com tinta injetada em uma linha 
de água para facilitar a observação do movimento. Com a válvula posicionada 
à jusante na linha, é possível controlar a vazão do fluido. Permanecendo com 
a válvula praticamente fechada, o fluido adquire uma velocidade baixa ao 
longo da linha, e podendo ser observado o escoamento laminar (Figura 1a). 
Ao abrir cada vez mais a válvula, ocorre a transição e, devido ao aumento da 
velocidade, o escoamento se torna turbulento (Figura 1b).
Note que a explicação até o presente momento sobre o escoamento ser 
laminar ou turbulento foi meramente qualitativa, ou seja, observando-se 
somente o grau de movimentaçãoe ordenamento do movimento e usando 
a velocidade do fluido para isso. Entretanto, há uma forma quantitativa de 
classificar se o escoamento é laminar ou turbulento, e a transição entre esses 
escoamentos sofre influência de outros parâmetros além da velocidade, con-
forme veremos adiante.
Figura 1. Classificação dos escoamentos quanto à sua movimentação: (a) escoamento 
laminar e (b) escoamento turbulento.
Fonte: Adaptada de Rodrigues (2010, p. 5).
(a)
(b)
Perda de carga no escoamento de fluidos4
Número de Reynolds
Para um escoamento ser classificado como laminar ou turbulento, três parâ-
metros relacionados à caracterização do escoamento são usados. O primeiro, 
conforme já vimos, é a velocidade do escoamento. À medida que a velocidade 
aumenta, ocorre a tendência de transição do escoamento laminar para o tur-
bulento. Outro parâmetro se refere ao comprimento característico do campo 
de escoamento: o diâmetro de uma tubulação, por exemplo, para escoamentos 
internos. Conforme esse valor aumenta, ocorre, também, a tendência de tran-
sição do escoamento laminar para o turbulento. O terceiro e último parâmetro 
é a viscosidade cinemática do fluido escoando: à medida que a viscosidade 
cinemática diminui, mais fácil se torna o movimento e, dessa forma, mais 
fácil é para o fluido se tornar turbulento.
Na mecânica dos fluidos, usualmente quando nos referimos à viscosidade, estamos 
tratando da viscosidade absoluta ou, como também é conhecida, viscosidade dinâmica, 
cuja unidade é o Pa ∙ s (ou kg/m ∙ s) e usualmente representada por μ. Ela representa 
a resistência interna do fluido ao movimento. Entretanto, para fins práticos, usa-se 
a relação entre a viscosidade absoluta e a densidade do fluido, razão denominada 
viscosidade cinemática (ϑ), tendo o m2/s como sua unidade e obtida da seguinte forma:
ϑ =
μ
ρ
Esses três parâmetros foram combinados e, após diversos experimentos, 
Osborne Reynolds (1842–1921) chegou a uma correlação adimensional, que hoje 
recebe seu nome — número de Reynolds — e é expressa da seguinte maneira:
Re =
VL
ϑ (1)
onde V é a velocidade do fluido, L é o comprimento característico por onde 
o fluido escoa, e ϑ é a viscosidade cinemática desse fluido. 
5Perda de carga no escoamento de fluidos
A equação (1) é válida para qualquer escoamento viscoso. Para escoamentos 
externos, o comprimento característico L representa usualmente a superfície 
de contato com o fluido, com: a corda de asa de um avião, o comprimento 
de um navio e a altura de um edifício. Para escoamentos internos, o valor do 
comprimento característico usualmente se refere ao diâmetro hidráulico por 
onde o fluido escoa.
Assim, outra forma de representar a equação (1) seria expandir o termo 
da viscosidade cinemática e considerar que o escoamento é interno em uma 
tubulação circular. Com essas considerações, a equação (2) é obtida:
Re =
ρVD
μ (2)
onde D é o diâmetro interno por onde o fluido escoa, μ é a viscosidade 
absoluta, e ρ é a densidade do fluido.
O termo do comprimento característico para tubulações circulares refere-se 
ao diâmetro. Para tubulações não circulares, o número de Reynolds baseia-se 
no diâmetro hidráulico, Dh, definido conforme a equação (3):
Dh =
4AC
P (3)
onde AC é a área da seção da transversal do tubo ou duto, e P é o seu perí-
metro molhado. A Figura 2 apresenta alguns exemplos de diâmetros hidráu-
licos para diferentes formas. Observe que, para tubos circulares (Figura 2a), 
o diâmetro hidráulico é a mesma coisa que seu diâmetro.
Para definir quantitativamente se um escoamento é laminar ou turbulento, 
usamos o número de Reynolds. O número de Reynolds no qual o escoamento 
deixa de ser laminar é chamado de número de Reynolds crítico e igual a 2.300. 
Ou seja, abaixo desse valor, o escoamento sempre será laminar. A partir desse 
valor, ocorre o escoamento de transição e, para valores maiores que 4.000, o 
escoamento se torna turbulento, conforme apresentam os seguintes intervalos:
 � 0 4.000 — escoamento turbulento
Perda de carga no escoamento de fluidos6
Figura 2. Cálculo do diâmetro hidráulico: (a) escoamento em uma tubulação circular, 
(b) escoamento em um duto quadrada e (c) escoamento em um duto retangular.
Fonte: Adaptada de Çengel e Cimbala (2015).
(a)
(b)
(c)a
a
a
b
Dh =
Dh =
D
4ab
2(a + b)
2ab
a + b=
4a2
4a = a
Dh = = D4(πD2/4)
πD
Esses intervalos representam valores tradicionalmente utilizados em es-
coamentos. Entretanto, é importante ressaltar que, sob condições especiais, 
é possível encontrar variações dentro desses valores. Em tubos muito lisos 
(com rugosidade baixa) e com controle vibracional, é possível obter escoa-
mentos laminares com valores de Reynolds de até 100.000, segundo Çengel 
e Cimbala (2015).
Olhando da ótica das forças agindo no fluido, e não dos parâmetros do 
fluido, o número de Reynolds pode ser observado como adimensional, que 
relaciona as forças inerciais com as viscosas. A força inércia representa a força 
necessária para movimentar determinado volume de fluido, enquanto que a 
viscosa representa a resistência à movimentação desse volume (como se fosse 
7Perda de carga no escoamento de fluidos
o atrito no estudo da física clássica em sólidos). Dessa forma, o número de 
Reynolds pode ser escrito da seguinte forma:
Re =
Força inercial
Força viscosa
Além da definição quantitativa quanto ao tipo de escoamento (laminar ou 
turbulento), o número de Reynolds apresenta diversas outras aplicações dentro 
da mecânica de fluidos e da transferência de calor. Uma delas, significativa, 
consiste em determinar se dois sistemas distintos são semelhantes. Por exemplo, 
para se ensaiar a ação do vento sobre um edifício (real), ele pode ser feito em 
uma escala menor (modelo), e seu comportamento avaliado em um túnel de 
vento. Para garantir que o fluxo entre o real e o modelo seja dinamicamente 
similar, ambos devem ter a mesma geometria e o mesmo número de Reynolds:
Remodelo = Rereal
Essas informações são altamente relevantes do ponto de vista da engenharia, 
pois permitem que os engenheiros façam modelos em escalas reduzidas e 
ensaiem o comportamento de estruturas antes de fabricá-las em escalas reais, 
economizando tempo e investimento. 
Perda de carga em escoamentos internos
Conforme apresentado anteriormente, os escoamentos completamente limita-
dos por superfícies sólidas são denominados escoamentos internos. Eles podem 
ocorrer em tubos, dutos, difusores, bocais, válvulas e demais acessórios. Seu 
estudo é extremamente relevante, pois são encontrados em diversas situações, 
como nas veias e artérias do corpo, nos sistemas de abastecimento e sane-
amento das cidades, nos sistemas de irrigação da agricultura, nos sistemas 
que transportam fluidos nas fábricas, nas linhas hidráulicas de aeronaves, etc. 
(POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2015).
Nesses escoamentos, geralmente há a subdivisão entre a região de entrada 
e o escoamento completamente desenvolvido. Os fluidos, antes de entrarem 
no conduto, têm um campo de velocidade uniforme. À medida que entram 
em contato com a superfície sólida do material, a sua velocidade em contato 
com a parede tende a ser zero (devido ao atrito entre fluido e superfície). Para 
compensar essa redução de velocidade nas extremidades, a velocidade no centro 
Perda de carga no escoamento de fluidos8
do conduto aumenta progressivamente à medida que o fluido é retardado nas 
extremidades, para manter a vazão mássica constante ao longo do escoamento.
Esse aumento da velocidade causa uma mudança progressiva do perfil 
velocidade no início do escoamento interno — região conhecida como com-
primento de entrada. Quando a forma do perfil já não mais varia ao longo 
do comprimento do tubo, dizemos que o escoamento está completamente 
desenvolvido. 
A Figura 3 ilustra o perfil de velocidade a montante do duto, sua mudança 
ao longo do comprimento de entrada e o perfil final atingido pelo escoamento.Fox, McDonald e Pritchard (2014) explicam que a forma final que o perfil de ve-
locidade completamente desenvolvido atinge depende do tipo de escoamento — 
laminar ou turbulento.
Figura 3. Escoamento ao longo da região de entrada de um fluido em um conduto. 
Fonte: Adaptada de Fox, McDonald e Pritchard (2014).
U0
r
x
u D
Comprimento de entrada Per�l de
velocidade
completamente
desenvolvido
O escoamento laminar ou turbulento também afeta outra característica 
do movimento: o tamanho do comprimento de entrada. Para escoamentos 
laminares, o comprimento de entrada pode ser aproximado com boa precisão 
ao seguinte valor:
Lentrada–laminar = 0,06 ∙ Re ∙ D (4)
onde Re é o número de Reynolds, e D é o diâmetro do tubo (ou o diâmetro 
hidráulico, caso o conduto tenha formato não circular).
9Perda de carga no escoamento de fluidos
Para o escoamento ser turbulento, a mistura entre as camadas do fluido 
faz com que o perfil de velocidade seja completamente desenvolvido mais 
rapidamente, e pode ser calculado por meio da equação:
L
entrada – turbulento
 = 1,356 ∙ Re ∙ D
1
4 (5)
A correta determinação do comprimento de entrada é importante para saber 
a partir de qual ponto a tomada de pressão pode ser realizada para computar a 
perda de pressão na linha. Embora algumas correlações possam ser encontradas 
na literatura para o cálculo da perda de pressão ao longo do comprimento de 
entrada, para fins práticos, essas correlações não são tão relevantes, visto que 
a grande maioria dos escoamentos internos tem comprimento muito maior 
que o da região de entrada, conforme Çengel e Cimbala (2015). Portanto, 
para garantir rigor na estimativa de perda de pressão entre dois pontos, com 
equações clássicas da mecânica de fluidos, basta assegurar que as tomadas 
de pressão sejam realizadas em uma região fora do comprimento de entrada.
Mesmo que o perfil de velocidades dos escoamentos laminares e turbu-
lentos seja distinto, quando estamos estudando escoamentos completamente 
desenvolvidos, de forma global, a perda de pressão entre dois pontos pode ser 
obtida por meio da mesma equação:
∆P = f L
D
ρVméd
2 (6)
onde f representa o fator de atrito de Darcy, L é o comprimento entre dois 
pontos onde a pressão é tomada, D é o diâmetro do tubo, ρ é a densidade do 
fluido, e Vméd é a velocidade média do escoamento.
Uma forma equivalente e mais prática de escrever a perda de pressão entre 
dois pontos é usando esses valores em termos de altura equivalente de coluna 
do fluido que escoa pelo duto. Nesse caso, chamamos a perda de pressão pelo 
seu sinônimo: perda de carga. Usando o teorema de Stevin (que estabelece 
que a pressão é proporcional à densidade, aceleração da gravidade e altura 
do fluido), podemos estabelecer que a perda de carga entre dois pontos de 
um escoamento será:
hL = f L
D
Vméd
2
2g (7)
Perda de carga no escoamento de fluidos10
Observe que, embora o perfil de velocidade mude entre os escoamentos 
laminar e turbulento, como o valor que, de fato, se utiliza nas equações (6) e 
(7) para o cálculo da perda de carga é o da velocidade média, considerando que 
temos o mesmo duto e a mesma vazão volumétrica, essa diferença no perfil 
não altera o valor de Vméd, como pode ser observado na Figura 4.
Figura 4. Diferença entre os perfis de velocidade de um escoamento 
(a) laminar e (b) turbulento. Observe que embora sejam distintos, ambos 
apresentam a mesma velocidade média, representada pelo valor Vméd.
Fonte: Adaptada de Çengel e Cimbala (2015).
(a) Vméd
Vméd
u(r)
u(r)
r
r
0
0
Escoamento laminar
(b)
Escoamento tubulento
Camada turbulenta
Camada de 
superposição
Camada
amortecedora
Subcamada viscosa
11Perda de carga no escoamento de fluidos
O fato de o escoamento ser laminar ou turbulento afeta o fator de atrito 
apresentado nas equações (6) e (7) pelo parâmetro f. Para escoamentos lami-
nares, ou seja, cujo valor de Re ≤ 2300, o fator de atrito pode facilmente ser 
determinado pela equação (8):
f =
64
Re (8)
Entretanto, a obtenção do fator de atrito para escoamentos turbulentos não 
depende somente de Re, mas também da rugosidade do material do conduto em 
contato com o fluido. A relação entre essas duas variáveis e o fator de atrito 
não pode ser obtida por meio de uma análise algébrica teórica. Assim, todas 
as relações existentes são obtidas a partir de análise experimental.
Dentre as diversas relações existentes, a mais testada e aceita é a equação 
de Colebrook, apresentada na equação (9):
1
√f
= –2,0 ∙ log ( (ε
3,7D
2,51
Re√ƒ
+ (9)
onde ε é a rugosidade, e D é o diâmetro da tubulação.
Observe que essa equação é implícita, visto que o termo de interesse 
aparece dos dois lados da igualdade. Para resolvê-la, devem-se usar métodos 
iterativos. Estima-se um valor inicial para f do lado direito da igualdade e, 
depois de algumas interações, tem-se o valor de f convergido. Entretanto, 
diversas calculadoras científicas atuais já têm função para o cálculo de f, ou 
mesmo, alguns sites.
Além da resolução passo a passo na calculadora, há diversos sites que já apresentam 
o solver da equação de Colebrook. O link a seguir é um exemplo de uma planilha do 
Excel® que resolve essa equação.
https://goo.gl/hkFs44
Perda de carga no escoamento de fluidos12
No início do século XX, quando ferramentas computacionais não estavam 
disponíveis, outra wforma para encontrar o valor do fator de atrito da equação 
(9) foi proposta por Lewis F. Moody (1800–1953). Ele compilou diversas 
curvas com valores de f, em função do número de Reynolds e da rugosidade 
relativa, conforme a Figura 5 mostra de forma simplificada. Esse conjunto de 
curvas ficou conhecido como diagrama de Moody e é um dos responsáveis 
pela popularização da equação de Colebrook, visto que diferentes valores do 
fator de atrito poderiam ser diretamente obtidos a partir da simples leitura 
de um gráfico. Para acessar o diagrama de Moody na íntegra, consulte Fox, 
McDonald e Pritchard (2014).
Figura 5. Representação esquemática do diagrama de Moody.
Fonte: Adaptada de Çengel e Cimbala (2015).
0,1
f
0,01
0,001
103 104 105 106 107 108
Re
Turbulento liso
De transição
Laminar Escoamento turbulento completamente rugoso
(f se torna constante)
ε/D = 0,001
ε/D = 0,01
ε/D = 0,0001
ε/D = 0
13Perda de carga no escoamento de fluidos
Adicionalmente, diversas equações explícitas que aproximam o valor da 
equação (9) têm sido propostas. Em um estudo recente, Genić et al. (2011) 
estudaram 16 dessas correlações explícitas e concluíram que a mais precisa para 
o cálculo do fator de atrito de forma explícita, para escoamentos turbulentos, 
foi a proposta por Zigrang e Sylvester (1982):
(f = – 2,0 log log log { {[ [( ((ε
3,7 D
ε
3,7 D– – +
5,02
Re
5,02
Re
13
Re
ε
D
–2
 (10)
Além da perda de carga devido ao atrito ao longo do fluxo, conforme 
discutimos acima, em escoamentos internos reais, usualmente há diversas 
descontinuidades, que também geram perdas de carga no fluido. Essas per-
das de pressão também são conhecidas como perdas menores e podem ser 
calculadas pela equação (11):
hL = K
Vméd
2
2g (11)
onde K representa um valor de perda concentrada que depende da geometria 
da descontinuidade, pode ser uma curva, uma válvula, uma restrição, uma 
redução, etc.. Existem diversos dados experimentais para os valores de K de 
diferentes acessórios. A Figura 6 representa alguns valores típicos de K. Para 
acessar esses valores na íntegra, consulte Çengel e Cimbala (2015).
Perda de carga no escoamento de fluidos14
Cu
rv
as
 e
 d
es
vi
os
Cu
rv
a 
su
av
e 
de
 9
0°
Fl
an
ge
ad
o:
 K
L =
 0
,3
Ro
sq
ue
ad
o:
 K
L =
 0
,9
v
Cu
rv
a 
ch
an
fra
da
 d
e 
90
°
(s
em
 p
al
he
ta
s)
: K
L =
 1
,1
v
v
Cu
rv
a 
ch
af
ra
da
 d
e 
90
°
(c
om
 p
al
he
ta
s)
: K
L =
 0
,2
Co
to
ve
lo
 ro
sq
ue
ad
o 
de
 4
5°
:
K L =
 0
,4
v
45
°
v
v
Cu
rv
a 
de
 re
to
rn
o 
de
 1
80
°:
Fl
an
ge
ad
o:
 K
L =
 0
,2
Ro
sq
ue
ad
o:
 K
L =
 1
,5Tê
 (e
sc
oa
m
en
to
 d
e 
de
sv
io
):
Fl
an
ge
ad
o:
 K
L =
 1
,0
Ro
sq
ue
ad
o:
 K
L =
 2
,0
Tê
 (e
sc
oa
m
en
to
 d
e 
lin
ha
):
Fl
an
ge
ad
o:
 K
L =
 0
,2
Ro
sq
ue
ad
o:
 K
L =
 0
,9
U
ni
ão
 ro
sq
ue
ad
a:
K L 
=
 0
,0
8
Vá
lv
ul
as
Vá
lv
ul
a 
de
 g
lo
bo
, c
om
pl
et
am
en
te
 a
be
rt
a:
 
K L =
 1
0
Vá
lv
ul
a 
de
 â
ng
ul
o,
 c
om
pl
et
am
en
te
 a
be
rt
a:
 
K L =
 5
Vá
lv
ul
a 
de
 e
sf
er
a,
 c
om
pl
et
am
en
te
 a
be
rt
a:
 
K L =
 0
,0
5
Vá
lv
ul
a 
de
 re
te
nç
ão
 d
e 
ba
te
nt
e:
 
 
K L =
 2
Vá
lv
ul
a 
de
 g
av
et
a,
 c
om
pl
et
am
en
te
 a
be
rt
a:
K L =
 0
,2
K L =
 0
,3
K L =
 2
,1
K L =
 1
7
fe
ch
ad
a:
fe
ch
ad
a:
fe
ch
ad
a:
1 4 1 2 3 4
* 
Es
se
s v
al
or
es
 sã
o 
re
pr
es
en
ta
tiv
os
 p
ar
a 
os
 c
oe
�c
ie
nt
es
 d
e 
pe
rd
a.
 O
s v
al
or
es
 re
ai
s d
ep
en
de
m
 m
ui
to
 d
o 
pr
oj
et
o 
e 
da
 fa
br
ic
aç
ão
 d
as
 c
om
po
ne
nt
es
 e
 p
od
em
 d
ife
rir
 d
os
va
lo
re
s d
ad
os
 d
e 
fo
rm
a 
co
ns
id
er
áv
el
 (p
ar
tic
ul
ar
m
en
te
 p
ar
a 
as
 v
ál
vu
la
s)
. O
s d
ad
os
 re
ai
s d
o 
fa
br
ic
an
te
 d
ev
em
 se
r u
sa
do
s n
o 
pr
oj
et
o 
�n
al
.
v
v
Fi
gu
ra
 6
. A
lg
un
s v
al
or
es
 
de
 K
 p
ar
a 
ac
es
só
rio
s 
us
ua
lm
en
te
 e
nc
on
tr
ad
os
 
em
 e
sc
oa
m
en
to
s i
nt
er
no
s.
Fo
nt
e:
 A
da
pt
ad
a 
de
 Ç
en
ge
l e
 
Ci
m
ba
la
 (2
01
5)
.
15Perda de carga no escoamento de fluidos
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. 
Porto Alegre: AMGH; Bookman, 2015. 1016 p.
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à mecânica dos fluidos. 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2014. 871 p.
GENIĆ, S. et al. A Review of Explicit Approximations of Colebrook’s Equation. FME 
Transactions, Belgrade, v. 39, n. 2, p. 67–71, 2011. Disponível em: https://www.mas.
bg.ac.rs/_media/istrazivanje/fme/vol39/2/04_mjaric.pdf. Acesso em: 26 mar. 2019.
KESSLER, M. Escoamento Turbulento. Engineering Simulation and Scientific Software, 
Florianópolis, 18 out. 2016. Disponível em: https://www.esss.co/blog/escoamento-
-turbulento. Acesso em: 26 mar. 2019.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecânica dos fluidos. 4. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2015. 711 p. 
RODRIGUES, L. E. M. J. Aula 10 – Escoamento Laminar e Turbulento. São Paulo: Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, 2010. 17 p. (Notas de aula da disciplina 
Mecânica dos Fluidos). Disponível em: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula10.
pdf. Acesso em: 26 mar. 2019.
ZIGRANG, D.J.; SYLVESTER, N. D. Explicit approximations to the solution of Colebrook's 
friction factor equation. AIChE Journal, New York, v. 28, n. 3, p. 514–515, May 1982.
Leituras recomendadas
BARRAL, M. F. Perda de carga. 30 p. Santo André: Centro Universitário Fundação Santo 
André, 2007. (Notas de Aula). Disponível em: http://www.leb.esalq.usp.br/leb/disci-
plinas/Fernando/leb472/Aula_7/Perda_de_carga_Manuel%20Barral.pdf. Acesso em: 
26 mar. 2019.
WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH; Bookman, 2018. 864 p.
Perda de carga no escoamento de fluidos16