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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - CCN
Departamento de Matemática
Lista de exercícios 2 - Cálculo III - M
Professor: Ítalo Melo
Problemas do trabalho: 3, 9 (a), 9 (d), 12, 16, 17, 20 (a), 22 (b), 25.
1. Use a Regra da Cadeia para calcular dz/dt.
(a) z = x2 + y2 + xy, x = cos t, y = et.
(b) z = cos(x+ 4y), x = 5t4, y = 1/t.
(c) z = x3 + y2 + xy, x = cos t e y = et. Determine dz/dt quando t = 2.
2. Use a Regra da Cadeia para calcular ∂z/∂s e ∂z/∂t.
(a) z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2.
(b) z = ex+2y, x = s/t, y = t/s.
3. Seja z = f(x, y) uma função diferenciável onde x = r2 + s2 e y = 2rs. Calcule
∂z
∂r
,
∂z
∂s
e
∂2z
∂s2
.
4. Uma função f é chamada homogênea de n-ésimo grau se satisfaz a equação f(tx, ty) = tnf(x, y) para
todo t, onde n é um inteiro positivo. Suponha que f tem derivadas de segunda ordem contínuas.
(a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea de grau 3.
(b) Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf(x, y).
5. Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado e na direção do vetor u =
(√2
2
,
√
2
2
)
.
(a) f(x, y) = ye−x, P = (0, 4).
(b) f(x, y) = ex cos y, P = (0, 0).
6. Considere a função u(x, y) = ln (
√
x2 + y2 + 2) e responda os itens abaixo:
(a) Determine o gradiente de f .
(b) Calcule o gradiente de f no ponto (1, 1).
(c) Determine a taxa de variação de f em (1, 1) na direção do vetor u = (
√
3/2, 1/2).
(d) Encontre a taxa de variação máxima de f em (1, 1).
7. Próximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas (x, y) é dada por
z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y3, onde x, y, e z são medidos em metros. Um pescador que está em
um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0, 0). A
água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.
8. Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente no ponto p na direção oposta à do
vetor gradiente, ou seja, na direção de −∇f(p). Utilize este resultado para determinar a direção onde
f(x, y) = x4y − x2y3 decresce mais rápido no ponto (2,−3).
9. Determine os pontos de máximos e mínimos locais e os pontos de sela das funções abaixo:
(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2.
(b) f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x.
(c) f(x, y) = x4 + xy + y2 − 6x− 5y.
(d) f(x, y) = (x− y)(1− xy).
(e) f(x, y) = xy(1− x− y).
10. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
11. Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.
12. Determine três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
13. Determine o ponto do plano x− 2y + 3z = 6 que está mais próximo do ponto (0, 0, 1).
14. Determine o ponto do plano x+ 2y − z = 4 que se encontra mais próximo da origem.
15. Um retângulo com comprimento L e largura W é cortado em quatro retângulos menores por duas retas
paralelas aos lados. Determine os valores máximo e mínimo da soma dos quadrados das áreas dos
retângulos menores.
16. Determine o ponto de mínimo e o valor mínimo da função g : (0,∞)× (0,∞) → R onde
g(x, y) =
1
4x2
+
1
y2
+ xy2.
17. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a (0, 0, 0) e
(1, 1, 1) seja mínima.
18. Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn), com n ≥ 3, em
geral não existirá uma função afim f(x) = αx+β cujo gráfico passe por todos os n pontos. Entretanto,
podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f(ai) − bi seja mínima. Desta
forma, determine α e β para que a soma
E(α, β) =
n∑
i=1
[f(ai)− bi]
2
seja mínima.
19. Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor ajusta os dados (1, 3), (2, 7), (3.8).
20. A base de uma aquário em formato de um paralelepípedo com volume de 20 m3 é feita de ardósia
e os lados são feitos de vidro. Se o preço do metro quadrado da ardósia custa 50 reais e o preço do
metro quadrado do vidro custa 10 reais, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do
material.
21. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
(a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x e D é a região triangular fechada com vértices (2, 0), (0, 2), (0,−2).
(b) f(x, y) = x+ y − xy e D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (0, 2), (4, 0).
(c) f(x, y) = 2x+ y e D é o conjunto formado pelos pontos (x, y) tais que x2 + 4y2 ≤ 1.
22. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
à restrição dada.
(a) f(x, y) = x2 + y2; xy = 1.
(b) f(x, y, z) = 2x+ 2y + z; x2 + y2 + z2 = 9.
(c) f(x, y) =
1
x
+
1
y
;
1
x2
+
1
y2
= 1.
(d) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2; x2 + 2y2 = 1.
23. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?
24. Determine o valor máximo de f(x, y, z) = 4
√
xyzw onde x, y, z, w são números positivos e
x+ y + z + w = 1.
Deduza que
4
√
abcd ≤ a+ b+ c+ d
4
,
para quaisquer números positivos a, b, c, d.
25. Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = x + 2y + 3z sujeita as restrições x − y + z = 1 e
x2 + y2 = 1.
26. Maximize
4∑
i=1
xiyi sujeita às restrições
4∑
i=1
x2i = 1 e
4∑
i=1
y2i = 1.
Bom Trabalho!!