06- Medidas de Variabilidade

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A média é extremamente útil como uma medida que objetiva representar/ resumir um 
conjunto de dados, mas também é imprescindível ao pesquisador ter conhecimento da 
variação que ocorre em torno desta média. Para isso o cálculo das medidas de variabilidade 
contribui para uma melhor interpretação do comportamento de uma variável quantitativa (sua 
média e sua variação). 
 
Tão importante quanto representarmos todos os valores de um conjunto de dados 
através das medidas de tendência central é ter o conhecimento da variação que ocorre em 
torno desta medida. As medidas de variabilidade são extremamente úteis no tratamento de 
dados, pois estas indicam a variação existente em torno da média. As medidas de 
variabilidade que veremos em nossa disciplina são: Variância, Desvio-padrão e Coeficiente 
de variação 
 
VARIÂNCIA 
 
A variância de uma amostra corresponde à média dos quadrados dos desvios dos valores 
em relação à média, Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior 
será a variância. 
 
Notação: 
2 - variância populacional 
s2 - variância amostral 
 
 
 
2 
 
 
 
Fórmula: 
 
𝑠2 = ∑(𝑥− �̅�)2
𝑛−1
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
Os dados apresentados abaixo correspondem ao número de reclamações (em mil 
reclamações) diárias recebidas pelo PROCON referentes as operadoras de TV a cabo no 
período de 5 dias: 
17 18 16 20 22 
 
Elementos importantes 
 
Variável (x): número de reclamações (em mil reclamações) diárias recebidas pelo PROCON 
referentes as operadoras de TV a cabo 
 
Amostra (n): 7 dias 
 
 
 
 
Onde: 
x – valores da variável investigada 
�̅� - média da amostra 
n – tamanho da amostra 
Σ - somatório 
 
 
 
3 
 
 
Média: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
17 + 18 + 16 + 20 + 22
5
= 
93
5
= 18,6 
 
�̅� = 18,6 reclamações/dia 
 
Variância: 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
 
𝑠2 = 
(17 − 18,6)2 + (18 − 18,6)2 + (16 − 18,6)2 + (20 − 18,6)2 + (22 − 18,6)2
5 − 1
 
 
𝑠2 = 
2,56 + 0,36 + 6,76 + 1,96 + 11,56
4
=
23,2
4
= 5,8 
 
𝑠2 = 5,8 reclamações/dia2 
 
 
DESVIO-PADRÃO 
 
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Esta medida expressa a variação média do 
conjunto de dados em torno da média, para mais ou para menos, pode ser calculado 
considerando as seguintes etapas: 
 
 1ª) Calcular a média 
 2ª) Subtrair a média de cada valor do conjunto (desvio) 
 3ª) Elevar ao quadrado cada desvio 
 4ª) Somar os quadrados dos desvios 
 5ª) Dividir esta soma por (n-1) 
 6ª) Tirar a raiz quadrada 
 
 
4 
 
 
Notação: 
 - desvio-padrão populacional 
s - desvio-padrão amostral 
 
Fórmula: 
 
 𝑠 = √∑(𝑥−�̅�)2
𝑛−1
 
 
Para o exemplo apresentado teremos: 
 
Desvio-padrão: 
 
𝑠 = √𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = √5,8 = 2,4 
 
𝑠 = 2,4 reclamações/dia 
 
Interpretação: 
 
Em média, o PROCON recebe diariamente 18,6 reclamações com uma variação em torno 
desta média de 2,4 reclamações. 
 
EXEMPLO 2: 
Os dados apresentados a seguir referem-se ao número de partos normais realizados em um 
hospital particular em uma amostra de 8 meses 
 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago 
200 210 200 210 210 250 230 210 
 
Amostra (n): 8 meses 
Variável (x): Número de partos normais 
 
 
 
5 
 
 
Média 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
200 + 210 + 200 + 210 + 210 + 250 + 230 + 210
8
= 
1720
8
= 215 
 
�̅� = 215 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠 
 
Variância 
𝑠2 = 
∑ (𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
 
 
(200 − 215)2 × 2 + (210 − 215)2 × 4 + (250 − 215)2 + (230 − 215)2
8 − 1 
 
450 + 100 + 1225 + 225
7
= 285,7 
 
𝑠2 = 285,7 
 
Desvio-Padrão 
 
𝑠 = √∑ (𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √285,7 = 16,9 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠 
 
Interpretação: “Em média são realizados 215 partos normais com uma variação 
(desvio-padrão) de 16,9 partos”. [215 ± 16,9 partos] 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Quando desejamos comparar a variabilidade entre métodos, ou ainda entre grupos de valores 
é indicada a utilização do Coeficiente de Variação que representa o desvio-padrão expresso 
como uma porcentagem da média. 
 
Notação: 
C.V. - Coeficiente de variação 
 
Fórmula: 
 
𝐶. 𝑉. = 
𝑠
�̅�
 × 100 
 
 Para o exemplo... 
 
𝐶. 𝑉. = 
𝑠
�̅�
 × 100 = 
2,4
18,6
× 100 = 12,9% 
 
𝐶. 𝑉. = 12,9% 
 
Interpretação: 
Existe uma variação em torno da média de 12,9%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
�̅� - média da amostra 
s – desvio-padrão 
 
 
 
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MEDIDAS DE VARIABILIDADE PARA DADOS AGRUPADOS EM TABELAS DE 
FREQUENCIA 
 
EXEMPLO 1: 
 
 Os dados abaixo referem-se ao tempo de espera na fila de um caixa de supermercado 
(em minutos): 
 
 Tempo de espera na fila (minutos) 
Tempo de espera (x) Frequência (f) % x.f 
0 5 8,0 0 x 5 = 0 
2 25 40,3 2 x 25= 50 
4 30 48,4 4 x 30= 120 
6 2 3,2 6 x 2= 12 
Total 62 (n) 100 182 
 
Média: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
0 + 50 + 120 + 12
62
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
182
62
= 2,9 minutos 
 
Agora vamos calcular a variância e o desvio-padrão. Neste caso devemos considerar a 
frequência de cada valor da variável. 
 
Variância: 
 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 Tempo de espera na fila (minutos) 
Tempo de espera (x) Frequência (f) % (𝑥 − �̅�)2. 𝑓 
0 5 8,0 (0 – 2,9)2. 5 = 42,05 
2 25 40,3 (2 – 2,9)2. 25 = 20,25 
4 30 48,4 (4 – 2,9)2. 30 = 36,3 
6 2 3,2 (6 – 2,9)2. 2 = 19,22 
Total 62 (n) 100 117,82 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1
= 
42,05 + 20,25 + 36,3 + 19,22
62 − 1
= 
117,82
61
= 1,93 
 
 
𝑠2 = 1,93 minutos2 
 
 
Desvio-padrão: 
 
 
𝑠 = √∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √1,93 = 1,4 
 
 
s = 1,4 minutos 
 
 
Interpretação: 
“Em média o tempo de espera na fila deste supermercado é de 2,9 minutos com uma variação 
em torno desta média de 1,4 minutos”. 
 
 
 
9 
 
 
EXEMPLO 2: 
 
Considere a seguinte tabela anteriormente citado referente ao Número de casos 
registrados de febre amarela em uma amostra de 62 cidades: 
 
 Número de casos de febre amarela 
Nº casos (x) Frequência (f) % x.f 
0 5 8,0 0 x 5 = 0 
2 25 40,3 2 x 25= 50 
4 30 48,4 4 x 30= 120 
6 2 3,2 6 x 2= 12 
Total 62 (n) 100 182 
 
Para este exemplo já havíamos calculado a média: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
0 + 50 + 120 + 12
62
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
182
62
= 2,9 casos 
 
 
Agora vamos calcular a variância e o desvio-padrão. Neste caso devemos considerar a 
frequência de cada valor da variável. 
 
Variância 
 
 
𝑠2 = 
∑ (𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1 
 
 
 
 
 
 
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 Número de casos de febre amarela 
Nº casos (x) Frequência (f) % (𝑥 − �̅�)2. 𝑓 
0 5 8,0 (0 – 2,9)2. 5 = 42,05 
2 25 40,3 (2 – 2,9)2. 25 = 20,25 
4 30 48,4 (4 – 2,9)2. 30 = 36,3 
6 2 3,2 (6 – 2,9)2. 2 = 19,22 
Total 62 (n) 100 117,82 
 
 
𝑠2 = 
∑ (𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1
= 
42,05 + 20,25 + 36,3 + 19,22
62 − 1
= 
117,82
61
= 1,93 
 
 
Desvio-padrão 
 
 
𝑠 = √∑ (𝑥 − �̅�)2. f
𝑛 − 1
= √1,93 = 1,4 
 
 
s = 1,4 casos 
 
 
Interpretação: “Em média ocorreram 2,9 casos de febre amarela em cada 
cidade com uma variação de 1,4 casos”. [2,9 ± 1,4 casos]