RA2 - Estruturas Hiperestaticas - Porticos Planos

Prévia do material em texto

RA2 – Pórticos Planos 
Hiperestáticos
Prof.ª Dra. Liliane do Rocio Marconcin
1
Pórtico Plano
2
Pórticos Planos
3
Método das forças
• Originalmente desenvolvido por James Clerk Maxwell em 1864 e aperfeiçoado por Otto 
Mohr e Heinrich Müller-Breslau mais tarde.
• O método consiste em escrever as relações de força-deslocamento para os membros e 
então satisfazer as exigências de equilíbrio para a estrutura.
• As incógnitas nas equações são as forças ou momentos, determinadas a partir das 
equações de força-deslocamento e compatibilidade.
• Os deslocamentos podem ser obtidos pelo Método de Integração direta, Teorema de 
Castigliano, Princípio dos Trabalhos Virtuais ou usando as tabelas - Kurt-Beyer.
• Aplicação do método:
– Determinar o grau de hiperestaticidade para saber quantos vínculos liberar.
– Liberar os vínculos excedentes ou hiperestáticos, deixando a estrutura isostática. 
– Usar princípio da superposição, considerando a viga primária (principal ou 
fundamental) como isostática básica (0) e as outras, correspondentes as 
modificações de (1), (2) ... (n) (hiperestáticos).
– Aplica uma força/momento unitária(o) no apoio redundante de cada modificação.
– Compatibilizam-se os deslocamentos e calcula-se a viga, por um sistema de 
equações – matriz de flexibilidade da estrutura. 4
Método das forças
• Exemplos de modificações:
5
Método das forças
• Princípio dos trabalhos virtuais (PTV) – conservação de energia em que o trabalho virtual 
externo é igual ao trabalho virtual interno.
1 × 𝛿 = න
0
𝐿 𝑁𝑛
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
0
𝐿
𝑓𝑐
𝑄𝑞
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + න
0
𝐿 𝑀𝑚
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
0
0 𝑇𝑡
𝐺𝐽
𝑑𝑥
• Em que:
– N, Q, M e T são os esforços internos gerados pelo carregamento REAL;
– n, q, m e t são os esforços internos gerados pelo carregamento VIRTUAL;
– O valor 1 refere-se à magnitude do carregamento virtual, escolhido por 
conveniência;
– 𝛿 equivale ao deslocamento ou rotação no ponto desejado.
6
Tabela de Kurt-Beyer
7
Método das forças
• Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga:
𝛿0 + 𝛿 𝑋 = 0
𝛿𝑖0
𝛿𝑗0
+
𝛿𝑖1 𝛿𝑖𝑗
𝛿𝑗1 𝛿𝑗𝑗
𝑋1
𝑋𝑗
=
0
0
• Sendo:
𝛿0 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝛿 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑋 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
• O número de equações de compatibilidade é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura e cada 
equação restabelece o vínculo associado ao hiperestático genérico 𝑋𝑖. 
• O termo de carga 𝛿𝑖0 é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo eliminado associado ao 
hiperestático 𝑋𝑖 no caso (0) (principal).
• O coeficiente 𝛿𝑖𝑗 da matriz de flexibilidade é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo 
eliminado associado ao hiperestático 𝑋𝑖 provocado por 𝑋𝑗 = 1 no caso (j).
• Pelo Teorema da Reciprocidade de Maxwell 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 (coeficientes de flexibilidade). A matriz é 
simétrica.
• A última j-ésima coluna da matriz de flexibilidade [𝛿] corresponde ao conjunto de deslocamentos 
generalizados (ou rotações) nas direções dos vínculos eliminados do Sistema Principal (SP) provocados 
por Xj = 1 (hiperestático Xj com valor unitário atuando isoladamente no SP). 8
Solução
1 – Cálculo das reações de apoio 
2 – Determinação das forças internas 
• Convenção de sinais – equações:
• Convenção de sinais – sem equações:
9
Solução
3 – Desenho dos diagramas de esforços internos
• Convenção de sinais: cortante e normal
– Positivo para fora – vigas
– Positivo para a esquerda – pilares
• Convenção de sinais: momento
– Positivo para dentro – vigas
– Positivo para a direita – pilares
10
Dentro
Fora
Esq EsqDir Dir
Exemplo 1
Para o pórtico mostrado determine as reações de apoio e os diagramas de esforços 
internos.
11
Exemplo 1
Grau hiperestático: Remoção do vínculo excedente:
4 reações – 3 equações de equilíbrio = 1
12
Exemplo 1
Caso (0) – Carregamento externo – Sistema Principal
Reações:
↶ ෍ 𝑀1 = 0 − 24 × 5 + 32 × 6 × 3 − 𝑅2𝑦 × 6 = 0 𝑅2𝑦 = 76 𝑘𝑁
→ σ 𝐹𝑥 = 0 −𝑅1𝑥 + 24 = 0 𝑅1𝑥 = 24 𝑘𝑁
↑ σ 𝐹𝑦 = 0 𝑅2𝑦 + 𝑅1𝑦 − 32 × 6 = 0 𝑅1𝑦 = 116 𝑘𝑁
13
R2y =76 kN
R1y =116 kN
R1x =24 kN
Exemplo 1
Forças internas – com equações:
Corte no pilar 23:
14
0 𝑚 ≤ 𝑥Cortante (kN):
 
 
31
Exercício Proposto 2
Diagramas:
 
 Momento (kN.m):
32
Exercício Proposto 3
Determine as reações de apoio para o pórtico mostrado e desenhe os diagramas 
de esforços. Faça E=100 GPa e I = 8,105(106) mm4.
𝐶𝑥 = 5,40 𝑘𝑁 ←
𝐶𝑦 = 2,76 𝑘𝑁 ↑
𝐷𝑥 = 14,60 𝑘𝑁 ←
𝐷𝑦 = 2,76 𝑘𝑁 ↓
33
A
D
B
C
Exercício Proposto 3
Diagramas: 
Normal (kN): Cortante (kN):
 
 
34
Exercício Proposto 3
Diagramas:
 
 Momento (kN.m):
35
Exercício Proposto 4
Determine as reações de apoio para o pórtico mostrado e desenhe os diagramas 
de esforços. Faça E=100 GPa e I = 8,105(106) mm4.
𝐴𝑥 = 1440 𝑁 ←
𝐴𝑦 = 853,87 𝑘𝑁 ↑
𝐷𝑥 = 1440 𝑘𝑁 →
𝐷𝑦 = 346,13 𝑘𝑁 ↑
36
A
D
B
C
Exercício Proposto 4
Diagramas: 
Normal (kN):
Cortante (kN):
 37
Exercício Proposto 4
Diagramas:
 
 Momento (kN.m):
38
Exercício Proposto 5
Determine as reações de apoio para o pórtico mostrado e desenhe os diagramas 
de esforços. Faça E=205 GPa e I = 6,32(107) mm4.
𝐷𝑥 = 4,37 𝑘𝑁 →
𝐷𝑦 = 14 𝑘𝑁 ↑
𝐸𝑥 = 5,63 𝑘𝑁 →
𝐸𝑦 = 2 𝑘𝑁 ↑
39
A
E
B
C
D
Exercício Proposto 5
Diagramas: 
Normal (kN): Cortante (kN):
 
 
40
Exercício Proposto 5
Diagramas:
 
 Momento (kN.m):
41
	Slide 1: RA2 – Pórticos Planos Hiperestáticos
	Slide 2: Pórtico Plano
	Slide 3: Pórticos Planos
	Slide 4: Método das forças
	Slide 5: Método das forças
	Slide 6: Método das forças
	Slide 7: Tabela de Kurt-Beyer
	Slide 8: Método das forças
	Slide 9: Solução
	Slide 10: Solução
	Slide 11: Exemplo 1
	Slide 12: Exemplo 1
	Slide 13: Exemplo 1
	Slide 14: Exemplo 1
	Slide 15: Exemplo 1
	Slide 16: Exemplo 1
	Slide 17: Exemplo 1
	Slide 18: Exemplo 1
	Slide 19: Exemplo 1
	Slide 20: Exemplo 1
	Slide 21: Exemplo 1
	Slide 22: Exemplo 1
	Slide 23: Exemplo 1
	Slide 24: Exemplo 1
	Slide 25: Exemplo 1
	Slide 26: Exemplo 1
	Slide 27: Exemplo 1
	Slide 28: Exercício Proposto 1
	Slide 29: Exercício Proposto 1
	Slide 30: Exercício Proposto 2
	Slide 31: Exercício Proposto 2
	Slide 32: Exercício Proposto 2
	Slide 33: Exercício Proposto 3
	Slide 34: Exercício Proposto 3
	Slide 35: Exercício Proposto 3
	Slide 36: Exercício Proposto 4
	Slide 37: Exercício Proposto 4
	Slide 38: Exercício Proposto 4
	Slide 39: Exercício Proposto 5
	Slide 40: Exercício Proposto 5
	Slide 41: Exercício Proposto 5