CX ensino para dois

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\[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 Assim, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Analisando a concavidade:** 
 Para determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos ou mínimos locais, 
precisamos calcular a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
 \] 
 
 Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo} \Rightarrow 
\text{máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{concavidade para cima} \Rightarrow 
\text{mínimo}) 
 \] 
 
Assim, o ponto que maximiza a função \( f(x) \) é, na verdade, \( x = 1 \), enquanto \( x = 3 
\) é um mínimo. Portanto, para revisar e corrigir a questão considerando que se busca o 
máximo da função: 
 
A questão, se o foco é o valor que maximiza a função, revisa para considerar essa análise, a 
resposta correta: 
 
**Resposta:** a) \( x = 1 \) 
 
Note que o questionamento inicial sobre a maximização retoma um erro durante a 
apresentação da resposta, reforçando sempre a avaliação das condições de máxima e 
mínima. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual dos seguintes valores é 
um ponto crítico da função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 0 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar os pontos críticos de uma função, devemos calcular a 
primeira derivada \( f'(x) \) e igualá-la a zero. 
 
Primeiro, vamos derivar a função \( f(x) \): 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3: 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
Agora, fatoramos a equação: 
\[ 
(x - 1)(x - 3) = 0 
\] 
 
Portanto, as soluções são: 
\[ 
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 
\] 
\[ 
x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 
\] 
 
Assim, temos os pontos críticos \( x = 1 \) e \( x = 3 \). Agora, substituímos esses valores em 
\( f'(x) \) para verificar a condição de crítico: 
 
Calculando o valor da derivada em \( x = 2 \) (uma alternativa): 
\[ 
f'(2) = 3(2^2) - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \quad (\text{não é zero})