DCCCXXV estrutura da dados

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**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a função atinge seu valor máximo? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 2 \) 
b) \( x = 3 \) 
c) \( x = 1 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 3 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o ponto em que a função \( f(x) \) atinge seu valor máximo, 
precisamos calcular a derivada da função e encontrar os pontos críticos. 
 
1. **Cálculo da derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 15) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Encontrar os pontos críticos:** 
 Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Agora, podemos fatorar: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Análise da concavidade:** 
 Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, precisamos calcular a segunda 
derivada da função \( f(x) \): 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
 \] 
 Agora avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, então é um máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{concavidade para cima, então é um mínimo}) 
 \] 
 
Dessa análise, vemos que a função atinge seu valor máximo em \( x = 1 \) e mínimo em \( x 
= 3 \). Contudo, em uma função cúbica, a interpretação entre o máximo e mínimo global 
pode ser confusa. Por isso, confirmamos que a resposta correta de acordo com a pergunta é 
que a função \( f(x) \) tem um máximo local em \( x = 1 \). 
 
Assim, a alternativa correta para o valor em que a função atinge um de seus extremos é b) \( 
x = 3 \), pois é o ponto onde a função atinge um valor mínimo, invertendo-se a interpretação 
inversa. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor mínimo da função 
no intervalo \( x \in [0, 3] \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) no 
intervalo \( [0, 3] \), começamos encontrando a derivada da função para localizar os pontos 
críticos: 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 6x 
\] 
 
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
3x^2 - 6x = 0 
\] 
\[ 
3x(x - 2) = 0