Considere a função f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Qual é o valor mínimo da função no intervalo x ∈ [0, 3]? a) 0 b) 2 c) 3 d) 4

Para encontrar o valor mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) no intervalo \( x \in [0, 3] \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \] Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: - \( f(0) = 0^3 - 3(0^2) + 4 = 4 \) - \( f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) - \( f(3) = 3^3 - 3(3^2) + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 \) 4. Comparar os valores: - \( f(0) = 4 \) - \( f(2) = 0 \) - \( f(3) = 4 \) O valor mínimo da função no intervalo \( [0, 3] \) é \( f(2) = 0 \). Portanto, a alternativa correta é: a) 0.