MCDXXX a raiz do mundo

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**Explicação:** Para encontrar o valor da derivada da função \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 
\) na origem, precisamos primeiro calcular \( f'(x) \), a derivada da função. 
 
Utilizando as regras de derivação, obtemos: 
 
1. A derivada de \( 3x^3 \) é \( 9x^2 \). 
2. A derivada de \( -5x^2 \) é \( -10x \). 
3. A derivada de \( 2x \) é \( 2 \). 
4. A derivada de uma constante (\( -7 \)) é \( 0 \). 
 
Portanto, a derivada da função é: 
 
\[ 
f'(x) = 9x^2 - 10x + 2 
\] 
 
Agora, para encontrar \( f'(0) \), substituímos \( x = 0 \) na expressão da derivada: 
 
\[ 
f'(0) = 9(0)^2 - 10(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 
\] 
 
Contudo, percebemos que a alternativa corresponde a um valor diferente do que 
calculamos, então é importante revisar se a questão esperava uma análise em um ponto 
diferente ou se a formulação da questão estava errada. 
 
Neste caso, se reescrevêssemos a pergunta para perguntar sobre o valor de \( f(0) \), 
poderíamos também considerar: 
 
\[ 
f(0) = 3(0)^3 - 5(0)^2 + 2(0) - 7 = -7 
\] 
 
A resposta “d) 3” conclui um erro em transcrições que poderia fazer parte de um exercício. 
Assim sendo, o erro foi no espaço de valorização das respostas. 
 
Portanto, após revisar, a resposta correta para a derivada é 2 (o que deveria corresponder a 
outra alternativa). 
 
Assim, um resumo mais adequado pede uma verificação clara e a preocupação que a função 
deve ter suas respostas sempre claras nas alternativas fornecidas. 
 
**Questão:** Considere a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Qual é o valor de x que minimiza 
f(x)? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** c) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de x que minimiza a função f(x), vamos primeiro 
calcular a primeira derivada f'(x) e igualá-la a zero. 
 
1. Calcule a primeira derivada de f(x): 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. Fatorando a equação quadrática: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são x = 1 e x = 3. 
 
4. Para determinar se esses pontos críticos correspondem a um mínimo ou um máximo, 
podemos usar a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
5. Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para x = 1: 
 \[