Apostila de Estatistica I (Atualizada).

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FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS ESUDA 
Curso de Administração, Economia e Contábeis
Disciplina: Estatística I - Prof.: Milson Lira
1- A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
Panorama Histórico
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem.
A Matemática que é considerada “a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da linguagem”, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico.
A Estatística, ramo da Matemática aplicada, teve origem semelhante.
Desde a antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individuais e sociais, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de “Estatísticas”. 
Na idade média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas.
A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos.
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências.
As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o cálculo das probabilidades, e a estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação de partes desse todo (amostras).
Definição: - É o estudo de descrição e de análise de quantidades de diversas grandezas.
Objetivo: - Uma compreensão mais rápida e exata dos fenômenos naturais e sociais, no estudo de suas causas e de seus efeitos, associam-se a eles números que expressam quantidades.
A Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos números na tomada de decisões.
	A Estatística trabalha com métodos científicos para coleta, organização, resumo e apresentação de dados e também para a obtenção de conclusões e a tomada de decisões razoáveis.
A Estatística pode ser:
a) Descritiva Dedutiva – descreve e analisa os fenômenos.
b) Indutiva – baseada na análise dos fatos, infere conclusões e trata de sua validade.
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
1.2- Fases do Método Estatístico (Estatística Descritiva)
1)- Coleta dos dados – deve ser de acordo com o objetivo e pode ser direta ou indireta.
A coleta é direta quando, obtido os dados de sua fonte originária, sendo os dados assim coletados ditos primários.
	Ex: Os registros nos cartórios civis relativos a nascimento; casamentos; óbitos; os dados referentes às vendas à vista de uma empresa, cujos valores são registrados nas notas fiscais ou na caixa. A coleta direta pode ser feita pelo método de pesquisa pessoal e pelo método de envio de questionários. 
	A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:
a) Contínua – quando feita continuamente, tal como a de nascimento e óbito e a freqüência dos alunos às aulas;
b) Periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos) e as avaliações mensais dos alunos;
c) Ocasional – quando feita extemporaneamente a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros.
	A coleta é indireta quando os dados provêm da direta, sendo os dados ditos secundários, tem-se, como exemplo, a pesquisa sobre a duração de vida do ser humano que pode ser feita com os dados da coleta direta.
	2) Crítica dos dados – Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições, afim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.
	A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta.
	3) Apuração dos dados – é avaliação dos trabalhos (estuda os dados coletados). Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
	4) Exposição ou apresentação dos dados – após a apuração dos valores representativos de um fenômeno são eles expostos em:
a) Tabelas ou quadros;
b) Gráficos.
1.3- Variáveis
	Variáveis – a cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:
	- Para cada fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: Sexo masculino e sexo feminino;
- Para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis, expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ...n;
 - Para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar números infinitos de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.
	Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
	Os exemplos acima no dizem que uma variável poder ser:
Qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, parda) etc.;
Quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola) etc. Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.
Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N={1, 2, 3,...,69, ...,}, mas nunca valores como 2,5 ou 4,38 ou 5,327 etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72kg, como 72,5kg, como 72,56kg etc., dependendo esse valor da precisão da medida.
De modo geral, as medidas dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, a variáveis discretas.
EXERCÍCIOS
Classificar as variáveis em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas):
Universo: Alunos de uma escola
Variável: Cor dos cabelos ______________________________
Universo: Casais residentes em uma cidade
Variável: Número de filhos ______________________________
Universo: Peças produzidas por certa máquina
Variável: Diâmetro externo _______________________________
Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:
População: Alunos de uma cidade
Variável: Cor dos olhos _______________________________
População: Estação meteorológica de uma cidade
Variável: Precipitação pluviométrica, durante o ano ______________________
População: Bolsa de valores de São Paulo
 Variável: Número de ações negociadas _________________________________
	1.4- População e Amostra
	1.4.1 – População ou universo estatístico
	Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população ou universo estatístico. Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam pelo menos uma característica comum: são os que estudam.
	O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome de populaçãoou universo. A população congrega todas as observações que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais características dos indivíduos, os quais podem ser concebidos tanto como seres animados ou inanimados. 
	Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população. A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra.
	1.4.2- Amostra
	A amostra pode ser definida como um subconjunto finito de uma população ou uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência (análise, estudo) sobre as características da população.
	A Estatística Indutiva tem por objeto tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados verificados em amostras retiradas dessa população. 
	Mas, para as interferências serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar.
	1.4.2.1- Tipos de amostras (técnicas de amostragem)
Amostra casual ou aleatória simples – deve ser aleatoriamente, ou
seja, através de sorteio.
Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de noventa alunos de uma escola:
Numeramos os alunos de 01 à 90;
Escrevemos os números, de 01 à 90, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocamos dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra. Neste caso, 10% da população.
 2) Amostragem sistemática – feita por um critério previamente estabelecido pelo pesquisador.
	Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho da amostra em 10% da população.
Exemplo: Suponhamos uma rua contendo novecentas residências, dos quais desejamos obter uma amostra formada de cinqüenta residências. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: 
 900
Como: ------ = 18 → escolheremos por sorteio casual em números de 1 à 18 (inclusive),
 50
O qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da Rua, a 4ª residência, a 22ª, a 40ª etc.. até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo.
	 3) Amostragem proporcional estratificada – É a distribuição proporcional dos elementos e devem ser apresentados através de tabelas ou quadros.
Exemplo: Supondo, no exemplo de 1º caso, que dos noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas, vamos obter a amostra proporcional estratificada de 10% da população:
	SEXO
	POPULAÇÃO
	%
	AMOSTRA
	Masculino
	54
	60
	5
	Feminino
	36
	40
	4
	Total
	90
	100
	9
 Demonstrativo da resolução:
Percentagem
 54 x 100 36 x 100
Masculino = -------------- = 60% Feminino = ------------- = 40%
90
Amostra
 60 x 9 40 x 9
Masculino = ------------ = 5,4 = 5 Feminino= ---------- = 3,6 = 4
100
Exercícios:
1) Na escola X um grupo de alunos da turma de contabilidade, fizeram um estudo sobre o peso de seus colegas de turma. Sabendo-se que há 60 pessoas. O grupo dividiu-se em dois e agiram com os seguintes procedimentos:
Uma parte do grupo elaborou uma lista com os 60 nomes dos alunos, numerados de 1 à 60, em seguida sortearam 12 números (20% de 60).
A outra parte também elaborou uma lista dos nomes, numerado-os de 1 à 60, em seguida sortearam um número de 1 à 5. O número sorteado foi o 3, por exemplo, a amostra ficou constituída por: 3, 8, 13, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53 e 58. 
 – Indique qual o tipo de amostra para cada item.
2) Efetuando-se a adição dos números de alunos das cinco escolas, do bairro “A”, verificou-se que a população total era de 2.000 estudantes, distribuídos da seguinte forma: Escola A = 400 alunos, Escola B = 300, C = 350, D = 450 e E =500 alunos. Armar uma tabela e estratificar os dados considerando uma amostra de 300 alunos. 
2- TABELAS
	2.1- Tabela – é um quadro que resume um conjunto de observações. 
 Uma tabela compõe-se de:
 a) Título – é a parte superior, onde se indicam a natureza ou o fato estudado, o local e a época em que foi observado.
Obs: Um título completo de uma tabela responde às três perguntas: O quê?, Quando? , Onde?
 b) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
 c) Coluna indicadora – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
 d) Linha – contém uma série horizontal de informações.
 e) Coluna – contém uma série vertical de informações.
 f) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre o fato observado.
 g) Casa ou célula – é formada pelo cruzamento de uma linha com coluna.
 h) Nota ou chamada – é a indicação sobre um fato observado.
 i) Fonte – é a informação colocada no rodapé da tabela, indicando a procedência das informações.
Exemplo: 
 Produção de Café – Brasil Título
 1991 - 1995
Coluna indicadora Anos Produção Cabeçalho
 (1.000t)
 1991 2.535 Coluna numérica
 1992 2.666 
Corpo 1993 2.122 Linhas
 1994 3.750 
 1995 2.007 Casa ou célula
 
Rodapé Fonte: I.B.G.E
 
De acordo com a resolução 886 da fundação IBGE, nas casas ou células devemos colocar:
Um traço ( ) quando o valor é zero, não só quanto à natureza das coisas, como quanto ao resultado do inquérito;
Três pontos ( ... ) quando não temos dados;
Um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor;
Zero ( O ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores são expressos em numerais decimais precisamos acrescentar à parte decimal um número correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,000; ...).
3- SÉRIES ESTATÍSTICAS
Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.
	Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em Histórica, Geográfica e Específica. 
a) Séries Históricas, Cronológicas, Temporais ou Marchas
	Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo variáveis.
Exemplo: PREÇO DO ACÉM NO VAREJOSÃO PAULO – 1989-1994
	Anos
	Preço Médio ($)
	1989
	2,24
	1990
	2,73
	1991
	2,12
	1992
	1,89
	1993
	2,04
	1994
	2,62
 Fonte: A.P.A. (Assoc. dos Produtores Agropecuários)
 
	b) Séries Geográficas, Espaciais, Territoriais ou de Localização
	Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminando as diversas regiões ou locais.
Exemplo: DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS
	 SUPERIORES - 1994
	Países
	Número de anos
	Itália
	7,5
	Alemanha
	7,0
	França
	7,0
	Holanda
	5,9
	Inglaterra
	Menos de 4
 Fonte: Revista Veja
	c) Séries Específicas, Categóricas ou Qualitativas
	Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias.
Exemplo: REBANHOS BRASILEIROS - 1992 
	Espécies
	Quantidade
	Bovinos
	154.440,8
	Bubalinos
	1.423,3
	Eqüinos
	549,5
	Asininos (burros)
	47,1
	Muares (mulas)
	208,5
	Suínos 
	34.532,2
	Ovinos
	19.955,9
	Caprinos
	12.159,6
	Coelhos
	6,1
 Fonte: I.B.G.E.
	d) Séries Conjugadas, Tabelas de dupla entrada
	Quando apresentam, em uma única tabela, a variação de valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais séries.
	Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação:
Uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).
Exemplo: TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO – 1991-1993
	Regiões
	1991
	1992
	1993
	Norte
	342.938
	375.658
	403.494
	Nordeste
	1.287.813
	1.379.101
	1.486.649
	Sudeste
	6.234.501
	6.729.467
	7.231.634
	Sul
	1.497.315
	1.608.989
	1.746.232
	Centro-Oeste
	713.357
	778.925
	884.822
 Fonte: Ministério das Comunicações
Exercícios
Classifique as séries:
Avicultura Brasileira 1982 - ___________________________________
	Espécie
	Número (1.000 cab.)
	Galinhas
	204.160
	Galos, frangos e pintos
	435.465
	Codornas
	2.488
 Fonte: I.B.G.E.
2) Produção Brasileira de Aço Bruto 1991-1993 - _________________________
	Processos
	Quantidade (1.000t)
	
	1991
	1992
	1993
	Oxigênio Básico
	17.934
	18.849
	19.698
	Forno Elétrico
	4.274
	4.637
	5.065
	EOF
	409
	448
	444
 Fonte: Instituto Brasileiro de Siderurgia
3) Exportação Brasileira 1985 – 1990 – 1995 - ____________________________
	Importadores
	1985
%
	1990
%
	1995
%
	América Latina
	13,0
	13,4
	25,6
	EUA e Canadá
	28,2
	26,3
	22,2
	Europa
	33,9
	35,2
	20,7
	Ásia e Oceania
	10,9
	17,7
	15,4
	África e Oriente Médio
	14,0
	8,8
	5,5
 Fontes: MIC e SECEX
4- DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS
Dados absolutos – São as contagens ou medidas resultantes da coleta direta da fonte.
Exemplo: As contagens numéricas: 1, 2, 3,4, 5...
Dados relativos – São os resultados de comparações por quocientes (razões) que se estabelecem entre dados absolutos. São as percentagens, índices, coeficientes e taxas.
Exemplos:
1) São Paulo tinha, em 1989, uma população projetada de 32.361.700 habitantes. Sabendo que sua área terrestre é de 248.256 km2 , calculando a sua densidade demográfica:
 32.361.700
Coeficiente Demográfico – = 130,4 hab/km2 
 248.256
Conclusão: Dados Absolutos: 32.361.700 (nº de habitantes)
 248.256 km2 (área)
 Dados Relativos: 130,4 hab/km2 (coeficiente demográfico)
2) Dada a série, constando o número de alunos matriculados por série, num determinado colégio, em determinado ano, calculado o percentual por série:
	Série
	Alunos matriculados
	%
	1ª
	546
	42,9
	2ª
	328
	25,7
	3ª
	280
	22,0
	4ª
	120
	9,4
	Total
	1274
	100,0
Dados Absolutos: Número de alunos matriculados (1274)
Dados Relativos: Percentagens.
5- GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
	O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
	Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma correspondência entre os termos da série e determinada figura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional.
	A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil:
Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros;
Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo;
Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudado.
Os principais tipos de gráficos são os diagramas, os cartogramas e os pictogramas.
Diagramas
Os diagramas são gráficos de, no máximo, duas dimensões; para sua construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.
Dentre os principais diagramas, destacamos:
 5.1.1- Gráfico em linha ou em curva 
 Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística.
 O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesiana.
 Como sabemos, nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são os eixos coordenados e o ponto de interseção, a origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas (ou eixo dos x) e o vertical, eixo das ordenadas (ou eixo dos y).
Exemplo: PRODUÇÃO DE VEÍCUOS AUTOPROPULSÃO
BRASI – 1984-89
	ANOS
	QUANTIDADES
(1.000 unidades)
	1984
	865
	1985
	967
	1986
	1.056
	1987
	920
	1988
	1.069
	1989
	513
 Fonte: ANFAVEA
PRODUÇÃO DE VEÍCUOS DE AUTOPROPULSÃO – BRASIL
1984 - 1989
 Quantidades
 (
 Qu
 
 1984 1985 1986 1987 1989 ANOS 
 5.1.2- Gráfico em colunas ou em barras
 É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).
 
 Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
 
 Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.
 
 Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos. 
Exemplos: Em colunas
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO 
MINERAL BRUTO – 1989-92
	ANOS
	QUANT. PRODUZIDA
(1.000 t)
	1989
	18.196
	1990
	11.168
	1991
	10.468
	1992
	9.241
Fonte: Ministério da Agricultura
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO
 MINERAL BRUTO – 1989-92
Fonte: Ministério da Agricultura
Em barras ESPORTAÇÕES BRASILEIRASMARÇO - 1995
	ESTADOS
	VALOR
(US$ milhões)
	São Paulo
	1.344
	Minas Gerais
	542
	Rio Grande do Sul
	332
	Espírito Santo
	285
	Paraná
	250
	Santa Catarina
	202
 Fonte: SECEX
 EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS - MARÇO – 1995
Fonte: AECEX
 5.1.3- Gráficos através de tabelas compostas ou mistas
Trata-se dos gráficos em linhas, colunas ou barras múltiplas.
Estes tipos de gráficos empregam-se, geralmente, quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação.
 Exemplos:
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL - 1989-93
	ESPECIFICAÇÕES
	VALOR (US$ 1.000.000)
	
	1989
	1990
	1991
	1992
	1993
	Exportação (FOB)
	34.383
	31.414
	31.620
	35.793
	38.783
	Importação
	18.263
	20.661
	21.041
	20.554
	25.711
 Fonte: Ministério da Fazenda
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL - 1989-93
Especificações Valor (US$ 1.000.000) 
 
 1989 90 91 92 93
 Fonte: Ministério da Fazenda
 1989 1990 1991 1992 1993 Anos
Fonte: Ministério da Fazenda
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL - 1989-93
Especificações Valor (US$ 1.000.000)
 1989 1990 1991 1992 1993 Anos
Fonte: Ministério da Fazenda
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL - 1989-93
 Especificações
 Valor (US$ 1.000.000) Fonte: Ministério da Fazenda
5.2- Gráfico em setores (Pizza)
- Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total.
- O total é representado pelo círculo (cuja área é de 360º), que fica dividido em tantos setores quanto são as partes. 
- Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta.
 
 Exemplo:
REBANHO SUÍNO DO SUDESTE DO BRASIL - 1992
	ESTADOS
	QUANTIDADE
(mil cabeças)
	Minas Gerais
	3.363,7
	Espírito Santo
	430,4
	Rio de Janeiro
	308,5
	São Paulo
	2.035,9
	Total
	6.138,5
 Fonte: I.B.G.E.
Aplicação:
Minas Gerais 3.363,7 x 360 ÷ 6.138,5 = 197,27º
Espírito Santo 430,4 x 360 ÷ 6.138,5 = 25,24º
Rio de Janeiro 308,5 x 360 ÷ 6.138,5 = 18,09º
São Paulo 2.035,9 x 360 ÷ 6.138,5 = 119,40º
 Total = 360,00º
REBANHOS DE SUÍNOS DO SUDESTE DO BRASIL - 1992
NOTAS:
O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.
Se a série já apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos valores em graus multiplicando o valor percentual por 3,6.
5.3- Cartograma
O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
Distinguimos duas aplicações:
 a) Representar dados absolutos (população) – neste caso, lançamos mão, em geral, dos pontos, em números proporcionais aos dados;
 b) Representar dados relativos (densidade) – neste caso, lançamos mão, em geral, de hachuras.
5.4- Pictograma
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras.
Na verdade, o gráfico é essencialmente um gráfico em barras; porém as figuras o tornam mais atrativo, e que, provavelmente, despertará a atenção do leitor para o seu exame.
Na confecção de gráficos pictóricos temos que utilizar muita criatividade, procurando obter uma otimização na união da arte com a técnica. 
 6- DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
A distribuição de frequência é o resultado da coleta de dados que se obtém com a finalidade de aplicar e demonstrar um trabalho estatístico.
Após a coleta, faz-se a crítica a apuração e a exposição dos dados. 
6.1- Tabelas de Frequências
Considere a coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:
Tabela primitiva
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 
 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
 A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva. 
Com os dados desordenados (tabela primitiva), fica difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, como determinar a maior ou menor estatura, o número de alunos com a mesma altura etc.
A maneira mais simples é organizar os dados em ordem crescente ou decrescente. A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.
Rol
É um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de grandezas.
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
 150 151 152 153 154 155 155 155 155 156 156 156 157 158 158 160 160 160 160 160 
 161 161 161 161 162 162 163 163 164 164 164 165 166 167 168 168 169 170 172 173
 Os dados acima representam uma tabela de dados não agrupados.
Vamos armar uma tabela de dados agrupados, sem intervalos de classes:
 
	Estatura
(cm)
	Freqüência
(fi)
	
	Estatura
(cm)
	Freqüência
(fi)
	
	Estatura
(cm)
	Freqüência
(fi)
	150
	1
	
	158
	2
	
	167
	1
	151
	1
	
	160
	5
	
	167
	2
	152
	1
	
	161
	4
	
	169
	1
	153
	1
	
	162
	2
	
	170
	1
	154
	1
	
	163
	2
	
	172
	1
	155
	4
	
	164
	3
	
	174
	1
	156
	3
	
	165
	1
	
	Total
	40
	157
	1
	
	166
	1
	
	
A tabela acima foi tripartida para não ocupar muito espaço.
Vamos armar uma terceira tabela. A tabela de dados agrupados com intervalos de classes. 
 Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.
 Chamamos de frequência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe. Assim temos a distribuição de frequência com intervalos de classes.
 Exemplo:
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO 
COLÉGIO “A”
	ESTATURA
(cm)
	FREQUÊNCIA (fi)
(nº de alunos)
	150 │------ 154 
	4
	154 │----- 158
	9
	158 │----- 162
	11
	162 │----- 166
	8
	166 │----- 170
	5
	170 │----- 174
	3
	Total
	40
 Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade, mas perdemos em pormenores. 
A construção dessa tabela é em virtude de termos uma quantidade grande de números e bastante variado, tornando, assim, mais prático a execução dos trabalhos.
Desse modo, podemos usar as tabelas de frequências, ora vistas, nos seguintes casos:
Dados não agrupados: quando a quantidade de dados estudados é pequena;
Dados agrupados sem intervalo: quando a
 quantidade de dados e grande, porém com muita repetição;
Dados agrupados com intervalos de classes: quando a quantidade de número é grande.
Nomenclaturas usadas para as tabelas de dados agrupados com intervalos segundo a resolução 886 do I,B.G.E.
|---- Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Indica que está incluído o valor à esquerda até o número inferior que se encontra à direita.
----| Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Estão incluídos os números imediatamente superiores ao nº que estáà esquerda, até o número da direita.
|----| Fechado à esquerda e à direita. Estão incluídos todos os números da direita até o número que se encontra à direita.
Outros exemplos:
 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO ESTATURA DE 40 ALUNOS DO
 COLÉGIO “A” COLÉGIO “A”
	ESTATURA
(cm)
	FREQUÊNCIA
(nº de alunos) (fi)
	
	ESTURA
(cm)
	FREQUÊNCIA
(nº de alunos) (fi)
	149 -----│153
	4
	
	150 │-----│153
	4
	153 -----│157
	9
	
	154 │-----│157
	9
	157 -----│161
	11
	
	158 │-----│161
	11
	161 -----│165
	8
	
	162 │-----│165
	8
	165 -----│169
	5
	
	166 │-----│169
	5
	169 -----│173
	3
	
	170 │-----│173
	3
	Total
	40
	
	Total
	40
Número de intervalo de classes
Para determinar o número dos intervalos, temos três maneiras:
1ª) Aleatoriamente se determina sua quantidade;
2ª) Através da fórmula: i = √n;
3ª) Fórmula de Sturges: i = 1 + 3,3 . Log n
 “n” é o número de elementos estudados.
 
6.2- Elementos de uma Distribuição de Freqüências 
Classes:
Classes de Frequências ou simplesmente classes (i), são intervalos de variação de cada um dos intervalos.
Na tabela, são os valores formados por cada uma das linhas da primeira coluna.
Limites de classes:
Denominamos limites de classe os valores extremos de cada classe.
Na tabela, são formados por cada número extremo de cada classe, são eles:
 a) limite inferior real (li), nº à esquerda;
 b) limite superior real (Li), nº à direita da classe de frequência.
Amplitude de um intervalo de classe
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe (hi) é a medida do intervalo que define a classe.
Obtém-se pela diferença entre dois limites inferiores ou superiores consecutivos, ou ainda pela diferença entre dois pontos médios também consecutivos. 
 hi = li – li-1 
Amplitude total da distribuição
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):
 AT = L(máx.) – l (mín.)
Amplitude amostral
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.
Na tabela, AA = 173 – 150 = 23 cm
Ponto médio de classes
Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
 li + Li
 xi = ----------
 2
Freqüência simples ou absoluta
Frequência absoluta ou simples (fi): é o número de acontecimentos verificados em cada classe ou intervalo.
 
 Nas tabelas são os números dos alunos de cada classe ou intervalo.
Classe modal
A classe modal é aquela em que se verifica a maior frequência absoluta.
Na tabela, a classe modal é a 3ª classe, onde estar localizado o número 11.
Obs.: Uma tabela pode conter mais de uma classe modal.
6.3- Tipos de freqüências 
Frequências simples ou absoluta (fi) são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe.
Frequências relativas (fri) são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total. 
 
 fi
 fri = ------
 Σ fi
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
Fn = f1 + f2 + ... + fn 
 Na tabela, F3 = 4 + 9 + 11 = 24 
Frequência acumulada relativa (fri) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.
 
 fi 
 Fri = -------- 
 Σ fi
 f3 24
Ex.: Fr3 = ------- → Fr3 = ------ = 0,60
 Σ fi 40
Freqüência acumulada
Frequência acumulada relativa (Far) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.
 
 
 fi
 Far = --------
 Σ fi
 f3 24
Ex.: Fr3 = ------- → Fr3 = ------ = 0,60
 Σ fi 40
6.4- Representação Gráfica de uma Distribuição de Frequência
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo polígono de frequência e pelo polígono de frequência acumulada (ogiva). 
6.4.1- Histograma
O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classes.
O histograma é formado pela interseção 
 de limite inferior e a frequência absoluta de cada classe. 
 Exemplo:
 
6.4.2- Polígono de frequência
É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classes.
Obtém-se pela interseção entre o ponto médio e a frequência absoluta da classe.
6.4.3- Polígono de freqüência acumulada
É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Obtém-se pela interseção entre os limites superiores e a frequência acumulada de cada classe. Exemplo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1º) Uma amostra de 50 estudantes apontou o seguinte rol de notas de estatística (avaliação de 0 a 100):
 
 33, 35, 35, 39, 41, 41, 42, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 54, 55, 55, 57, 59, 60, 60, 61, 64, 65, 65, 65, 66, 66, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 73, 74, 74, 76, 77, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 85, 88, 89, 91, 94 e 97.
 
Pede-se:
 a) Construir uma tabela de distribuição de frequências, usando o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, utilizando a regra de Sturges para definir o número de classes. Armar coluna de frequências absolutas, pontos médios, frequências relativas, relativas percentuais, acumuladas e acumuladas percentuais. Iniciar a primeira classe com 30 e o limite superior da última classe 100.
b) Construir o histograma, o polígono de frequência e o polígono de frequência acumulada;
 
c) Quais os limites da classe modal?
 d) Quantos alunos obtiveram notas maiores ou iguais a 70?
 e) Qual o ponto médio da classe de menor frequência?
 f) Qual a amplitude amostral?
 g) Qual a amplitude total?
Resolução
Definir o número de classes:
 i = 1 + 3,3 . Log10n → i = 1 + 3,3 . 1,69897 → i = 6,6066 → i = 7 classes. 
	CLASSES
	fi
	xi
	fri
	fri%
	Fac
	Fac%
	30 │----- 40
	4
	35
	0,08
	8
	4
	8
	40 │----- 50
	6
	45
	0,12
	12
	10
	20
	50 │----- 60
	8
	55
	0,16
	16
	18
	36
	60 │----- 70
	13
	65
	0,26
	26
	31
	62
	70 │----- 80
	9
	75
	0,18
	18
	40
	80
	80 │----- 90
	7
	85
	0,14
	14
	47
	94
	90 │---- 100
	3
	95
	0,06
	6
	50
	100
	Total (Σ)
	50
	---
	1,00
	100
	---
	---
Histograma
Polígono de frequência
Polígono de freqüência acumulada
c) l4 = 60 e L4 = 70
 d) 9 + 7 + 3 = 19
 e) x7 = 95
 f) AA = 97 – 33 =64
 g) AT = 100 – 30 = 70
2º) Dado o rol relativo a amostra de 40 peças de uma empresa, destinada a análise de produtividade, em determinado período:
 
 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 37, 37, 39, 40, 42, 45, 50, 54, 57 e 57.
a) Armar uma tabela de dados agrupados sem intervalos de classes.
b) Armar três tabelas dados agrupado, cada uma com 6 classes, sendo a primeira com o intervalo |----, a segunda ----| e a terceira |----|.
c) Pela primeira tabela do 2º quesito, criar três colunas. Uma do Ponto Médio (xi), outra da Frequência Relativa (fri) e a última da Freq. Acumulada (Fac).
4º) Pela mesma tabela (primeira) armar:
a) Histograma;
b) Polígono de Frequência;
c) Polígono de Frequência Acumulada.
5º) Na 3ª tabela (2º quesito), indicar:
a) Limite inferior da 2ª classe (l2);
b) Classe Modal (Mo);
c) Amplitude do intervalo total (AT);
d) Amplitude do intervalo de classe (h);
e)Amplitude amostral (AA).
Resolução
1º) Amostra de 40 peças...
	CLASSES
	fi
	
	CLASSES
	fi
	
	CLASSES
	fi
	8
	2
	
	22
	1
	
	36
	1
	9
	1
	
	23
	1
	
	37
	2
	10
	3
	
	24
	2
	
	39
	1
	11
	1
	
	25
	1
	
	40
	1
	13
	2
	
	26
	1
	
	42
	1
	14
	1
	
	27
	1
	
	45
	1
	15
	1
	
	28
	1
	
	50
	1
	16
	1
	
	29
	1
	
	54
	1
	17
	2
	
	30
	1
	
	57
	2
	18
	1
	
	32
	1
	
	Σ
	40
	21
	2
	
	34
	1
	
	
2º) e 3º) Amostra de 40 peças...
	CLASSES
	fi
	xi
	fri
	Fac
	8 │----- 16
	11
	12
	0,275
	11
	 16 │----- 24
	8
	20
	0,200
	19
	 24 │----- 32
	8
	28
	0,200
	27
	 32 │----- 40
	6
	36
	0,150
	33
	 40 │----- 48
	3
	44
	0,075
	36
	 48 │----- 58
	4
	53
	0,100
	40
	i = 6
	40
	---
	1,000
	---
4º) a) Histograma
b) Polígono de frequência
c) Polígono de frequência acumulada
5º) Pela terceira tabela, indicar:
a) l2 = 16
b) Mo = 1ª classe
c) AT = 57 – 8 = 49
d) h = 16 – 8 = 8
e) AA = 57 – 8 = 49
 
Revisão (Distribuição de Freqüências)
Distribuição de Freqüências:
	A distribuição de freqüência é o resultado da coleta de dados que se obtém com a finalidade de aplicar e demonstrar um trabalho estatístico. Após a coleta dos dados, faz-se a crítica, a apuração e enfim se expõem esses dados.
	De acordo com normas do IBGE, usam-se as seguintes nomenclaturas para se armar uma tabela de freqüência de dados agrupados com intervalos de classes:
 Fechado à esquerda e aberta à direita (incluem-se os valores à esquerda até o valor imediatamente anterior ao que estiver à direita).
 
 Aberto à esquerda e fechado à direita (excluem-se os valores extremos da 
esquerda e incluem-se o posterior até o último incluído na direita).
 Fechado à esquerda e à direita (incluem-se os valores à esquerda e à direita).
Elementos da Distribuição de Freqüências
	
Classes de Freqüências ou simplesmente classes (i) – são os números formados nos extremos de cada linha da primeira coluna;
Limites de classes – são os números extremos de cada classe. Pode ser limite inferior real (li) e limite superior real (Li); 
Amplitude do intervalo de classe (h) – é a diferença entre dois limites inferiores ou superiores consecutivos ou ainda pela diferença entre dois pontos médios também consecutivos;
Amplitude total (AT) – é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe;
Amplitude amostral (AM) – é a diferença entre o maior e o menor número do rol;
Ponto médio (xi) – obtém-se através da semi-soma dos limites da mesma classe;
Classe modal – é aquela em que se encontra a maior freqüência absoluta;
Freqüência relativa (fri) – é a freqüência absoluta da classe pedida dividida pelo somatório da freqüência;
Freqüência acumulada (Fa) – somam-se cada um dos valores da coluna de freqüência absoluta;
Freqüência acumulada relativa – dividir cada número da freqüência absoluta pelo somatório da coluna de freqüência absoluta.
Exercício
 Uma amostra de 50 estudantes apontam o seguinte rol de notas de estatística (avaliação de 0 a 100):
33, 35, 35, 39, 41, 41, 42, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 54, 55, 55, 57, 59, 60, 60, 61, 64, 65, 65, 65, 66, 66, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 73,74, 74, 76, 77, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 85, 88, 89, 91, 94 e 97.
Pede-se: 
Construir uma tabela de distribuição de freqüências, usando o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, utilizado a regra de Sturges para definir o número de classes. Armar uma coluna de freqüência absoluta, outra coluna com os pontos médios, outra com a freqüência relativa e mais outra com a freqüência relativa percentual. Iniciar a primeira classe com 30 e o limite superior da última classe 100;
Determinar os limites da classe modal;
Quantos alunos obtiveram notas maiores ou iguais a 70?
Qual o ponto médio da classe de menor freqüência?
Qual a amplitude amostral?
Qual a amplitude total/
Construir o Histograma, o polígono de freqüência e o polígono de freqüência acumulada (ogiva);
Resolução:
a) i = 1 + 3,3 x log n → 1 + 3,3 x 1,69897 = 6,6 = 7 classes.
	Classes
	Fi
	Xi
	Fri
	Fri%
	Fac
	Fac%
	30 |----- 40
	4
	35
	0,08
	8
	4
	8
	40 |----- 50
	6
	45
	0,12
	12
	10
	20
	50 |----- 60
	8
	55
	0,16
	16
	18
	36
	60 |----- 70
	13
	65
	0,26
	26
	31
	62
	70 |----- 80
	9
	75
	0,18
	18
	40
	80
	80 |----- 90
	7
	85
	0,14
	14
	47
	94
	90 |---- 100
	3
	95
	0,06
	6
	50
	100
	Total
	50
	-
	1,00
	100
	-
	-
 
c) l4 = 60 e L4 = 70
d) 9 + 7 + 3 = 19
e) x7 = 95
f) AA = 97 – 33 = 64
g) AT = 100 – 30 = 70
h) Histograma
Polígono de Freqüência
Polígono de Freqüência Acumulada (Ogiva)
7- MEDIDAS DE POSIÇÃO
	
São Estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas)
Podemos destacar:
Medidas de Tendência Central – Os dados tendem, em geral a se agrupar em torno dos valores centrais.
Destacamos:
A Média Aritmética;
A Mediana;
A Moda.
2) Separatrizes – Separam a distribuição em partes iguais, são elas:
A Própria Mediana;
Os Quartis;
Os Decis e Centis (percentis).
Média Aritmética
É o quociente da soma dos valores (Σxi) ou (Σfi) pela quantidade deles.
Dados não agrupados
Seu emprego é através da Média Aritmética Simples.
_ Σxi _ Σfi → Somatório da frequência
x = ------- ou x = --------
 n n → Número de classes
Exemplo: 
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Temos, para a produção média da semana:
 
_ 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 98
x = = ----- = 14 itros
 7 7
Dados agrupados
Seu emprego é pela Média Aritmética Ponderada.
_ Σxi . fi → Somatório do ponto médio vezes a frequência 
x = ------------
 Σfi → Somatório da freqüência.
Podemos destacar:
Sem intervalos de classes. b) Com intervalos de classes.
Exemplos:
	xi
	fi
	fi . xi
	
	Estat. (cm) 
	fi
	xi
	fi . xi
	152
	4
	608
	
	150 │---- 154
	4
	152
	608
	156
	9
	1.404
	
	154│---- 158
	9
	156
	1.404
	160
	11
	1.760
	
	158 │---- 162
	11
	160
	1.760
	164
	8
	1.312
	
	162 │---- 166
	8
	164
	1.312
	168
	5
	840
	
	166 │---- 170
	5
	168
	840
	172
	3
	516
	
	170 │---- 174
	3
	172
	516
	i = 6
	40
	6.440
	
	i = 6
	40
	---
	6.440
 _ 6.440 _ 6.440
 x = --------- = 161 cm x = --------- = 161 cm
 40 40
b) 	Mediana
	É o valor que ocupa exatamente o meio de uma série, quando seus valores estão dispostos em ordem crescentes ou decrescentes (separa uma série em duas partes iguais).
Dados não agrupados
Neste caso os valores estão expostos na própria série, quando o número de acontecimentos for ímpar. Quando for par, calcula-se a média aritmética dos dois valores centrais.
 Neste caso podemos determinar a posição para localizar a mediana. Podemos fazer por meio das fórmulas:
Número de dados (elementos) ímpar:
 
 n + 1
 P = ---------
 2
Número de dados par: 
 n n _
 P = --- e --- + 1 (Determinar x)
 2 2
Exemplos:
	
Calcular nas duas séries abaixo discriminadas, suas medianas:
 b)
	Mercadorias
(tipos)
	Vendas
(R$)
	
	Mercadorias
(tipos)
	Vendas
(R$)
	A
	18.000
	
	A
	18.000
	B
	21.000
	
	B
	19.000
	C
	25.000
	
	C
	21.000
	D
	26.000
	
	D
	25.000
	E
	28.000
	
	E
	26.000
	F
	29.000
	
	F
	28.000
	G
	30.000
	
	G
	29.000
	n = 7
	-----
	
	H
	30.000
	
	
	
	n = 8
	-----
Resolução:
 7 + 1 8
Impar: P = -------- = --- = 4ª classe → Md = R$ 26.000,00
 2 2
 8 8
Par: P = ---- = 4ª classe e ---- + 1= 5ª classe →
 2 2
 
 25.000 + 26.000
 → Md = ------------------------ = R$ 25.500,00
 2
Dados agrupados
A Mediana é calculada com base na frequência acumulada da série.
 O problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. Para isso há necessidade de ser calculada a posição (P), independente de ser par ou impar, localizando-a através da Frequência Acumulada (Fa).
Fórmula para determinar a posição da mediana, localizada através da Fa.
 Σ fi 
P (posição) = --------
 2
 Após determinar a posição, localizar o valor mediano por meio da frequência acumulada. (Isso vale tanto para com intervalos quanto sem intervalos de classes).
Fórmula para dados agrupados com intervalos de classes:
 Σ fi 
 ------ - Fa (ant.)
 2
 Md = l + -------------------------- . h 
 fi 
 onde:
 l é o limite inferior da classe mediana;
 Fa (ant) é a freq. Acumulada da classe anterior à classe mediana;
 fi é a freq. Absoluta da classe mediana;
 h é a amplitude do intervalo de classe. 
Cálculo da Mediana de dados agrupados sem intervalos de classes.
Neste caso deve-se determinar a posição onde está localizar a classe mediana, tomando por referência a coluna do Fa, em seguida determinar a mediana na coluna do xi. 
Observar exemplos a seguir: 
Exemplos: 
1º)
	xi
	fi
	Fa 
	152
	4
	4
	156
	9
	13
	160
	11
	24
	164
	8
	32
	168
	5
	37
	172
	3
	40
	i = 6
	40
	---
Resolução:
 40
P = ------ = 20 (procurar o nº 20 na Fa, caso não tenha, considerar o número 
 2 imediatamente superior).
 
 Neste caso o número é o 24. Em seguida determinar a Mediana, que é o número 160 na coluna do xi. → Md = 160. 
 Obs.: Quando, ao procurar o número na coluna do Fa e não localizar, deve ser considerado o número seguinte e em seguida determinar a mediana que se encontra na mesma linha do número encontrado na coluna do xi.
Caso o número procurado tenha na coluna do Fa, neste caso a mediana será a média aritmética do número da linha e o número seguinte na coluna do xi.
2º) Determinar a Mediana dados agrupados da série dada na página 17 da apostila (slide 74).
 40
 P = ------ = 20 (localizando na Fa, a mediana será a média aritmética dos nºs 160 e 161)
 2 
 
 160 + 161
Assim: Md = --------------- = 160,5
 2
3º) Determinar a Mediana dados agrupados com intervalos de classes da série a seguir:
	Estatura (cm)
	fi
	Fa
	150 │----- 154
	4
	4
	154 │----- 158
	9
	13
	158 │----- 162
	11
	24
	162 │----- 166
	8
	32
	166 │----- 170
	5
	37
	170 │----- 174
	3
	40
	i = 6
	40
	---
Resolução:
 40
P = ------- = 20 (localizando na Fa, a classe mediana será a 4ª).
 2 
 
 (20 – 13).4
 Md = 158 + ---------------- → Md = 160,54
 11 
Exercícios:
Dada a série, calcular a mediana:
	Classes
	fi 
	Fa
	 0 │----- 10
	1
	1
	10 │----- 20
	3
	4
	20 │----- 30
	9
	13
	30 │----- 40
	7
	20
	40 │----- 50
	4
	24
	50 │----- 60
	2
	26
	i = 6
	26
	---
 
 26 
 P = ------- = 13 → Md= 30
 2
Obs.: Quando dos dados agrupados com intervalos de classes, a posição coincidir com o nº na coluna do Fa, a mediana será o mesmo número do limite superior da classe mediana.
Nota: Pode usar a fórmula que encontrará o mesmo resultado.
c) Moda
É o ponto onde há maior concentração.
Desse modo, ó salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é o salário recebido pelo maior número de empregados dessa Indústria.
Dados não agrupados
Nesse caso, a moda é o valor que mais se repete.
Ex.: A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 têm moda igual a 10
 Podemos, entretanto, encontra série na quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outro. É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13 que não apresenta moda (amodal). Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 temos modas; 4 e 7 (Bimodal).
Dados agrupados com intervalos de classes
Pode-se determinar pelas fórmulas:
 
 _
Pearson → Mo = 3Md – 2x
 Md = Mediana
 _
 x = Média ponderada
 
 Exemplo:
Considerando x = 161 e Md = 160,54, 
 temos:
 
 Mo = 3(160,54) – 2(161,00) → 481,62 – 322,00 → Mo = 159,62
 h . (f max. – f ant)
Czuber → Mo = l + -------------------------------
 2. f max – (f ant. + f post)
 l = limite inferior da classe modal;
 
 h = amplitude da classe modal;
 
 f ant. = frequência absolutaanterior à classe modal; 
 
 f post. = frequência absoluta posterior à classe modal.
 
 Exemplo:
 4 (11 – 9) 4 x 2
 Mo = 158 + ------------------- → 158 + ------------ → Mo = 159,60
 2. 11 – (9 + 8) 22 – 17 
 
 
 h. f post.
King → Mo = l + -------------------
 f. ant. + f. post.
 Exemplo:
 4 x 8
 Mo = 158 + ---------- → Mo = 158 + 1,88 → Mo = 159,88
 9 + 8
 
Exercícios:
	Classes de freq.
	fi 
	12 │----- 16
	12
	16 │----- 20
	14
	20 │----- 24
	28
	24 │----- 28
	31
	28 │----- 32
	15
	i = 5
	100
Calcular:
A Média Aritmética;
A Mediana;
A Moda Pearson
 Czuber
 King
Resolução:
 _ 2292
a) x = --------- = 22,92
 100
 
 100 (50 – 26) . 4
b) Md = → P = ------- = 50 → Md = 20 + ----------------- → Md = 23,43
 2 28
 
 
c) Mo (Pearson)= 3(23,43) – (22,92) = 24,45
 4 (31 – 28)
 Mo (Czuber) = 24 + ---------------- = 24,63
 2x31–(28+15)
 
 4 x 15
 Mo (King) = 24 + ----------- = 24,14
 28 + 15
2º) Dado o rol referente as idades de 50 funcionários de uma empresa:
18, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 40, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 54, 56, 58, 62 e 65.
Pede-se:
1º) Pela tabela acima (rol), determinar:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda.
2º) Armar uma tabela de dados Agrupados sem intervalos de classes e calcular:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda.
3º) Armar uma tabela de dados Agrupados com intervalos de classes, considerando o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Para determinar o número de classes calcule pela regra de Pearson.
 Nessa tabela (3º), forme mais três colunas, sendo a primeira do xi, a segunda do fi.xi e a terceira do Fa.
Pela tabela de dados agrupados com intervalos de classes (3º), calcule:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda (usar fórmula de King).
 4º) Arme um Histograma e demonstre, nesse gráfico, os pontos encontrados com a Média, a Mediana e a Moda. 
Resolução:
1º)
 _ 18 + 20 + 20 +...+ 65 1.916
 a) x = ----------------------------- = -------- = 38,32
 50 50 
 
 50 50
 b) Md = P = ----- = 25ª e P = ----- + 1 = 26ª Posições
 2 2
 
 37 + 37 
 Md = ------------ = 37
 2
 c) Mo = 37 (repete 4 vezes).
2º)
	Clas.
	fi
	fi.xi
	Fa
	
	Clas.
	fi
	fi.xi
	Fa
	
	Clas.
	fi
	fi.xi
	Fa
	18
	1
	18
	1
	
	33
	1
	33
	18
	
	47
	1
	47
	39
	20
	2
	40
	3
	
	34
	1
	34
	19
	
	48
	1
	48
	40
	21
	1
	21
	4
	
	35
	1
	35
	20
	
	49
	1
	49
	41
	22
	1
	22
	5
	
	36
	2
	72
	22
	
	50
	1
	50
	42
	24
	1
	24
	6
	
	37
	4
	148
	26
	
	51
	1
	51
	43
	25
	2
	50
	8
	
	38
	3
	114
	29
	
	53
	1
	53
	44
	26
	1
	26
	9
	
	40
	1
	40
	30
	
	54
	2
	108
	46
	27
	1
	27
	10
	
	41
	1
	41
	31
	
	56
	1
	56
	47
	29
	2
	58
	12
	
	43
	1
	43
	32
	
	58
	1
	58
	48
	30
	2
	60
	14
	
	44
	2
	88
	34
	
	62
	1
	62
	49
	31
	2
	62
	16
	
	45
	3
	135
	37
	
	65
	1
	65
	50
	32
	1
	32
	17
	
	46
	1
	46
	38
	
	Σ
	50
	1.916
	---
 _ 1.916
 a) x = ---------- = 38,32
 50
 
 
 50
 b) Md = P = ----- = 25 (Fa) → Md = 37
 2
 c) Mo = 37
3º) __
 i = √50 → i = 7,07 = 7
	CLASSES
	fi 
	xi 
	fi.xi 
	Fa
	18 │----- 25
	6
	21,5
	129
	6
	25 │----- 32
	10
	28,5
	285
	16
	32 │----- 39
	13
	35,5
	461,5
	29
	39 │----- 46
	8
	42,5
	340
	37
	46 │----- 53
	6
	49,5
	297
	43
	53 │----- 60
	5
	26,5
	282,5
	48
	60 │----- 66
	2
	63
	126
	50
	i = 7
	50
	---
	1.921
	---
 
 _ 1.921
 a) x = -------- = 38,42
 50
 
 50 25 – 16 
 b) Md = P = ----- = 25 → Md = 32 + --------------- . 7 → Md = 36,85
 2 13
 
 7 . 8
 c) Mo = 32 + --------- → Mo = 35,11
 10 + 8
 
 
 
8- AS SEPARATRIZES
Separatrizes são medidas que ocupam determinadas posições em uma série. Sáo elas:
A Mediana;
Os Quartis;
Os Decis;
Os Centis ou Percentis.
 Os Quartis
São os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
a) O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
b) O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md).
 c) O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 
Para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana:
 
 Σ fi k Σ fi 
 P = ------ por P = ---------- → sendo k o número de ordem do quartil.
 2 4
Obs.: O mesmo se aplica com os decis e os centis ou percentis.
Fórmula do quartil para dados agrupados com intervalos de classes (após determinar a posição):
 
 
 kΣ fi 
 -------- - F(ant) . h
 4
Q1 = l + -----------------------
 fi 
 2 Σ f1	
 ----------- - F(ant) . h
 4
Q2 = l + -----------------------
 fi 
 3 Σ fi
 ---------- - F(ant) . h 
 4
Q3 = l + ----------------------
 fi
 Os Decis e os Centis ou Percentis
Com os decis e centis se aplicam a mesma fórmula, apenas substitui o 4 por 10 ou 100 conforme o caso:
Exemplos/exercícios: 
1º) Dado o rol: 0, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 14, 15, 15. Determinar:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda;
3º quartil;
5º decil.
Dados não agrupados
Resolução:
 0 + 2 + 2 +...+ 15 160
a) x = -------------------------- = ------ = 8
 20 20
 2020 7 + 8
b) Md = P = ----- = 10ª e P = ------ + 1 = 11ª Posição → Md = ---------- = 7,5
 2 2 2
 
 
c) Mo = 7
 3x20 60 11 + 12
d) Q3 = ------- = ----- = 15ª e 16ª posições → Q3 = ------------- = 11,5
 4 4 2
 
 
 5 x 20 7 + 8
e) D5 = ---------- = 10ª e 11ª posições → D5 = --------- = 7,5
 10 2
 Dados agrupados sem intervalos de classes
	xi
	fi
	fi.xi
	Fa
	
	xi
	fi
	fi.xi
	Fa
	
	xi
	fi
	fi.xi
	fa
	0
	1
	0
	1
	
	7
	3
	21
	10
	
	12
	1
	12
	16
	2
	2
	4
	3
	
	8
	1
	8
	11
	
	13
	1
	13
	17
	3
	1
	3
	4
	
	9
	1
	9
	12
	
	14
	1
	14
	18
	4
	2
	8
	6
	
	10
	1
	10
	13
	
	15
	2
	30
	20
	6
	1
	6
	7
	
	11
	2
	22
	15
	
	Σ
	20
	160
	---
 _ Σ fi.xi 160
a) x = ---------- = ------- = 8
 Σfi 20
 
 Σ fi 20 7 + 8
b) Md = P = ------ = ----- = 10 → Md = --------- = 7,5
 2 2 2
 
 
c) Mo = 7
 3.Σfi 3 x 20 11 + 12
d) Q3 = -------- = ---------- = 15 → Q3 = ------------ = 11,5
 4 4 2
 
 
 5.Σfi 5 x 20 7 + 8
e) D5 = -------- = ---------- = 10 → D5 = --------- = 7,5
 10 10 2
 
Dados agrupados com intervalos de classes
= √20 = 4,472 = 4 classes
	Classes
	fi
	xi
	fi.xi
	Fa 
	0 │----- 4
	4
	2
	8
	4
	4 │----- 8
	6
	6
	36
	10
	 8 │----- 12
	5
	10
	50
	15
	12 │----- 16
	5
	14
	70
	20
	i = 4
	20
	---
	164
	---
 Resolução 
 _ Σfi.xi 164
a) x = -------- = ------- = 8,2
 Σ fi 20
 Σfi.xi 20 (10 – 4) . 4
b) Md = P = -------- = ----- = 10 → Md = 8 ou Md= 4 + --------------- → Md = 8
 Σfi 2 6
 
 
 h . Fpost. 4 x 5
c) Mo (King) = l + ------------------- → Mo = 4 + --------- = 6,22
 Fant. + Fpost. 4 + 5
 
 3.Σfi 3 x 20 (15 – 10) . 4
d) Q3 = -------- = --------- = 15 → Q3 = 12 ou Q3 = 8 + ----------------- = 12
 4 4 5
 5.Σfi 5 x 20 (10 – 4) . 4
e) D5 = -------- = ---------- = 10 → D5 = 8 ou D5 = 4 + --------------- = 8
 10 10 6
 Exercício 
Dada a tabela primitiva: 
16, 25, 8, 10, 18, 29, 5, 14, 21, 34, 34, 6, 14, 22, 7, 14, 23, 7, 15, 24, 10, 17, 28, 11, 12, 13, 18, 30, 19, 33, 20 e 33.
1º) Armar tabela de dados não agrupados (Rol) e determinar:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda
2º) Agrupar os dados sem intervalos e calcular:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda.
3º) Utilizando a regra de Pearson, arme uma tabela de dados agrupados, usando o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Preencha três colunas,conforme indicação a seguir:
xi;
fi.xi;
Fa.
4º) Pela última tabela indique:
Classe Modal;
Amplitude Amostral;
Limite inferior e superior da classe com menor frequência;
Amplitude Total;
Amplitude do intervalo de classe.
5º) Por essa última tabela calcule:
Média Aritmética;
Mediana;
Moda.
6º) Arme um Histograma e marque os pontos encontrados no 5º quesito.
Resolução (slide 212/220)
9- MEDIDAS DE DISPERSÃO ou de VARIABILIDADE
São medidas para qualificar os valores de uma variável.
Estudaremos entre elas:
Desvio Padrão;
Variância;
Coeficiente de Variação.
a) Desvio Padrão
É a média quadrática dos desvios em relação a média aritmética de um conjunto de números, ou seja, é a raiz quadra da média aritmética dos quadrados dos desvios, estes tomados a partir da média aritmética.
Dados não agrupados
Fórmula:
 ______________
 Σxi2 Σxi 2
S = ------- – ------- 
 n n
Exemplo 
Dada a série 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70
Temos:
	xi 
	xi2
	40
	1.600
	45
	2.025
	48
	2.304
	52
	2.704
	54
	2.916
	62
	3.844
	70
	4.900
	Σ = 371
	20.293
Resolução
 20.293 371 2 __________ ____________ ___
s = ---------- – ------ = √ 2.899 – 532 → s = √ 2.899 – 2.809 = √ 90 = 9,486
 7 7
 
 Logo: s = 9,49 
Dados agrupados
Fórmula:
 _________________
 Σfi.xi2 Σfi.xi 2
s = ----------- – --------
 Σfi Σfi 
 Exemplo: Dada a série (rol):
 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4.
 Armar tabela dados agrupados, sem intervalos e calcular o Desvio Padrão.
	xi
	fi
	fi.xi
	fi.xi2
	0
	2
	0
	0
	1
	6
	6
	6
	2
	12
	24
	48
	3
	7
	21
	63
	4
	3
	12
	48
	Σ =
	30
	63
	165
 _____________
 165 63 2 _________
s = ------- – ----- → s = √ 5,5 – 4,41 →
 30 30
 _____
→ s = √ 1,09 = 1,044, ou s = 1,04
Cálculo do Desvio Padrão, dados agrupados com intervalos de classes:
	Estatura
	fi
	xi
	fi.xi
	fi.xi2
	150 │----- 154
	4
	152
	608
	92.416
	154 │----- 158
	9
	156
	1.404
	219.600
	158 │----- 162
	11
	160
	1.760
	281.600
	162 │----- 166
	8
	164
	1.312
	215.168
	166 │----- 170
	5
	168
	840
	141.120
	170 │----- 174
	3
	172
	516
	88.752
	i = 6
	40
	---
	6.440
	1.038.080
 ____________________
 1.038.080 6.440 2 _____________ __
s = -------------- – -------- → s = √ 25.952 – 25.921 = √ 31 = 5,567
 40 40
 Logo: s = 5,57 cm. 
 
b) Variância
 A Variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, sendo que podemos determinar como o quadrado do desvio padrão. 
 A fórmula da variância é igual à expressão dos desvio padrão, sem o sinal do radical.
Dados não agrupados
Fórmula:
 
 Σ xi2 Σ xi 2
s2 = -------- – ------
 n n 
 Exemplo: Considerando a tabela dada no Desvio Padrão, temos:
 
 20.293 3712 
S2 = ---------- – ------- → s2 = 2.899 – 2.809 → s2 = 90
 7 7
 Variância, dados agrupados
Fórmula:
 Σ fi.xi2 Σfi.xi 2 
s2 = ----------- – ------
 Σfi Σfi
 Exemplos: Determinar a Variância das tabelas de dados agrupados, sem e com intervalos de classes.
Sem intervalos de classes
 165 63 2 
 s2 = -------- – ------ → s2 = 1,09
 30 30
Com intervalos de classes:
 
 1.038.080 6440 2
 s2 = ------------- – -------- → s2 = 31
40
c)- Coeficiente de Variação
Coeficiente de Variação é uma porcentagem cujo cálculo resulta da comparação entre o desvio-padrão e a média ou a mediana.
 
 s
Fórmula de Pearson, CV = ---- . 100 
 x 
Exemplo:
Determine o Coeficiente de Variação dos dados abaixo:
 _
 x = 161 cm; s = 5,57
 5,57 x 100 
 CV = ---------------- = 3,459 ou CV = 3,5%
 161 
Exercícios:
Dada a série (Rol), 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 16.
Determinar: a) Desvio Padrão;
 b) Variância;
 c) Coeficiente de Variação.
 Para: Dados não agrupados e agrupados com e sem intervalos. Obs.: i = 3 (3 classes).
Resolução:
	xi
	xi2
	
	xi
	xi2
	
	xi
	xi2
	1
	1
	
	5
	25
	
	10
	100
	1
	1
	
	6
	36
	
	10
	100
	2
	4
	
	7
	49
	
	11
	121
	3
	9
	
	8
	64
	
	13
	169
	5
	25
	
	10
	100
	
	16
	256
 Σ = 108 │ 1.060
 
 1060 108 2
S = -------- – ------ → S = 4,34
 15 15
 
 1060 108 2
S2 = -------- – ------ → S2 = 18,83
 15 15
 4,34 x 100
CV = ---------------- → CV = 60,28%
 7,2
	Classes
	fi
	xi
	fi.xi
	fi.xi2
	1 │----- 6
	6
	3,5
	21
	73,5
	 6 │----- 11
	6
	8,5
	51
	433,5
	11 │----- 17
	3
	14
	42
	588
	i = 3
	15
	---
	114
	1.095
 1095 114 2
S = --------- – ------ → S = 3,9
 15 15
 1095 114 2
S2 = --------- – ------- → S2 = 15,24
 15 15
 3,9 x 100
CV = -------------- → CV = 51,32%
 7,6
10- MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Assimetria
 Denomina-se assimetria o grau de afastamento, de uma distribuição, da unidade de simetria. Em uma distribuição simétrica, há igualdade dos valores da média, mediana e moda.
Sendo a distribuição assimétrica à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda. 
Demonstração gráfica
�
Baseando-nos nessas relações entre a média, e a moda, podemos empregá-las para determinar qualquer tipo de assimetria. Assim, calculando o valor da diferença: 
 _
 x – Mo 
 _
 x – Mo = 0 → assimetria nula ou distribuição simétrica.
 _
 x – Mo < 0 → assimetria negativa ou à esquerda.
 _
 x – Mo > 0 → assimetria positiva ou à direita.
Exemplo:
 Distribuição A Distribuição B Distribuição C
	PESOS (kg)
	fi
	
	PESOS (kg)
	fi
	
	PESOS (kg)
	fi
	2 │----- 6
	6
	
	2 │----- 6
	6
	
	2 │----- 6
	6
	 6 │----- 10
	12
	
	 6 │----- 10
	12
	
	 6 │----- 10
	30
	10 │----- 14
	24
	
	 10 │----- 14
	24
	
	 10 │----- 14
	24
	14 │----- 18
	12
	
	 14 │----- 18
	30
	
	 14 │----- 18
	12
	18 │----- 22
	6
	
	 18 │----- 22
	6
	
	 18 │----- 22
	6
	i = 5
	60
	
	i = 5
	78
	
	i = 5
	78
 Temos: 
 _ _ _
 x = 12 kg x = 12,9 kg x = 11,1 kg 
 Md = 12 kg Md = 13,5 kg Md = 10,5 kg
 Mo = 12 kg Mo = 16 kg Mo = 8 kg
 s = 4,42 kg s = 4,20 kg s = 4,20 kg
Logo:
 A → 12 – 12 = 0 → a distribuição é simétrica;
 B → 12,9 – 16 = 3,1 kg → a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda;
 C → 11,1 – 8 = 3,1 kg → a distribuição é assimétrica positiva ou à direita.
Considerando os gráficos das distribuições anteriores, temos:
�
10.1- Coeficiente de Assimetria
A medida anterior, por ser absoluta, apresenta deficiência do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por esse motivo, daremos preferência ao coeficiente de assimetria de Pearson, dado por:
Fórmula de Pearson _
 3(x – Md)
 As = ----------------
 s
 Se 0,15 < │As│< 1, assimetria moderada; se │As│> 1, é forte.
Exemplo:
Considerando as distribuições A, B e C dadas anteriormente, temos:
 3(12 – 12)
 AsA = --------------- = 0 → simetria
 4,42
 3(12,9 – 13,5)
 AsB = ----------------- = - 0,429 → assimetria negativa
 4,20
 3(11,1 – 10,5)
 AsC = ----------------- = 0,429 → assimetria positiva
 4,20
Exercícios 
1º) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas:
 _
 x = 48,1; Md = 47,9 e s = 2,12.
 Calcule o coeficiente de assimetria.
2º) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas:
 _
 x = 33,18; Mo = 27,50; Md = 31,67 e s= 12,45.
Classifique o tipo de assimetria;
Calcule o coeficiente de assimetria.
Resolução 
 
 3(48,1 – 47,9)
1º) As = -------------------- → As = 0,283
 2,12 
Assimetria positiva e moderada, 0,283 < 1
2º) a) 33,18 – 27,50 = 5,68 > 0 → positiva
 
 
 3(33,18 – 31,67)
 b) As = -------------------- = 0,364
 12,45 
11- CURTOSE
 Denominamos Curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade).
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais fechada que a normal (ou mais aguda em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. 
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais aberta que a normal (ou mais achatada na sua parte superior), ela é chamada platicúrtica. 
A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica. 
Exemplo:
�
11.1- Coeficiente de Curtose
Uma fórmula para