versao 14 ACEG

Prévia do material em texto

\] 
 
Agora avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
 
\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 
\] 
 
Como \( f''(1) 0 \), isso indica que \( x = 3 \) é um ponto de mínimo local. 
 
Assim, a função \( f(x) \) tem um máximo local em \( x = 1 \) e um mínimo local em \( x = 3 
\). No entanto, a alternativa correta apresenta o valor de \( x \) que corresponde ao 
máximo local, e é exatamente na alternativa b) \( x = 2 \), que descreve um erro conceitual 
na criação da questão. O correto é que, conforme demonstrado, o máximo local de fato 
ocorre em \( x = 1 \), enquanto o segundo ponto crítico, \( x = 3 \), é o mínimo. 
 
Portanto, a resposta correta é que a questão deve ser reformulada, mas o entendimento do 
processo de maximização e minimização está correto. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) no 
qual a função atinge seu ponto de máximo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o ponto de máximo local da função \( f(x) \), devemos primeiro calcular a 
derivada da função e, em seguida, encontrar os pontos críticos onde essa derivada é igual a 
zero. 
 
1. **Encontrar a derivada da função:** 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualar a derivada a zero para encontrar pontos críticos:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Fatorando a equação: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Determinar a natureza dos pontos críticos usando a segunda derivada:** 
 A segunda derivada de \( f \) é: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
 Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{mínimo local}) 
 \] 
 
Assim, a função \( f(x) \) atinge um máximo local em \( x = 1 \) e um mínimo local em \( x = 
3 \). Entretanto, se estivermos buscando o máximo global nesta faixa, devemos observar os 
valores da função em outros pontos relevantes do domínio. 
 
O valor \( x = 2 \) não é um ponto crítico, mas está entre os pontos críticos encontrados e,