historias antigas xv BOSN

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**Resposta:** b) \( 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) \), precisamos calcular a 
derivada da função e encontrar seus pontos críticos. 
 
1. **Cálculo da derivada:** 
A função dada é \( f(x) = 3x^3 - 12x^2 + 9x - 15 \). Vamos calcular a derivada \( f'(x) \): 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) - \frac{d}{dx}(12x^2) + \frac{d}{dx}(9x) - \frac{d}{dx}(15) 
\] 
\[ 
f'(x) = 9x^2 - 24x + 9 
\] 
 
2. **Encontrar os pontos críticos:** 
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
 
\[ 
9x^2 - 24x + 9 = 0 
\] 
 
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3: 
 
\[ 
3x^2 - 8x + 3 = 0 
\] 
 
Usando a fórmula de Bhaskara, onde \( a = 3, b = -8, c = 3 \): 
 
\[ 
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 
\cdot 3} 
\] 
\[ 
= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = 
\frac{4 \pm \sqrt{7}}{3} 
\] 
 
Os dois valores críticos são \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \) e \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} 
\). 
 
3. **Determinar qual é o mínimo:** 
Precisamos verificar qual desses valores corresponde ao mínimo. Para isso, podemos usar o 
teste da segunda derivada: 
 
Calculamos a segunda derivada \( f''(x) \): 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 24x + 9) = 18x - 24 
\] 
 
Substituindo \( x = 2 \) (que é \( \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \) aproximadamente igual a 1.79): 
 
\[ 
f''(2) = 18(2) - 24 = 36 - 24 = 12 \quad (\text{positivo}) 
\] 
 
Como \( f''(2) > 0 \), isso indica que \( x = 2 \) é um ponto de mínimo para a função \( f(x) 
\). 
 
Portanto, o valor de \( x \) que minimiza a função é \( 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Determine os pontos críticos da 
função e identifique qual deles é um ponto de máximo ou mínimo relativo. 
 
Alternativas: 
a) \( x = 1 \) (mínimo relativo) 
b) \( x = 2 \) (máximo relativo) 
c) \( x = 0 \) (máximo relativo) 
d) Não há pontos críticos 
 
**Resposta:** a) \( x = 1 \) (mínimo relativo) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos calcular a 
derivada primeira e igualá-la a zero. 
 
1. Calculamos a derivada: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x 
 \]