historias antigas xv OEJ

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\[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{positivo}) 
 \] 
 
Como \( f''(x) \) muda de sinal ao passar por \( x = 1 \), temos um ponto de inflexão em \( x 
= 1 \). 
 
5. **Verificar se há mais pontos de inflexão:** 
 A segunda derivada \( f''(x) = 6x - 6 \) é linear e, portanto, só pode ter um ponto onde se 
anula, que já encontramos. Porém, como é uma função cúbica, a análise da origem da função 
garante que não há mais pontos de inflexão, pois ela só muda de concavidade uma vez. 
 
Portanto, a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) tem um único ponto de inflexão, fazendo a 
resposta correta ser a alternativa **c) 2**. 
 
Contudo, reavaliando a problematização, percebemos que a descrição de pontos de inflexão 
foi baseada em uma suposição. O correto é que, de fato, a função possui um único ponto de 
inflexão, o que significa que a alternativa correta seria **b) 1**. 
 
Desculpe pela confusão na formulação da resposta final. Portanto, a resposta correta é a) 
**1** e não 2. 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) de dimensão \( n \), considere um subconjunto 
\( S = \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_k} \} \) de vetores em \( V \) onde 
\( k \leq n \). Qual das seguintes alternativas é uma condição necessária e suficiente para 
que \( S \) seja um conjunto de vetores linearmente independentes? 
 
**Alternativas:** 
a) Os vetores \( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_k} \) devem ser fontes de \( 
V \). 
b) Se uma combinação linear dos vetores de \( S \) que resulta no vetor nulo tem 
coeficientes que não são todos zero, então \( S \) é linearmente dependente. 
c) Os vetores \( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_k} \) devem pertencer a \( 
\mathbb{R}^n \) e não podem ser todos nulos. 
d) A matriz cujas colunas são os vetores \( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, 
\mathbf{v_k} \) deve ter um determinante diferente de zero. 
 
**Resposta:** b) Se uma combinação linear dos vetores de \( S \) que resulta no vetor nulo 
tem coeficientes que não são todos zero, então \( S \) é linearmente dependente. 
 
**Explicação:** 
Para que um conjunto de vetores \( S = \{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_k} 
\} \) seja considerado linearmente independente, não deve ser possível escrever o vetor 
nulo como uma combinação linear não trivial dos vetores em \( S \). Isso significa que a 
única solução para a equação \( c_1 \mathbf{v_1} + c_2 \mathbf{v_2} + \ldots + c_k 
\mathbf{v_k} = \mathbf{0} \) deve ser \( c_1 = c_2 = \ldots = c_k = 0 \). 
 
Portanto, a alternativa b é a correta porque afirma que se existe uma combinação linear que 
resulta no vetor nulo e não todos os coeficientes são zero, então \( S \) é linearmente 
dependente. Isso é exatamente o que caracteriza a linearidade dependente. 
 
As outras alternativas estão incorretas porque: 
- a) Não é necessário que os vetores sejam "fontes", apenas que eles não sejam combinações 
lineares uns dos outros. 
- c) Embora seja verdade que os vetores não podem ser todos nulos, isso não é uma 
condição completa para linearidade independente. 
- d) O determinante ser diferente de zero é uma condição aplicada a matrizes quadradas, e 
aqui a condição de dimensão deve ser considerada; um conjunto de vetores pode ser 
linearmente independente mesmo que representado por uma matriz não quadrada. 
 
Dessa forma, a resposta correta é a alternativa b. 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \), considere os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) 
\), \( \mathbf{v} = (4, 5, 6) \) e \( \mathbf{w} = (7, 8, 9) \). Determine se os vetores \( 
\mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) são linearmente independentes em \( 
\mathbb{R}^3 \). 
 
Alternativas: 
a) Sim, os vetores são linearmente independentes. 
b) Não, os vetores são linearmente dependentes. 
c) Não é possível determinar sem mais informações. 
d) Apenas dois dos vetores são linearmente independentes. 
 
**Resposta:** b) Não, os vetores são linearmente dependentes. 
 
**Explicação:** Para determinar se os vetores \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( 
\mathbf{w} \) são linearmente independentes, precisamos examinar se a única solução da 
combinação linear \( c_1 \mathbf{u} + c_2 \mathbf{v} + c_3 \mathbf{w} = \mathbf{0} \) é 
\( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \). 
 
Podemos organizar os vetores em uma matriz e calcular seu determinante. A matriz 
formada por esses vetores é: 
 
\[