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\[ 
f'(x) = 6x^2 - 24x + 18 
\] 
 
Agora, podemos resolver \( f'(x) = 0 \): 
 
\[ 
6x^2 - 24x + 18 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 6, temos: 
 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
A equação pode ser fatorada como: 
 
\[ 
(x-3)(x-1) = 0 
\] 
 
Logo, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). Agora, vamos analisar o sinal da 
derivada nos intervalos determinados por estes pontos críticos: 
 
- Para \( x 0 \) (a função está crescendo). 
- Para \( 1 3 \): \( f'(x) > 0 \) (a função está crescendo novamente). 
 
Sabemos que \( f(x) \) tem um máximo local em \( x = 3 \). Agora, vamos calcular os valores 
da função nos extremos do intervalo e no ponto crítico: 
 
- \( f(1) = 2(1)^3 - 12(1)^2 + 18(1) - 5 = 2 - 12 + 18 - 5 = 3 \) 
- \( f(5) = 2(5)^3 - 12(5)^2 + 18(5) - 5 = 250 - 300 + 90 - 5 = 35 \) 
- \( f(3) = 2(3)^3 - 12(3)^2 + 18(3) - 5 = 54 - 108 + 54 - 5 = -5 \) 
 
Portanto, temos: 
 
- \( f(1) = 3 \) (positivo) 
- \( f(3) = -5 \) (negativo) 
- \( f(5) = 35 \) (positivo) 
 
De acordo com o teorema de Bolzano, como a função muda de sinal entre \( f(1) \) e \( f(3) 
\) e também entre \( f(3) \) e \( f(5) \), podemos concluir que: 
 
- Há uma raiz no intervalo \( (1, 3) \) (onde passa de positivo para negativo). 
- Há outra raiz no intervalo \( (3, 5) \) (onde passa de negativo para positivo). 
 
Assim, a função possui **2 raízes reais** no intervalo \( [1, 5] \). Portanto, a resposta 
correta é a alternativa **c) 2**. 
 
**Questão:** Um gráfico de uma função \( f(x) \) apresenta um ponto de inflexão em \( x = 
2 \) e a derivada segunda \( f''(x) \) é positiva para \( x 2 \). 
Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o comportamento da função \( f(x) \) 
em relação à concavidade e ao ponto de inflexão em \( x = 2 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) A função \( f(x) \) é côncava para cima antes de \( x=2 \) e côncava para baixo depois de 
\( x=2 \). 
 
b) A função \( f(x) \) é côncava para baixo antes de \( x=2 \) e côncava para cima depois de 
\( x=2 \). 
 
c) A função \( f(x) \) não apresenta pontos de inflexão e mantém a mesma concavidade em 
todo o seu domínio. 
 
d) A função \( f(x) \) é côncava para cima em todo seu domínio. 
 
**Resposta:** a) A função \( f(x) \) é côncava para cima antes de \( x=2 \) e côncava para 
baixo depois de \( x=2 \). 
 
**Explicação:** O ponto de inflexão em \( x = 2 \) indica uma mudança na concavidade da 
função. Quando a derivada segunda \( f''(x) \) é positiva, a função é côncava para cima, 
significando que sua forma "abriga" o eixo x. Isso ocorre para \( x 2 \), a função se torna côncava para 
baixo, fazendo com que sua forma "desça" em relação ao eixo x. Portanto, a alternativa 
correta é a letra a, pois ela descreve corretamente a mudança de concavidade em relação ao 
ponto de inflexão encontrado. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a função atinge seu valor máximo? 
 
**Alternativas:** 
a) 2