binario ks172V

Prévia do material em texto

Portanto, a resposta ideal deve se apoiar no ponto \( (2, 0) \) da função, e as alternativas 
apresentadas foram incapazes de representá-lo, o que reflete no ajustamento necessário da 
verdade da questão. 
 
Consequentemente, a alternativa correta (embora apresentando interpretação de função 
original) pode ter levado a confusão e está errada, necessitando do ajuste formal que 
garantiria \( f(2) = 0 \) ao invés de \( 4. \) 
 
**Questão:** Considere uma função real \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor do 
ponto de mínimo local da função? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** c) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar o ponto de mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 
1 \), devemos primeiro calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero para 
localizar os pontos críticos. 
 
1. **Encontrando a primeira derivada**: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero**: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3, temos: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Fatorando a equação**: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
4. **Calculando a segunda derivada para testarmos a concavidade**: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
5. **Substituindo os pontos críticos na segunda derivada**: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, máximo local}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{concavidade para cima, mínimo local}) 
 \] 
 
Assim, o ponto de mínimo local da função ocorre em \( x = 3 \), e, portanto, precisamos 
também avaliar a posição do mínimo local. A primeira derivada nos mostra que 2 é um 
ponto crítico de um mínimo local. Em qualquer ponto entre 1 e 3, vamos considerar também 
a avaliação no ponto \( x = 2 \): 
 
6. **Verificando \( f(2) \)**: 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 9(2) + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3 
 \] 
 Este cálculo indica que o valor do mínimo local de \( f(x) \) ocorre no ponto crítico **2**, 
que corresponde a **resposta c)**. 
 
Portanto, o valor do ponto de mínimo local é 2. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor de \( x \) que 
minimiza a função \( f \) no intervalo \([-1, 3]\)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = -1 \) 
b) \( x = 0 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 2 \)