LXXIV Aulas com enfases

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Portanto, concluímos que \( (0, 4) \) é um ponto máximo e \( (2, 0) \) é um ponto mínimo. 
A resposta correta é a opção **a)**. 
 
**Questão:** 
Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor de \( x \) para o qual a função 
atinge seu mínimo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos determinar 
a derivada e encontrar os pontos críticos. 
 
1. **Calcule a primeira derivada \( f'(x) \)**: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 6x 
 \] 
 
2. **Iguale a derivada a zero para encontrar os pontos críticos**: 
 \[ 
 3x^2 - 6x = 0 
 \] 
 Fatorando a equação: 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 
3. **Calcule a segunda derivada \( f''(x) \)** para identificar a concavidade: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 6 
 \] 
 
4. **Avalie a segunda derivada nos pontos críticos**: 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, ponto de máximo}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{concavidade para cima, ponto de mínimo}) 
 \] 
 
Como a segunda derivada é positiva em \( x = 2 \), isso indica que a função \( f(x) \) atinge 
um mínimo local nesse ponto. 
 
5. **Conclusão**: Portanto, a resposta correta é \( x = 2 \), em que a função tem seu mínimo 
local. 
 
**Questão:** 
 
Calcule o valor da integral definida a seguir: 
 
\[ 
I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) \, dx 
\] 
 
Alternativas: 
a) 1 
b) 0 
c) \(\frac{1}{3}\) 
d) \(\frac{1}{2}\) 
 
**Resposta:** a) 1 
 
**Explicação:** 
 
Para resolver a integral definida \(I\), vamos calcular a integral indefinida da função \(f(x) 
= 3x^2 - 2x + 1\). 
 
Primeiro, encontramos a antiderivada de \(f(x)\): 
 
\[ 
\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C