calculado basica HN3

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\[ M = P \times (1 + i)^n \] 
 
onde: 
- \( M \) é o montante final, 
- \( P \) é o capital inicial (R$ 10.000,00), 
- \( i \) é a taxa de juros (5% ou 0,05 ao ano), 
- \( n \) é o número de períodos (3 anos). 
 
Substituindo os valores na fórmula temos: 
 
\[ M = 10.000 \times (1 + 0,05)^3 \] 
\[ M = 10.000 \times (1,05)^3 \] 
\[ M = 10.000 \times 1,157625 \] 
\[ M \approx 11.576,25 \] 
 
Portanto, após 3 anos, o montante total que o estudante terá é aproximadamente R$ 
11.576,25. 
 
**Questão:** Em um estudo sobre a convergência de séries infinitas, considere a série 
infinita \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \). Qual das alternativas abaixo 
classifica corretamente a convergência dessa série? 
 
Alternativas: 
a) A série diverge. 
b) A série converge absolutamente. 
c) A série converge condicionalmente. 
d) A série converge apenas para valores pares de \( n \). 
 
**Resposta:** c) A série converge condicionalmente. 
 
**Explicação:** A série em questão, \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \), é 
conhecida como a série alternada de Harmônicos. Para determinar a convergência dessa 
série, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que afirma que a série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \) (com \( a_n = \frac{1}{n} \)) converge se as 
seguintes condições forem satisfeitas: 
 
1. \( a_n \) é uma sequência positiva: Isso é verdade, pois \( a_n = \frac{1}{n} > 0 \) para 
todo \( n \geq 1 \). 
2. \( a_n \) é monótonamente decrescente: A sequência \( a_n \) é decrescente porque \( 
a_n = \frac{1}{n} \) e \( \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} \). 
3. \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \): É verdade que \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \). 
 
Como todas essas condições são satisfeitas, a série converge. 
 
Para verificar se a série converge absolutamente, devemos considerar a série dos módulos 
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n} \), que é a série harmônica conhecida e diverge. Portanto, a série convergiu, mas 
não absolutamente, classificando-se como convergente condicionalmente. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra c) que afirma que a série converge condicionalmente. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor mínimo da função 
no intervalo \( [0, 3] \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** a) 1 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) no 
intervalo \( [0, 3] \), precisamos calcular a derivada da função e encontrar os pontos 
críticos. 
 
1. **Calculando a derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 6x 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:** 
 \[ 
 3x^2 - 6x = 0 
 \] 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 2 \) são os pontos críticos. 
 
3. **Avaliação dos pontos críticos e dos extremos do intervalo:** 
 - \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) 
 - \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \)