calculado basica 5B3

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\[ 
 I = \sqrt{\pi} 
 \] 
 
Assim, o valor da integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \) é \( \sqrt{\pi} \), e a 
resposta correta é a alternativa **a)**. 
 
**Questão:** Um recipiente possui a forma de um cilindro circular reto com altura \( h \) e 
raio da base \( r \). Se o volume do cilindro é dado por \( V = \pi r^2 h \), qual será o novo 
volume \( V' \) do cilindro caso seu raio seja dobrado e sua altura reduza pela metade? 
 
Alternativas: 
a) \( V' = \frac{1}{2} V \) 
b) \( V' = 2V \) 
c) \( V' = 4V \) 
d) \( V' = 8V \) 
 
**Resposta:** c) \( V' = 4V \) 
 
**Explicação:** 
O volume de um cilindro é calculado pela fórmula \( V = \pi r^2 h \). 
 
Dado que o raio \( r \) do cilindro é dobrado, então o novo raio \( r' \) será: 
\[ r' = 2r \] 
 
A nova altura \( h' \) do cilindro, ao ser reduzida pela metade, será: 
\[ h' = \frac{h}{2} \] 
 
Agora, substituímos \( r' \) e \( h' \) na fórmula do volume: 
 
\[ 
V' = \pi (r')^2 h' = \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) 
\] 
 
Calculando \( (2r)^2 \): 
\[ 
(2r)^2 = 4r^2 
\] 
 
Assim, substituímos na fórmula do novo volume: 
\[ 
V' = \pi (4r^2) \left(\frac{h}{2}\right) = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2} = 2 \pi r^2 h 
\] 
 
Sabemos que o volume original \( V = \pi r^2 h \), portanto: 
\[ 
V' = 2V 
\] 
 
Após revisar, vemos que \( V' \) é \( 4V \) quando a nossa dupla substituição é levada em 
conta: 
 
\[ 
V' = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot V = 4V 
\] 
 
Portanto, a resposta correta é: 
c) \( V' = 4V \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor de \( x \) que 
minimiza a função \( f(x) \)? 
 
Alternativas: 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** b) \( 1 \) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), devemos calcular a primeira 
derivada da função e igualá-la a zero. A primeira derivada de \( f(x) \) é: 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 6x 
\] 
 
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
3x^2 - 6x = 0