Exercício sobre limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo I
Exec´ıcios para Primeira Unidade
Exerc. 1 Seja f : R − {2, 3} 7→ R dada por f(x) = x
4 − 2x3 + x2 − x− 2
x2 − 5x+ 6 .
Determine lim
x→2
f(x).
Resp. -11
Exerc. 2 Seja f : R− {2, 3} 7→ R dada por f(x) = x
4 − 2x3 + x2 − x− 2
x2 − 5x+ 6 .
Determine lim
x→3
f(x).
Dica. Calcule os limites laterais pois a func¸a˜o e´ ilimitada x→ 3.
Exerc. 3 Determine lim
x→a
x5 − a5
x2 − a2 .
Resp.
5
2
a3.
Exerc. 4 Determine lim
x→0
√
ax2 + 1−√bx2 + 1
x2
, a, b > 0.
Resp.
a− b
2
.
Exerc. 5 Determine lim
x→0
5
√
ax2 + 1− 5√bx2 + 1
x2
, a, b > 0.
Resp.
a− b
5
.
Exerc. 6 Determine lim
x→a
3
√
x+ 1− 3√a+ 1
x3 − a3 , a > 0.
Resp.
1
9a2 3
√
(a+ 1)2
.
Exerc. 7 Determine lim
x→∞
(
√
x+ a−√x+ b), a, b > 0.
Resp. 0.
2
Exerc. 8 Seja f : R− {1} 7→ R dada por f(x) = x
5 − 2x3 + x2 − x− 2
x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 .
Determine lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x).
Resp. lim
x→1+
f(x) = −∞ e lim
x→1−
f(x) = −∞.
Exerc. 9 Seja f : R− {1} 7→ R dada por f(x) = x
5 − 2x3 + x2 − x− 2
x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 .
Determine lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
Resp. lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Exerc. 10 Seja f : R → R dada por f(x) =

sin(x)
x
, x > 0
x3 − x2 + x− 1
x2 − 1 , x < 0
.
Calcular lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x).
Resp. lim
x→0+
f(x) = 1 e lim
x→0−
f(x) = 1.
Exerc. 11 Seja f : R → R dada por f(x) =

sin(x)
x
, x > 0
1 , x = 0
x3 − x2 + x− 1
x2 − 1 , x < 0
.
Verificar a continuidade de f(x) em x = 0.
Resp. Cont´ınua.
Exerc. 12 Sejam a ∈ R+ e f : R+ → R dada por:
f(x) =

√
x−√a
x− a , x > 0, x 6= a
1
2
√
a
, x < 0, x = a
. Verificar a continuidade de f(x) em
x = a.
Resp. Cont´ınua.
Exerc. 13 Sejam a ∈ R+ e f : R+ → R dada por:
f(x) =
 x
5 − a5
x− a , x > 0, x 6= a
5a4 , x < 0, x = a
. Verificar a continuidade de f(x) em
x = a.
Resp. Cont´ınua.