Lista de exercícios de calculo 1

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LISTA 1: EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1 – Considere o gráfico de y = f(x) esboçado abaixo. Determine os limites de cada item. Caso algum 
não exista, determine os limites laterais. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
2 – Considere a função definida por: f(x) ={
2𝑥 + 2, 𝑥 < 0
𝑥² , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
1 , 𝑥 > 2
 
 
a) Esboce o gráfico da função f; 
 
b) Determine: 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 𝑖𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 𝑖𝑖𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥) 𝑖𝑣) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 𝑣) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 𝑣𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
 
 
3) Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 (3𝑥² − 2𝑥 + 7) 
 
 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 (√𝑥³ − 9𝑥 + 4) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
𝑥² − 1
𝑥 − 1
) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚 
𝑡→2
(
𝑡² − 5𝑡 + 6
𝑡 − 2
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚 
𝑎→−1
(
𝑎³ + 4𝑎² − 3
𝑎² − 1
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚 
𝑣→2
(
𝑣³ − 8
𝑣4 − 16
) 
 
𝑔 ) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
√𝑥² + 100 − 10
𝑥²
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→4
(
3 − √5 + 𝑥
1 − √5 − 𝑥
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
√𝑥
3
− 1
√𝑥 − 1
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥²
ℎ
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(2 + ℎ)3 − 8
ℎ
) 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)−2 − 𝑥−2
ℎ
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz 
 
𝑳 = 𝑳𝟎 . √𝟏 − 
𝒗²
𝒄²
𝟐
 
 
Expressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v com relação a um 
observador, onde L0 é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre 𝑙𝑖𝑚
𝑣→𝑐−
𝐿 
e interprete o resultado. Porque é necessário o limite à esquerda? 
 
LISTA 1: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
5 – Dado o gráfico da função real g(x), determine, se existir: 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑔(𝑥) 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5+
𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5−
𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→5
𝑔(𝑥) 
 
 
 
 
6 – Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥+1
2
 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑥² , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 existe o 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 
 
7 – Seja 𝑓(𝑥) = {√𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4
8 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
 , Esboce o gráfico de f e determine, se existir, o 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓(𝑥). 
 
8 – Dada a função f(x) = 1 + √𝑥 − 3 , determine, se existir: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝑓(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) 
 
9 – Dada a função f(x) = 
|𝑥|
𝑥
 para todo x ∈ ℝ∗, existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑜
𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
5𝑥 − 2
𝑥² − 8
) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−8
(
𝑥 + 8
𝑥² − 64
) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
𝑥² + 𝑥 − 2
𝑥² − 𝑥
) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−2
(
−2𝑥 − 4
𝑥³ + 2𝑥²
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→2
𝑥2 − 4𝑥 + 4
𝑥 − 2
 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2𝑥2 − 5𝑥 + 3
𝑥3 − 3𝑥2 + 2
 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑥4 − 𝑎4
𝑥 − 𝑎
 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
√9 + 𝑥 − 3
𝑥
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→3
(
√1 + 𝑥 − 2
𝑥 − 3
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→2
(
√6 − 𝑥 − 2
√3 − 𝑥 − 1
) 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
1 
𝑥√1 + 𝑥
−
1 
𝑥
 ) 
 
𝑚) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√2𝑥 + 6
3
− 2
𝑥 − 1
 
 
𝑛) lim
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
) 
 
𝑜) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(3 + ℎ)−1 − 3−1
ℎ
)
11) Utilizando a função deslocamento s(t) = -16t2+1000, que fornece a altura (em pés) de um objeto 
que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante a segundos 
é dada por 
 
𝒗(𝒂) = 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝒂
𝒔(𝒂) − 𝒔(𝒕)
𝒂 − 𝒕
 
 
Se um trabalhador de construção derruba uma chave inglesa de uma altura de 1000 pés, com que 
velocidade a chave cairá após 5 segundos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA 1: GABARITO 
 
1) a) 3 b) não existe c) 5 
2) b) i) 2 ii) 0 iii) não existe 
 iv) 4 v) 1 vi) não existe 
 
3) a) 15 b) 2 c) 2 d) – 1 e) 5/2 f) 3/8 
g) 1/20 h) -1/3 i) 2/3 j) 2x k) 12 l) -2/x³ 
4) 0 
5) a) 1 b) 3 c) não existe 
d) 2 e) 2 f) 2 
6) Sim. 1 
7) 0 
8) a) 1 b) não existe c) não existe 
9) não existe 
10) a) – 3/7 b) – 1/16 c) 3 d) – 1/2 e) 0 
f) 6 g) 1/3 h) 4a³ i) 1/6 j) 1/4 k) 1/2 
l) -1/2 m) 1/6 n) 3x² o) -1/9 
11) – 160 pés/s 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA 2: EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) Seja a função f definida por f(x) = 5x – 2 para todo x real. Encontre um 𝛿 para 𝜀 = 0,01 tal que 
0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 8| < 0,01, sabendo que 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = 8. 
 
2) Demonstre que 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1
 (3𝑥 + 2) = 5 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→2
 (4𝑥 − 1) = 7. 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 𝑥2 − 3 = 1. 
 
3) Para a função 𝜙 do gráfico abaixo, encontre: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝜙(𝑥) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝜙(𝑥) 
 
 
 
 
 
4) Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥5 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
2𝑥5 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
−7𝑥6 d ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
−7𝑥6 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 (7𝑥5 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 9) 𝑓 ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 (−4𝑥8 + 17𝑥3 − 5𝑥 + 1) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
3𝑥 + 5
6𝑥 − 8
) ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
4𝑥² − 𝑥
2𝑥³ − 5
) 𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
5𝑥³ + 3𝑥² − 1
𝑥 + 2
) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥³ − 1
2 − 𝑥3 + 𝑥
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
√𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑥 + 1
) 𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
√𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑥 + 1
) 𝑚) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(√𝑥2 + 3𝑥 + 2 − 𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 
𝑎) 𝑓(0) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
 
𝑒) 𝑓(4) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
𝑓(𝑥) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4+
𝑓(𝑥) ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓(𝑥) 
 
𝑖) 𝑓(−5) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−5−
𝑓(𝑥) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−5+
𝑓(𝑥) 𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−5
𝑓(𝑥) 
 
5) Encontre: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
(
2
𝑥 − 1
) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(
2
𝑥 − 1
) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4+
(
2 − 𝑥
16 − 𝑥²
) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
(
2 − 𝑥
16 − 𝑥²
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
(
𝑥
𝑥2 + 4𝑥 + 4
) 𝑓 ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
(
𝑥
𝑥2 + 4𝑥 + 4
) 𝑔)𝑙𝑖𝑚
𝑥→5
(
𝑥2 − 3𝑥 − 10
𝑥2 − 10𝑥 + 25
) ℎ)𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(
𝑥 + 2
|𝑥 + 3|
) 
 
 
6) Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥 + 2
 𝑏) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥2 − 4𝑥 + 4
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 
−𝑥
√𝑥2 − 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 LISTA 2: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
7) Seja a função f definida por f(x) = – 2x + 5 para todo x real. Encontre um 𝛿 para 𝜀 = 0,001 tal que 
0 < |𝑥 + 2| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 9| < 𝜀, sabendo que 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
 𝑓(𝑥) = 9. 
 
8) Demonstre que 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1
 (3𝑥 − 1) = 2 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→2
 (5 − 2𝑥) = 1. 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 (𝑥2 + 1) = 10. 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 
9
𝑥 + 1
= 3. 
 
 
9) Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. 
Caso não exista, justifique. 
 
𝑎) 𝑓(7) 𝑏)𝑙𝑖𝑚
𝑥→7−
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7+
𝑓(𝑥) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→7
𝑓(𝑥) 
 
𝑒) 𝑓(3) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝑓(𝑥) ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) 
 
𝑖) 𝑓(−4) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4−
𝑓(𝑥) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4+
𝑓(𝑥) 𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
𝑓(𝑥) 
 
𝑚) 𝑓(−9) 𝑛) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−9−
𝑓(𝑥) 
 
𝑜) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−9+
𝑓(𝑥) 𝑝) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−9
𝑓(𝑥) 
 
𝑞) 𝑓(0) 𝑟) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 
 
𝑠) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 𝑡) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Para a função 𝜙 do gráfico abaixo, encontre: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝜙(𝑥) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝜙(𝑥) 
 
 
 
 
 
11) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é 
bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 ℓ/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após 
t minutos (em gramas por litro) é dada por: 
C(t) = 
30𝑡
200 + 𝑡
 
 
O que acontece com a concentração de sal quando t → +∞? 
 
 
12) Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 
1
(𝑥 + 3)
 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
1
(𝑥2 − 1)
 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 (𝑥³ − 5𝑥2 + 𝑥 − 18) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 (2 −
1
𝑥
+
1
𝑥²
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
(
𝑡 + 1
𝑡² + 1
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
ℎ→−∞
(
2ℎ5 + ℎ³ − 4ℎ²
ℎ³ − 16ℎ + 8
) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
2𝑥5 + 𝑥³ − 2
−𝑥2 + 7
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
3𝑥5 + 𝑥² − 7
2 − 𝑥²
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
−5𝑥3 + 2
7𝑥³ + 3
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥² + 3𝑥 − 1
2 − 𝑥²
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥² + 3𝑥 + 1
𝑥
) 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
(
𝑡² − 1
𝑡 − 4
) 
 
𝑚) 𝑙𝑖𝑚
𝑣→+∞
(
𝑣√𝑣 − 1
3𝑣 − 1
) 
 
𝑛) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) 
 
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𝑜) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) 
 
 
𝑝) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(√𝑥² + 1 − √𝑥² − 1) 
 
𝑞) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√𝑥² − 1 − 𝑥) 
 
𝑟) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√3𝑥² + 2𝑥 + 1 − √2𝑥) 
 
𝑠) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
5𝑥³ − 𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥4 + 𝑥³ − 𝑥 + 1
) 
 
 
 
 
 
𝑡) 𝑙𝑖𝑚
𝑠→+∞
(
8 − 𝑠
√𝑠² + 7
) 
 
 
𝑢) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
√2𝑥2 − 7
𝑥 + 3
) 
 
𝑣) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√16𝑥4 + 15𝑥³ − 2𝑥 + 1 − 2𝑥) 
 
𝑤) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
√2𝑥² − 7
𝑥 + 3
) 
 
𝑥) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→+∞
(
3 − 𝑦
√5 + 4𝑦²
) 
13) Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
(
𝑥
𝑥 − 3
) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
(
𝑥
𝑥 − 3
) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
(
𝑥
𝑥² − 4
) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
(
𝑥
𝑥² − 4
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→6+
(
𝑦 + 6
𝑦² − 36
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→6−
(
𝑦 + 6
𝑦² − 36
) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4+
(
3 − 𝑥
𝑥² − 2𝑥 − 8
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
(
3 − 𝑥
𝑥² − 2𝑥 − 8
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
(
1
|𝑥 − 3|
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
(
1
|𝑥 − 3|
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥 − 4
 𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 2
 𝑐) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥² − 3𝑥 + 2
 
 
 
𝑑) 𝑓(𝑥) =
−1
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)
 𝑒) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥 + 4
 𝑓) 𝑓(𝑥) = −
2
√𝑥 − 3
 
 
 
𝑔) 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥2 + 4
 ℎ) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥 − 1
 𝑖) 𝑓(𝑥) = 
3𝑥2 − 18𝑥 − 81
6𝑥2 − 54
 
 
 
 
 
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GABARITO DAS QUESTÕES OBJETIVAS: 
 
9) a) ∄ b) –∞ c) –∞ d) –∞ 
 
 e) ∄ f) +∞ g) +∞ h) +∞ 
 
 i) ∄ j) –∞ k) –∞ l) –∞ 
 
 m) ∄ n) +∞ o) –∞ p) ∄ 
 
 q) 1,5 r) 1,5 s) 1,5 t) 1,5 
 
 
10) a) 0 b) 2 
 
 
11) A concentração de sal será 30g. 
 
 
12) a) 0 b) 0 c) − ∞ d) 2 e) 0 f) ∞ 
g) − ∞ h) − ∞ i) − 5/7 j) − 1 k)+∞ 
m) + ∞ n) 1 o) − 1 p) 0 q) + ∞ r) + ∞ 
s) 0 t) – 1 u) − √2 v) + ∞ w)√2 x) − 1/2 
 
 
13) a) ∞ b) − ∞ c) ∞ d) − ∞ e) ∞ 
 f) − ∞ g) − ∞ h) ∞ i) ∞ j) ∞ 
 
14) a) x = 4 b) x = - 2 e y = 1 c) x = 1 e x = 2 
 
 
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LISTA 3: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1 – Calcule os limites. 
 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
2𝑠𝑒𝑛 𝑥
5𝑥
) 
 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
−3. 𝑠𝑒𝑛 𝑥
4. 𝑥
) 
 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑘. 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑝. 𝑥
) 
 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
2𝑥
) 
 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑠𝑒𝑛(−3𝑥)
7𝑥
) 
 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑝. 𝑥
) 
 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥²
) 
 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
6𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
) 
 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑡𝑔𝑥
𝑥
) 
 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑡𝑔(4𝑥)
6𝑥
) 
 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (
𝑠𝑒𝑛(9𝑥)
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
) 
 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔(2𝑥)) 
 
2 − Demonstre que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒. 
 
3 – Calcule os limites: 
 
𝑎) lim
𝑛→∞
(1 +
3
𝑛
)
𝑛
 
 
𝑏) lim
𝑛→∞
(1 −
4
𝑛
)
𝑛
 
 
 𝑐) lim
𝑥→0
(1 + 5𝑥)
1
𝑥 
 
𝑑) lim
𝑛→+∞
(1 +
2
3𝑛 − 1
)
3𝑛
 
 
𝑒) lim
𝑥→−∞
(
3𝑥 + 2
3𝑥 − 1
)
𝑥
 
 
𝑓) lim
𝑥→+∞
(
5𝑥 − 2
5𝑥 + 1
)
𝑥
4
 
 
4 – Onde as seguintes funções são continuas? 
 
 
a) f(x) = sen(x²) b) f(x) = ln(1 + cosx) 
 
5 – Mostre que a função f(x) = 1 – √1 − 𝑥² é contínua no intervalo [-1,1]. 
 
 
 
 
 
 
 
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6 – Encontre os pontos nos quais a função f representada no gráfico a seguir não é continua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – Onde cada uma das funções é descontinua? 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 
𝑥² − 9
𝑥 − 3
 𝑏) 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥³
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 𝑏) 𝑓(𝑥) = {
𝑥² − 9
𝑥 − 3
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
 1 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 
 
8 – Para quais valores da constante c a função f é continua em (−∞,+∞)? 𝑓(𝑥) = {
𝑐𝑥² + 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
𝑥³ − 𝑐𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
.
 
9 – Sejam a e b números reais e f: IR → IR uma função definida por f(x) = {
x² , se x ≤ 1
ax − 2 , se 1 < 𝑥 ≤ 2
bx + 3, se x > 2
 , para 
que f seja continua determine os valores de a e b. 
 
10 – Um estacionamento cobra R$ 5,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$ 3,00 por hora sucessiva, 
ou parte dela, até o máximo de R$ 15,00. 
 
a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido. 
b) O gráfico representa uma função continua? 
 
11 – Se f e g forem funções contínuas, com f(3) = 5 e 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 4, encontre g(3). 
 
 
 
 
 
 
 
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12 – A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro 
do planeta é 
𝑓(𝑟) = {
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
, 𝑠𝑒 𝑟 < 𝑅
𝐺𝑀
𝑟²
, 𝑠𝑒 𝑟 ≥ 𝑅
 
 
Onde M é a massa da Terra; R é seu raio; e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r? 
 
13 – Suponha que as desigualdades 
 
1
2
− 
𝑥²
24
<
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥²
 <
1
2
 
 
Valham para todos os valores de x próximos de zero. O que isso diz a você a respeito do seguinte limite: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥²
 ? 
 
Justifique sua resposta. 
 
14 – Prove que: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑥4. 𝑠𝑒𝑛³ (
1
𝑥
)) = 0