2013.1 - LÓGICA MATEMÁTICA - INFO

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APOSTILA 
 
DE
LÓGICA MATEMÁTICA
CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
PROF.: MÁRIO S. TARANTO
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 PROPOSIÇÕES
1.1.1 VALOR LÓGICO DAS PROPOSIÇÕES
1.1.2 NOTAÇÃO
1.1.3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
1.2 CONECTIVOS
1.3 TABELA-VERDADE 
1.4 OPERAÇÕES LÓGICAS
1.4.1 NEGAÇÃO
1.4.2 CONJUNÇÃO
1.4.3 DISJUNÇÃO
1.4.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
1.4.5 CONDICIONAL
1.4.6 BICONDICIONAL
1.5 TABELAS-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
1.6TAUTOLOGIAS, CONTINGÊNCIAS E CONTRADIÇÕES
2 IMPLICAÇÕES E EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
2.1 IMPLICAÇÃO LÓGICA
2.1.1 TAUTOLOGIA E IMPLICAÇÃO LÓGICA
2.2 EQUIVALÊNCIA LÓGICA E ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
2.2.1 TAUTOLOGIA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
2.3 FORMAS NORMAIS DAS PROPOSIÇÕES
3 ARGUMENTOS 
3.1 DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO
3.1.1 VALIDADE DE UM ARGUMENTO
3.1.2 CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO
3.2 ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS
3.3 REGRAS DE INFERÊNCIA
3.4 VALIDADE MEDIANTE TABELA-VERDADE
4 CÁLCULO DE PREDICADOS
4.1 SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVEL
4.1.1 CONJUNTO–VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VARIÁVEL
4.2 SENTENÇAS ABERTAS COM n VARIÁVEIS
4.2.1 CONJUNTO–VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM n VARIÁVEIS
4.3 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS
4.4 QUANTIFICADOR UNIVERSAL E EXISTENCIAL
4.5 QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
4.6 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR
4.7 QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL
LÓGICA MATEMÁTICA 
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 PROPOSIÇÕES
	Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
	A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios:
I – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo.
II – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, nunca uma terceira condição.
1.1.1 VALOR LÓGICO DAS PROPOSIÇÕES
	Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Seus valores lógicos são abreviados pelas letras V e F.
1.1.2 NOTAÇÃO
	O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). 
Assim, se a proposição p é verdadeira escreve-se V(p) = V. Analogamente, se a proposição p é falsa, escreve-se V(p) = F. 
	O valor lógico de uma proposição composta P indica-se por V(P).
1.1.3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
	Chama-se proposição simples ou atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Essas proposições são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas.
Exemplos:
	p: Mário é professor
	q: Pedro é estudante
	r: O número 25 é quadrado perfeito 
	Chama-se proposição composta ou molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Essas proposições são geralmente designadas pelas letras latinas maiúsculas.
Exemplos:
P: Mário é professor e Pedro é estudante
	Q: Pedro é estudante, então é feliz
	R: O número 5 é ímpar e o número 9 é quadrado perfeito
As proposições compostas são chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas de fórmulas.
	Quando interessa destacar que uma proposição composta é formada por determinadas proposições simples p, q, r, ..., escreve-se: P(p, q, r, ...). 
1.2 CONECTIVOS
	Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras (proposições compostas).
P: Jorge é professor e Luis é marinheiro
	Q: Pedro é estudante, então sabe matemática
	R: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se é eqüiângulo
	São conectivos usuais em Lógica Matemática: e, ou, não, se ... então ... , ... se e somente se... 
1.3 TABELA-VERDADE
	Segundo o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa. Já as proposições compostas, a determinação do seu valor lógico se faz com base no seguinte princípio:
	O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. 
	Na prática, para determinação do valor lógico de uma proposição composta recorre-se quase sempre a um dispositivo conhecido como tabela-verdade. 
	Assim, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, temos a seguinte tabela-verdade:
	
	p
	q
	1
	V
	V
	2
	V
	F
	3
	F
	V
	4
	F
	F
EXERCÍCIOS
1 – Determine o valor lógico de cada uma das proposições:
a) O número 17 é primo.
b) -1 < -7
c) 0,131313... é uma dízima periódica simples.
d) As diagonais de um paralelogramo são iguais.
e) O hexaedro regular tem 8 arestas.
f) Todo número divisível por 5 termina por 5.
g) O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
h) N ( R.
i) 0 ( N.
j) 2 e 5 são raízes da equação x2 -7x +10 = 0.
l) 0 ( [-4/3, 1[.
m) A – B = { x / x ( A ou x ( B }.
2 – Construa a tabela verdade de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r. 
1.4 OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES
1.4.1 NEGAÇÃO
	Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira. 
Assim, “não p” tem o valor lógico oposto ao valor lógico de p. Simbolicamente indica-se por “ ~ p”.
O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	~ p
	V
	F
	F
	V
1.4.2 CONJUNÇÃO
	Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q” cujo valor lógico é a verdade quando essas são verdadeiras e a falsidade nos demais casos.
	Simbolicamente indica-se pela notação “p ^ q, que se lê: “p e q”. 
O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	q
	p ^ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
1.4.3 DISJUNÇÃO
	Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q” cujo valor lógico é a verdade quando ao menos uma das proposições é verdadeira e a falsidade nos em que ambas são falsas.
Simbolicamente indica-se pela notação “p v q, que se lê: “p ou q”. 
	O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	q
	p v q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
1.4.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
	Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “ou p ou q” cujo valor lógico é a verdade somente quando p é verdadeira e q é falsa ou vice-versa, e a falsidade quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.
Simbolicamente indica-se pela notação “p v q, que se lê: “ou p ou q”. 
	O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	q
	p v q
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
1.4.5 CONDICIONAL
Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais casos.
	Simbolicamente indica-se pela notação “p ( q, que se lê: “p e condição suficiente para q” ou “q é condição necessária para p”. 
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
 
1.4.6 BICONDICIONAL
Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade nos casos em que ambas são verdadeira ou ambas são falsas e a falsidade nos demais casos.
	Simbolicamente indica-se pela notação “p ( q, que se lê: “p e condição necessária e suficiente para q” ou “q é condição necessária e suficiente para p”. 
	O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
	p
	q
	p ( q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
EXERCÍCIOS
Sejam as proposiçõesp: Está frio e q: Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
	a) ~ p
	b) p ^ q
	c) p v q
	d) q ( p
	e) p ( q
	f) p v ~ q
	g) ~ p ^ ~ q
	h) p ( ~ q
	i) p ^ ~ q ( p
Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
Marcos é alto e elegante.
Marcos é alto, mas não é elegante.
Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante.
Marcos não é nem alto e nem elegante.
Marcos é alto ou é baixo e elegante.
É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
< 0 ^ 13 é primo.
tg 00 = 1 v tg 900 = 0.
Se 
 então -5 > -4.
cos 450 = sen 450 se e somente se sen 600 > cos 600.
 52 = 32 + 42 
 43 ( 45/42
02 = 1 se e somente se (1 + 5)0 = 1
= 1 se e somente se 
 = 0 
1.5 TABELAS–VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
	A construção de uma tabela-verdade de qualquer proposição composta dada, mostrará exatamente os casos em que a composição é verdadeira ou falsa, admitindo-se que o seu valor lógico dependerá dos valores lógicos das proposições simples compostas.
	A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas.
Exemplo: Construa a tabela-verdade da proposição P(p,q) = ~(p ^ ~q).
	p
	q
	~q
	p ^ ~q
	~(p ^ ~q)
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	Forma alternativa:
	p
	q
	~
	(p
	^
	~
	q)
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	Observe que a proposição P(p, q) se associa a cada um dos elementos do conjunto U = {VV, VF, FV, FF} a um único elemento do conjunto {V, F}: 
P( p, q) : U ( {V, F}
cuja representação gráfica por um diagrama digital é a seguinte:
		VV.		 .V
	U	VF.		
		FV.		 .F	
		FF.		
	Se suprimirmos as colunas relativas às proposições simples componentes p e q, origina-se o que se chama de tabela-verdade simplificada. 
	~
	(p
	^
	~
	q)
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
EXERCÍCIOS
Determinar P(VFV) em cada um dos seguinte casos:
a) P(p, q, r) = p ^ ~r ( ~q
b) P(p, q, r) = ~p ^ (q v ~r)
c) P(p, q, r) = ~(p ^ q) ( ~(p v ~r)
d) P(p, q, r) = (r ^ (p v ~q)) ^ ~(~r v (p ^ q)) 
e) P(p, q, r) = (p v q ( r) ( q v ~r
f) P(p, q, r) = (p v (q ( ~r)) ^ (~p v r ( ~q)
Construa as tabelas-verdade das seguintes proposições:
	
a) ~(p v ~q)
b) p ^ q ( p v ~q
c) ~p ^ (q v p)
d) ~(p ^ q) ( ~(p v ~q)
	
e) p ( r ( q v ~r
f) (p v q ( r) ( q v ~r
g) (p v (q ( ~r)) ^ (~p v r ( ~q)
h) (r ^ (p v ~q)) ^ ~(~r 
 (p ^ q)) 
Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
1.6 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
1.6.1 TAUTOLOGIA 
	Chama-se tautologia toda proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade seja formada somente de valores lógico V (verdade).
	As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. 
	
Veja que as proposições “p ( p” e “p ( p” são tautológicas (Princípio de identidade para as proposições):
	p
	~p
	p ^ ~p
	~(p ^ ~p)
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	Portanto, dizer que uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa é sempre verdadeiro (princípio da não contradição).
	p
	~p
	p v ~p
	V
	F
	V
	F
	V
	V
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro (princípio do terceiro excluído).
Exemplo: Verifique se as proposições “p ^ q ( (p ( q)” e “p ^ r ( ~q v r” são tautológicas.
	p
	q
	p ^ q
	p ( q
	p ^ q ( (p ( q)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	p
	q
	r
	~q
	p ^ r
	~q v r
	p ^ r ( ~q v r
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
1.6.2 CONTRADIÇÃO
	Chama-se contradição toda proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade seja formada somente de valores lógico F (falsidade).
	As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. 
	
Veja que as proposições “p ^ ~p” e “p ( ~p” são contradições:
	p
	~p
	p ^ ~p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	
	p
	~p
	p ( ~p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa é sempre falso.
Exemplo: Verifique se as proposições “(p ^ q) ^ ~(p v q)” e “~p ^ (p ^ ~q)” são contradições.
	p
	q
	p ^ q
	p v q
	~(p v q)
	(p ^ q) ^ ~(p v q)
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	p
	q
	~p
	~q
	p ^ ~q
	~p ^ (p ^ ~q)
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
1.6.3 CONTINGÊNCIA
	Chama-se contingência toda proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade seja formada pelos valores lógico V (verdade) e F (falsidade) cada um pelo menos uma vez. Em outras palavras, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. 
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.
EXERCÍCIOS
Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:
a) p ( (~p ( q)
b) p ( (q ( (q ( p))
c) p v ~q ( (p ( ~q)
d) p ( (p v q) v r
e) ~p v q ( (p ( q) 
f) ((p ( q) ( q) ( p
g) ~p v ~q ( (p ( q)
h) p ^ q ( (p ( q v r)
i) ~(p ( q) 
 (p ^ ~q) v (~p ^ q)
2 IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
2.1 IMPLICAÇÃO LÓGICA
	Diz-se que uma proposição P(p, q, r, ...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p, q, r, ...) é verdadeira (V). 
2.1.1 TAUTOLOGIA E IMPLICAÇÃO LÓGICA
	A proposição P(p, q, r, ...) implica uma proposição Q(p, q, r, ...): 
P(p, q, r, ...) 
 Q(p, q, r, ...)
se e somente se a condicional P(p, q, r, ...) 
 Q(p, q, r, ...) é tautológica. 
Exemplo: Verifique se a proposição “p ^ ~p” implica a proposição “q” e se a proposição “(p ( q) ^ p” implica a proposição “q”.
 
	p
	q
	~p
	p ^ ~p
	p ^ ~p 
q
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
Se a condicional “p ^ ~p 
 q” é tautológica, temos então que “p ^ ~p 
 q”.
 
	p
	q
	P ( q
	(P ( q) ^ p
	(P ( q) ^ p ( q
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
Se a condicional é “(p ( q) ^ p 
q” é tautológica, temos então que “(p ( q) ^ p 
 q”.
2.2 EQUIVALÊNCIA LÓGICA
	Diz-se que uma proposição P(p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...), se as tabelas-verdade dessas duas proposições são idênticas. 
2.2.1 TAUTOLOGIA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
	A proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...): 
P(p, q, r, ...) 
 Q(p, q, r, ...)
se e somente se a bicondicional P(p, q, r, ...) ( Q(p, q, r, ...) é tautológica. 
Exemplo: Verifique se a proposição 
, sendo r uma proposição totalmente falsa, é equivalente a proposição 
 e se a proposição 
 é equivalente a proposição 
	p
	q
	(p
	^
	~q
	
	r)
	(
	(p
	
	q)
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
Se a bicondicional 
 ( 
 é tautológica, temos então que 
.
	(p
	^
	q
	
	r)
	(
	(p
	
	(q
	
	r))
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
Se a bicondicional 
 ( 
 é tautológica, temos então que 
 
 
.
EXERCÍCIOS
1. Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes implicações:
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Demonstrar por tabelas-verdade as seguintesequivalências:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
3 ARGUMENTOS
 
3.1 DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO
	Sejam P1, P2, ... , Pn (n ( 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. 
Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1, P2, ... , Pn (n ( 1) tem como conseqüência ou acarreta uma proposição final Q.
	As proposições P1, P2, ... , Pn são as premissas do argumento, e a proposição final Q, a conclusão do argumento.
	Um argumento de premissas P1, P2, ... , Pn e de conclusão Q indica-se por:
P1, P2, ... , Pn I– Q
e se lê da seguinte maneira: P1, P2, ... , Pn acarreta Q.
	Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo.
 	
3.1.1 VALIDADE DE UM ARGUMENTO
	Um argumento P1, P2, ... , Pn I– Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ... , Pn forem verdadeiras.
	Um argumento válido goza da seguinte propriedade: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.
	 	A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão.
Um argumento não-válido chama-se sofisma.
3.1.2 CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO
	Teorema: Um argumento P1, P2, ... , Pn I– Q é valido se e somente se a condicional:
é tautológica.
	A validade ou não-validade de um argumento depende apenas de sua forma. 
Assim, para o argumento válido p I– 
 segue a validade dos argumentos:
 I– 
 I– 
pois também têm a mesma forma. 
3.2 ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS
	São argumentos válidos fundamentais ou básicos os seguintes:
I. Adição (AD):	
		(a) p I– 
;			(b) p I– 
	
II.Simplificação (SIMP):
(a) 
I– p;			(b) 
I– q
III. Conjunção (CONJ):
(a) p, q I– 
;		(b) p, q I– 
IV. Absorção (ABS):
		
I– 
V. Modus ponens (MP):
		
, p I– q
VI. Modus tollens (MT):
		
, ~q I– ~p		
VII. Silogismo disjuntivo (SD):
		(a) 
, ~p I– q;		(b) 
, ~q I– p
VIII. Silogismo hipotético (SH):
		
, 
 I– 
IX. Dilema construtivo (DC):
		
, 
, 
 I– 
X. Dilema destrutivo (DD):
	 	
, 
, 
 I– 
	
A validade destes argumentos é conseqüência da construção de suas tabelas-verdade.
3.3 REGRAS DE INFERÊNCIA
	Os argumentos válidos fundamentais são usados para fazer inferências. 
Quando colocamos as premissas sobre um traço horizontal e a conclusão sob o mesmo traço, chamamos de regra de inferência. 
	
I. Adição (AD):	
(a) 
;			(b) 
	
II.Simplificação (SIMP):
(a) 
;			(b) 
	
III. Conjunção (CONJ):
(a) 
;			(b) 
	
IV. Absorção (ABS):
		
	
	
V. Modus ponens (MP):
		
	
VI. Modus tollens (MT):
		
		
	
VII. Silogismo disjuntivo (SD):
(a) 
;			(b) 
	
VIII. Silogismo hipotético (SH):
		
	
IX. Dilema construtivo (DC):
		
	
X. Dilema destrutivo (DD):
	 	
	Com o auxílio destas regras de inferência pode-se demonstrar a validade de um grande número de argumentos mais complexos.
 
3.4 VALIDADE MEDIANTE TABELA–VERDADE
	As tabelas-verdade podem ser usadas para demonstrar a validade de qualquer argumento e consiste na sua construção com uma coluna para cada premissa e uma para a conclusão, identificando as linhas em que os valores lógicos das premissas são todos V. Nessas linhas, o valor lógico da conclusão Q, para que o argumento seja válido, também deve ser V. Quando isso não ocorrer, o argumento dado é não-válido e chamado de sofisma. 
	
Uma outra maneira de demonstrar a validade de um argumento consiste em construir a condicional associada: 
E identificar se é tautológica ou não. Caso seja, o argumento é válido, do contrário, é um sofisma.
EXERCÍCIOS
1) Verifique a validade dos argumentos abaixo:
a) 
, q I– p
b) 
, ~p I– ~q
c) 
, q I– p
d) 
, ~q, 
 I– r
e) 
, ~r I– ~q
f) 
, p I– ~q
g) 
 I– 
 
2) Verifique a validade dos argumentos abaixo:
	a)
	Se 8 não é par, então 5 não é primo
	
	
	Mas 8 é par
	
	
	Logo, 5 é primo
	
	b)
	Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo
	
	
	7 não é menor que 4
	
	
	Logo, 7 é primo
	
	c)
	Se 7 é primo, então 7 não divide 21
	
	
	7 divide 21
	
	
	Logo, 7 não é primo
	
	d)
	Se chove, Marco fica resfriado
	
	
	Marco não ficou resfriado
	
	
	Logo, não choveu
	
	e)
	Se 8 é par, então 3 não divide 7
	
	
	Ou 5 não é primo ou 3 divide 7
	
	
	Mas 5 é primo
	
	
	Portanto, 8 é ímpar
	
	f)
	Se x = 0, então x + y = y
	
	
	Se y = z, então x + y ( y
	
	
	Logo, se x = 0, então y ( z
	
4 CÁLCULO DE PREDICADOS
4.1 SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVEL
	Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A, uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa ou verdadeira para todo a ( A.
	O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo da variável x e qualquer elemento a ( A diz-se um valor da variável x.
	Uma sentença aberta com uma variável em A chama-se função proposicional em A.
	São alguns exemplos de sentenças abertas em N:
x + 1 > 8
x2 – 5x + 6 = 0
x + 9 = 5
x é divisor de 10
x é múltiplo de 3
4.1.1 CONJUNTO–VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VARIÁVEL
	Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de todos os elementos a ( A tais que p(a) é uma proposição verdadeira.
	Este conjunto representa-se por Vp. Simbolicamente temos:
Vp = {x / x ( A 
 p(x)}
	Em uma sentença aberta em um conjunto A podem ocorrer que:
“Vp = A” (universal);
 
 “Vp ( A” (possível); e
 
 “Vp = (”(impossível).
 
EXERCÍCIOS
1) Determine o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas em N e classifique-as:
	a) x + 1 > 8
b) x + 7 < 5
c) x2 – 5x = 0
	d) 4x2 – 1 = 0
e) x é múltiplo de 5
e) x – 1 < 4
 
2) Determine o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas em Z e classifique-as:
	a) x + 5 > 3
b) x é divisor de 10
c) 2x2 + 5x = 0
	d) x2 – 2x > 0 
e) 4x2 – 1 = 0
f) x2 < 3
 
Determinar o conjunto-verdade em A = {1, 3, 4, 7, 9, 11} de cada uma das seguintes sentenças abertas e classifique-as:
 
	a) x2 < 25
b) x2 + 3 ( A
c) x3 – 4x2 = 0
	d) x é divisor de 27 
e) 3 ( x < 10
f) 
4.2 SENTENÇAS ABERTAS COM n VARIÁVEIS
	Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1 ( A2 ( ... ( An, uma expressão p(x1, x2, ... , xn) tal que p(a1, a2, ... , an) é falsa ou verdadeira para todo n-upla (a1, a2, ... , an)( A1 ( A2 ( ... ( An.
	O conjunto A1 ( A2 ( ... ( An recebe o nome de conjunto-universo das variáveis x1, x2, ... , xn, e qualquer elemento (a1, a2, ... , an)( A1 ( A2 ( ... ( An diz-se uma n-upla de valores das variáveis x1, x2, ... , xn.
	Uma sentença aberta com n variáveis em A1 ( A2 ( ... ( An chama-se função proposicional com n variáveis em A1 ( A2 ( ... ( An.
Exemplo 1: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. São alguns exemplos de sentenças abertas em A ( B as seguintes expressões: 
x é menor que y
x é divisor de y
x é a metade de y
mdc (x, y) = 1
Exemplo 2: Seja N o conjunto dos números naturais. A expressão “x + 2y + 3z < 7” é uma sentença aberta em N ( N ( N. 
4.2.1 CONJUNTO–VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM n VARIÁVEIS
	Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x1, x2, ... , xn) em A1 ( A2 ( ... ( An, o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , an)( A1 ( A2 ( ... ( An tais que p(a1, a2, ... , an) é uma proposição verdadeira.
	Este conjunto representa-se por Vp. Simbolicamente temos:
Vp = {(x1, x2, ... , xn) / x1 ( A1 
 x2 ( A2 
 ... 
 xn ( An 
 p(x1, x2, ... , xn)}
EXERCÍCIOS
1) Sendo A = {1, 3, 4} e B = {2, 3, 5}, determine o conjunto-verdade da sentença aberta “x + y > 5” em A x B. 
2) Sendo A = {2, 3, 5} e B = {3, 6, 8, 11}, determine o conjunto-verdade da sentença aberta “x/y” (x divide y) em A x B.
3) Determine o conjunto-verdade da sentença aberta “x + y + z = 3” em N x N x N, sendo N o conjunto dos números naturais.
4) Determine o conjunto-verdade da sentença aberta “mdc (x, y) = 1” em A x A, sendo A = {2, 3, 4, 5}.
4.3 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS
	São operações lógicas sobre sentenças abertas as mesmasoperações lógicas utilizadas para as proposições.
	Exemplo 1: Sendo A = {–1, 2, (, 5, 
, 8} e as sentenças abertas em A “x > 2” e “x < 7”, construa a tabela-verdade da conjunção entre elas. 
	x
	x > 2
	x < 7
	x > 2 ( x < 7
	–1
	F
	V
	F
	2
	F
	V
	F
	(
	V
	V
	V
	5
	V
	V
	V
	
	V
	V
	V
	8
	V
	F
	F
	O conjunto-verdade da sentença aberta “x > 2 ( x < 7” é verificado em sua coluna por todos os elementos x ( A tal que o valor lógico é a verdade.
 {(, 5, 
}
Exemplo 2: Sendo A = {–1, 1, (, 5, 
, 7} e as sentenças abertas em A “x < 3” e “x > 5”, construa a tabela-verdade da disjunção entre elas. 
	x
	x < 3
	x > 5
	x < 3 ( x > 5
	–1
	V
	F
	V
	1
	V
	F
	V
	(
	F
	F
	F
	5
	F
	F
	F
	
	F
	V
	V
	7
	F
	V
	V
O conjunto-verdade da sentença aberta “x < 3 ( x > 5” é verificado em sua coluna por todos os elementos x ( A tal que o valor lógico é a verdade.
 {–1, 1, 
, 7}
Exemplo 3: Sendo A = {–1, 2, (, 5, 
, 8} e as sentenças abertas em A “x > 2” e “x < 7”, construa a tabela-verdade da condicional entre elas. 
	x
	x > 2
	x < 7
	x > 2 ( x < 7
	–1
	F
	V
	V
	2
	F
	V
	V
	(
	V
	V
	V
	5
	V
	V
	V
	
	V
	V
	V
	8
	V
	F
	F
	
O conjunto-verdade da sentença aberta “x > 2 ( x < 7” é verificado em sua coluna por todos os elementos x ( A tal que o valor lógico é a verdade.
 {–1, 2, (, 5, 
}
Exemplo 4: Sendo A = {–1, 1, (, 5, 
, 7} e as sentenças abertas em A “x < 3” e “x > 5”, construa a tabela-verdade da bicondicional entre elas. 
	x
	x < 3
	x > 5
	x < 3 ( x > 5
	–1
	V
	F
	F
	1
	V
	F
	F
	(
	F
	F
	V
	5
	F
	F
	V
	
	F
	V
	F
	7
	F
	V
	F
O conjunto-verdade da sentença aberta “x < 3 ( x > 5” é verificado em sua coluna por todos os elementos x ( A tal que o valor lógico é a verdade.
 {(, 5}
EXERCÍCIOS
1) Determine o conjunto-verdade em A = {1, 2, 3, ... , 9, 10} das seguintes sentenças abertas compostas através da tabela–verdade:
	a) x < 7 ( x é ímpar 
c) 3/x ( x < 8
	b) x é par ( x + 2 ( 10
d) (x + 4) ( A ( (x2 – 5) ( A
2) Determine o conjunto-verdade em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} das seguintes sentenças abertas compostas através da tabela–verdade:
	a) x2 – 3x = 0 ( x2 = x 
c) x é primo ( (x + 5) ( A
	b) x é par ( x2 < 9
d) x2 ( 16 ( x2 – 6x + 5 = 0
3) Determine o conjunto-verdade em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} das seguintes sentenças abertas compostas através da tabela–verdade:
	a) x é par ( x2 – 1 = 0 
c) x2 + x – 6 < 0 ( x2 – 9 = 0
	b) x/12 ( x é primo
d) x2 – 1 ( 0 ( x2 + 4x + 3 = 0
4) Determine o conjunto-verdade em A = {1, 2, 3, ... , 9, 10} das seguintes sentenças abertas compostas através da tabela–verdade:
	a) x2 – 3x = 0 ( x2 – x = 0 
c) x é primo ( (x + 3) ( A
	b) x é par ( x2 < 8
d) x2 > 12 ( x2 – 5x + 6 = 0
4.4 QUANTIFICADOR UNIVERSAL E EXISTENCIAL
4.4.1 QUANTIFICADOR UNIVERSAL
	Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e seja Vp o seu conjunto-verdade:
= {x / x ( A ( p(x)}
	Quando 
= A, ou seja, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), podemos afirmar que “para todo elemento x que pertence a A, p(x) é verdadeira”. 
	Simbolicamente temos:
(
 x ( A) (p(x))
	Por equivalência, temos:
(
 x ( A) (p(x)) ( 
= A
	O símbolo 
 representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) em uma proposição verdadeira ou falsa. Esta operação chama-se quantificador universal. 
	Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições:
a) (
 n ( N) (n + 5 > 3)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n + 5 > 3 é:
= {n / n ( N ( n + 5 > 3} = {1, 2, 3, ... } = N,
logo: (
 n ( N) (n + 5 > 3) é verdadeira.
b) (
 n ( N) (n + 3 > 7)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n + 3 > 7 é:
= {n / n ( N ( n + 3 > 7} = {5, 6, 7, ... } ( N,
logo: (
 n ( N) (n + 3 > 7) é falsa.
c) (
 x ( R) (x2 ( 0)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(x): x2 ( 0 é:
= {x / x ( R ( x2 ( 0} = R,
logo: (
 x ( R) (x2 ( 0) é verdadeira.
4.4.2 QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e seja Vp o seu conjunto-verdade:
= {x / x ( A ( p(x)}
	Quando 
( (, ou seja, pelo menos um elemento do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), podemos afirmar que “existe pelo menos um x que pertence a A, tal que p(x) é verdadeira”. 
	Simbolicamente temos:
(
 x ( A) (p(x))
	Por equivalência, temos:
(
 x ( A) (p(x)) ( 
( (
	O símbolo 
 representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) em uma proposição verdadeira ou falsa. Esta operação chama-se quantificador existencial. 
	Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições:
a) (
 n ( N) (n + 4 < 8)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n + 4 < 8 é:
= {n / n ( N ( n + 4 < 8} = {1, 2, 3} ( (,
logo: (
 n ( N) (n + 4 < 8) é verdadeira.
b) (
 n ( N) (n + 5 < 3)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n + 5 < 3 é:
= {n / n ( N ( n + 5 < 3} = (,
logo: (
 n ( N) (n + 5 < 3) é falsa.
c) (
 x ( R) (2x – 1 = 0)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(x): 2x – 1 = 0 é:
= {x / x ( R ( 2x – 1 = 0} = {1/2} ( (,
logo: (
 x ( R) (2x – 1 = 0) é verdadeira.
4.5 QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e seja Vp o seu conjunto-verdade:
= {x / x ( A ( p(x)}
	Quando 
( (, ou seja, exatamente um elemento do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), podemos afirmar que “existe um x que pertence a A e somente um, tal que p(x) é verdadeira”. 
	Simbolicamente temos:
(
! x ( A) (p(x))
	
	O símbolo 
! representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) em uma proposição verdadeira ou falsa. Esta operação chama-se quantificador existencial de unicidade. 
	Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições:
a) (
! x ( N) (x2 – 9 = 0)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(x): x2 – 9 = 0 é:
= {x / x ( N ( x2 – 9 = 0} = {3},
logo: (
! x ( N) (x2 – 9 = 0) é verdadeira.
b) (
! x ( N) (x2 – 5x + 4 = 0)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(x): x2 – 5x + 4 = 0 é:
= {x / x ( N ( x2 – 5x + 4 = 0} = {1, 4},
logo: (
! x ( N) (x2 – 5x + 4 = 0) é falsa.
c) (
! n ( R) (2n – 1 = 0)
Como o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): 2n – 1 = 0 é:
= {n / n ( R ( 2n – 1 = 0} = {1/2},
logo: (
! n ( R) (2n – 1 = 0) é verdadeira.
EXERCÍCIOS
1) Determine o valor lógico em cada uma das seguintes proposições:
	a) (
 x ( R) (x + 1 > x)
c) (
 x ( R) (x2 + 1 = 0)
e) (
! x ( N) (x2 – 9x – 10 = 0)
g) (
 x ( R) (
 = x)
	b) (
! x ( N) (–2x2 + 3x = 1)
d) (
 x ( R) (x2 = x)
f) (
! x ( R) (x1/2 – 5 = 0)
h) (
 x ( R) (3x + 2 < 5)
2) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, determine o valor lógico em cada uma das seguintes proposições:
	a) (
 x ( A) (x + 1 < 4)
c) (
 x ( A) (x2 – 10 ( 8)
e) (
! x ( A) (x – 1 > 2)
g) (
 x ( A) (12/x)
	b) (
 x ( A) (x + 3 < 6)
d) (
 x ( A) (2x2 + x = 15)
f) (
 x ( A) (x2 > 1)
h) (
! x ( A) (x1/2 – 2 = 0)
4.6 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR
4.6.1 REGRAS DE MORGAN
	I. Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa.
	p
	q
	p ( q
	~(p ( q)
	~p
	~q
	~p ( ~q
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Exemplo: Negue a proposição “Ana é inteligente e estuda”: “Ana não é inteligente ou não estuda”.
	II. Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas.
	p
	q
	p ( q
	~(p ( q)
	~p
	~q
	~p ( ~q
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Exemplo: Negue a proposição “João é médico ou professor”: “João não é médico e não é professor”.
	Estas Regras de MORGAN mostram que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção e que como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou a conjunçãoa partir da disjunção e da negação:
	
4.7 QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL
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