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TRELIÇAS São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós. Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós. Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções. Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós. Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo. Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N. 1º Condição de Treliça Isostática: 2 . n = b + ѵ Sendo 2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal): ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário + - 3º Métodos dos Nós Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais. Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. Calma, nos exercicios verá que é fácil. Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO � n = nº de nós � b = quantidade de barras � ѵ = nº de reações (Verticais e Horizontais) - COMPRESSÃO Treliça Esquemática Exercícios 1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 9+3 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0 VA+VE = 200 KN VA = 400÷4 100+VE = 200 KN VA = 100 KN VE = 200-100 VE = 100 KN 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAB VA NAF NAB VA NAF ΣFV = 0 ΣFH = 0 VA+NAB = 0 NAF = 0 100+NAB = 0 NAB = -100 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0 -50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0 -NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN NBF = 70,7 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0 NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0 NCD = - 50 KN Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0 -100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0 NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN 50 NBA NBC NBF NBF NBA NBF 50 NBC 100 NCF NCD NCD NCB NCF 100 NCB NFD NFE NFE NFA NFA NFC NFB NFB NFC NFD NFB NFD NDF NFD = 70,7 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NED+100 = 0 0-HE = 0 NED = -100 KN HE = 0 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0 -50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0 -50-50+100 = 0 50-50 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NBC -50 COMPRESSÃO NDC -50 COMPRESSÃO VE HE HE NEF VE NEF NED NED NDC 50 50 NDF NDF NDE NDE NDC NBF 70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO NCF -100 COMPRESSÃO 2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0 60+HB = 40 -HA.2+120 = 0 HB = 40-60 HA = 120÷2 HB = -20 KN HA = 60 KN 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0 20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0 NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57° NBC = 22,36 KN Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0 10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0 NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0 NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NEC = 0 -NEA+NED = 0 -(-40)+NED = 0 NED = -40 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) VB NBA NBC NBA NBC HB VB NBC HB NAB NAC NAE HA NAB NAC HA NAE NAC NEC NEA NEC NED NEA NED NCB 40 NCB NCB ΣFV = 0 ΣFH = 0 NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0 22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0 10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-20+20+40 = 0 NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0 NCD = 44,7 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0 -20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0 -20+20 = 0 -40+40 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB 10 TRAÇÃO NBC 22,36 TRAÇÃO NAC -22,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 44,7 TRAÇÃO NCD NCA NCA 40 NCE NCD NCA NCE NCD 20 NDE NDC NDC NDC NDE 20 3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barrasatravés do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.8 = 13+3 16 = 16 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0 VA = 6-3 VB = 48÷16 VA = 3 t VB = 3 t 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0 N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0 N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t N13 = -5 t Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N23 = 0 -N21+N24 = 0 -4+N24 = 0 N24 = 4 t Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N13 VA N12 VA N12 HA N13 HA N13 N23 N24 N21 N23 N21 N24 N32 N34 N34 N31 N35 N31 N35 2 N35 2 N31 N32 N34 -2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 -2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 -N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0 (-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4 N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87° N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” “1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5 “2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5 2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67 N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t N34 = -1,67 t Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0 N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87° N57 = -3,33 t + N54 N57 N53 N53 N57 2 2 N53 N54 N57 Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0 +(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0 -1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0 N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t N47 = 1,67 t Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO N13 = N87 -5 COMPRESSÃO N12 = N86 4 TRAÇÃO N24 = N64 4 TRAÇÃO N23 = N67 0 - N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO N54 2 TRAÇÃO N47 N46 N42 N45 N43 N43 N45 N47 N42 N43 N46 N47 4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.7 = 11+3 14 = 14 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0 HA = -HB HA = 24÷3 HB = -8 t HA = 8 t 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0 6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0 -N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57° N51 = 2 t N56 = 8,94 t VB N56 HB VB HB N56 N51 N51 N56 Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0 2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0 N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0 N16 = -2,83 t N12 = - 6 t Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0 -2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0 -2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0 N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57° N67 = 6,7 t Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0 1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0 N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0 N27 = -2,23 t N23 = -4 t N15 N16 HA HA N12 N15 N16 N16 N12 N62 N67 N61 N65 N67 2 2 N61 N62 N67 N65 N65 N61 N26 N27 N21 N21 N23 N26 N27 N27 N23 Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N37 = 0 -N32+N34 = 0 -(-4)+N34 = 0 N34 = -4 t Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0 -2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0 -2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0 N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0 N74 = 4,47 t Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 0 -2+4,47.sen26,57°= 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0 -2+2 = 0 +4-4 = 0 0 = 0 0 = 0 N37 N32 N32 N34 N37 N34 N73 N74 N72 N76 N74 2 2 N72 N73 N74 N76 N76 N72 N43 N47 2 2 N47 N47 N43 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO 5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0 VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4 VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN VA = 12,5 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAC HA HA NAE NAC NAC NAE ΣFV = 0 ΣFH = 0 VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0 12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0 NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN NAC = -15,63 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0 -10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0 -10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0 NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN NCE = 3,13 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0 3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0 NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0 NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) VA VA NCE NCA NCD 10 10 NCA NCE NCA NCD NCE NED NEB NEA NEC NEA NEC NEB NED NEC NED NDB NDE 20 20 NDE NDB NDC NDC NDB NDE ΣFV = 0 ΣFH = 0 -20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0 -20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0 -20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0 NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0 NDB = -21,88 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0 17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAC -15,63 COMPRESSÃO NAE 9,38 TRAÇÃO NCE 3,13 TRAÇÃO NCD -11,26 COMPRESSÃO NED -3,13 COMPRESSÃO NEB 13,14 TRAÇÃO NDB -21,88 COMPRESSÃO VB NBE NBD NBD NBD NBE VB 6º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0 HB = -HA HB = 360÷0,9 HA = - 400 KN HB = 400 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NBA = 0 HB+NBD = 0 400+NBD = 0 NBD = -400 KN Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0 225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0 NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN NAC = 375 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAB NAD HA HA NAC VA NAC NAD NAB NBA HB HB NBD NBA NBD VA NAD NDC NDE NDB NDA NDB NDA NDE NDA NDC ΣFV = 0 ΣFH = 0 NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0 375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0 NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0 NDE = -100 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0 -150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0 -150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0 NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0 NCE = 125 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0 -75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0 -75+75 = 0 -100+100 = 0 0 = 0 0 = 0 NCE NCD 150 15 NCD NCE NCA NCA NCE NED NEC 75 75 NEC NEC NED BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NBA 0 - NBD -400 COMPRESSÃO NAD 375 TRAÇÃO NAC 100 TRAÇÃO NDC -225 COMPRESSÃO NDE -100 COMPRESSÃO NCE 125 TRAÇÃO 7º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.8 = 13+3 16 = 16 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0 4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0 VE = 8-4 VA = 16a÷4a VE = 4 KN VA = 4 KN3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0 4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0 NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN NAB = -8 KN VA NAB NAF NAB NAB NAF VA Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0 NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0 NFG = 6,9 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9 (NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9 NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30° NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” “1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0 “2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0 2NBC = -8 NBG = -4 KN NBC = -8÷2 NBC = -4 KN 4 NFA NFA NFG NFB NFG 4 NFB NBF NBG NBG NBA NBC NBA NBC NBC NBA NBF NBG + Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0 -(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0 2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0 NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30° NCD = -4 KN Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0 -4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0 NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0 NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN NCG NCD NCB NCB NCD NCB NCG NCD NGD NGH NGF NGC NGB NGB NGC NGD NGF NGB NGH NGD Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB = NED -8 COMPRESSÃO NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO NFB = NHD 4 TRAÇÃO NBC = NDC -4 COMPRESSÃO NBG = NDG -4 COMPRESSÃO NCG 4 TRAÇÃO 8º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.10 = 17+3 20 = 20 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-400.2a-400.1a = 0 1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a VJ = 2000-1000 VF = 1000 N VJ = 1000 N 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 400 NAB 400 NAB ΣFV = 0 ΣFH = 0 -400-NAF = 0 NAB = 0 NAF = -400 N Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0 NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -848,5.cos45°+NFG = 0 NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N NFB = -848,5 N Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NGB = 0 -NGF+NGH = 0 -600+NGH = 0 NGH = 600 N Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0 NAF NAF NFA NFB NFG NFA NFB NFB NFG VF VF NGH NGF NGB NGB NGF NGH NBA NBH NBF NBC NBF NBC 400 NBG NBH NBF NBG NBH NBA 400 -400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-848,5).cos45°+282,8.cos45°=0 -400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0 NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N NBH = 282,8 N Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -400-NCH=0 -NCB+NCD = 0 NCH = -400 N -(-800)+NCD=0 NCD = -800 N Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (N) ESFORÇO NAB = NED 0 - NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO NFG = NJI 600 TRAÇÃO NGB = NID 0 - NGH = NIH 600 TRAÇÃO NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO NBC = NDC -800 COMPRESSÃO NCH -400 COMPRESSÃO NCB NCD NCB NCD 400 NCH NBG 400 9º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 8+4 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0 HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0 VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6 VE = 20,25 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais(H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NAC = 0 -9+NAB = 0 NAB = 9 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0 -NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0 NAC 9 NAB NAB NAC Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada. Os cálculos mostrarão essa teoria. 9 NBA NBC NBC NBD NBC NBD NBA -NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0 NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87° NBC = -11,25 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -9+NCB.cos36,87°+NCD = 0 0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-11,25).cos36,87°+NCD = 0 NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0 NCD = 18 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0 6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0 6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87° NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NCA NCB NCD NCA NCB NCB NCD NCE NCE 9 9 NDC NDE NDE NDB NDF NDE NDF NDC NDB NEC NED NEC NED NED HE HE ΣFV = 0 ΣFH = 0 VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0 20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-22,5).cos36,87° = 0 20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok 0 = 0 Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NFD-VF = 0 -HF = 0 20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB 9 TRAÇÃO NAC 0 - NCE -6,75 COMPRESSÃO NCD 18 TRAÇÃO NBD 6,75 TRAÇÃO NBC -11,25 COMPRESSÃO NDF 20,25 TRAÇÃO NDE -22,5 COMPRESSÃO VE VE HE confirmada NFD NFD HF VF VF HF confirmada HF 10º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 9+3 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0 HF = -HC HF = 720÷4,5 HC = -160 KN HF = 160 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NDA-100 = 0 NDE = 0 NDA = 100 KN 100 NDA NDE NDE 100 NDA Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0 NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0 (NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62° NAB-NAE = 100÷sen22,62° NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” “1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0 “2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0 2NAB = 260 NAE = -130 KN NAB = 260÷2 NAB = 130 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA.cos22,62° = 0 NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-130).cos22,62° = 0 NEB = 50 KN NEF = -120 KN NAB NAE NAB NAB NAE NAD NAD NAE + NEB NEA NEF NEA NEB NEF NED NED NEA Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB.cos39,81° = 0 NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-NFB.cos39,81° = 0 NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81° NFB = -52 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 +NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0 173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-52).cos39,81°=0 66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0 0=0 NBC = 160÷cos22,62° NBC = 173 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV= 0 ΣFH = 0 VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0 100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0 100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0 0=0 0 = 0 NFC NFB HF NFB NFC HF NFE NFB NFE NBF NBA NBC NBC NBC NBE NBF NBA NBE NBF NBA NCB HC HC VC NCF NCB NCF NCB VC BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NDA 100 TRAÇÃO NDE 0 - NAE -130 COMPRESSÃO NAB 130 TRAÇÃO NEB 50 TRAÇÃO NEF -120 COMPRESSÃO NFC 33,3 TRAÇÃO NFB -52 COMPRESSÃO NBC 173 TRAÇÃO 11º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.10 = 17+3 20 = 20 OK 2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0 VA+13,5 = 30 VB = 135÷10 VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN VA = 16,5 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “1”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N12 N13 N12 N12 N13 HA HA ΣFV = 0 ΣFH = 0 VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0 16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-23).cos45° = 0 N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN N12 = -23 KN Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N32 = 0 -N31+N32.cos71,57°+N34 = 0 -16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0 N34 = 16,3 kN Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N42 = 0 -N43+N42.cos71,57°+N45 = 0 -16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0 N45 = 16,3 kN Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0 VA VA N32 N34 N32 N32 N34 N31 N31 N42 N45 N42 N32 N34 N43 N31 N25 N21 N26 N26 15 N23 N25 N21 N23 N24 N21 15 N24 N25 N24 N23 -15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-0+N26+2,29.cos45°+0=0 N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0 N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 -15-N65 = 0 -N62+N67 = 0 N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0 N67 = -17,88 KN Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-N54+N57.cos45°+N58 = 0 2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-16,3+18,9.cos45°+N58 = 0 N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0 N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN N57 = 18,9 KN Nó “8” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 15 N67 15 N67 N65 N65 N62 N62 N57 N58 N54 N56 N52 N52 N56 N57 N54 N52 N58 N57 N87 N89 N87 N87 N89 N85 N85 ΣFV = 0 ΣFH = 0 N87 = 0 -N85+N87.cos71,57°+N89 = 0 -4,5+0.cos.71,57°+N89 = 0 N89 = 4,5 KN Nó “9” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0 N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-4,5+N910 = 0 N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0 N97 = -14,23 KN Nó “10” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ΣFV = 0 ΣFH = 0 N107 = 0 -N107-N109 = 0 -0-N109 = 0 N109 = 0 Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N97 N910 N97 N910 N98 N97 VB VB N98 N107 N107 N109 N109 N107 ΣFV = 0 ΣFH = 0 -N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0 -18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-14,23).cos71,57°+0=0 -13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO N12 -23 COMPRESSÃO N13 16,3 TRAÇÃO N34 16,3 TRAÇÃO N42 0 - N32 0 - N45 16,3 TRAÇÃO N52 2,29 TRAÇÃO N26 -17,88 COMPRESSÃO N67 -17,88 COMPRESSÃO N65 -15 COMPRESSÃO N58 4,5 TRAÇÃO N57 18,9 TRAÇÃO N87 0 - N89 4,5 TRAÇÃO N97 -14,23 COMPRESSÃO N910 0 - N107 0 - N710 N76 N78 N710 N75 N78 N79 N75 N79 N710 N79 N78 N75 N76 Bibliografia INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007 Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005
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