UFF Listas Cálculo III -A- 2007.1

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Listas 2007.1/lista_10-calcIIIA.pdf
Lista 10 de Ca´lculo III – A – 2007-1 24
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 10 - 2007-1
Teorema de Stokes
Nos exerc´ıcios 1. a 3. use o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha e´ igual ao valor dado,
indicando, em cada caso, a orientac¸a˜o da curva C.
1.
∮
C
y dx + z dy + x dz = −2pi
√
2, onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do plano x + y = 2 com a esfera
x2 + y2 + z2 = 2(x + y).
2.
∮
C
(8x− 2y) dx + y dy + 3z dz = 4
√
3, onde C e´ a fronteira do triaˆngulo equila´tero situado no plano de ve´rtices
P = (2, 2, 0), Q = (2, 6, 0) e R = (2 +
√
3, 4, 3).
3.
∮
C
2xy dx+
[
(1− y)z + x2 + x] dy +
(
x2
2
+ ez
)
dz = pi, onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cilindro
x2 + y2 = 1, z ≥ 0, com o cone z2 = x2 + (y − 1)2.
Use o Teorema de Stokes na resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios 4. a 10.
4. Seja C uma curva simples plana fechada, no espac¸o, que limita uma regia˜o de a´rea A. Seja ~n = a~ı + b~ + c~k um
vetor unita´rio normal ao plano de C. Calcule I =
1
2
∮
C+
(bz − cy)dx + (cx− az)dy + (ay − bx)dz.
5. Seja C a curva sobre o cilindro x2 + y2 = 1 que comec¸a
no ponto (1,0,0) e termina no ponto (1,0,1), como mostra
a Fig. 1. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) e´ dado por
~F (x, y, z) = y(x− 2)~ı + x2y~ + z~k.
6. Considere a lata cil´ındrica L de raio 1 com um bordo dife-
rencia´vel e uma orientac¸a˜o como mostra a Fig. 2. Seja
~F (x, y, z) = −2y3~ı + 2x3~ + 3z2~k. Qual e´ o valor de∫
∂L
~F · d~r?
x
y
C
z
Fig. 1
x
y
Cz
Fig. 2
7. Seja ~F o campo vetorial no IR3 dado por ~F (x, y, z) = (y − z)~ı + yz~− xz~k. Calcule
∮
∂S
~F · d~r, sabendo-se que
S consiste das cinco faces do cubo [0, 2]× [0, 2]× [0, 2] que na˜o esta˜o no plano xy, com ~n apontando para fora
de S.
8. Calcule
∫∫
S
rot ~F · ~n dS, onde ~F (x, y, z) = (y, 2x, xyz) e S e´ a superf´ıcie lateral da piraˆmide de ve´rtices (0, 0, 0),
(0, 3, 0), (1, 3, 0) e (1, 3, 3) com vetor ~n exterior a S.
9. Seja ~F =
(
ex sen y +
x
x2 + y2
, ex cos y +
y
x2 + y2
, z2
)
. Mostre que e´ nula a integral do campo ~F ao longo de
qualquer curva fechada C de classe C1 por partes que na˜o corte o envolve z.
10. Seja C a circunfereˆncia de raio a, no plano 2x + 2y + z = 4, centrada no ponto (1, 2,−2). Se ~F (x, y, z) =
(y − x, z − x, x− y), determine o valor de a para que
∮
C+
~F · d~r = −8pi
3
.
RESPOSTAS DA LISTA 10
4. A 5. 2pi +
1
2
6. 3pi 7. −4 8. 3
2
10. a = 1
Listas 2007.1/lista_11-calcIIIA.pdf
Lista 11 de Ca´lculo III – A – 2007-1 25
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 11 - 2007-1
Teorema de Gauss
Use o Teorema de Gauss na resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios 1. a 10.
1. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) =
(
x3
3
+ y,
y3
3
,
z3
3
+ 2
)
atrave´s da superf´ıcie S do so´lido W defi-
nido por W =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≥ 1, x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4 e z ≥
√
x2 + y2
}
, com campo
de vetores normais a S apontando para fora de W .
2. Calcule
∫∫
S
~F · ~ndS, onde ~F (x, y, z) =
(
2x + xy,−zy, z
2
2
− yz
)
, S e´ a superf´ıcie cil´ındrica fechada
limitada pelos planos z = 0 e z = 1, cuja base no plano xy e´ limitada pelas curvas de equac¸o˜es
x2 + (y− 1)2 = 4, y ≥ 1; x2 + (y + 1)2 = 4, y ≤ −1; (x− 2)2 + y2 = 1, x ≥ 2; (x + 2)2 + y2 = 1, x ≤ −2,
e ~n e´ a normal exterior a S.
3. Encontre o fluxo do campo ~F (x, y, z) =
(
ey + cos yz,−2zy + senxz, z2 + 3√
2
)
atrave´s da superf´ıcie
S, orientada positivamente, unia˜o das superf´ıcies S1 e S2, onde S1 e´ definida por z = 4 − 2x2 − y2,
0 ≤ z ≤ 2, e S2 e´ definida por z = 1 + x2 + y
2
2
, 1 ≤ z ≤ 2.
4. Seja S a parte da superf´ıcie x2 + y2 = 4 delimitada pelos planos z = 0 e z + y = 2, e seja ~F (x, y, z) =
(x + y2)~ı + (y− xy)~ + (z + x5y10)~k. Fixe uma orientac¸a˜o sobre S e calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
5. Seja a superf´ıcie coˆnica S de ve´rtice (0, 0, h) e de base situada no plano xy com raio 1 e ~n com a
componente ~k na˜o negativa. Seja ~F (x, y, z) =
∂f
∂y
(x, y, z)~ı − ∂f
∂x
(x, y, z)~+2(z +1)~k, sendo f de classe
C2. Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
6. Considere a superf´ıcie fechada S obtida girand-se o segmento de reta que liga os pontos (1, 0, 1) e
(0, 0, 3) em torno do eixo z. Calcule
∫∫
S
(rot ~F ) · ~n dS, onde ~n e´ o campo de vetores normais a S e ~F
e´ o campo vetorial em R3 definido por ~F (x, y, z) =
(
−y
3
3
+ zex,
x3
3
− cos yz, xy
)
.
7. Calcule o fluxo de ~F (x, y, z) =
(
x2 + y2 + z2
)
−1
(x, y, z) atrave´s da superf´ıcie do so´lido W limitado
pelas esferas x2 + y2 + z2 = a2 e x2 + y2 + z2 = b2, a < b, orientadas com sentidos opostos (~n para
fora do so´lido W ).
8. Sejam f, g : IR3 → IR de classe C2. Seja B um compacto e seja S a fronteira de B, com normal
unita´ria exterior ~n. Lembrando que
∂g
∂~n
e´ a derivada direcional de g na direc¸a˜o de ~n, prove:
(a)
∫∫
S
∂g
∂~n
dS =
∫∫∫
B
∇2g dxdydz
(b)
∫∫
S
f
∂g
∂~n
dS =
∫∫∫
B
(f∇2g +∇f · ∇g) dxdydz
(c)
∫∫
S
f
∂f
∂~n
dS =
∫∫∫
B
(f∇2f + ‖∇f‖2) dxdydz
Lista 11 de Ca´lculo III – A – 2007-1 26
9. Sejam ~F (x, y, z) = (x, y, z) um campo vetorial em IR3 e W a piraˆmide de ve´rtices O,A,B,C, onde
O = (0, 0, 0), A = (0, 1, 0), B = (0, 0, 1) e C = (c, 1, 0) (c > 0). Calcule o valor de c sabendo que∫∫
SW
~F · ~n dS +
∫∫
SABC
~F · ~n dS = 1
onde SW e´ a superf´ıcie da piraˆmide W, SABC e´ a face de ve´rtices A,B,C, e ~n e´ o campo de vetores
normais apontando para fora da piraˆmide.
10. Seja W uma regia˜o fechada e limitada de IR3, cuja fronteira, ∂W , e´ a unia˜o de duas superf´ıcies S1 e S2,
orientadas com vetor normal exterior a W . Considere o vetor normal a S1 com terceira componente
positiva. Qual o valor de
∫∫
S2
~F ·~ndS, onde ~F (x, y, z) = (ey2+z2, y +2√5,−2y) sabendo que S1 e´ uma
porc¸a˜o do plano 2y + z = 1 com 5 unidades de a´rea e que W possui 30 unidades de volume.
Use o Teorema de Gauss no plano na resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios 11. e 12.
11. Sejam ~F (x, y) =
(
2x− xy2, y
3
3
)
e C : ~γ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ pi
2
.
Calcule
∫
C
~F · ~nds, onde ~n e´ a normal a` curva com componente y ≥ 0.
12. Seja ~F (x, y) = x10~ı + (3x− 10x9y)~. Calcule
∫
C
~F · ~nds, onde C e´ a curva do exerc´ıcio anterior com o
mesmo ~n.
RESPOSTAS DA LISTA 11
1.
pi
15
(
890 + 3
√
2
)
2. 10pi + 16
3. 6pi
4. 16pi. Orientac¸a˜o de ~n no sentido de afastamento da origem.
5.
2pi
3
(h + 3)
6.
pi
2
7. 4pi(b− a)
8. Como g e´ de classe C2, temos que g e´ diferencia´vel e ∂g
∂~n
= ∇g · ~n. Agora basta aplicar o teorema de
Gauss e propriedades com o operador nabla.
9. c = 1
10. 10
11. pi
12.
3
2
Listas 2007.1/lista_12-calcIIIA.pdf
Lista 12 de Ca´lculo III – A – 2007-1 27
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 12 - 2007-1
Integral de superf´ıcie: miscelaˆnea
1. Calcule a a´rea da parte do cone z2 = x2 + y2 que se encontra dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 2x, fora do
cilindro x2 + y2 ≤ 1, e acima do plano xy.
2. O cilindro x2 + y2 = 1 e´ cortado por um plano ax + by + z = 2. Determine a relac¸a˜o entre a e b para
que a regia˜o do plano delimitada pelo cilindro tenha a´rea pi
√
5.
3. Seja a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida girando-se o c´ırculo (y − 1)2 + z2 = 1 em torno do eixo z:
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o de S;
(b) Calcule a a´rea de S;
(c) Calcule
∫∫
S
(1 + x2y2z)dS.
4. Calcule
∫∫
S
~F · ~ndS, com ~n apontando para fora de S, sendo ~F (x, y, z) = x~ı + y~ + (2z − x− y)~k e
S e´ a calha dada por y − z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 e y + z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
5. Seja S a parte da superf´ıcie x2 + y2 = 4 delimitada
pelos planos z = 0, z + y = 2 e seja ~F (x, y, z) =
x~ı + y~ + (1 + xy2 + z2)~k. Fixe uma orientac¸a˜o sobre S e calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
6. Calcule
∮
C
(1+y)z dx+(1+z)x dy+(1+x)y dz ao longo do triaˆngulo C com ve´rtices P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0)
e P3(0, 0, 1) e orientado de P1 a P2.
7. Calcule
∫∫
S
rot ~F ·~n dS, sendo ~F (x, y, z) = −y2~ı +x2~+ z2~k, S : x2 + y
2
4
+ z2 = 2, z ≥ 1 e ~n a normal
que aponta para cima.
8. Seja C a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies cujas equac¸o˜es sa˜o x2 + y2 + z2 = 4 e y + z = 2.
Fixe uma orientac¸a˜o sobre C e calcule
∫
C
~F · d~r, sabendo que ~F (x, y, z) = z~ı + x~ + z~k.
9. Seja B um compacto e seja S a fronteira de B, com normal exterior ~n. Se ~r = x~ı+ y~+ z~k e r = ‖~r ‖,
prove que
∫∫∫
B
r dV =
1
12
∫∫
S
∇r3 · ~ndS.
10. Fixe uma orientac¸a˜o sobre C e determine a relac¸a˜o entre a e b para que
∫
C
~F · d~r = pi, onde ~F (x, y, z) =
z~ı + 2x~− 2y~k e C e´ a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies (y − 1)2 + z2 = 1 e ax + by + z = 2,
a 6= 0 e b > 2.
11. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) =
(
x3
3
+ y,
y3
3
,
z3
3
+ 2
)
atrave´s da superf´ıcie S do so´lido W
definido por W = {(x, y, z) ∈ IR3;x2 +y2 + z2 ≥ 1, x2 +y2 +(z−2)2 ≤ 4 e z ≥
√
x2 + y2}, com campo
de vetores normais a S apontando para fora de W .
12. Calcule
∮
C
~F · d~r, sendo ~F um campo em R3 dado por ~F (x, y, z) = (−y, x, f(x, y, z)), onde f de classe
C1, tal que ∇f ·~ı = −3 em R3 e C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie x2 + y2 = 1 com plano z − y = 2, com
uma orientac¸a˜o tal que quando projetada no plano z = 0 produz um percurso no sentido hora´rio.
Lista 12 de Ca´lculo III – A – 2007-1 28
13. Demonstre que a a´rea da esfera x2 + y2 + z2 = a2, dentro do parabolo´ide
x2
b
+
y2
b
= 2(z + a) e´ 4piab,
sempre que 0 < b ≤ a.
14. Seja S a superf´ıcie de equac¸a˜o 2z = x2 + y2, onde 0 ≤ z ≤ k e k > 0:
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o para S;
(b) Sabendo-se que a a´rea de S vale
14pi
3
, determine o valor de k;
(c) Calcule
∫∫
S
(2 + xy − yz)dS.
15. Seja ~F um campo vetorial de classe C1 no aberto U = R3 − {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} e tal que div ~F = 0 em
U . Sejam S1 e S2 superf´ıcies esfe´ricas de centro (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a
1
4
, com normais exteriores ~n1 e ~n2. Seja S3 uma superf´ıcie esfe´rica, centrada na origem e raio 5, com
normal exterior ~n3. Calcule
∫∫
S3
~F · ~n3 dS, sabendo-se que
∫∫
S1
~F · ~n1 dS = 3pi e
∫∫
S2
~F · ~n2 dS = 2pi.
16. Calcule
∫∫
S
~F ·~n dS, sendo S a fronteira de B = {(x, y, z) ∈ IR3;x2 +y2 ≤ 1, x2 +y2 ≤ z ≤ 5−x2−y2},
com normal exterior ~n e ~F (x, y, z) = 3xy~ı− 3
2
y2~ + z~k.
17. Suponha que a superf´ıcie esfe´rica de raio 1 tem uma densidade por unidade de a´rea igual ao quadrado
da distaˆncia do ponto ao eixo z. Determine a massa total da superf´ıcie esfe´rica.
18. Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + (z − 2)2 = 4, onde 0 ≤ z ≤ 2. Sobre S fixe a
orientac¸a˜o ~n tal que ~n(0, 0, 0) = −~k e considere o campo vetorial ~F (x, y, z) = (y + z2)~ı + (xz2 − y)~ +
(2z + xy2 + x2y3)~k. Calcule o fluxo de ~F atrave´s da superf´ıcie orientada S.
RESPOSTAS DA LISTA 12
1.
√
2
6
(
2pi + 3
√
3
) 2. a2 + b2 = 4
3. (a) ϕ(t, θ) = ((1 + cos t) cos θ, (1 + cos t) sen θ, sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi
(b) 4pi2
(c) 4pi2
4. 0
5. 16pi, ~n =
(x, y, 0)
2
6.
3
2
7. 0
8. 2
√
2pi quando a projec¸a˜o de C no plano xy e´ percorrida no sentido anti-hora´rio.
10. b + 2 = 3a se a componente de ~ı for positiva, b + 2 = a caso contra´rio
11.
pi
15
(
890 + 3
√
2
)
12. pi
14. (a) ϕ(x, y) =
(
x, y,
x2 + y2
2
)
, x2 + y2 ≤ 2k
(b) k =
3
2
(c)
28pi
3
15. 5pi
16. 4pi
17.
8pi
3
18. −32pi
3
Listas 2007.1/lista_1-calcIIIA.pdf
Lista 1 de Ca´lculo III – A – 2007-1 1
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 1 - 2007-1
Integral dupla em retangulares.
Integral dupla em polares.
Aplicac¸o˜es geome´tricas.
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 4.
1.
∫ ∫
R
xexydxdy, onde R = [0, 2] × [0, 1]
2.
∫ pi/2
−pi/2
∫
3 cos θ
0
r2 sen2(θ)drdθ
3.
∫
2
1
∫ x2
0
ey/xdy dx
4.
∫∫
R
y2
x2 + 1
dy dx,
onde R =
{
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
}
Nos exerc´ıcios 5. e 6. para a regia˜o R dada decomponha
∫∫
R
f(x, y) nas duas poss´ıveis ordens de
integrac¸a˜o.
5. R e´ a regia˜o limitada pelas curvas x2 − y2 = 1 e 3x = 2y2.
6. R e´ a regia˜o que na˜o conteˆm a origem e e´ limitada pelas curvas y2 − x2 = 1 e x2 + y2 = 9.
Nos exerc´ıcios 7. e 8. inverta a ordem de integrac¸a˜o.
7.
∫
1
0
∫ y+2
y2
f(x, y) dx dy 8.
∫
1
0
∫
1−y
−
√
1−y2
f(x, y) dx dy
Nos exerc´ıcios 9. a 11. calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es dadas.
9. 3x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 10. x2 + y2 = b2, y + z = a e z = 0, onde a ≥ b > 0.
11. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 e z = 1− y2.
12. Use integral dupla para calcular a a´rea das regio˜es delimitadas pela curvas x = 4− y2, x + y + 2 = 0..
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 13. e 14. pela inversa˜o da ordem de integrac¸a˜o.
13.
∫
1
0
∫
1
y
e−3x
2
dx dy 14.
∫
4
0
∫
2
√
x
sen y3 dy dx 15.
∫
1
0
∫
1
√
x
√
1 + y3 dy dx
Use coordenadas polares para calcular as integrais dos exerc´ıcios 16. a 20.
16.
∫∫
R
ex
2+y2 dx dy, R =
{
(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 16 e − x ≤ y ≤ x
}
17.
∫∫
R
dx dy
2− x2 − y2 , R =
{
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1
}
18.
∫ a
0
∫ a
y
√
a2 − x2 dx dy
19.
∫
4
−4
∫ √
16−x2
−
√
16−x2
e−x
2−y2 dy dx
20.
∫
3
1
∫ y
0
1√
x2 + y2
dx dy
Lista 1 de Ca´lculo III – A – 2007-1 2
21. Calcule
∫ ∫
D
√
x2 + y2 dx dy, sendo o semic´ırculo D = (x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0
22. Calcule o volume do so´lido que na˜o conte´m a origem e e´ limitado pelo gra´fico de z = 4 − r2, pelo
cilindro r = 1 e pelo plano z = 0.
23. Calcule o volume do so´lido interior a` esfera z2 + r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ.
24. Calcule a a´rea da regia˜o R =
{
(x, y) ∈ R2; x2 + (y − 1)2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 1
}
25. Calcule o volume da regia˜o do espac¸o no primeiro octante, compreededida entre os cilindros x2+y2 = a2
e x2 + z2 = a2, a constante positiva.
26. Calcule o volume do elipso´ide x2 + y2 + 4z2 ≤ 4.
27. Calcule a a´rea da regia˜o R =
{
(x, y) ∈ R2; 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 1
}
.
RESPOSTAS DA LISTA 1
1. e2 − 3 2. 12
5
3. e2 − 3
2
4.
pi
12
− 1
6
+
1
6
ln 2
5.
∫
1
0
∫ √
3x/2
−
√
3x/2
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫ √
3x/2
√
x2−1
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫ −√x2−1
−
√
3x/2
f(x, y) dy dx =
=
∫ √
3
−
√
3
∫ √y2+1
2y2/3
f(x, y) dx dy
6.
∫
2
−2
∫ −√x2+1
−
√
9−x2
f(x, y) dy dx +
∫
2
−2
∫ √
9−x2
√
x2+1
f(x, y) dy dx =
∫ −√5
−3
∫ √
9−y2
−
√
9−y2
f(x, y) dx dy +
∫ −1
−
√
5
∫ √y2−1
−
√
y2−1
f(x, y) dx dy +
∫ √
5
1
∫ √y2−1
−
√
y2−1
f(x, y) dx dy +
∫
3
√
5
∫ √
9−y2
−
√
9−y2
f(x, y) dx dy
7.
∫
1
0
∫ √x
0
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫
1
0
f(x, y) dy dx +
∫
3
2
∫
1
x−2
f(x, y) dy dx
8.
∫
0
−1
∫ √
1−x2
0
f(x, y) dy dx +
∫
1
0
∫
1−x
0
f(x, y) dy dx
9. 6
10. piab2 − 3
11.
5
12
12.
56
3
13.
e3 − 1
6e3
14.
1− cos(8)
3
15.
2
9
(2
√
2− 1)
16.
pi
4
(e16− 1)
17. pi ln 2
18.
a3
3
19. pi
(
1− e−16
)
20. 2 ln(
√
2 + 1)
21.
16
9
22.
9pi
2
23.
128
3
(
pi − 4
3
)
24.
pi
3
+
√
3
2
25.
2a3
3
Lista 1 de Ca´lculo III – A – 2007-1 3
26.
16pi
3
27.
5pi
6
+ 1−
√
3
Listas 2007.1/lista_2-calcIIIA.pdf
Lista 2 de Ca´lculo III – A – 2007-1 4
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 2 - 2007-1
Mudanc¸a de varia´veis diversas na integral dupla.
Aplicac¸o˜es a` F´ısica.
1. Calcule as integrais abaixo, usando uma conveniente mudanc¸a de coordenadas:
(a)
∫ ∫
D
(x + y)7
y − x dy dx, sendo D a regia˜o limitada pelas retas y+x = 3, y+x = 4, y−1 = 1 e y+2x = 1.
(b)
∫ ∫
D
y + 2x
y − 2x− 1 dy dx, onde D e´ a regia˜o limitada pelas retas y − 2x = 2, y + 2x = 2, y − 2x =
1 e y + 2x = 1.
2. Sejam D = (x, y); 1 + x2 ≤ y ≤ 2 + x2, x ≥ 0 e y ≥ x + x2 e E = (u, v); 1 ≤ v ≤ 2, v ≥ u e u ≥ 0.
(a) Verifique que E = ϕ(D), onde (u, v) = ϕ(x, y), com u = x e v = y − x2
(b) Verifique que a a´rea de D e´ igual a a´rea de E.
3. Considere a transformac¸a˜o do plano uv no plano xy definida por T (u, v) = (x, y) =
(
u + v, u2 − v
)
.
Seja Ruv a regia˜o do plano uv limitada pelos eixos u e v e pela reta u + v = 2. Seja Rxy = T (Ruv), a
imagem de Ruv por T .
(a) Esboce Rxy (b) Calcule
∫∫
Rxy
dx dy√
1 + 4x + 4y
dx dy
4. Se A e´ a a´rea da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 prove que A = piab.
5. Se V e´ o volume do elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 prove que V =
4
3
piabc.
6. Encontre a massa da laˆmina na forma da regia˜o limitada pela para´bola x2 = 8y pela reta y = 2 e pelo
eixo y, sabendo que a densidade de massa varia proporcionalmente com a distaˆncia a` reta y = −1.
7. Calcule o centro de massa da laˆmina L =
{
(x, y) ∈ R2; 4x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0
}
se a densidade e´ propor-
cional a` distaˆncia de (x, y) ao eixo x.
Algumas observac¸o˜es sobre definic¸o˜es e nomenclaturas da F´ısica:
Obs.1 Diz-se que a laˆmina delgada e´ homogeˆnea quando a densidade de massa ρ e´ constante.
Obs.2 Centro´ide e´ o centro de massa da laˆmina delgada homogeˆnea.
Obs.3 Sabe-se que o momento de ine´rcia I de uma part´ıcula de massa m em relac¸a˜o a um eixo E ou a um ponto P e´
dado pela fo´rmula I = mr2, sendo r a distaˆncia da part´ıcula ao eixo E ou ao ponto P . Usando Soma de Riemann,
e´ poss´ıvel provar que para uma laˆmina delgada L que tem densidade de massa cont´ınua, o momento de ine´rcia I
de L em relac¸a˜o aos eixos coordenados e a origem O sa˜o calculados pelas fo´rmulas, em relac¸a˜o:
ao eixo x, Ix =
ZZ
L
y
2
ρ(x, y) dxdy; ao eixo y, Iy =
ZZ
L
x
2
ρ(x, y) dxdy; a` origem O, IO = Ix + Iy.
8. Ache o centro´ide da semi-circunfereˆncia de raio a.
9. Ache os momentos de ine´rcia Ix, Iy e I0 para uma laˆmina ocupando a regia˜o R : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2−x,
se a func¸a˜o de densidade de masssa e´ dada por ρ(x, y) = x + 2y gramas por cent´ımetro quadrado.
10. Calcule as coordenadas (x, y) do centro de massa de uma chapa homegeˆnea D com o formato de um
triaˆngulo de ve´rtices (0, 5), (0,−5) e (5, 0).
11. Uma placa fina e´ limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = a2 e tem densidade δ(x, y) =
a2
a2 + x2 + y2
.
Calcule o momento de ine´rcia polar em func¸a˜o de sua masa m.
Lista 2 de Ca´lculo III – A – 2007-1 5
RESPOSTAS DA LISTA 2 (com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. (a)(48 − 38) ln 3
16
(b)
1
4
2. (a)
y
x
–2
0
2
4
1 2
(b) 2
3. Fac¸a a mudanc¸a de varia´veis u = ax e v = by e use coordenadas polares.
4. Idem anterior.
5.
176
15
6.
(
0,
3pi
32
)
7. A semi-circunfereˆncia de raio a e base 2a tem o centro´ide situado no raio perpendicular a` base a uma
distaˆncia
4a
3pi
dessa base.
8. Ix =
56
15
; Iy =
8
3
; IO =
32
5
9.
(
5
3
, 0
)
10. ma2
(
1− ln 2
ln 2
)
Listas 2007.1/lista_3-calcIIIA.pdf
Lista 3 de Ca´lculo III – A – 2007-1 6
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 3 - 2007-1
Integral dupla: miscelaˆnea.
1. Inverta a ordem de integrac¸a˜o:
∫
4
0
∫
5+
√
25−y2
√
80−y2
f(x, y) dx dy
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 2. a 6.
2.
∫
1
0
∫
1
0
|x− y| dx dy
3.
∫∫
R
e
x√
y
y2
dx dy, onde R e´ o retaˆngulo de ve´rtices (0, 1); (1, 1); (1, 1/4); (0, 1/4).
4.
∫
2
0
∫
8
x3
x2 cos y2 dy dx
5.
∫∫
R
e−x
2
−y2 dx dy, R =
{
(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
6.
∫∫
R
(y+x)
√
y − 2x dxdy, R e´ o paralelogramo limitado por y = 2x, y = 2x+2, y = 1−x, y = 2−x.
7. Exprima
∫ pi/4
0
∫
2 cos θ
sec θ
r2
1 + r sen θ
dr dθ como uma integral iterada em coordenadas retangulares.
8. Se R = {(x, y); |x|+ |y| ≤ 1}, obtenha a mudanc¸a de varia´veis que torna va´lida a igualdade:
∫∫
R
f(x− y) dx dy =
∫
1
−1
f(t) dt
9. Calcule o volume do so´lido contido no primeiro octante, limitado pelo cone z = r e pelo cilindro
r = 3 sen θ.
10. Calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es z = −1, z = x2+y2, y = x2, y = 1.
11. Calcule o volume do so´lido abaixo do plano z = 4x e acima do disco
{
(x, y, z); z = 0, x2 + y2 ≤ 16}.
12. Determine a a´rea da regia˜o delimitada pela lemniscata
(
x2
4
+
y2
9
)2
=
x2
4
− y
2
9
.
13. Encontre o centro de massa da laˆmina que tem o formato das regio˜es limitadas pelas curvas de equac¸o˜es
|x| = y2 e 2|x| = y2 + 4 e tem densidade proporcional a` distaˆncia de (x, y) a` reta x = 4.
14. Encontre o centro´ide da laˆmina L =
{
(x, y) ∈ R2; 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 1}.
RESPOSTAS DA LISTA 3
1.
∫ 4√5
8
∫ √10x−x2
√
80−x2
f(x, y) dy dx +
∫ 10
4
√
5
∫ √10x−x2
0
f(x, y) dy dx
2.
1
3
3. 2
(
e2 − e− 1) 4. sen (64)
6
5. pi
(
e−1 − e−4) 6. 2
√
2
3
7.
∫ 2
1
∫ √2x−x2
0
√
x2 + y2
1 + y
dy dx ou
∫ 1
0
∫ 1+√1−y2
1
√
x2 + y2
1 + y
dx dy
8. T (x, y) = (s, t) = (x + y, x− y)
9. 6 10.
76
35
11.
512
3
12. 6 13.
(
−4
5
, 0
)
14.
12
√
3− 2
5pi + 6− 6√3
Listas 2007.1/lista_4-calcIIIA.pdf
Lista 4 de Ca´lculo III – A – 2007-1 7
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 4 - 2007-1
Integral tripla.
1. Calcule
∫∫∫
U
z dx dy dz, onde U e´ o tetraedro de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 0, 1).
Nos exerc´ıcios 2. e 3. cada integral iterada representa uma integral tripla numa regia˜o R. Descreva
R e calcule as integrais.
2.
∫ 2
1
∫ y2
y
∫ lnx
0
yez dz dx dy 3.
∫ 1
0
∫ 1+x
2x
∫ x+z
z
x dy dz dx
Use coordenadas cil´ındricas para calcular as integrais dos exerc´ıcios 4. e 5.
4.
∫∫∫
S
√
x2 + y2 dV , onde S =
{
(x, y, z); x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
}
5.
∫
1
0
∫ √
1−x2
0
∫ √
1−x2−y2
0
z
√
x2 + y2 dz dy dx
Use coordenadas esfe´ricas para calcular as integrais dos exerc´ıcios 6. e 7.
6.
∫
1
−1
∫ √
1−z2
−
√
1−z2
∫ √
1−y2−z2
−
√
1−y2−z2
√
x2 + y2 + z2 dx dy dz
7.
∫ 2
0
∫ √4−x2
0
∫ √4−x2−y2
0
(
x2 + y2 + z2
)
dz dy dx
8. Calcule
∫∫∫
S
z
√
x2 + y2 dx dy dz , S =
{
(x, y, z); (x− 1)2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4
}
.
9. Exprima a integral
∫ pi/2
0
∫ 2
0
∫ 4
−r2
zr3
4 + r sen θ
dz dr dθ como integral iterada em coordenadas retangu-
lares.
10. Exprima a integral
∫ pi
0
∫ pi
3pi/4
∫ 1
0
ρ5 cos θ sen2ϕ dρ dϕdθ como integral iterada em coordenadas retan-
gulares.
11. Exprima a integral
∫ pi
0
∫ 5
0
∫ √25−r2
0
r2 sen θ dz dr dθ como integral iterada em coordenadas esfe´ricas.
12. Calcule, usando coordenadas esfe´ricas,
∫∫∫
S
√
x2 + y2 + z2 dV , onde S e´ o so´lido acima do cone
z = −
√
3x2 + 3y2 e interior a` esfera x2 + y2 + z2 = 4.
13. Calcule a integral de f(x, y, z) = z sobre a regia˜o limitada pelo cone z =
√
2x2 + 2y2 e pelo semi-
hiperbolo´ide z =
√
x2 + y2 + 1.
14. Calcule
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
1
z
1 +
√
x2 + y2
dz dy dx.
15. Calcule
∫
2
1
∫ x
0
∫ x2+y2
0
z
(x2 + y2)2
dz dy dx.
Lista 4 de Ca´lculo III – A – 2007-1 8
16. Calcule
∫∫∫
S
cos
√
(x2 + y2 + z2)3 dV , S =
{
(x, y, z), 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 36
}
.
17. Calcule
∫∫∫
S
sen z dV , S =
{
(x, y, z); 0 ≤ z ≤ 4x2 + 4y2, 0 ≤ x ≤ y ≤
√
1− x2, x ≤
√
2/2
}
.
Nos exerc´ıcios 18. e 19. exprima a integral dada em coordenadas cil´ındricas e em coordenadas
esfe´ricas.
18.
∫∫∫
S
√
81− x2 − y2 − z2 dx dy dz, S e´ o so´lido interior ao cilindro x2 + y2 = 4, entre z = 0 e
z = 6−
√
x2 + y2.
19.
∫∫∫
S
3
√
x2 + y2 − 1 dx dy dz, S =
{
(x, y, z); z ≤
√
(x2 + y2) /3, x2 + y2 + z2 ≤ 12
}
.
20. Sejam 0 < k < R constantes. Calcule o volume da porc¸a˜o da esfera
{
(x, y, z); k ≤ z ≤
√
R2 − x2 − y2
}
.
21. Use a mudanc¸a de varia´veis x = au, y = bv, z = cw, a, b, c constantes positivas, para provar que o
volume do elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 e´ igual a 4
3
piabc.
22. Sejam T a transformac¸a˜o linear T (u, v, w) = (2u + v − 2w, u + 2v + 2w, 2u − v + w) = (x, y, z), Ruvw
uma regia˜o do espac¸o no sistema uvw, Rxyz = T (Ruvw) e f uma func¸a˜o real integra´vel.
Calcule
∫∫∫
Ruvw
f du dv dw, sabendo-se que
∫∫∫
Rxyz
f dx dy dz = 3.
23. Encontre a massa do so´lido limitado pelos cilindros z =
√
x e y = x2 e pelos planos x = 1, y = 0 e
z = 0 cuja densidade varia com o produto das distaˆncias aos treˆs planos coordenados.
24. Determine o centro de massa de um cone (o so´lido) circular reto de base R e altura h, cuja densidade
e´ proporcional a` distaˆncia ate´ a base do cone.
Algumas observac¸o˜es sobre definic¸o˜es e nomenclaturas da F´ısica:
Obs.1 Diz-se que um corpo so´lido e´ homogeˆneo quando a densidade de massa ρ e´ constante.
Obs.2 Centro´ide e´ o centro de massa de um corpo so´lido homogeˆneo.
Obs.3 Sabe-se que o momento de ine´rcia I de uma part´ıcula de massa m em relac¸a˜o a um eixo E ou a um ponto P e´
dado pela fo´rmula I = mr2, sendo r a distaˆncia da part´ıcula ao eixo E ou ao ponto P . Usando Soma de Riemann,
e´ poss´ıvel provar que para um corpo so´lido S que tem densidade de massa cont´ınua, o momento de ine´rcia I de S
em relac¸a˜o aos eixos coordenados e a origem O sa˜o calculados pelas fo´rmulas, em relac¸a˜o:
ao eixo x, Ix =
ZZZ
S
`
y
2 + z2
´
ρ(x, y) dxdy dz; ao eixo y, Iy =
ZZZ
S
`
x
2 + z2
´
ρ(x, y) dxdy dz;
ao eixo z, Iz =
ZZZ
S
`
x
2 + y2
´
ρ(x, y) dxdy dz; a` origem O, IO =
1
2
(Ix + Iy + Iz).
25. Calcule, em func¸a˜o da massa M , o momento de ine´rcia do cubo homogeˆneo em relac¸a˜o a um eixo que
conte´m uma das arestas.
26. Considere o cilindro homogeˆneo S de massa M , onde S =
{
(x, y, z); (x− a)2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h
}
.
(a) Calcule o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` reta x = a, y = 0.
(b) Calcule o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z. (Deˆ as respostas em func¸a˜o de a e M)
27. Calcule o centro´ide do tetraedro limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
28. Calcule o centro´ide da regia˜o limitada pela esfera ρ = a e pelo cone ϕ = a.
Lista 4 de Ca´lculo III – A – 2007-1 9
RESPOSTAS DA LISTA 4
1. 1/24
2. 47/24
3. 1/12
4. 18pi
5. pi/30
6. pi
7. 16pi/5
8. 256/9
9.
∫
2
0
∫ √
4−x2
0
∫
4
−x2−y2
z
(
x2 + y2
)
4 + y
dz dy dx
10.
∫ √2
2
−
√
2
2
∫ q 1
2
−x2
0
∫ −√x2+y2
−
√
1−x2−y2
x
(
x2 + y2 + z2
)
dz dy dx.
11.
∫ pi
0
∫ pi/2
0
∫ 5
0
ρ3 sen2ϕ sen θ dρ dϕ dθ.
12. 8pi + 4pi
√
3
13. pi/4
14. pi/24
15. 3/4
16.
4pi
3
( sen (216) − sen (1))
17.
pi
8
(
1− sen (4)
4
)
18.
∫
2pi
0
∫
2
0
∫
6−r
0
r
√
81− r2 − z2 dz dr dθ =
∫
2pi
0
∫
arctan( 12)
0
∫ 6
sen ϕ+cos ϕ
0
f dρ dϕ dθ +
+
∫ 2pi
0
∫ pi/2
arctan( 12 )
∫ 2 csc ϕ
0
f dρ dϕ dθ, f = ρ2
√
81− ρ2 senϕ
19.
∫ 2pi
0
∫ 3
0
∫ r/√3
−
√
12−r2
r
3
√
r2 − 1 dz dr dθ +
∫ 2pi
0
∫ 2√3
3
∫ √12−r2
−
√
12−r2
r
3
√
r2 − 1 dz dr dθ =
∫
2pi
0
∫ pi
pi
3
∫
2
√
3
0
3
√
ρ2 sen2ϕ− 1 ρ2 senϕ dρ dϕdθ
20.
2pi
3
(
R3 − 3
2
kR2 + R3
)
22.
1
7
23.
k
28
24.
(
0, 0,
3h
5
)
25.
2a2
M
26. (a)
Ma2
2
(b)
3Ma2
2
27.
1
4
(1, 1, 1)
28.
3a
8
(0, 0, 1 + cos a)
Listas 2007.1/lista_5-calcIIIA.pdf
Lista 5 de Ca´lculo III – A – 2007-1 10
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 5 - 2007-1
Parametrizac¸a˜o de curvas
Integral de linha de campo escalar
Integral de linha de campo vetorial
Nos exerc´ıcios 1. a 15. para a curva C dada encontre pelo menos uma parametrizac¸a˜o de C. Se achar
que e´ preciso, desenhe primeiro a curva. Nos exerc´ıcios cuja orientac¸a˜o na˜o e´ dada, indique a orientac¸a˜o
correspondente a sua parametrizac¸a˜o.
1. C e´ a unia˜o dos segmentos de reta que ligam os pontos (0, 0), (2, 0), (3, 2), (0, 4), (0, 0), C orientada
nesta ordem.
2. C e´ a parte da para´bola de equac¸a˜o y2 = x de (4,−2) a (4, 2).
3. C e´ a semi-elipse inferior de equac¸a˜o 9x2 + 4(y − 3)2 = 36. Escolha a orientac¸a˜o.
4. C e´ representada explicitamente como gra´fico da func¸a˜o f(x) = 1− |1− x| de (0, 0) ate´ (2, 0).
5. C e´ representada implicitamente pela curva de n´ıvel 1 da func¸a˜o f(x, y) = x 23 + y 23 . Escolha a
orientac¸a˜o.
6. C e´ o arco de circunfereˆncia x2 + y2 = 4, x ≥ 0, situado entre as retas y = −√2 e y = √3. Escolha a
orientac¸a˜o.
7. C e´ a curva formada pelos segmentos de reta que unem os pontos (1, 0, 0), (0,−2, 0), (0, 3, 2), (1, 0, 0),
C orientada nesta ordem.
8. C e´ a unia˜o dos segmentos de reta que unem os pontos de intersec¸a˜o do plano x− y + 2z = 4 com os
treˆs eixos coordenados. Escolha a orientac¸a˜o.
9. C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = 1 com o plano
z − y = 2, orientada como na Fig. 1.
10. C e´ a intersec¸a˜o da das superf´ıcies de equac¸o˜es x2 + y2 + z2 = a2
e y + z = a, onde a > 0 e constante, orientada como na Fig. 2.
11. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies de equac¸o˜es x2 + y2 + z2 = 1 e
z =
√
x2 + y2. Escolha a orientac¸a˜o.
x
y
z
Fig. 1
x y
z
Fig. 2
12. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies de equac¸o˜es x2 + y2 = z e x2 +(y− 1)2 = 1, cuja projec¸a˜o no plano xy
tem sentido anti-hora´rio.
13. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2 + y2 = 4 e x2 + z2 = 4, situada no primeiro octante,
orientada no sentido crescente de y.
14. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por z = 5− y2, z ≥ 1 e x + z = 5. Escolha a orientac¸a˜o.
15. C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies dadas por x2 + y2 + z2 = 2(x + y) e x + y = 2. Escolha a orientac¸a˜o.
Calcule as integrais de linha de campo escalar dos exerc´ıcios 16. a 19.
16.
∫
C
(x2 + y2)ds, onde ~r(t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1 e´ uma parametrizac¸a˜o de C.
17.
∫
C
xyz ds, onde ~γ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2pi e´ uma parametrizac¸a˜o de C.
18.
∫
C
xy ds, onde C e´ o quadrado |x|+ |y| = 1.
Lista 5 de Ca´lculo III – A – 2007-1 11
19.
∫
C
xy ds, onde C e´ o arco da elipse b2x2 + a2y2 = a2b2, com x ≥ 0, y ≥ 0, a e b constantes positivas.
20. Um fio tem a forma da curva Cobtida como intersec¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + 1
2
y2 com o plano
x + z = 2;
(a) Esboce o fio e apresente uma parametrizac¸a˜o para C.
(b) Ache o comprimento do fio.
21. Encontre a a´rea da superf´ıcie lateral acima da curva C = {(x, y, z); y = 1− x2, z = 0}, de (1,0,0) a
(0,1,0) e abaixo do gra´fico de z = f(x, y) = xy.
22. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie do cilindro x2 + y2 = 4, compre-
endida entre os planos z = 0 e x + y + z = 2, z ≥ 0. Se o metro quadrado do zinco custa M reais,
calcule o prec¸o total da pec¸a.
23. Um pedac¸o de arame tem a forma da curva C intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 2(x + y)− 1 com o
plano y + z = 2. Calcule a massa do arame se a densidade e´ dada por ρ(x, y, z) = x2.
Obs. O centro de massa de um fio com parametrizac¸a˜o ~σ : [a, b] → IR3 de classe C1 por partes e densidade
cont´ınua ρ(x, y, z) e´ o ponto (x¯, y¯, z¯) dado por
x =
∫
C x dm∫
C dm
, y =
∫
C y dm∫
C dm
, z =
∫
C z dm∫
C dm
, onde dm = ρ(x, y, z)ds e´ o elemento de massa.
24. Calcule o centro de massa do fio ~σ(t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 1, com densidade ρ(x, y, z) = xyz.
25. A forma de um fio delgado no plano coordenado xy coincide com a parte da para´bola y = 4−x2 entre
(−2, 0) e (2,0).
Determine a massa e o centro de massa se a densidade no ponto (x, y) e´ diretamente
proporcional a` sua distaˆncia ao eixo y.
Nos exerc´ıcios 26. a 28 calcule as integrais de linha de campo vetorial
∫
C
~F · d~r .
26. ~F (x, y) = x2~ı + 2xy~ e C e´ a semi-elipse superior de semi-eixos a = 2, b = 3, de (2, 0) para (−2, 0).
27. ~F (x, y, z) = 2y~ı + z~ + 3y~k e C e´ a intersec¸a˜o de x2 + y2 + z2 = 6z e z = x + 3, orientada no sentido
anti-hora´rio quando vista da origem.
28. ~F (x, y, z) = (2y, z, x), C: intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + 4y2 = 1 e x2 + z2 = 1, y ≥ 0 e z ≥ 0, sendo o
sentido de percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (−1, 0, 0).
29. Calcule
∫
C
dx + ydy + dz, e C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies de equac¸o˜es y = x e z = x2 + y2, z ≤ 2 e o
sentido de C e´ de (−1,−1, 2) para (1, 1, 2).
30. Calcule
∮
C
4zdx − 2xdy + 2xdz, onde C e´ a intersec¸a˜o de x2 + y2 = 1 com z = y + 1, orientada no
sentido anti-hora´rio quando vista de (0, 2, 0).
31. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as ~F (x, y) = (x2 − y2, 2xy) ao mover uma part´ıcula ao
longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = a e y = a, a > 0, a constante,
no sentido anti-hora´rio.
32. Considere uma part´ıcula deslocando-se de A = (0, 0, 0) para B = (1, 1, 1), ao longo da curva C definida
por ~σ(t) = (t, t2, t3), sob a ac¸a˜o da forc¸a ~F (x, y, z) = (x2 − y)~ı + (y2 − z)~ + (z2 − x)~k. Determine o
trabalho realizado por essa forc¸a no deslocamento.
33. Se um objeto move-se em um campo de forc¸as ~F de tal modo que, em cada ponto (x, y, z), seu vetor
velocidade seja ortogonal a ~F (x, y, z), mostre que o trabalho realizado por ~F sobre o objeto e´ 0.
Lista 5 de Ca´lculo III – A – 2007-1 12
RESPOSTAS DA LISTA 5
1. C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4
Uma parametrizac¸a˜o de C pode ser dada
pela parametizac¸a˜o de cada uma das
quatro curvas, por exemplo,
C1 : ~r1(t) = (2t, 0), 0 ≤ t ≤ 1;
C2 : ~r2(t) = (2 + t, 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C3 : ~r3(t) = (3− 3t, 2 + 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C4 : ~r4(t) = (0, 4− 4t), 0 ≤ t ≤ 1.
Outra parametrizac¸a˜o de C:
~r(t) =


(2t, 0) se 0 ≤ t < 1
(t + 1, 2t− 2) se 1 ≤ t < 2
(9− 3t, 2t− 2) se 2 ≤ t < 3
(0, 16− 4t) se 3 ≤ t ≤ 4
2. ~r(t) = (t2, t), −2 ≤ t ≤ 2
3. Com orientac¸a˜o de (−2, 3) para (2, 3):
~r(θ) = (2 cos θ, 3 + 3 sen θ), pi ≤ θ ≤ 2pi
Com orientac¸a˜o de (2, 3) para (−2, 3):
~r(θ) = (2 sen θ, 3 + 3 cos θ), pi/2 ≤ θ ≤ 3pi/2
4. ~r(t) =
{
(t, t), se 0 ≤ t < 1
(t, 2− t), se 1 ≤ t ≤ 2
5. Com orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio:
γ(t) = (cos3 t, sen 3t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Com orientac¸a˜o no sentido hora´rio:
γ(t) = ( sen 3t, cos3 t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
6. Com orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio:
γ(t) = (2 cos t, 2 sen t), t ∈ [−pi
4
, pi
3
]
.
Com orientac¸a˜o no sentido hora´rio:
γ(t) = (2 sen t, 2 cos t), t ∈ [pi
6
, 3pi
4
]
.
7. ~r(t) =


(1− t,−2t, 0) se 0 ≤ t < 1
(0, 5t− 7, 2t− 2) se 1 ≤ t < 2
(t− 2, 9− 3t, 6− 2t) se 2 ≤ t < 3
8. C = C1 ∪ C2 ∪ C3, com a projec¸a˜o de C
no plano xy no sentido hora´rio:
C1 : ~r1(t) = (4− 4t,−4t, 0), 0 ≤ t ≤ 1;
C2 : ~r2(t) = (0, 4t− 4, 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C3 : ~r3(t) = (4t, 0, 2− 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C = C1 ∪ C2 ∪ C3, com a projec¸a˜o de C
no plano xy no sentido anti-hora´rio:
C1 : ~r1(t) = (4− 4t, 0, 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C2 : ~r2(t) = (0,−4t, 2− 2t), 0 ≤ t ≤ 1;
C3 : ~r3(t) = (4t, 4t− 4, 0), 0 ≤ t ≤ 1;
9. ~r(t) = (cos t, sen t, 2 + sen t), t ∈ [0, 2pi].
10. γ(t) =
(
a√
2
cos t, a
2
+ a
2
sen t, a
2
− a
2
sen t
)
,
t ∈ [0, 2pi].
11. γ(t) =
(√
2
2
cos t,
√
2
2
sent,
√
2
2
)
, t ∈ [0, 2pi].
12. γ(t) = (cos t, 1 + sen t, 2 + 2 sen t), t ∈ [0, 2pi].
13. γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, 2 sen t), t ∈ [0, pi
2
]
.
14. γ(t) = (t2, t, 5− t2), −2 ≤ t ≤ 2.
15. γ(t) = (1 + cos t, 1− cos t,√2 sen t), t ∈ [0, 2pi].
16.
4
√
2
3
17.
−pi√2
2
18. 0
19.
ab(a2 + ab + b2)
3(a + b)
20. (a) γ(t) =
(
− 1
2
+ 3
2
cos t, 3√
2
sen t, 5
2
− 3
2
cos t
)
,
0 ≤ t ≤ 2pi;
(b) 3
√
2pi.
21.
1
120
(
25
√
5− 11)
22. (8 + 6pi)M
23.
5
√
2pi
4
24.
(
4
5
,
4
5
,
4
5
)
25. M =
k(173/2 − 1)
6
, x = 0, y =
175/2 − 41
10(173/2 − 1)
26.
56
3
27. 18pi
√
2 ou−18pi√2 conforme orientac¸a˜o escolhida
28.
4 + 10
√
2
15
29. 2
30. 4pi
31. 2a3
32. −−29
60
Listas 2007.1/lista_6-calcIIIA.pdf
Lista 6 de Ca´lculo III – A – 2007-1 13
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 6 - 2007-1
Teorema de Green
Campos conservativos
Teorema das quatro eqivaleˆncias
1. Sejam f, g : [a, b] −→ R duas func¸o˜es de classe C1 tais que f(x) < g(x), para todo x ∈ R.
Seja C a fronteira da regia˜o D =
{
(x, y) ∈ R2; c ≤ y ≤ d, f(y) ≤ x ≤ g(y)
}
, C com orientac¸a˜o positiva.
Se U ∈ R2 tal que U ⊃ D, U aberto e Q : U −→ R um campo escalar cont´ınuo em U ,
parametrize C, indique a integral de linha a seguir como integral de uma varia´vel, indique a integral
dupla a seguir como integral iterada e prove a igualdade
∮
C+
Q(x, y)dx =
∫∫
D
∂Q
∂x
(x, y) dxdy.
Use o Teorema de Green para resolver os exerc´ıcios 2. a 11.
2. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as ~F (x, y) = (x2− y2, 2xy) ao mover uma part´ıcula ao
longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = a e y = a, a > 0, a constante,
no sentido anti-hora´rio.
3. Calcule
∫
C
(
−2y −
y
x2 + y2
)
dx +
x
x2 + y2
dy, onde C e´ a fronteira de D, orientada positivamente e
D =
{
(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≥ 1 e 4x2 + 9y2 ≤ 36
}
.
4. Calcule
∫
C
(
−2y −
y
x2 + y2
)
dx +
x
x2 + y2
dy, onde C e´ a fronteira de D, orientada positivamente e
D =
{
(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≥ 1, 4x2 + 9y2 ≤ 36 e y ≥ 0
}
.
5. Calcule
∫
C
(
−2y −
y
x2 + y2
)
dx+
x
x2 + y2
dy, onde C = C1∪C2∪C3, orientada de (0,−1) para (0,−2),
C1 =
{
(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1, x ≥ 0
}
, C2 =
{
(x, y) ∈ R2; x = 0, 1 ≤ y ≤ 2
}
e
C3 =
{
(x, y) ∈ R2; 4x2 + 9y2 = 36, x ≥ 0
}
.
6. Calcule
∮
C
(x2 − y tan y)dy, onde C : (x− a)2 + y2 = a2, C no sentido anti-hora´rio, a constante.
7. Calcule
∮
C
xy(3xy dx + 7x dy), C : 10x2 + 17y2 = 29, C no sentido anti-hora´rio.
8. Calcule
∮
C
(ex
4
− y3)dx + (x3 + ey
5
)dy, onde C e´ dada por ~σ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
9. Calcule
∮
C
−y
x2 + y2
dx +
x
x2 + y2
dy, onde C e´ a curva da
Fig. 1.
10. Suponha ~F = (P,Q) de classe C1 em D = IR2 −
{(0, 0), (1, 1)}. Suponha que
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
em D. Calcule∮
C+
~F · d~r, sabendo que
∮
C+
1
~F · d~r = 1 e
∮
C+
2
~F · d~r = 2,
onde C, C1 e C2 sa˜o as curvas da Fig. 2.
C
x
y
C
1
2C
C 1
1
x
y
Fig. 1 Fig. 2
11. Seja U ⊂ IR2, limitada pelas curvas C1 :
(x− 2)2
4
+
y2
36
= 1 e C2 : (x − 1)
2 + y2 = 1. Sendo
~F = (P,Q) um campo diferencia´vel em IR2, tal que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
− 3, calcule
∮
C+
1
~F · d~r, sabendo que
∮
C+
1
~F · d~r +
∮
C+
2
~F · d~r = 3pi.
Lista 6 de Ca´lculo III – A – 2007-1 14
12. Seja A a a´rea de uma regia˜o R limitada por uma curva C simples, fechada, de classe C1 por partes.
Prove que: A =
∮
C+
x dy = −
∮
C+
y dx =
1
2
∮
C+
x dy − y dx
13. Use uma das fo´rmulas do exerc´ıcio precedente para calcular a a´rea da regia˜o limitada pela curva
C : x = a cos3 t, y = a sen 3 t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Nos exerc´ıcios 14. a 20. determine o rotacional do campo vetorial ~F dado e, se poss´ıvel, encontre
uma func¸a˜o potencial ϕ do campo ~F . Conclua se o campo ~F e´ ou na˜o e´ conservativo.
14. ~F (x, y) =
(
6x2y2 − 14xy + 3, 4x3y − 7x2 − 8
)
, ~F definido em R2.
15. ~F (x, y) =
(
1
y2
)
~ı +
(
2x
y3
)
~, ~F definido em R2 tal que y 6= 0.
16. ~F (x, y) =
(
1
x2
+
1
y2
)
~ı +
(
1− 2x
y3
)
~, ~F definido em R2 tal que xy 6= 0.
17. ~F (x, y) =
(
−y
x2 + y2
)
~ı +
(
x
x2 + y2
)
~, ~F definido em R2 tal que x > 0.
18. ~F (x, y) =
(
−y
(x− 1)2 + y2
)
~ı +
(
x− 1
(x− 1)2 + y2
)
~, ~F definido em R2 tal que (x, y) 6= (1, 0).
19. ~F =
(
ey+2z , xey+2z, 2xey+2z
)
, ~F definido em R3.
20. ~F =
(
y2 + yz,
)
~ı + (2xy + xz, )~ + (y + xy)~k, ~F definido em R3.
Nos exerc´ıcios 21. a 25. prove que, para algum sub-conjunto U do R2 ou R3, o campo vetorial dado
e´ conservativo e use este fato na resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios.
21. Calcule
∫
C
~F ·d~r, onde ~F (x, y, z) = (x, 1, 2) e C e´ a intersec¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y2 com o plano
z = 2x + 2y − 1.
22. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (1, y, 1) e C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies y = x e z = x2 + y2,
z ≤ 2 e o sentido e´ de (−1,−1, 2) para (1, 1, 2).
23. Calcule
∫ (0,0,2)
(1,1,0)
dx+dy+dz, ao longo da curva C de intersec¸a˜o das superf´ıcies y = x2 e z = 2−x2−y2.
24. Calcule
∫ (0,pi/2)
(0,0)
ex sen y dx + ex cos y dy.
25. Calcule
∫ (√3,√3)
(−1,1)
~F · d~r, onde ~F =
(
2xy
y2 + x4
)
~ı +
(
−x2
y2 + x4
)
~ definido em
{
(x, y) ∈ R2| y > 0
}
.
26. Calcule
∮
C
yx2dx− x3dy
(x2 + y2)2
, onde C e´ a curva dada pela equac¸a˜o
x2
4
+
(
y −
1
3
)2
= 1, percorrida no
sentido anti-hora´rio. Aplique o teorema das quatro equivaleˆncias para resolver os exerc´ıcios 27.
a 30.
27. Calcule
∮
C
yx2dx− x3dy
(x2 + y2)2
, onde C e´ a curva dada pela equac¸a˜o
x2
4
+ (y − 2)2 = 1, percorrida no sentido
anti-hora´rio.
28. Seja ~F (x, y) =
(
2xy3 − y2 cosx, 1− 2y senx + 3x2y2
)
. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C e´ o arco da para´bola
2x = piy2 de P1(0, 0) ate´ P2
(pi
2
, 1
)
.
Lista 6 de Ca´lculo III – A – 2007-1 15
29. Seja C qualquer caminho unindo qualquer ponto na circunfereˆncia x2 + y2 = a2 a qualquer ponto na
circunfereˆncia x2 + y2 = b2, b > a. Seja ~F (x, y) = 5
(√
x2 + y2
)3
(x, y). Mostre que
∫
C
~F · d~r tem
sempre o valor b5 − a5.
30. Seja I =
∫
C
x
(x2 + y2)3/2
dx +
y
(x2 + y2)3/2
dy.
(a) Se C e´ uma circunfereˆncia de raio a, calcule I usando a definic¸a˜o de integral de linha.
(b) Prove que I = 0 para qualquer curva fechada C que na˜o passa pela origem.
(c) Calcule I para a curva C: x2 + (y − 2)2 = 1, x ≥ 0, percorrida no sentido anti-hora´rio.
RESPOSTAS DA LISTA 6 (com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. Ana´loga a` demonstrac¸a˜o feita em aula para
∮
C+
P (x, y)dx =
∫∫
D
−
∂P
∂y
(x, y) dxdy.
2. 2a3
3. 10pi
4. 5pi
5. −5pi
6. 2pia3
7. 0
8.
3pi
2
9. −2pi
10. 3
11. 18pi
13.
3pia2
8
14. rot ~F = ~0; ϕ(x, y) = 2x3y2 − 7x2y + 3x− 8y; ~F e´ conservativo
15. rot ~F =
(
0, 0,
4
y3
)
6= ~0 ⇒ @ func¸a˜o potencial ⇒ ~F na˜o e´ conservativo.
16. rot ~F = ~0; ϕ(x, y) =
2x2 − 2y2 − x
2xy2
; ~F e´ conservativo.
17. rot ~F = ~0; ϕ(x, y) = arctan
y
x
, x > 0; ~F e´ conservativo em (x, y) ∈ R2; x > 0.
18. rot ~F = ~0; ~F na˜o tem func¸a˜o potencial pois as candidatas seriam
ϕ(x, y) = arctan
y
x− 1
+ C, que na˜o esta´ definida nos pontos da reta (x, y) = (1, y), y 6= 0 e
ϕ(x, y) = arccot
x− 1
y
+ C, que na˜o esta´ definida nos pontos da reta (x, y) = (x, 0), x 6= 1.
Logo ⇒ ~F na˜o e´ conservativo.
19. rot ~F = ~0; ϕ(x, y, z) = xey+2z ; ~F e´ conservativo.
20. rot ~F = (1, 0, 0) 6= ~0 ⇒ @ func¸a˜o potencial ⇒ ~F na˜o e´ conservativo.
21. 0
22. 2
23. 0
24. 1
25. pi/12
26. −pi
27. 0
28.
pi2
4
30. (a) 0 (c) 2/3
Listas 2007.1/lista_7-calcIIIA.pdf
Lista 7 de Ca´lculo III – A – 2007-1 16
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 7 - 2007-1
Integral de linha: miscelaˆnea
1. Prove que a integral de linha I =
∫ (2,3)
(1,−1)
(x + y)dx + (x + y)dy e´ independente do caminho e calcule o
valor de I.
2. Se ~F (x, y, z) = y2 cos x~ı + (2y senx + e2z)~ + 2ye2z~k, prove que
∫
C
~F · d~r e´ independente do caminho
e calcule a integral de (pi/2,−1, 1) a um ponto P = (0, y∗, z∗) do plano yz.
3. Seja ~F (x, y, z) =
(
ex sen y +
x
x2 + y2
, excos y+
y
x2 + y2
, z2
)
. Mostre que o valor da integral do campo
~F ao longo de qualquer curva fechada C que na˜o cruze com o eixo z e´ zero.
4. Seja C uma curva sime´trica em relac¸a˜o ao eixo y, que vai do ponto
(−2, 0) a (2, 0), como mostrado na Fig. 1. Sabendo-se que a a´rea da
regia˜o delimitada por C e pelo eixo x vale 5pi, calcule
∫
C
~F · d~r, onde
~F (x, y) = (x2 + xy3)~ı + (2x + y)~.
C
y
x
–2 2
Fig. 1
5. Encontre todos os poss´ıveis valores de I =
∮
C
(2x− y)dx + (2y + x)dy
x2 + y2
, onde C e´ uma curva fechada
qualquer que na˜o passa pela origem.
Nos exerc´ıcios 6. a 16. calcule a integral de linha pelo me´todo que lhe parecer conveniente.
6.
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (xy, x2 + z, y2 − x) e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o da superf´ıcie
coˆnica x2 + y2 = z2, z ≥ 0, com a superf´ıcie cil´ındrica x = y2 de (0, 0, 0) a (1, 1,√2).
7.
∫ (0,0)
(1,0)
(ex + y2)dx + (x +
√
1 + y7)dy, onde C e´ formado por x = 1 e y = x.
8.
∮
C+
(x + y)dx + xy dy, onde C e´ a curva fechada determinada pelo eixo ox, pela reta x = 2 e pela
curva 4y = x3.
9.
∫
C
(x + 4
√
y) ds, onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
10.
∫ (0,0)
(4,0)
−xy(1 + x)−1dx + ln(1 + x)dy, onde C e´ formado por x + 2y = 4, x = 0.
11.
∫
C
(
6xy3 + 2z2
)
dx + 9x2y2 dy + (4xz + 1)dz se C e´ a curva intersec¸a˜o das superf´ıcies de equac¸o˜es
x2 + y2 = 1 e 2x + 7y − z = 0, com projec¸a˜o no plano xy no sentido anti-hora´rio, de (1, 0, 2) ate´
(−2, 1, 3).
12.
∮
C+
(ex
2
+ y)dx + (x2 + arctan
√
y)dy, onde C e´ a fronteira do retaˆngulo de ve´rtices: (1,2), (5,2), (5,4),
(1,4).
13.
∮
C+
xy(y dy − x dx) onde C e´ a fronteira do semi-disco x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0.
Lista 7 de Ca´lculo III – A – 2007-1 17
14.
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (x2 − y2, z2 − x2 + z, y2 − z2) e C a´ a curva de intersec¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = 4 com o plano y = 1, percorrida no sentido anti-hora´rio quando vista da origem.
15.
∫
C
(2xyz + 2x) dx + x2z dy + x2y dz, onde C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie z =
√
4− x2 − y2, com o
plano x + y = 2. Indique a orientac¸a˜o escolhida.
16.
∫
C
(
xy − y
x2 + y2
)
dx +
(
2x +
x
x2 + y2
)
dy, onde C e´ a semi-elipse
x2
16
+
y2
4
= 1, y ≥ 0, cuja orientac¸a˜o
e´ aquela que indica um percurso sobre C de (4, 0) a (−4, 0).
17. Um arame tem a forma da curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 4, y ≥ 0
com o plano x+z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame e´ dada por f(x, y, z) = xy,
calcule a massa total do arame.
18. Suponha uma forc¸a ~F (x, y, z) dirigida para a origem e com mo´dulo inversamente proporcional a`
distaˆncia da origem. Prove que ~F e´ conservativo e determine uma func¸a˜o potencial para ~F .
19. Seja a forc¸a ~F orientada a partir da origem e com mo´dulo diretamente proporcional a` distaˆncia da
origem. Prove que ~F e´ conservativo e determine uma func¸a˜o potencial para ~F .
Observac¸a˜o. Mais uma aplicac¸a˜o de integral de linha a` F´ısica: Momento de Ine´rcia.
O Momento de Ine´rcia de um fio delgado C em relac¸a˜o a um eixo de rotac¸a˜o L e´ dado por
I =
∫
C
ρ(x, y, z)d2(x, y, z)ds
onde ρ e´ a densidade de massa do fio e d e´ a distaˆncia de cada ponto do fio a L, como na
Fig. 2.
d
C
L
Fig. 2
Portanto, Ix =
∫
C
ρ(x, y, z)
(
y2 + z2
)
ds Iy =
∫
C
ρ(x, y, z)
(
x2 + z2
)
ds Iz =
∫
C
ρ(x, y, z)
(
x2 + y2
)
ds
onde Ix, Iy , Iz sa˜o os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos Ox, Oy, Oz, respectivamente.
20. Seja um fio delgado com a forma da curva C intersec¸a˜o da superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 5, z ≥ 0 com o
plano x + y = 1.
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o para C e calcule o comprimento do fio;
(b) Se a densidade em cada ponto e´ proporcional a` sua distaˆncia ao plano xy, calcule o momento de
ine´rcia do fio em relac¸a˜o ao eixo z.
21. Considere um arame semicircular
de raio a.
(a) Mostre que o centro´ide esta´ sobre o eixo de simetria a uma distaˆncia 2a/pi do centro;
(b) Mostre que o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao diaˆmetro e´
1
2
Ma2, onde M e´ a massa do arame.
22. A base de uma cerca e´ uma curva C no plano xy definida por: x(t) = 30 cos3 t, y(t) = 30 sen 3 t,
0 ≤ t ≤ 2pi, e a altura em cada ponto (x, y) ∈ C e´ dada por f(x, y) = 1 + |y|
3
(x e y em metros). Se
para pintar cada m2 um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrara´ para pintar toda a cerca?
23. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as ~F (x, y, z) = (−y, x, z) para deslocar uma part´ıcula
ao longo da curva C intersec¸a˜o de x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0 com x2 + y2−ay = 0, orientada no sentido
hora´rio quando vista da origem.
24. Seja o campo vetorial ~F (x, y) = (2ey senx cos x+y2excos y)~ı+(ey sen 2x+2yexcos y−y2ex sen y +x)~.
Calcule o trabalho de ~F ao longo do semic´ırculo x2 + y2 =
pi4
4
, y ≥ 0, que vai do ponto
(pi
2
, 0
)
ao
ponto
(
−pi
2
, 0
)
.
Lista 7 de Ca´lculo III – A – 2007-1 18
25. Calcule o valor de m ∈ R para que o campo vetorial ~F (x, y, z) =
(
mxy2
2
− z3, (m− 2)yx2, (1−m)xz2
)
seja conservativo.
26. Em um movimento el´ıptico uma part´ıcula de massa m e´ atra´ıda para a origem com uma forc¸a
~F = −mc~r, c ≥ 0. Sabe-se a energia potencial e´ igual −f , f e´ a func¸a˜o potencial de ~F e
~v = ~r′ e´ o vetor velocidade. Ache a energia potencial e mostre que ‖~v ‖2 + c‖~r ‖2 =cte.
27. Seja U ⊂ R2, limitada pelas curvas C1 : (x− 2)
2
4
+
y2
36
= 1 e C2 : (x − 1)2 + y2 = 1. Sendo
~F = (P,Q) um campo diferencia´vel em R2, tal que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
− 3, calcule
∮
C+
1
~F · d~r, sabendo que
∮
C+
1
~F · d~r +
∮
C+
2
~F · d~r = 3pi.
28. Seja R2 → R de classe C2, tal que ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
= −3. Considere o campo ~F =
(
∂ϕ
∂y
,
−∂ϕ
∂x
)
. Calcule∮
C+
~F · d~r, onde C e´ a curva formada por y2 = x3 e y = x.
29. Considere o campo ~F (x, y) =
( −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
e a curva C de
classe C1 por partes representada na Fig. 3.
Calcule o trabalho realizado por uma part´ıcula sob a ac¸a˜o da forc¸a
~F , para percorrer a curva C. Justifique a soluc¸a˜o detalhadamente.
Obs.
∫
Ca
~F · d~r = 2pi, para qualquer circunfereˆncia Ca de raio a
centrada na origem.
C
x
y
–2
0
2
–5 5
Fig. 3
30. Seja o campo ~F = (P,Q) de classe C1 em R2. Seja
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
em R2, exceto nos pontos (4, 0),
(0, 0) e (−4, 0). Indiquemos por C1, C2, C3 e C4 as circunfereˆncias de equac¸o˜es: (x − 2)2 + y2 = 9,
(x + 2)2 + y2 = 9, x2 + y2 = 25 e x2 + y2 = 1 respectivamente, orientadas no sentido anti-hora´rio.
Sabendo que
∮
C1
~F · d~r = 11,
∮
C2
~F · d~r = 9 e
∮
C3
~F · d~r = 13, calcule
∮
C4
~F · d~r.
RESPOSTAS DA LISTA 7
1.
25
2
2. y∗e2z
∗ − 1
4. −10pi + 16
3
5. 2pi,−2pi e 0
6.
4 + 10
√
10
15
7.
1
3
8. −3
7
9.
19
6
(
1 +
√
2
)
10. 4
11. −31
12. 40
13.
pia4
4
14. 0
15. 4 de (0, 2, 0) para (2, 0, 0)
16. 9pi
17. 4
18. − c
2
ln
(
x2 + y2 + z2
)
, c ≥ 0
19.
c
2
(
x2 + y2 + z2
)
, c ≥ 0
20. para 0 ≤ t ≤ 2pi,
x =
a√
3
cos t,
y =
a
2
+
a
2
sen t
z =
a
2
− a
2
sen t
22. 900p
23.
pia2
4
24.
pi3
8
25. 4
26. Energia potencial =
mc ‖~r‖2
2
27. 1
28.
3
10
29. 4pi
30. 7
Listas 2007.1/lista_8-calcIIIA.pdf
Lista 8 de Ca´lculo III – A – 2007-1 19
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 8 - 2007-1
Superf´ıcies parametrizadas
A´rea de superf´ıcie
Integral de superf´ıcie de campo escalar
Nos exerc´ıcios 1. a 4. esboce as superf´ıcies de parametrizac¸o˜es dadas.
1. ϕ(u, v) = (u, v, 2 − u), 0 ≤ u ≤ 1, −u ≤ v ≤ u.
2. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 4− r sen θ), 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
3. ϕ(u, v) = (2 cos u, 2 sen u, v), 0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v ≤ 4− 2 senu.
4. ϕ(φ, θ) = ( sen φ cos θ, 3 senφ sen θ, 2 cos φ), 0 ≤ φ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Parametrize a superf´ıcie S dos exerc´ıcios 5. a 10.
5. S: porc¸a˜o do plano x + y + z = 4, situada no interior do cilindro x2 + y2 = 16.
6. S: porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 16 entre os planos x + y + z = 4 e z = 16.
7. S: porc¸a˜o da semi-esfera x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, situada no interior do cilindro x2 + y2 = 2y.
8. S: obtida pela rotac¸a˜o da curva z = 4− y2, x = 0, 0 ≤ y ≤ 2, em torno do eixo y.
9. S: obtida pela rotac¸a˜o em torno do eixo z da curva z = ex, y = 0, x ≥ 0.
10. S: obtida pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da curva z = 0 e y =
1
x
, x > 0.
11. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v) = (v cos u, v senu, 1− v2), 0 ≤ u ≤ 2pi, v ≥ 0.
(a) Identifique esta superf´ıcie. Com essa parametrizac¸a˜o S e´ regular?
(b) Trace as curvas em S definidas por ϕ (u0, v) e ϕ (u, v0), onde
(i) u0 = 0 (ii) u0 = pi/2 (iii) v0 = 0 (iv) v0 = 1
(c) Encontre um vetor tangente a` curva definida por ϕ(0, v), no ponto ϕ(0, 1).
(d) Encontre um vetor tangente a` curva definida por ϕ(u, 1), no ponto ϕ(0, 1).
(e) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta normal e a equac¸a˜o do plano tangente a S em ϕ(0, 1).
12. Dada a esfera de raio 2, centrada na origem, encontre a equac¸a˜o do plano tangente a ela no ponto
(1, 1,
√
2), considerando a esfera como:
(a) Parametrizada via corrdenadas esfe´ricas;
(b) Uma superf´ıcie de n´ıvel de F (x, y, z) = x2 + y2 + z2;
(c) O gra´fico de g(x, y) =
√
4− x2 − y2 que descreve S numa vizinhanc¸a de (1, 1,√2).
13. (a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o hiperbolo´ide de uma folha x2 + y2 − z2 = 25.
Sugesta˜o: use seno e cosseno hiperbo´lico.
(b) Encontre um vetor normal a` esta superf´ıcie.
(c) Em qualquer ponto (x0, y0, z0) da curva de intersec¸a˜o do plano z = 0 com a superf´ıcie, encontre
a equac¸a˜o do plano tangente a` essa superf´ıcie .
(d) Mostre que se x0 e y0 e´ tal que x
2
0
+ y2
0
= 25 enta˜o as retas (x, y, z) = (x0, y0, 0) + t (−y0, x0, 25)
e (x, y, z) = (x0, y0, 0) + t (y0,−x0, 25) esta˜o contidas tanto no hiperbolo´ide quanto no plano tan-
gente encontrado em (c).
Lista 8 de Ca´lculo III – A – 2007-1 20
Nos exerc´ıcios 14. e 15. encontre um vetor unita´rio normal a` superf´ıcie dada por suas equac¸o˜es
parame´tricas e identifique-a.
14.
x = sen v
y = u
z = cos v
0 ≤ v ≤ 2pi
−1 ≤ u ≤ 3 15.
x = (2− cos v) cos u
y = (2− cos v) sen u
z = sen v
−pi ≤ u ≤ pi
−pi ≤ v ≤ pi
16. Encontre a a´rea do gra´fico de f(x, y) =
2
3
(
x3/2 + y3/2
)
, (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1].
17. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie de equac¸a˜o z = 1− x2, compre-
endida entre os planos y = 0, z = 0, e o cilindro z = 1 − y2, y ≥ 0. Se o metro quadrado do zinco
custa A reais, calcule o prec¸o total da pec¸a.
18. Seja S a superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva y = 0, z = x2, 0 ≤ x ≤ 4, em torno do eixo z. Encontre
uma parametrizac¸a˜o para S e calcule a a´rea da porc¸a˜o de S entre os cilindros x2 +y2 = 1 e x2 +y2 = 4.
19. Seja S a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o do gra´fico de y = f(x), a ≤ x ≤ b (f ′ cont´ınua)
em torno do eixo x. Usando a fo´rmula da a´rea de superf´ıcie A(S) =
∫∫
S
dS,
(a) Prove que A(S) = 2pi
∫ b
a
|f(x)|
√
1 + (f ′(x))2dx (esta fo´rmula foi vista em Ca´lculo II !)
(b) Observe que A(S) = 2pi
∫
C
|f(x)|ds, onde C e´ parametrizada por ~r(t) = (t, f(t)), a ≤ t ≤ b.
Calcule a a´rea e fac¸a um esboc¸o das superf´ıcies dadas nos exerc´ıcios 20. a 23.
20. Superf´ıcie do cilindro x2 + y2 = 2x limitada pelo plano z = 0 e pelo cone z =
√
x2 + y2.
21. Superf´ıcie do so´lido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e pela parte superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
22. Superf´ıcie da esfera de raio a centrada na origem limitada por 2 para-
lelos e 2 meridianos, sabendo que o aˆngulo entre os meridianos e´ α e a
distaˆncia entre os planos que conte´m os paralelos e´ h.
x
y
meridiano
paralelo
z
23. O gra´fico de z = xy, (x, y) ∈ D, onde D, em coordenadas polares,
e´ o subconjunto do plano limitado
por r2 = cos(2θ), −pi
4
≤ θ ≤ pi
4
.
Calcule as integrais de superf´ıcie de campo escalar dos exerc´ıcios 24. a 27.
24.
∫∫
S
(
x2 + y2
)
dS, onde S : x2 + y2 + z2 = a2.
25.
∫∫
S
(xyz) dS, onde S e´ o triaˆngulo de ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
26.
∫∫
S
(
y2 + z2
)
dS, onde S e´ a superf´ıcie do so´lido limitado pela parte superior da esfera x2+y2+z2 = 1
e pelo cone z =
√
x2 + y2.
27.
∫∫
S
z2dS, onde S e´ a fronteira do cubo [−1, 1]× [−1, 1] × [−1, 1].
Lista 8 de Ca´lculo III – A – 2007-1 21
28. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se a curva plana z = 1− x2, 0 ≤ x ≤ 1 em torno do eixo z. Calcule∫∫
S1
|xy|
x2 + y2
dS, onde S1 e´ a porc¸a˜o de S no interior de x
2 + y2 = y.
29. Seja S uma superf´ıcie fechada, tal que S = S1∪S2, onde S1 e S2 sa˜o as superf´ıcies de revoluc¸a˜o obtidas
pela rotac¸a˜o em torno do eixo z das curvas C1 : z = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 e C2 : z = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
respectivamente.
Se ρ(x, y, z) =
√
x2 + y2 e´ a densidade de S, calcule a massa M de S. (M =
∫∫
S
ρ(x, y, z)dS)
30. Seja S uma esfera de raio R centrada na origem.
(a) Argumente por simetria que
∫∫
S
x2dS =
∫∫
S
y2dS =
∫∫
S
z2dS
(b) Use este fato para calcular “sem muito esforc¸o”, as integrais
∫∫
S
x2dS e
∫∫
S
(
x2 + y2
)
dS.
RESPOSTAS DA LISTA 8 ( com resumo ou indicac¸a˜o de algumas resoluc¸o˜es)
1. 2. 3. 4.
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
5. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 4− r cos θ − r sen θ), 0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2pi
ou ϕ(x, y) = (x, y, 4− x− y) com x2 + y2 ≤ 16
6. ϕ(u, v) = (4 cosu, 4 sen u, v), u ∈ [0, 2pi], 4− 4 cosu− 4 senu ≤ v ≤ 16
7. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,
√
4− r2), 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ pi
ou ϕ(x, y) = (x, y,
√
4− x2 − y2), com x2 + y2 ≤ 2y
8. ϕ(u, v) = ((4− u2) sen v, u, (4− u2) cos v), u ∈ [0, 2], v ∈ [0, 2pi]
9. ϕ(u, v) = (v cosu, v sen u, ev), u ∈ [0, 2pi], v ≥ 0
10. ϕ(t, θ) =
(
1
t
, t cos θ, t sen θ
)
, t > 0, 0 ≤ θ ≤ 2pi
11. (a) Parabolo´ide. S na˜o e´ regular apenas em (0, 0, 1).
(b)
x
y
z
(c) (1, 0,−2)
(d) (0, 1, 0)
(e) reta normal:


x = 1− 2t
y = 0 t ∈ R
x = −t
plano tangente: 2x + z = 2
12. (a) (b) e (c) equac¸a˜o geral do plano: x + y +
√
2 z = 4
13. (a) ϕ(u, θ) = (5 coshu cos θ, 5 coshu sen θ, 5 senhu), u ∈ R, 0 ≤ θ ≤ 2pi
(b) ~n =
(
cosh2 u cos θ, cosh2 u sen θ,− senhu coshu)
(c) x0x + y0y = 25
Lista 8 de Ca´lculo III – A – 2007-1 22
14. ~n = (− sen v, 0,− cos v)
x
y
z
15. ~n = (cos u cos v, sen u cos v,− sen v)
x
y
z
16.
4
15
(
9
√
3− 8√2 + 1) 17. (5√5− 1)A/6
18. (a) ϕ(t, ϕ) = (t cos θ, t sen θ, t2), 0 ≤ t ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2pi (b) (17√17− 5√5pi/6)
19. (a) Suponha que f se anula em um nu´mero finito de pontos do intervalo [a, b]. Sejam c2, c3, · · ·cn−1 os u´nicos
pontos do interior de [a, b] para os quais a func¸a˜o se anula.
Podemos escrever [a, b] = [c1, c2] ∪ [c2, c3] ∪ · · · ∪ [cn−1, cn]. Como f e´ cont´ınua em [a, b], concluimos:
para alguns dos valores de i = 1 · · · n− 1, tem-se {f (ci) ≥ 0, f (ci+1) ≥ 0, f(x) > 0, ∀x ∈ (ci, ci+1)}
para os valores restantes de i, tem-se {f (ci) ≤ 0, f (ci+1) ≤ 0, f(x) < 0, ∀x ∈ (ci, ci+1)}.
S = S1 ∪S2 ∪ · · · ∪Sn, onde para cada i = 1 · · ·n, Si e´ a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o do intervalo
[ci, ci+1] em torno do eixo x. Logo
∫∫
S
dS =
n∑
i=1
∫∫
Si
dS
Se f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ci, ci+1] enta˜o Si : ϕ(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sen θ) em Di :
{
ci ≤ x ≤ ci+1
0 ≤ θ ≤ 2pi
∂ϕ
∂x
× ∂ϕ
∂x
= (f(x)f ′(x),−f(x) cos θ,−f(x) sen θ) e
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂x
∥∥∥∥ =
√
(f(x))2
(
1 + (f ′(x))
2
)
(*)
Se f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ci, ci+1] enta˜o Si : ϕ(x, θ) = (x,−f(x) cos θ,−f(x) sen θ) em Di :
{
ci ≤ x ≤ ci+1
0 ≤ θ ≤ 2pi
∂ϕ
∂x
× ∂ϕ
∂x
= (f(x)f ′(x),−f(x) cos θ,−f(x) sen θ) e
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂x
∥∥∥∥ =
√
(f(x))2
(
1 + (f ′(x))
2
)
(**)
Por hipo´tese, f ′(x) e´ cont´ınua, logo, para todo i = 1 · · · n, temos que ϕ(x, θ) e´ de classe C1.
Por (*) e (**), para todo i = 1 · · · n, temos
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂x
∥∥∥∥ = |f(x)|
√(
1 + (f ′(x))
2
)
6= 0 se f(x) 6= 0.
Logo, para todo i = 1 · · · n, ϕ e´ regular no interior de Di e∫∫
Si
dS =
∫ 2pi
0
∫ ci+1
ci
|f(x)|
√(
1 + (f ′(x))2
)
dxdθ = 2pi
∫ ci+1
ci
|f(x)|
√(
1 + (f ′(x))2
)
dx
.
Logo a a´rea de S = A =
∫∫
S
dS =
n∑
i=1
∫∫
Si
dS =
n∑
i=1
(
2pi
∫ ci+1
ci
|f(x)|
√(
1 + (f ′(x))2
)
dx
)
A = 2pi
n∑
i=1
∫ ci+1
ci
|f(x)|
√(
1 + (f ′(x))
2
)
dx =
∫ b
a
|f(x)|
√(
1 + (f ′(x))
2
)
dx
20. 8
21.
(
4−√2) pi
2
22. ahα
23.
(
10
9
− pi
6
)
24.
8pia4
3
25.
√
3
120
26.
(
3
√
2
163
+
4
3
− 7
√
2
12
)
27.
28
3
28.
25
√
5− 11
120
29.
(
1 +
√
2
) 2pi
3
30. (a) A esfera tem o mesmo comportamento para os eixos x, y e z. Logo o resultado nume´rico e´ o mesmo para
as treˆs integrais, so´ muda a notac¸a˜o para os eixos.
(b)
∫∫
S
x2dS =
1
3
∫∫
S
(
x2 + x2 + x2
)
dS =
1
3
∫∫
S
(
x2 + y2 + z2
)
dS =
1
3
∫∫
S
(
a2
)
dS =
4pia4
3∫∫
S
(
x2 + y2
)
dS =
∫∫
S
(
x2 + x2
)
dS = 2
∫∫
S
x2dS =
8pia4
3
Listas 2007.1/lista_9-calcIIIA.pdf
Lista 9 de Ca´lculo III – A – 2007-1 23
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo III – A –
LISTA 9 - 2007-1
Integral de superf´ıcie de campo vetorial
Calcule a integral
∫∫
S
~F · ~n dS dos exerc´ıcios 1. a 7.
1. ~F (x, y, z) =
(
x2 + y2 + z2
)
−3/2
(x, y, z) e S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = a2, com vetor normal ~n exterior.
2. ~F (x, y, z) = x~ı + y~ + z~k, S : superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = 1, limitada superiormente pelo plano
x + y + z = 2 e inferiormente pelo plano x + y + z = 1, vetor normal ~n apontando para fora de S.
3. ~F (x, y, z) = x~ı−xy~+z~k, S : superf´ıcie cil´ındrica x2+z2 = R2, limitada pelos planos y = 1 e x+y = 4,
vetor normal ~n apontando para fora de S.
4. ~F (x, y, z) = x2~ı − ~ + ~k, S : fronteira do cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, vetor normal ~n
exterior.
5. ~F (x, y, z) = (z2 − x,−xy, 3z) e S e´ a superf´ıcie do so´lido (= fronteira do so´lido) limitado por
z = 4− y2, x = 0, x = 3 e o plano xy, vetor normal ~n exterior.
6. ~F (x, y, z) = (x, y, z) e S e´ a superf´ıcie do so´lido W =
{
(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 ≤ 1 e x2 + y2 + z2 ≤ 4},
vetor normal ~n exterior.
7. ~F (x, y, z) =
(−3xyz2, x + 2yz − 2xz4, yz3 − z2)e S e´ a unia˜o da superf´ıcie x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 com
z = 0, x2 + y2 ≤ 1, indicando a orientac¸a˜o escolhida.
8. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) = −y~ı + x~ + f(x, y, z)~k, atrave´s da superf´ıcie fechada S : lata
cil´ındrica com fundo e com tampa dada por x2 + y2 = 1, a ≤ z ≤ b e x2 + y2 ≤ 1, z = a e
x2 + y2 ≤ 1, z = b, sabendo-se que f e´ cont´ınua, f(x, y, a) = A e f(x, y, b) = B, onde A e B sa˜o
constantes, com ~n apontando para fora de S.
9. Sejam ~F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) cont´ınua em S.
S parametrizada por ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, onde D e´ compacto com fronteira
de classe C1 por partes, ϕ de classe C1 no aberto U ⊃ D, orientada segundo o vetor ∂ϕ
∂u
× ∂ϕ
∂v
.
Uma notac¸a˜o tambe´m usada para
∫∫
S
~F · ~n ds e´
∫∫
S
P dydz + Q dzdx + R dxdy.
Use a definic¸a˜o de integral de superf´ıcie de campo vetorial e o teorema da mudanc¸a de varia´veis para
integral dupla para justificar essa notac¸a˜o.
10. Calcule
∫∫
S
−xz2dydz +(2− y)z2dzdx+ (y + zx2) dxdy, onde ~n aponta no sentido de afastamento da
origem e S e´ a porc¸a˜o do cilindro x2 + z2 = 4, x ≥ 0, z ≥ 0, compreendida entre os planos x− y = 2
e 2x + y = 4.
RESPOSTAS DA LISTA 9
1. 4pi
2. 2pi
3. 6piR2
4. 1
5. 16
6.
(
8− 3√3) 4pi
7. pi , normal exterior a S
8. (B −A)pi
10. 4