A-Matemática-na-Escola-Aqui-e-Agora-Delia-Lerner (1)

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RESENHAS PEDAGÓGICAS 
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Pesquisa 
Entrevistaram 30 representantes - mães de alguns dos unas selecionados 
-, 20 professores e as 90 crianças integrantes da amostra. 
Professores 
Todos os professores entrevistados- independente de gostarem ou não 
da matemática - concordam em assinalar que é uma disciplina que 
provoca medo. 
Crianças 
São muitas também as crianças que afirmam que a matemática é a 
disciplina de que menos gostam, e muitos poucas as que a escolhem 
como uma de suas disciplinas prediletas. 
Uma menina da série, cujo rendimento frente ao instrumento de 
diagnóstico foi excelente, explica-nos melhor seu desgosto diante da 
matemática. Como o pesquisador expressa sua surpresa ante o fato, ela 
fica pensando e chega a seguinte conclusão: O que eu não gosto é de 
decorar as contas. Se a matemática não fosse lembrar os números, me 
fascinaria. 
As opiniões dos 
professores 
podem serem sintetizadas assim: tem importância por que prepara a 
criança para raciocinar com rapidez e porque se deve saber utilizá-la na 
vida diária; é uma disciplina instrumental – como a leitura – que ajuda a 
compreender as demais matérias; é uma ciência “muito completa” porque 
é exata. 
Os pais são mais 
explícitos que os 
professores: 
 “a matemática serve para tudo, para a vida diária, para fazer cálculos 
orçamentos” e “serve para contar reais, para resolver problemas, utiliza-
se nos supermercardos”, além de por em destaque outros aspectos que 
nenhum dos professores entrevistados tinha analisado. (..) "serve para a 
vida diária e também em nível acadêmico"; "utiliza-se no futebol, na 
comida, na música... utiliza-se em tudo". 
É curioso que sejam os pais que tenham maior consciência da utilidade 
da matemática em todos os âmbitos da vida: o trabalho, o acadêmico, o 
esportivo, o artístico. 
Respostas das 
crianças: 
A matemática só é útil no âmbito escolar. Elas afirmam que a matemática 
serve "para fazer números, somar, subtrair e muitas coisas mais"; "para 
aprender na escola"; 
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Porém 
Nem os pais e nem os professores tem conseguido transmitir as crianças 
– ao menos às mais pequenas – essa utilidade da matemática que alguns 
deles percebem tão claramente. 
A Matemática é 
usada em muitos 
espaços e os pais 
também usam 
É necessário muita conversa para as crianças perceberem que a 
matemática é usada em outros espaços. Também é difícil que cheguem a 
dar-se conta de que a matemática não é patrimônio exclusivo das crianças 
que vão à escola, de que também é utilizada pelos pais. 
 
Professores: 
Alguns consideram pouco clara nossa pergunta e outros – a maioria – 
responderam-nos descrevendo a forma como eles ensinam, como se 
pensassem que o processo de aprendizagem reproduz fielmente o 
método de ensino. “Os meus praticam no quadro negro”. 
Porém, muitos professores reconheceram que alguns conhecimentos 
matemáticos são construídos pelas crianças a partir da sua experiencia 
social, e que a aprendizagem de certos conteúdos começa antes do 
ingresso na escola. 
Não há muita 
certeza dos 
professores 
"Não estou segura ... Talvez sim ... Como essas pessoas que não estudam 
têm uma despensa cheia ...Como é que fazem?" 
Outros professores, porém, não conseguem imaginar que as crianças 
aprendem sem que exista uma intervenção do ensino: em matemática elas 
vem aprendendo pois os pais ensinam... em outros assuntos não, para 
aprender tem que ser ensinado. 
 
Falam sobre 
método, que deve 
ser fragmentado 
para facilitar a 
compreensão 
Não tivemos concordância nas respostas- foram dadas por diferentes 
professores -, no entanto, existe um aspecto essencial do método de 
ensino em que todos coincide: o que garante o Ensino é a repetição. “É 
necessário fazer muito material concreto e exercitar muito…repetir muitas 
vezes. Não se consegue um objetivo em um só dia, tens que fazer 
repetição, colocar exercícios. Não compridos, mais curtos. Dar-lhes em 
pedacinhos é melhor que ocupá-los em exercícios por horas seguidas. 
 
Respostas da 
terceira e quinta 
série 
As crianças parecem aceitar que são meras reprodutoras e não seres 
pensantes. Porém, o professor também é visto como alguém que se limita 
a reproduzir: “Se eu fosse professor, ensinaria como diz o programa. Tudo 
deve ser feito como ali se diz”. 
Necessidade de 
compreender os 
alunos 
A esta concepção básica do processo de ensino-aprendizagem algumas crianças 
somam a necessidade de que o professor ajude e compreenda a seus alunos: 
"ensinaria como minha professora, explicando, sem raiva, sem ser má, não 
xingando-os ... assim, aprendemos mais rápido"; 
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Cultura Escolar 
enraizada 
Estas afirmações levam a pensar que as crianças estão impregnadas pela 
cultura escolar que não podem reconhecer a sua própria participação na 
aprendizagem. Quando aceitam que aprenderam sozinhos, são coisas 
desvinculadas do conhecimento escolar. Outros acreditam que é possível 
aprender sozinho quando somos pequenos 
Repetição ou 
exercitação 
Enquanto continuarmos considerando que a repetição (ou exercitação) do 
explicado pelo professor é um processo privilegiado para ensinar 
matemática, seguiremos impedindo que as crianças descubram em que 
consiste o conhecimento matemático; impediremos também que eles 
ponham em ação suas próprias possibilidades de fazer matemática. 
Aprender 
segundo a autora 
é 
Descobrir, investigar, discutir, interpretar... conceitos que definem uma 
concepção da aprendizagem e do ensino muito distinta daquela que 
postula "explicar, repetir, memorizar" 
Concordam 
Quase todos os pais inclinam-se a pensar que seus filhos tem aprendido sozinho. 
As crianças procuram, pesquisam, perguntam, manifestam sua curiosidade para 
aprender". 
Sugerem a 
necessidade de 
mudar as 
metodologias 
Quando pedimos sua opinião sobre a forma com que ensinam matemática seus 
filhos, vários pais concordam com a metodologia utilizada, porém alguns fazem 
críticas e sugerem alternativas. 
Professores e 
crianças 
coincidem: 
na primeira série, os conteúdos mais difíceis são o valor posicional e a 
subtração; a partir da terceira série, o difícil é a divisão. 
Valor posicional 
este conteúdo é assinalado como difícil por várias das professoras da 
primeira série. 
Frações 
Enquanto alguns alunos mencionam as frações como outro conteúdo que 
apresenta dificuldades, para outros as frações são incluídas dentro do 
item "fáceis", junto à multiplicação "que é quase igual à soma" 
Repetição e 
encaminhamento 
as respostas mais frequentes apelam à repetição, ao encaminhamento para a 
aula integrada ou ao pedido de colaboração por parte dos pais. 
2 professoras tem 
resposta diferente 
"são poucas as crianças que têm dificuldades, o professor pode lhes dar uma 
atenção mais individualizada em aula... ". 
Em resumo 
ainda que seja reconfortante observar que quase todos os professores são 
sensíveis às dificuldades enfrentadas pelas crianças, é evidente que nem todos 
assumem o mesmo grau de responsabilidade em relação a estas dificuldades” 
Unanimidade 
pais, crianças e professores - em relação à importância dos pais no processo de 
aprendizagem. 
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Os professores 
querem apoio, 
mas até certo 
ponto 
Conversar com os 
pais a respeito do 
trabalho 
pedagógico 
Por outro lado, mesmo que os professores requeiram a ajuda dos pais, esperam 
também que esta ajuda tenha seus limites: " os pais os têm acostumado a fazer 
tudo e a criança não pensa e não faz nada...então seria bom orientá-los" 
e não só a respeito das dificuldades de seus filhos- asseguraria uma maior 
coerência entre as intervenções da escola e as do lar na aprendizagem das 
crianças. Dar aos pais a oportunidade de inserir-se na atividade de aula, 
conforme desejam e possam, tornar possível introduzir novas modalidades de 
trabalho cooperativo, gerar, interesses relacionados com sua experiência pessoal 
e de trabalho, assentar as bases de uma verdadeira vinculação entre a escola e a 
família. 
 
As crianças de 
primeira série 
consideram que a avaliação se baseia tanto na aprendizagem quanto no 
comportamento. “para melhorar minhas notas tenho que me comportar”, “tenho 
boas notas porque sou tranquilo”. 
Crianças maiores 
e adultos 
a avaliação considera-se relacionada somente com a aprendizagem: "tirei boas 
notas porque tenho estudado" (...)Os adultos entrevistados compartilham a 
opinião das crianças maiores 
Crítica a avaliação 
Chama a atenção que, entre os entrevistados, sejam os professores os que se 
mostram mais críticos em relação às provas e à avaliação numérica. 
Não reflete 
esforço 
Alguns professores mostram que o valor das provas é relativo porque estas não 
refletem o esforço e nem os progressos que tenham realizado pelas crianças. 
Sobre a 
participação na 
aula 
A maioria das crianças entrevistadas não se sente inclinada a participar porque 
acredita que participar da aula é correr risco. Porque tem medo de errar. “Porque 
me dá vergonha e medo”. 
É necessário e 
urgente modificar 
o clima de aula 
É preciso convencer-se - porque só assim se consegue convencer às crianças - 
de que o erro é válido porque faz parte do processo de aprendizagem, tem que 
se valorizar todas as intervenções das crianças porque elas refletem seus esforços 
para adquirir o conhecimento; tem que se fazer o possível para conseguir que 
nenhuma criança volte a ter medo de expressar suas incertezas e suas dúvidas, 
suas descobertas e suas dificuldades. 
Visão atual de 
avaliação 
A avaliação cumpre, antes de tudo, a função de reorientar o processo de ensino-
aprendizagem. Ao dar informações sobre a forma com que as crianças têm 
assimilado os conteúdos trabalhados, a avaliação constitui uma das bases 
imprescindíveis para a planificação da tarefa futura, permite ao professor 
determinar quais são os aspectos que são necessários enfocar desde uma 
perspectiva distinta, é o ponto de partida para a criação de novas situações de 
aprendizagem que tomem possível aprofundar e aplicar os conhecimentos 
adquiridos pelas crianças. 
Até agora, o habitual é que o professor desempenhe o papel de "avaliador" e as 
crianças, o de" avaliados". Acreditamos que para que a avaliação cumpra sua 
função como retroalimentadora do processo de aprendizagem é imprescindível 
que as estratégias didáticas propostas pelo professor também sejam avaliadas e 
que as crianças participem como co­avaliadoras de seus próprios progressos. 
Ensinar 
matemática é 
muito mais do 
que fazer conta 
Se na escola nós assumirmos, tanto ao ensinar como ao avaliar, que fazer 
matemática é muito mais do que fazer contas, não só poderíamos conseguir que 
as crianças adquirissem conhecimentos mais sólidos como também 
ofereceríamos a oportunidade de que elas se apaixonassem por essa invenção 
humana que é a matemática. 
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Problema: 
"Um ônibus leva 24 passageiros, em uma parada descem 17. Quantos 
passageiros ficam?" Aproximadamente a metade das crianças entrevistadas 
encontram a solução correta deste problema (...) 
A análise das 
respostas das 
crianças também 
nos mostrou 
que: 
• Encontrar uma estratégia adequada para resolver um problema é algo muito 
diferente de poder representá-lo através de uma conta convencional. 
• A introdução apressada da conta convencional pode criar obstáculos para 
elaboração de uma estratégia adequada 
• É necessário dar tempo às crianças para repensar o problema, como também 
oportunidades para autocorrigir seus erros acidentais 
• É imprescindível diferenciar a adequação da estratégia ao problema formulado 
da correção ou incorreção do resultado obtido. (Sidarta, por exemplo, obtém 
o resultado errado porque engana-se ao contar, porém, sem dúvida, consegue 
elaborar uma estratégia adequada.) 
• Trabalhar com números menores e sugerir a utilização de material concreto, 
ou do desenho, parecem ser recursos úteis para ajudar as crianças a elaborar 
uma estratégia de resolução 
• O trabalho com problemas complexos é evidentemente mais complexo do que 
se pode supor, não só para as crianças como para os professores. 
Como fazer para 
que a diversidade 
seja um fator 
positivo para o 
aprendizado? 
Apelar à cooperação entre as crianças, incentivar a confrontação de suas diversas 
estratégias, discutir a respeito da validade de cada uma delas. Porém só a 
pesquisa didática nos permitirá analisar de perto como interagiam as crianças 
em cada situação específica, em que medida fazem suas as estratégias propostas 
pelos seus colegas e, sobretudo, quais são as intervenções do professor que 
tornam possível uma cooperação verdadeiramente produtiva para a 
aprendizagem de todos. 
Subtração é 
entendida como 
diminuição. 
Mas e quando na verdade a subtração indica aumento (uma dívida a ser paga)? 
"Se a subtração é pensada pela criança pequena como a diminuição de uma 
quantidade é compreensível que os alunos tenham dificuldade em estender o 
significado da operação de subtração a situações nas quais a transformação é, 
na realidade, um aumento, ou a situações nas quais tem que se procurar uma 
diferença entre estados, ou uma diferença entre transformações"( Vergnaud, 1984). 
Usam estratégias 
diferentes 
É necessário então levar em conta que o fato de que uma criança resolva de uma 
determinada maneira uma situação específica de subtração (ou de soma) não 
significa que ela resolverá da mesma maneira outra situação que envolva a 
mesma operação. 
As respostas que 
obtivemos neste 
sentido podem 
classificar-se em 5 
grupos: 
A forma como as crianças representaram as operações ao resolver os problemas 
que lhes propusemos ou que elas mesmas inventaram não coincide sempre com 
a "conta" convencional: 
• Representação exclusiva do resultado: Yosmar, por exemplo, quando resolve o 
primeiro problema de subtração limita-se a escrever 7, que neste caso é o 
resultado da operação, já que se tinha trocado os dados do problema ao 
constatar que não conseguia resolvê-lo com os números originais. 
• Representação exclusiva dos dados incluídos no enunciado: quando 
perguntamos pelo significado de sua escrita, ela explica que pôs os números 
“bem separados e com risquinhos, porque estes se foram”. 
• Representação dos dados do problema e do resultado, porém sem incluir o 
sinal que indica a operação realizada 
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• Representação não convencional de todos os termos envolvidos na operação 
(criança usa o E como sinal de soma) 
• Representação convencional (formas originas e convencionais) 
• Nenhuma criança utiliza de forma exclusiva a representação convencional; 
todas a combinam com alguma outra forma de representação. No entanto, há 
muitas crianças que utilizam sempre formas próprias de representação, sem 
apelar, em nenhum caso, à forma convencional. 
Antes de 
representar o 
número 5 só com 
o numeral 5 
Para esta crianças, um conjunto de 5, elementos não pode representar-se com 
um só numeral: é necessário escrever, tanto os numerais quanto os objetos que 
tenha o conjunto. 
Hughes recorre à 
história dos 
sistemas de 
numeração. 
Uma das explicações que Historiadores dos sistemas de numeração propõem a 
respeito da origem do sinal + é a seguinte: é muito possível que provenha da 
palavra latina “et", que significa ''e" e que àsvezes se escrevia com uma cruz 
inclinada (x). Por isso assinalamos antes que Dony tinha razão quando afirmava 
que II e" era uma boa representação da ação de agregar. 
Dar 
oportunidades de 
usar formas de 
representação 
válidas 
É necessário dar as crianças oportunidade de usar formas de representação que 
elas consideram válidas. No entanto, isso não significa que se deve deixar de 
lado a representação convencional. Isto seria absurdo, já que o que esperamos 
é que as crianças se aproximem da forma atualmente é aceita como válida. 
Porém, uma coisa é incluir a representação convencional como objeto de 
confrontação e discussão, e outra é impô-la como a única possível. 
Procedimento 
convencional 
deve ser algo 
estranho 
os números (e também as palavras) se escrevem e se leem da esquerda para a 
direita; e quando calculamos mentalmente - por exemplo para ter um valor 
aproximado de quanto nos custarão três produtos que necessitamos comprar - 
nunca "começamos pelas unidades” 
Resultados 
Diferentes com 
métodos 
diferentes 
Parece evidente que elas não as consideram como formas concretas de 
representação de uma conta; as consideram como entidades autônomas, que 
não representam nada e das quais podem surgir resultados totalmente 
independentes das ações realizadas pelo sujeito. 
“Eu não sei 
porque é assim. 
Isso as contas é 
que sabem” 
Enquanto continuarmos ensinando procedimentos mecânicos sem criar 
condições que permitam aos alunos descobrirem os fundamentos desses 
mecanismos, enquanto não favorecermos a utilização das estratégias que as 
próprias crianças possam elaborar para resolver e representar as operações, 
teremos que continuar aceitando que as contas sejam interpretadas como 
truques inventados por um mágico, como entidades que obedecem a regras 
próprias, independentes das ações de "agregar" e "tirar". 
Conta subtração 
É no caso da subtração que se coloca mais claramente em evidência a diferença 
entre as estratégias das crianças quando resolvem uma situação­ problema e 
quando resolvem uma conta. (...) "pedir emprestado", encontram-se na 
impossibilidade de subtrair as unidades do subtraendo das do minuendo. 
Veem-se obrigadas a criar procedimentos especiais para resolver a situação em 
que o valor do minuendo é menor que o que ocupa o lugar no subtraendo, e 
estes procedimentos são basicamente os seguintes: somar em lugar de subtrair, 
inverter os termos da subtração (subtrair ao contrário), tirar do minuendo o que 
se pode tirar e não realizar a operação. 
Hughes (1986) 
"é como se habitassem em dois mundos, cada um dos quais possui suas próprias 
regras e procedimentos, porém sem conexão entre ambos". 
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A primitiva 
aritmética infantil 
- inventada por 
ela - dedica-se 
basicamente a 
problemas com 
objetos reais 
As crianças com frequência fazem as contas com os dedos para realizar uma 
operação. Os métodos: deste tipo permitem trabalhar com facilidade e 
corretamente. Depois, são ensinados diversos procedimentos escritos para 
conseguir os mesmos objetivos. Por desgraça, frequentemente não 
compreendem a necessidade ou a lógica dos métodos escritos impostos pela 
escola. Como resultado, surge uma extravagante aritmética escrita, separada por 
um abismo em relação ao conhecimento informal das crianças. 
Como fazer para 
evitar essa 
separação entre o 
conhecimento 
das crianças, e os 
procedimentos 
escritos que a 
escola pretende 
ensinar-lhes? 
O conjunto de dados aqui mostrados coloca em evidência a necessidade de 
tomar sempre como ponto de partida situações-problema reais ou hipotéticas 
no lugar de apresentar contas carentes de significado. Frente a estas situações, 
as crianças poderão colocar em ação diferentes estratégias de resolução, discutir 
com seus colegas a validade das ditas estratégias, refletir sobre elas para 
determinar quais são mais adequadas ou mais úteis para cada situação. 
Parece imprescindível criar um vínculo constante entre a ação e a representação, 
um vínculo que deve incluir tanto a produção por parte das crianças dê maneiras 
de representar as operações realizadas ou a realizar, como também a 
interpretação das representações das demais, incluída - é claro - a representação 
convencional. 
Por outro lado, as 
experiências de C. 
Kamii (1988) 
mostram que é possível conseguir progressos consideráveis nas possibilidades 
das crianças de operar com números relativamente grandes sem ensinar o 
procedimento convencional para somar ou subtrair quantidades de dois ou mais 
algarismos . 
Elas poderiam 
"fazer matemática 
em lugar de ver-se reduzidas a aplicar procedimentos que não compreendem. 
De fato, estes procedimentos estão longe de serem imprescindíveis, quando não 
dispomos de lápis e papel para fazer uma conta, encontramos procedimentos 
que nos permitem resolver mentalmente. (...) Por que não deixar que as crianças 
tentem chegar ao resultado de diversas maneiras? 
Soma são fáceis 
Os problemas de soma em termos gerais não representaram nenhuma 
dificuldade para as crianças. 
Para algumas 
crianças, os 
problemas 
apresentados de 
forma 
parcialmente 
gráfica são um 
tanto 
surpreendentes 
 "Assim é que eu o queria, assim escrito, não os problemas gráficos!" (...) esta 
apresentação é diferente da convencional —, não aparece no enunciado 
nenhuma das chaves 
 
Quanto percorre em 15 voltas? 
Na vida real os 
problemas não 
são escritos 
seria conveniente formular às crianças (e com elas) problemas dos mais diversos 
tipos, que reflitam a variedade de situações problemáticas que possam 
apresentar-se na vida cotidiana. 
 
Lerner (1985) 
mostra que a 
notação 
fracionaria 
também requer 
e neste caso as crianças elaboram ideias próprias em lugar de aceitar a notação 
convencional. Disto deriva a necessidade de formular em aula a representação 
como ela é realmente para as crianças: um problema para resolver. Parece 
necessário favorecer — também em relação às frações — a confrontação de 
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um processo de 
reconstrução 
diversas formas de representação propostas pelos alunos, como também as 
diferentes interpretações da representação convencional. 
Reflexão das 
propriedades da 
operação 
O que fica evidente a partir destes resultados é a necessidade de reservar um 
espaço para a reflexão acerca das propriedades das operações, para a análise de 
diversas situações concretas que contribuam à reconstrução — e não ao 
"recitado" — dessas propriedades. 
Formular 
problemas 
Se na vida cotidiana todos necessitamos formular claramente os problemas para 
poder resolvê-los; se todos necessitamos selecionar, entre os múltiplos dados 
que a realidade nos apresenta, aqueles que são pertinentes para responder as 
nossas interrogações, por que considerar que na escola estas funções são 
privativas do professor? Por que não dar às crianças a oportunidade de 
chegarem a ser bons "enunciadores" de situações-problema? 
 
Renuncia a sua 
explicação 
Todas as crianças são capazes de elaborar estratégias adequadas para resolver 
os diversos problemas que lhes são formulados. Porém, algumas delas às vezes 
são levadas a renunciar às suas próprias possibilidades de pensar e optar por 
prender-se a certas "chaves" linguísticas e numéricas que aparecem 
seguidamente nos "problemas-padrão" geralmente apresentados na escola. 
Renunciar ao 
molde 
Se renunciarmos ao molde e apresentarmos enunciados produzidos de maneira 
mais artesanal, podemos conseguir que as crianças se centrem sempre na 
estrutura lógica dos problemas e deixem de buscar indícios artificiais que 
obstaculizam seu raciocínio. 
Visão das crianças 
é diferente 
problemas que parecem equivalentes aos olhosdos adultos, podem não ser 
vistos assim pelas crianças. A não equivalência entre estes problemas reflete-se 
na utilização de estratégias diferentes para resolvê-los e, em alguns casos, na 
dificuldade para representar os procedimentos efetivamente colocados em 
prática através das contas convencionais. 
Não encontrar a 
"conta" adequada 
para resolver um 
problema é, 
algo muito diferente de não poder resolver o problema: pode acontecer que a 
criança tenha elaborado um excelente procedimento para resolvê-lo, porém não 
encontra a forma correta de representação que corresponde a esse 
procedimento. 
Quanto as frações 
é necessário formular situações nas quais o fracionamento da unidade apareça 
como resposta para resolver um problema — em vez de centrar-se em 
representações estereotipadas ——; é necessário também favorecer a tomada 
de consciência das operações realizadas e a comparação das frações resultantes 
de distintas partições, assim como a produção de diferentes formas de 
representar os números fracionários e a discussão das interpretações das 
crianças frente à notação convencional. 
Reversibilidade 
das operações 
a escola deve dar uma importância muito maior que a dada atualmente a dois 
aspectos essenciais: a antecipação dos resultados das operações e a reflexão 
sobre as propriedades das operações. 
 
O 0 e o valor 
posicional 
as crianças já têm compreendido que o 0 é o "elemento neutro" nas operações 
de soma e subtração. 
O valor do 0 
depende de sua 
localização. 
O que é mais surpreendente, nas reações destas crianças, é que quase todas 
afirmam desde o começo que o valor do 0 depende de sua localização. (...) 
Todas as crianças afirmam que não vale nada quando está só ou quando 
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 aparece à esquerda de outros números; quando o 0 aparece à direita de outros 
números dá lugar novamente a duas posições diferentes. 
Babilonios e India 
Para os primeiros inventores de um sistema posicional — que foram os 
babilônios, aproximadamente no ano 2000 a.C. — formulou-se o problema de 
encontrar um método inequívoco de representar as quantidades quando a 
coluna correspondente a uma das potências da base encontrava-se vazia. No 
princípio, resolveram o problema deixando um espaço vazio, porém isto levava 
a confusão. Posteriormente, criaram um símbolo 0 que se empregava para 
indicar a ausência de elementos em um valor posicional determinado. O sistema 
posicional inventado na India — que os árabes expandiram logo pelo mundo — 
incluía também um símbolo 0 equivalente ao dos babilônios. 
Flegg* ( 1984 ) sustenta que a lentidão com que foi adotado o sistema 
indoarábico em outros lugares do mundo está relacionada com a dificuldade 
que representava a compreensão do 0. 
As crianças que já 
tinham 
conhecimento de 
Unidade e 
Dezena 
Em síntese, o fato de ter sido ensinado a estas crianças o conceito de dezena não 
é suficiente para que isto se constitua em um conhecimento operativo. Elas não 
conseguem diferenciar as dezenas das unidades e se formulam em alguns casos 
muitos questionamentos referentes à natureza desta diferenciação que lhes é 
imposta. (...) 
As crianças 
podem repetir, 
mesmo quando 
não 
compreenderam 
As crianças podem aplicar, em determinadas situações, um mecanismo que lhes 
foi explicado, ainda que não o compreendam. Como não compreendem, não 
podem generalizar sua aplicação a situações diferentes daquela em que lhes foi 
ensinado o mecanismo. Algumas crianças resignam-se a não entender, outras 
fazem um grande esforço por encontrar uma lógica nesse conjunto de 
informações que receberam e que para elas são contraditórias. 
Que resultados obteríamos se trabalhássemos diretamente com a numeração escrita no lugar de 
 
Sistema de 
numeração é 
economico 
A humanidade levou muitos séculos para inventar um sistema de numeração 
como este, um sistema que é muito econômico, porque permite escrever 
qualquer número utilizando só dez símbolos. Porém, justamente por ser tão 
econômico, pode tornar-se bastante misterioso para aqueles que estão 
procurando pistas (ou elementos) que lhes permitam reconstruir seus princípios. 
Se reconhecemos que o sistema de numeração é um objeto de conhecimento 
muito complexo, reconheceremos também que sua compreensão não pode ser 
conseguida simplesmente através de explicações acerca do valor das dezenas ou 
das centenas. 
Por que as 
crianças não 
aprendem 
E possível que a resposta que estamos oferecendo quando ensinamos 
"Unidades, dezenas e centenas" não corresponda a nenhuma pergunta que as 
crianças formulam e essa seja a causa de a aprendizagem destas noções não ser 
nem significava nem operativa. 
Um número é 
maior que o 
outro de acordo 
com a quantidade 
de algarismos 
No entanto, estas crianças que não compreendem o valor posicional são capazes 
de escrever e interpretar números de dois e inclusive de três algarismos e podem 
estabelecer — como temos visto no ponto referido ao valor do 0 que um número 
é maior ou menor que outro em função da quantidade de algarismos que o 
compõe. 
Compreensão do 
valor das dezenas 
e centenas não é 
Isto parece indicar que a compreensão do valor das dezenas e centenas não é 
um requisito prévio para a compreensão de outros aspectos que constituem o 
sistema de numeração. Se verificarmos o que é que sabem nossos alunos a 
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um requisito para 
a compreensão 
de outros 
aspectos 
respeito do sistema de numeração — e seguramente sabem muito mais do que 
imaginamos — isso será a base para formular problemas que tenham sentido 
para elas para ajudá-las a resolver esses problemas. 
Ensinar por 
espaços 
ocupados 
Formular os números como entidades estáticas nas quais cada algarismo ocupa 
um lugar determinado não parece ser um procedimento adequado para facilitar 
a compreensão do sistema posicional. Não deveriam ser criadas as condições 
para que as crianças descobrissem que quando escrevemos um número estamos 
colocando o resultado de um processo que consiste na agrupação sucessiva de 
uma base 10? 
As crianças de quinta série fazem uma descoberta 
Decimais em 
dinheiro é mais 
fácil 
Porém, quase todas as crianças são capazes de interpretar com exatidão o 
significado dos decimais quando estes se referem a um aspecto particular: o do 
dinheiro. (...) É provável que as interpretações corretas que as demais crianças 
fazem dos números decimais estejam mais vinculados com seu conhecimento 
extra-escolar do dinheiro que com o ensino dado pela escola. 
Decimais em 
situações 
específicas é mais 
complicada 
Para quase todas as crianças é difícil encontrar a denominação que corresponde 
aos decimais quando estes se referem a sistemas de medição específicos. 
Daremos só dois exemplos: Zuheil ( terceira série) lê 0,95 litros de três maneiras 
diferentes: "95 litros"; "95 centimos" e, finalmente, "0,95". 
Ensino por 
projetos 
Estas relações não deveriam ser "explicadas" pelo professor, e sim estabelecidas 
pela próprias crianças a partir da realização de projetos de ação que necessitem 
da utilização operacional das medidas com fins práticos, assim como a reflexão 
a respeito das mesmas. 
Agrupação 
sucessiva em base 
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Seria possível compreender melhor as relações entre décimos' centésimos ... e 
também descobrir que o zero colocado no final do número decimal não 
desempenha uma função diferenciadora (à diferença do que acontece no caso 
dos números naturais), Finalmente, a compreensão dos decimais como um tipo 
particular de frações e a vinculação entre a notação decimal e a notação 
fracionária contribuíram, seguramente, para conseguir uma reconstrução mais 
perfeita do significado dos decimais. 
A virgula ajuda 
De fato, na primeirasituação, todas as crianças de terceira série ordenam 
corretamente as quantidades, porque a vírgula ajuda a resolver todos os 
problemas que podem surgir: todos sabem que as vírgulas devem estar em 
coluna 
É muito mais 
difícil criar 
situações de 
aprendizagem 
que permitam às 
crianças descobrir 
o significado da 
multiplicação pela 
base 
- e a partir disso elas mesmas reconstruírem a regra - que lhes transmitir uma 
regra elaborada por outros e pedir-lhes que exercitem sua aplicação. Porém, 
estamos seguros que é muito mais produtivo que as crianças compreendam o 
que estão fazendo; porque não temerão o esquecimento - já que se terão 
apropriado dos elementos necessários para reconstruir o esquecido -; porque 
confiarão na regra por elas elaborada e não necessitarão "fazer a conta" para 
estarem seguras; porque isto lhes permitirá entender melhor não só esta regra 
específica como algo muito mais importante: os princípios que regem nosso 
sistema de numeração. 
 
As crianças têm 
aprendido muito 
na escola 
Todos estes conhecimentos não resultam suficientes para que compreendam o 
que é que fazem quando "se leva" ou "pede emprestado", não são suficientes 
para entender a natureza dos números decimais e diferenciá-los dos inteiros, 
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RESENHAS PEDAGÓGICAS 
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não bastam para coordenar os diversos aspectos da função do 0 em nosso 
sistema de numeração; não servem para descobrir as razões que fundamentam 
os mecanismos utilizados. 
Regras que as 
crianças criam 
Tem que haver um lugar na aula — e um lugar importante — para as regras que 
as crianças vão descobrindo e que são capazes de utilizar operativamente; 
também é preciso que se conceda um espaço para discutir os novos problemas 
que são formulados a partir destas regras, assim como as dúvidas e perguntas 
que surgem ao comparar as próprias ideias com os procedimentos 
convencionais ensinados na escola. 
Deixar de lado 
seu raciocínio 
Se o enfoque pedagógico que é adotado leva as crianças a deixarem de lado seu 
raciocínio lógico quando lhes são ensinados conteúdos matemáticos, elas 
seguramente aprenderão a adaptar-se às exigências da escola, porém não 
aprenderão matemática, porque não é possível aprender matemática 
renunciando a pensar. 
Ciência em 
evolução 
Devolvamos à matemática seu direito de apresentar-se — também na escola 
como uma ciência em permanente evolução. Devolvamos às crianças seu direito 
de pensar, também quando se trata da matemática. Devolvamos à escola o 
direito de ser um espaço de produção de conhecimento. 
 
 
A autora é contra memorização e aprendizagem sem sentido 
Todo mundo tem problema e a escola poderia nos ensinar estratégias úteis 
Propor/Criar enunciados de problemas / Sinal de igual anuncia Resultado 
Antes de “colocar no papel” deve-se proporcionar a “antecipação dos resultados das 
operações e a reflexão sobre as propriedades das operações”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESENHAS PEDAGÓGICAS 
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(VUNESP -Prefeitura de Ferraz de Vasconcelos - SP -2018) Uma professora reuniu um grupo de crianças de 2° 
ano do Ensino Fundamental I e apresentou-lhes algumas situações sobre unidades, dezenas e centenas. 
Lerner (1995) usa o exemplo apresentado para tratar de 
concepções das crianças de primeiro ano do ensino 
fundamental I acerca do sistema de numeração decimal. Para 
ela, se reconhecemos que o sistema de numeração é um objeto 
de conhecimento muito complexo, reconhecemos também que 
a. sua compreensão não pode ser obtida simplesmente 
através de explicações acerca do valor das dezenas ou das 
centenas. 
b. as crianças que não compreendem o valor posicional não 
são capazes de escrever e interpretar números de dois e três 
algarismos. 
c. a compreensão do valor das dezenas e centenas é um 
requisito prévio para a compreensão de outros aspectos do 
sistema de numeração. 
d. as crianças que não compreendem o valor posicional não 
distinguem que um número é maior que outro em função da quantidade de algarismos. 
e. a representação figurativa – como os pontos – constitui uma ajuda para a compreensão do sistema de 
numeração. 
 
(VUNESP -Prefeitura de Serrana - SP -2018) Durante o desenvolvimento de um projeto com ênfase em 
conhecimentos matemáticos, as professoras da escola Y objetivavam diagnosticar a compreensão que os alunos 
do 1º ao 5º ano tinham acerca do número zero e de seu valor posicional. Para tanto, empreenderam um diálogo 
com as crianças. Uma aluna do 2º ano disse que o zero não vale nada, porque se dão a um garoto zero bala, não 
lhe dão nada. Então, a professora lhe indagou sobre as seguintes situações: 
A situação ilustrada acerca de como as crianças interpretam o 
valor posicional do zero evidencia que 
a. é necessário tomar como ponto de partida a natureza do 
sistema posicional, assim como as ideias que as crianças têm 
construído a respeito dele através de sua interação cotidiana 
com os números. 
b. os professores dos anos iniciais do ensino fundamental 
têm dificuldade de desenvolver metodologias que ajudem os 
alunos a compreender o sistema de numeração decimal. 
c. desde os anos iniciais do ensino fundamental as crianças 
têm concepções equivocadas acerca do sistema de 
numeração decimal, como quando afirmam que o zero não 
vale nada. 
d. é importante conversar com os alunos sobre o nosso 
sistema de numeração, adotado dos romanos, para que pela história da matemática os alunos não apenas 
memorizem, mas compreendam as regras do sistema. 
e. o sistema posicional, inventado em Roma, tem regras mistas, isto é, algumas têm uma lógica que deve ser 
compreendida pelas crianças, enquanto outras devem ser memorizadas, como o valor posicional do zero. 
 
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