exercícios propostos 1-17 resolvidos

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Universidade Paulista – UNIP
Curso: Engenharia/Básico
Disciplina: Complementos de Física – Teoria
prof. Gilberto Lima
Exercícios Propostos da Apostila – págs. 135 a 142
Resoluções
1) a) No instante to = 0 s, a barra ℓ é abandonada sobre os trilhos o que promove o fechamento do circuito e o estabelecimento de uma corrente io no sentido horário produzida pelo gerador com fem ε. Nesse instante, usando a Lei das Malhas de Kirchhoff 
, teríamos a seguinte equação para descrever o circuito (lembrando que há uma resistência global R nessa malha, conforme dito no enunciado):
 Mas ocorre uma interação entre esta corrente io e o campo magnético externo 
, e, portanto, surge uma força magnética sobre a barra, cujo valor é dado por:
onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o.
 Pela regra da mão direita vê-se que tal força tende a fazer a barra mover-se para a direita.
 
 
 io 
 
 ε + 
 ℓ
 – 
 
 io io 
 
 
 
 Os trilhos e a barra estabelecem uma área atravessada pelo campo magnético 
, portanto há um fluxo magnético dado por:
 Aqui escolhi apontar para baixo o versor 
 normal à área, de tal forma a ter o ângulo α entre o campo magnético e o versor valendo 0o.
 Com o movimento da barra, a área definida por ela e pelos trilhos aumentará e, portanto, haverá também uma variação do fluxo magnético o que acarretará o surgimento de uma força eletromotriz induzida (εinduzida) e também de uma corrente induzida (iinduzida). Seus valores são dados pela lei de Faraday-Lenz e depois pela lei de Ohm:
onde v é a velocidade de deslocamento da barra.
E: 
 A função destas duas grandezas é produzir um campo magnético induzido (
) que se contraponha à variação do fluxo; no caso, como o fluxo está aumentando juntamente com a área delimitada pela barra, a fem e a corrente induzidas se estabelecem no sentido anti-horário, de forma a produzirem um campo magnético induzido com sentido para cima (regra da mão direita), para tentar compensar o aumento do fluxo magnético para baixo. Esta corrente induzida também interagirá com o campo magnético externo 
, o que produzirá uma força magnética induzida (
) que aponta para a esquerda, justamente para tentar conter o movimento original da barra para a direita; o valor dessa força magnética induzida é:
onde γ é o ângulo entre a corrente induzida e o campo magnético externo 
; no caso γ = 90o. Aqui desconsideramos o sinal negativo de iinduzida já que estamos calculando apenas o módulo da força magnética induzida.
 Todo este conjunto de grandezas induzidas é mostrado na figura abaixo.
 
 
 io 
 
 ε + 
 ℓ 
 
 
 
 io 
 
 . iind 
 
 
Voltando a aplicar a Lei das Malhas sobre este circuito, considerando agora a presença da fem induzida, teremos: 
,
onde 
, é a corrente resultante no circuito. A subtração entre as duas correntes deve-se ao fato de elas terem sentidos opostos.
b) Sobre a barra atuam duas forças: a força magnética original e a induzida, portanto, a Lei Fundamental da Dinâmica (Segunda Lei de Newton) sobre a barra resulta em: 
c) A velocidade e a corrente limites são alcançados quando as forças sobre a barra se igualam, ou seja, quando 
 Quando a barra atinge essa velocidade, a corrente resultante terá o valor:
 Ou seja, na velocidade limite: 
.
 Quer dizer que a corrente induzida assume o mesmo valor da corrente original, mas elas têm sentidos contrários e se anulam.
 Reparem que a velocidade da barra estava aumentando até atingir essa velocidade limite, em conseqüência, a taxa de variação temporal (a derivada com o tempo) do fluxo magnético também estava aumentando já que ela dependia da velocidade, em razão disso a fem induzida também aumentava com o objetivo de conter aquela tendência do fluxo. Contudo, quando a barra atinge a velocidade limite, a taxa de variação do fluxo com o tempo passa a ser constante, daí a fem induzida também se torna constante. Embora o fluxo em si continue a aumentar porque a coordenada x, da qual ele depende, ainda permaneça aumentando, a sua taxa de variação passou a ser constante e a fem induzida depende é dessa taxa.
##############################################################################
2) a) Sobre a barra colocada no plano inclinado atua a componente paralela à rampa da força da gravidade: 
, com sentido descendente (negativo, portanto).
 A barra delimita uma área sobre o plano inclinado e, portanto, determina também um fluxo magnético que atravessa essa área dado por: 
,
Note que o ângulo α entre o campo magnético e o versor 
normal à superfície atravessada pelo campo é, neste caso, igual ao próprio ângulo θ do plano inclinado como a figura abaixo procura demonstrar.
 N
 
 ℓ x’
 
 
 
 
 
 M 
 
 R 
 
 Conforme a barra desliza pelo plano inclinado, ocorre uma variação do fluxo magnético e então são induzidas uma força eletromotriz e uma corrente, ambas no sentido anti-horário. Essa corrente induzida interage com o campo magnético, gerando uma força magnética induzida sobre a barra que busca opor-se à tendência de descida desta. Portanto, pela Lei de Faraday-Lenz:
E: 
.
E ainda: 
onde γ é o ângulo entre a corrente induzida e o campo magnéticoque vale, neste caso, 90o.
 No entanto, esta força magnética não é paralela ao plano inclinado, portanto é preciso determinar a sua projeção na direção do plano inclinado que será dada pelo produto entre seu módulo e o cosseno do ângulo θ, ou seja: 
A figura abaixo procura ilustrar todas essas idéias:
 
 
 
 
 x’
 
 
 
 iinduzida
 R
 θ
 Aplicando a Segunda Lei de Newton à barra teremos:
 A velocidade limite (terminal) da barra é alcançada quando as forças se igualam, ou seja, quando a aceleração se anula e a barra passa a se mover com velocidade constante, portanto:
 
Na última passagem usei a relação: 
b) Aqui devemos demonstrar que a energia potencial gravitacional da barra é inteiramente convertida em energia elétrica, ou melhor, é convertida em energia térmica através da sua dissipação no resistor do circuito.
 Nesse resistor temos uma potência dissipada dada por: 
, onde a corrente i é a induzida pelo movimento da barra. Assim:
Introduzindo nesta expressão o valor da velocidade limite determinada no item anterior, encontramos:
 A energia potencial gravitacional da barra deve ser a origem dessa energia sendo dissipada. Tal energia é obtida de:
,
onde h é a altura que a barra está do solo e que pode ser obtida neste caso da relação: 
 Para obter a potência fornecida devemos derivar esta energia potencial pelo tempo, dessa forma:
 
Substituindo aqui a velocidade pelo valor determinado no item passado, encontramos: 
,
 Fica demonstrado então que: Pdissipada = Pfornecida, ou seja, fica evidenciada a Conservação da Energia no processo. 
##############################################################################
10)
 
 
 d 
 
 h 
 
 
 
 ℓ	
a) A espira adentra a região com campo magnético uniforme no instante que convencionaremos como sendo t = 0 s, e nesse momento ela está numa posição que especificaremos como xo = 0 m.
 
 t = 0 s 
 
 x = xo = 0 m
 O detalhe significativo deste exercício é que o fluxo magnético tem que ser calculado em três situações distintas: 
I) quando a espira está invadindo a região na qual o campo magnético está confinado; 
II) quando a espira está inteiramente dentro daquela região;
III) quando a espira está deixando a referida região.
Em cada uma dessas etapas teremos um fluxo distinto e, em conseqüência, uma fem induzida específica. Calculemos o fluxo em cada uma dessas situações:
I) Enquanto a espira invade a região magnetizada, a área dela que é atravessada pelo campo é dada por: A = hx, onde h = 5 cm = 0,05 cm. Consideremos um versor 
 normal à espira tendo sentido para baixo, de maneira a formar um ângulo de 0o com o campo magnético. 
 0 s < t < 5 s 
 
 
 h 
 
Com esse detalhe, o fluxo magnético através da espira, enquanto ela invade a região coberta pelo campo, é:
Mas, esta espira desloca-se na direção x com velocidade constante, portanto ela desenvolve um movimento retilíneo uniforme (MRU), cuja equação horária é: 
, onde, como já estabelecemos, xo = 0 m. Assim: 
, simplesmente. Portanto: 
Ingressando com os valores numéricos temos:
 Temos assim o fluxo magnético em função do tempo, mas este resultado só é válido até a espira invadir totalmente a região com campo magnético, o que ocorre no instante em que ela percorre uma distância d = 10 cm = 0,10 m, ou seja em:
.
A partir desse instante o valor do fluxo vai mudar.
 t = 5 s 
 
 
II) Quando a espira estiver completamente dentro da região com campo magnético o fluxo através dela será constante, uma vez que tanto a área quanto a intensidade do campo não variam mais. Embora a espira ainda se mova, sua área permanece a mesma e ela vai atravessando regiões em que o campo magnético tem sempre o mesmo valor (assim como mesma direção e sentido), isto acarreta uma uniformidade do fluxo magnético também. De fato, agora:
onde d = 10 cm = 0,10 m. Nenhum dos fatores que compõe o fluxo aqui se alteram com o tempo; o fluxo é, portanto, constante.
Numericamente: 
 Como a espira demorou 5 s para entrar completamente na região com campo, levará mais 5 s para sua aresta dianteira atingir a extremidade oposta da região, ou seja, ao todo demorará 10 s para começar a sair da área com campo. De fato, tendo essa área um comprimento ℓ = 20 cm = 0,20 m, então, o tempo necessário para a espira atravessar a região é:
A partir desse momento, a área da espira em contato com o campo passará a diminuir.
 t = 10 s 
 
 ℓ
III) Como o desenho abaixo procura mostrar, a área da espira em contato com o campo magnético passa a ser: 
 10 s < t < 15 s
 
 
 x
 ℓ
 Assim, o fluxo magnético na área da espira que ainda permanece dentro da região com campo magnético é:
Entrando com os valores numéricos temos:
 Quando x = (ℓ + d) = (20 cm + 10 cm) = 30 cm = 0,30 m, a espira sairá completamente da região sob influência do campo magnético. A partir desse momento não haverá mais fluxo magnético a ser calculado:t = 15 s
 
 
 
 Um gráfico representando o comportamento do fluxo magnético durante o movimento da espira teria o seguinte aspecto:
 
 
 
 
 5 
 t(s)
 0 5 10 15 
b) A fem induzida também terá um valor específico em cada uma dessas etapas do movimento da espira. Aplicando a lei de Faraday-Lenz a cada uma delas encontraremos:
I) Para 0 s < t < 5 s: 
II) Para 5 s < t < 10 s:
III) Para t > 10 s:
 O gráfico da fem induzida em função do tempo seria então:
 
 1
 
 0 5
 10 15 t (s)
 
 –1
##############################################################################
11) a) A barra juntamente com as guias delimita uma área que é atravessada pelo campo magnético redundando no aparecimento de um fluxo magnético dado por:
.
Como vê-se na figura abaixo escolhemos um versor 
 normal à essa área e com sentido para dentro, de tal forma a fazê-lo paralelo ao campo magnético e, assim, ter θ = 0o.
 A fem induzida será dada pela lei de Faraday-Lenz:
 Introduzindo os valores numéricos encontramos, em módulo:
 
 
 
 
 
 ℓ
 R 
 
 
b) O sentido em que a corrente se estabelece está indicado na figura acima. A força magnética induzida que essa corrente produz deve se opor ao movimento da barra para tentar conter o aumento do fluxo que se dá devido ao aumento da área. Para que surja uma força magnética com o sentido contrário ao da velocidade a corrente elétrica induzida deve ter o sentido horário. Com isso e usando-se a regra da mão direita constata-se que a força magnética tem o sentido correto.
 Usando a Lei das Malhas de Kirchhoff 
 teremos a seguinte equação para descrever esse circuito:
O que resulta em: 
 Portanto, a corrente induzida vale 2,5 A e tem sentido anti-horário.
##############################################################################
12) Neste exercício o enunciado já é claro quanto ao fato de o campo magnético ser perpendicular à área que ele atravessa, portanto, cosθ = 1. Daí:
A área é fixa, mas o campo magnético está variando 
(o sinal negativo é porque o campo está diminuindo), portanto:
 Agora, aplicando a lei de Ohm para essa espira obteremos:
##############################################################################
13) Novamente o enunciado do exercício já anuncia que o campo é perpendicular à área atravessada por ele, portanto, θ = 0o e cosθ = 1. O fluxo magnético será dado por:
Onde levamos em conta que se trata de uma bobina com N espiras de área A cada uma.
 A fem induzida nessa bobina é obtida pela aplicação da lei de Faraday-Lenz:
 A área não está mudando neste caso, mas apenas o campo e temos como determinar qual é a sua taxa de variação:
Portanto:
##############################################################################
14) O gráfico apresentado do fluxo magnético em função do tempo é muito similar ao obtido no exercício 10 acima, apenas diferindo nos valores. Conforme veremos, o gráfico da fem induzida também será semelhante ao daquele exercício.
 No intervalo de tempo 0 s ≤ t ≤ 0,1 s, o fluxo aumenta linearmente com o tempo. Ou seja: 
, é a equação de uma reta cujos coeficientes, a e b, devemos determinar. O coeficiente angular dessa reta pode ser obtido de:
.
Já o coeficiente linear a é claramente igual a 0 Wb neste segmento. Dessa forma obtemos:
 para 0 s ≤ t ≤ 0,1 s.
 Determinemos o valor da fem induzida neste intervalo:
 Agora, no intervalo 0,1 s ≤ t ≤ 0,3 s, vemos que o fluxo magnético é constante:
.
Obviamente então: 
 Finalmente, no intervalo 0,3 s ≤ t ≤ 0,4 s, vê-se que o fluxo decresce linearmente com o tempo, ou seja, novamente: 
, onde agora:
.
Para encontrar a usaremos o fato que quando t = 0,4 s temos 
, e daí:
 
O fluxo magnético nesse intervalo é, portanto: 
,
resultando em: 
 Combinando em um gráfico todos esses resultados da força eletromotriz em cada intervalo obtemos:
 
 
 40
 0 0,1 
 0,2 0,3 0,4 t(s) 
 –40
 
##############################################################################
15) Sobre a barra atuam três forças: 
I) O seu próprio peso Pbarra = mg; 
II) A tensão exercida pelo peso do bloco pendurado que indicarei simplesmente por Pbloco = Mg. Estas duas forças apontam para baixo. 
III) Uma força magnética com sentido para cima e que equilibra o sistema. Esta força nasce da interação entre o campo magnético externo e a corrente elétrica produzida pela bateria; seu sentido é obtido a partir da aplicação da regra da mão direita, e sua intensidade é: 
onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o.
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff 
 temos a seguinte equação para descrever esse circuito:
 onde ε é a fem fornecida pelo gerador presente, e r é a resistência da barra.
 Dessa forma, a força magnética toma a forma: 
A figura abaixo ilustra essa composição de forças.
 
 y
 ε 
 R = 20 Ω 
 yo 
 
 io 
 0M
 
 
 
a) Aplicando a 2ª. Lei de Newton a esse sistema de forças, encontramos:
Como todas as forças estão na direção y, não foi necessário adotar a notação vetorial, bastando apenas indicar os sentidos das forças com os sinais adequados (seguindo a convenção mostrada no desenho).
 Como o sistema está equilibrado, então a aceleração é nula, e, portanto, a soma das forças também é zero (a resultante de forças é nula). Assim, temos:
 Introduzindo os valores numéricos fornecidos, obtemos:
b) Quando o bloco é desconectado da barra, o equilíbrio de forças é quebrado e a barra passa a subir. Dessa forma, a área delimitada por ela e pelo circuito passa a se alterar, produzindo uma variação do fluxo magnético e, conseqüentemente, gerando uma força eletromotriz, uma corrente e uma força magnética induzidas no sistema que tentam impedir o movimento da barra. O desenho abaixo procura ilustrar a nova composição de forças que surge.
 y
 io 
 
 
 
 
 yo 
 
 iinduzida 
 
 y 
 0 
 Equacionando este sistema de força encontramos agora que:
 Para determinarmos o valor dessa força magnética induzida devemos calcular o fluxo magnético e dele obter a força eletromotriz induzida. Considerando um versor 
 normal à área apontando para dentro da página (vide figura acima), resulta que o ângulo entre o campo e o versor é zero, portanto:
 Aplicando a lei de Faraday-Lenz:
onde v é a velocidade de deslocamento da barra. Lembrando que yo é uma constante e sua derivada é nula.
 Daí podemos obter a corrente elétrica induzida:
 Da interação entre esta corrente e o campo magnético origina-se a força magnética induzida:
 Introduzindo este resultado na equação de movimento da barra temos:
Na última passagem simplesmente dividi os dois lados da expressão por m.
 Colocando nessa expressão os valores numéricos já conhecidos, encontramos:
 Neste resultado abolimos as unidades por questão de facilidade de manuseio das expressões, mas você pode realizar uma análise dimensional e conferir se tudo está coerente.
 Temos agora uma pequena equação diferencial para resolver. Devemos multiplicar ambos os lados pela diferencial dt para poder separar as variáveis e integrar, dessa forma obteremos o comportamento da velocidade da barra com o tempo. Então:
Explicando os limites de integração adotados: na primeira integral, o limite inferior é a velocidade inicial da barra que era zero, uma vez que ela estava parada quando o bloco M foi retirado; o limite final é a velocidade num instante t qualquer (fizemos uma distinção na variável de integração para não confundi-la com essa variável do extremo da integral). Na segunda integral, o limite inferior é zero porque começamos a contar o tempo no instante em que o bloco M foi liberado; o limite superior é um instante t qualquer. 
Resolvendo as integrais encontramos:
Aplicando a exponencial aos dois lados dessa expressão teremos:
 Portanto, a velocidade da barra tende exponencialmente a um valor limite. (Tente desenhar o gráfico desta função num programa como o Excel, por exemplo, e visualize o comportamento da velocidade com o tempo.)
c) A velocidade limite é alcançada quando 
 portanto:
##############################################################################
16) No instante inicial (t = 0), a barra AB é abandonada sobre os fios fechando o circuito. Nesse instante há duas forças agindo sobre ela:
I) O seu próprio peso Pbarra = mg; e
II) A força magnética produzida pela interação entre o campo magnético e a corrente elétrica que circula no circuito formado pela barra e os fios. Essa força é dada, como sempre, por:
onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o, e ε é a fem fornecida pelo gerador presente.
 A figura abaixo ilustra essas forças e indica que a força magnética aponta para baixo, segundo a regra da mão direita.
 Em t = 0 s
 ε
 R 
 
 
 io 
 
 
 
 A partir do momento em que a barra começa a mover-se para baixo, a área por ela delimitada passa a variar e, em conseqüência, ocorre também uma variação do fluxo magnético dando origem a uma força eletromotriz e a uma corrente elétrica induzidas. A interação desta corrente com o campo magnético produz uma força magnética induzida que tende a se contrapor ao movimento da barra (vide figura abaixo). Como na questão anterior podemos determinar o valor dessa força magnética seguindo o roteiro padronizado.
 io 
 
 
 iinduzida 
 
 
 y 
 
 
 
 
 Associando-se um versor 
 normal à área e com sentido para dentro, resulta que o ângulo entre o campo e esse versor é zero, portanto:
 
Aplicando a lei de Faraday-Lenz:
onde v é a velocidade de deslocamento da barra.
 Daí podemos obter a corrente elétrica induzida:
,
 Da interação entre esta corrente e o campo magnético origina-se a força magnética induzida:
 Equacionando o sistema de força encontramos que (adotando o sentido positivo do eixo y como sendo para baixo, conforme se vê na figura acima), temos:
 
Ingressando com os valores numéricos conhecidos, obtemos:
 Novamente, trata-se de uma pequena equação diferencial a ser resolvida pelo método de separação de variáveis já usado no exercício anterior:
 Já a corrente em função do tempo será obtida de:
,
onde i aqui é a corrente resultante.
 
Colocando nesta expressão os valores numéricos conhecidos, e também a velocidade recém obtida, teremos:
b) Como sempre, a velocidade limite é alcançada quando a aceleração se anula, portanto:
 Este resultado também pode ser obtido através da expressão para a velocidade em função do tempo, 
, buscando-se seu valor quando o tempo tende ao infinito (
). Neste caso: 
portanto: 
.
 Reparem, contudo, que a corrente resultante não é nula quando se atinge esta velocidadelimite. De fato:
 Esta corrente residual se faz necessária para gerar uma força magnética que compense o peso da barra e mantenha esta movendo-se com velocidade constante. O sinal negativo nela indica que esta corrente tem sentido oposto à corrente original produzida pelo gerador.
##############################################################################
17) a) Se o bloco M sobe com velocidade constante é porque a barra move-se para a direita e a resultante de forças sobre ela é nula. Nessa barra atuam três forças que nos interessam neste caso:
 I) A tensão T exercida pelo peso do bloco M, portanto T = Mg;
II) Como há uma corrente passando pela barra então deve haver uma força magnética produzida pela interação dessa corrente com o campo magnético presente. Essa força deve ter o sentido para a direita na figura uma vez que se faz necessária uma força com essa característica para compensar a tensão T, e assim manter a velocidade da barra constante. Para que, num campo magnético com a direção indicada, apareça uma força magnética horizontal apontando para a direita, é necessário que a corrente circule no sistema no sentido anti-horário (regra da mão direita). Com essa exigência já se pode então definir a polaridade do gerador G e ela é mostrada na figura abaixo.
 
 A intensidade dessa força magnética é dada por:
 
onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente, neste caso β = 90o, e ε é a fem fornecida pelo gerador presente. 
 Mas notem, contudo, que esta força magnética não aponta para a direita, mas faz sim um ângulo de 30º em relação ao plano da barra, portanto, para determinarmos o valor exato da força que arrasta a barra devemos determinar a projeção dessa força magnética no plano da espira. Isto resulta em:
 Na figura abaixo procuro demonstrar todos esses detalhes. 
 
 
 
 
 
 30o 
 R 30o 
 
 
 60o 
 
 
 –
 
 + 
 io
 x
 
III) Devido ao movimento da barra, a área delimitada por ela e pelos trilhos passa a se alterar, produzindo uma variação do fluxo magnético e, conseqüentemente, gerando uma força eletromotriz,uma corrente e uma força magnética induzidas que tentam se opor ao deslocamento da barra. 
 Escolhendo o versor normal (
) à área delimitada pelos trilhos e pela barra com sentido para cima, observa-se na figura que isto resulta num ângulo de 30o entre ele e o campo magnético, assim, a intensidade da força magnética induzida é obtida através dos seguintes passos:
i) Fluxo Magnético: 
ii) FEM Induzida: 
 
iii) Corrente Induzida: 
iv) Força Magnética Induzida: 
 
 Mas também esta força magnética não está contida no plano da espira, conforme a figura abaixo procura mostrar. Para obter a sua projeção sobre o plano da espira devemos fazer:
 
 io
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iinduzida
 
 x
 Entrando com este conjunto de forças na 2ª. Lei de Newton, temos:
 Substituindo os termos pelos valores conhecidos chega-se a:
 
 Devemos lembrar agora que a barra está-se movendo com velocidade constante, portanto:
b) No instante inicial (t = 0), desconecta-se o bloco da barra e assim se elimina a tração que este exercia sobre a ela, a equação do movimento assume então a seguinte configuração:
 
Fazendo a atribuição dos valores numéricos temos:
Novamente surge uma pequena equação diferencial para resolver:
Aplicando a exponencial aos dois membros desta expressão, obtém-se:
 A diferença entre este resultado e o apresentado na apostila deve-se ao fato de nesta o autor não ter considerado que a velocidade inicial da barra era de 5 m/s (no momento em que se solta o bloco preso a ela). Reparem que considerei o limite inferior da integração iniciada acima como sendo essa velocidade, provavelmente o autor esqueceu-se deste detalhe e iniciou sua integração com velocidade nula. Isto configura um problema, pois se usarmos o resultado da apostila no instante t = 0 s, veremos que resulta numa velocidade nula nesse momento, o que não está correto. Já o resultado aqui obtido fornece a velocidade inicial exata.
x
x
θ
 θ
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
θ
x
h
d
d
h
h
d
d
x
ℓ
iinduzida
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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