Circuitos Reativos e Resistivos

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 CIRCUITO SÉRIE/PARALELO 
 Prof. Antonio Sergio-D.E.E-CEAR-UFPB. 
 
 
 
 
 Os circuito reativos são classificados, assim como os resistivos, em 
 a) Circuitos série. 
 b) Circuitos paralelo 
 c) Circuito série-paralelo. 
 Em qualquer caso acima, vale tanto as Leis de Kirchhoff nos circuitos resistivos 
quanto nos reativos, só que no domínio dos números complexos. 
Seja um circuito série composto de duas ou mais impedâncias complexas como 
mostrado na figura abaixo. 
 
 Fig. 1 - Circuito reativo série 
 
Como se sabe, num circuito série a corrente que circula por um elemento é a 
mesma que circula pelos demais. A corrente ao circular por uma impedância provoca nele 
uma queda de voltagem representada por V1, V2 e VN, aonde tem-se: 
 
V1 = I.Z1 V2 = I.Z2 e .... VN = I.ZN (1) 
 
Fasorialmente falando, tem-se para a lei das malhas: 
 
Vent = V1 +V2 + ...VN (2) 
 
Em outras palavras, a soma do fasores de tensão do circuito é igual ao fasor de 
tensão de entrada. 
Por outro lado, a impedância equivalente do circuito é a soma das impedâncias 
presentes no mesmo. Assim 
 
ZT=Z1 + Z2 + ...+ZN (3) 
 
 Exemplo 1: Circuito RLC série. 
 
 
 Fig. 2 – Circuito RLC série 
 
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 CIRCUITO SÉRIE/PARALELO 
 Prof. Antonio Sergio-D.E.E-CEAR-UFPB. 
 
 
 
 
 Os circuito reativos são classificados, assim como os resistivos, em 
 a) Circuitos série. 
 b) Circuitos paralelo 
 c) Circuito série-paralelo. 
 Em qualquer caso acima, vale tanto as Leis de Kirchhoff nos circuitos resistivos 
quanto nos reativos, só que no domínio dos números complexos. 
Seja um circuito série composto de duas ou mais impedâncias complexas como 
mostrado na figura abaixo. 
 
 Fig. 1 - Circuito reativo série 
 
Como se sabe, num circuito série a corrente que circula por um elemento é a 
mesma que circula pelos demais. A corrente ao circular por uma impedância provoca nele 
uma queda de voltagem representada por V1, V2 e VN, aonde tem-se: 
 
V1 = I.Z1 V2 = I.Z2 e .... VN = I.ZN (1) 
 
Fasorialmente falando, tem-se para a lei das malhas: 
 
Vent = V1 +V2 + ...VN (2) 
 
Em outras palavras, a soma do fasores de tensão do circuito é igual ao fasor de 
tensão de entrada. 
Por outro lado, a impedância equivalente do circuito é a soma das impedâncias 
presentes no mesmo. Assim 
 
ZT=Z1 + Z2 + ...+ZN (3) 
 
 Exemplo 1: Circuito RLC série. 
 
 
 Fig. 2 – Circuito RLC série 
 
- ->
-
>
= EZi
-> - -
-
-
- - -
XL
XC
 2 
Num circuito RLC série a impedância é dada por 
 
 Z= (4) 
A equação acima nos leva a pensar que um circuito RLC tem três comportamentos 
aparentes: 
a) Indutivo: 
 Quando a reatância indutiva prevalece sobre a capacitiva, isto é, 
 
 (5.1) 
 
Desta forma, a parte imaginária da impedância é positiva e o circuito fica 
aparentemente indutivo. A corrente que circula pelo circuito fica atrasada em relação à 
tensão de entrada. 
 
b) Capacitivo: 
 Quando a reatância capacitiva prevalece sobre a indutiva , isto é, 
 
 (5.2) 
 
 Desta forma, a parte imaginária da impedância é negativa e o circuito fica 
aparentemente capacitivo. A corrente que circula pelo circuito fica adiantada em relação 
à tensão de entrada. 
 c) Resistivo. 
 Quando a reatância indutiva se iguala à capacitiva, isto é, 
 
 (5.3) 
 
 Desta forma, a parte imaginária da impedância se anula e o circuito fica 
aparentemente resistivo. A corrente que circula pelo circuito fica em fase em com a tensão 
de entrada. Fasorialmente, tem-se: 
 
 Fig. 3 – Diagrama fasorial da tensão de entrada e da corrente no circuito 
 RLC série 
 
De acordo com a Eq. (2.3), tem-se: 
 
 
 
Considerando que w = 2.p.f, tem-se finalmente: 
÷
ø
ö
ç
è
æ
w
-w+=
w
-w+
C
1L.jR
C
1jLjR
C
1L
w
>w
C
1L
w
+JxXc X *
XeX i
↑ xiu
w= 2i
·
 3 
 fo= (6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2: 
 
 Considere o circuito abaixo: 
 
 
 
 Onde V = 100Ð00. Determinar a impedância equivalente, a corrente que circula 
pelo circuito e as quedas de voltagem em casa um dos seus elementos. 
 
 Solução: 
 
 Zeq = 4 + j.3 – j.6 = 4 – j.3 = 5Ð-36,90 
 
 I = = 20Ð+36,90 
LC..2
1
p
o
o
9,365
0100
-Ð
Ð
M
= 1
LiTf[ = afl
fo = R + i(X, - Xd
fo
-
=
1 -
&
L
-> R
C um
·
->
-> =
Zeq
 4 
 
 
 Seja V1 a queda de voltagem no resistor; seja V2 a queda de voltagem no indutor 
e V3 a queda de voltagem no capacitor. 
 
 V1 = 20Ð+36,90 x 4 = 80Ð+36,90 = 63,97 + j.48,03 
 
 V2 = 20Ð+36,90 x 3Ð900 = 60Ð+126,90 = -36,03 + j.47,98 
 
 V3 = 20Ð+36,90 x 6Ð-900 = 120Ð-53,10 = 72,05 - j.95,96 
 
 V1 + V2 + V3 = 99,99 + j.0,05 ≈ 100Ð0o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observa-se neste exemplo que a lei das malhas num circuito série é válida 
no domínio dos números complexos. Somando-se apenas os módulos das 
voltagens, tem-se: 80 + 60 + 120 = 260V, bem diferente de 100. 
 
 No circuito abaixo, no entanto, temos um comportamento aparentemente 
resistivo. 
 
 Toda a voltagem de entrada está no resistor. 
 
Exemplo 3 
 
No circuito da Fig. 2 considere R = 100W , L = 0,01H e C = 3µF 
a) Determinar a frequência de ressonância fo. 
b) Determinar a impedância vista pela fonte de entrada com f = fo, f = 0,1fo e f = 
10fo 
c) Repetir (b) para corrente que circula pelo circuito. 
 
 
 
 5 
 
 
Solução. 
 
a) Usando os dados dos componentes na Eq. (6), tem-se para a frequência de 
ressonância: 
 
 Hz 
 
b) A impedância indutiva é: 
XL = 2.p.f.L 
 
 
 E a capacitiva é: 
 
 
 Na frequência de ressonância, tem-se: 
 
 XL = 6,2832x918,88x0,01 = 57,735 W 
 XC = W 
 
 Considerando, como foi dito acima, V1 = I.Z1 V2 = I.Z2 e .... VN = I.ZN, tem-se: 
 
 Z = 100 + j0 
 
 Isto é, a impedância geral do circuito é um numero real. Nesta freqüência a impe-
dância capacitiva de iguala em módulo à impedância indutiva. Só em módulo, por que 
em termos de impedância complexa, elas estão no eixo imaginário do plano complexo 
com sinais contrários. Nesta freqüência o circuito entra em ressonância. 
 Para f = 0,1.fo = 91,9 Hz, tem-se: 
 
 Z = 580,7Ð-800 
 
 Para f = 10.fo = 9,19 KHz, tem-se: 
 
 Z = 580,7Ð+800 
 
 É interessante calcular a tensão em cada elemento do circuito na ressonância. Antes 
disso é preciso determinara corrente que circula pelo circuito. Esta corrente é dada por: 
 
 = (7) 
 
 Supondo-se que a tensão de entrada seja 10 VRMS e com ângulo supostamente zero, 
tem-se: 
 
 
88,918
01,0x10x3.2832,6
1f
6o ==
-
C.f.2
1XC p
=
735,57
10x3x88,918x2832,6
1
6 =-
Z
VI =
bÐ
aÐ
Z
V 0
mA100A1,0
100
10V ===
->>- - - - -s -
-
-
-
-
->
->
 6 
 
 Como o ângulo da impedância na ressonância também é zero, tem-se I = 0,1Ð0o. 
Assim, seja VR a tensão desenvolvida no resistor; VL a tensão desenvolvida no indutor e 
VC a tensão no capacitor são: 
 
 VR = IxR = 0,1Ð0o.x 100 = 10Ð0o. 
 
 VL = IxZL = 0,1Ð0ox 57,735Ð90o = 5,8Ð90o = +j5,8 
 
 VC = IxZC = 0,1Ð0ox 57,735Ð-90o = 5,8Ð-90o = - j5,8 
 
 VL + VL + VC = 10 + j5,8 – j5,8 = 10. 
 
 Em diagrama fasorial tem-se: 
 
 
 VL 
 VR 
 
 VC 
 
 
 
O que valida a lei das malhas no domínio dos números complexos. 
 
Regra fundamental: 
 
 A lei das malhas num circuito série reativo só é válida no domínio dos números com-
plexos, isto é, a soma dos fasores de tensão num circuito série é igual ao fasor da tensão 
de entrada. 
 
 Convém observar neste ponto que os voltímetros alternados medem os valores 
eficazes, que são os módulos dos fasores. 
 A figura 5 mostra o efeito ressonante do circuito RLC série em que a corrente atinge 
um valor máximo na freqüência de ressonância que no caso do exemplo acima é cerca de 
918,88 Hz. 
 Quando a freqüência é menor que a da ressonância, o comportamento capacitivo do 
circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente capacitivo, pois XC é maior 
que XL (Eq. 5.2); quando a freqüência é maior que a da ressonância, o comportamento 
indutivo do circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente indutivo, pois 
XL é maior XC (Eq. 5.1). Por fim, quando a frequência é iguala da ressonância, o circuito 
tem um comportamento aparentemente resistivo. Nesta frequência o módulo da 
impedância geral do circuito tem um valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 Divisor de Tensão 
 
 Um conceito muito interessante em circuitos elétricos. Na figura 6 temos dois 
circuitos: um divisor resistivo e outro divisor de impedância. 
 
 
 Fig 6 – Divisor de tensão resistivo e divisor de por impedância. 
 
 A corrente que circula pelo circuito da esquerda é dada por: 
 
 
 
 A tensão de saída Vo = I.R2. Combinando com a equação acima tem-se: 
 
 (8.1) 
 
 Os dois resistores formam o que se conhece em circuitos elétricos por divisor 
resistivo, isto é, as duas resistências dividem a tensão de entrada, V, em dois valores que 
somados dão a tensão de entrada e Vo é um destes valores. 
 De maneira equivalente podemos chegar a uma conclusão equivalente em relação 
ao circuito da direita que a extensão da equação da esquerda no domínio complexo.: 
 
 (8.2) 
 
 Exemplo 4: 
 
 Duas impedâncias estão em série, Z1 = 4Ð30o e Z2 = 5Ð60o sob uma tensão de 
V = 20Ð60o. Determinar a corrente do conjunto, as voltagens em cada carga e somá-las 
para comparar com a voltagem de entrada. 
 
 
 
21 RR
VI
+
=
21
2
o RR
R.VV
+
=
21
2.
ZZ
ZVVo +
=
# ?
>
T
& +F = 2
1
-
 8 
 
 Solução: 
 
 Como as cargas estão em série, tem-se: 
 
 
 
 Z1 = 3,46 + j.2 ; Z2 = 2,5 + j.4,33 
 
 Z1 + Z2 = 5,96 + j.6,33 = 8,69Ð46,72o 
 
 = 2,3Ð13,28o 
 
 Quanto às tensões em cada carga, tem-se: 
 
 V1 = Z1xI = 4Ð30ox2,3Ð13,28o = 9,2Ð43,28o = 6,70 + j.6.31 
 
 V2 = Z2xI = 5Ð60ox2,3Ð13,28o = 11,5Ð73o = 3,36 + j.11 
 
 V1 + V2 = 10,06 + j.17,31 ≈ 20 Ð60o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) CIRCUITO PARALELO 
 
 
 No entendimento de instalações elétricas, tanto prediais como industriais, os 
circuitos paralelos são os mais importantes. Todas as cargas numa instalação monofásica 
(ou – que dá no mesmo – estiverem numa mesma fase) estão ligadas em paralelo. Assim, 
ao se ligar, por exemplo, numa mesma tomada um ventilador e uma lâmpada, estas cargas 
estão em paralelo. 
21
.
ZZ
VI
+
=
o
o
I
72,4669,8
.6020
Ð
Ð
=
->
=
-
↑
2 >
->>-
->
--
> -> =>
=
->
20
-
7609
 9 
 Se uma casa é ligada apenas numa fase, todas cargas desta casa estão ligadas em 
paralelo, como lâmpadas, geladeira, tv, ventilador, etc. como estão mostradas na Fig 6. 
 
 
 Fig. 6 – Diagrama esquemático de uma instalação elétrica predial monofásica 
 
 Num circuito paralelo, todas as cargas estão sujeitas à mesma voltagem, mas por 
elas circulam correntes diferentes. 
 O diagrama esquemático geral de um circuito paralelo genérico está mostrado na 
figura abaixo. 
 
 
 Fig. 7 - Circuito reativo paralelo 
 
 
 Pela Lei dos Nós, tem-se 
 
 IT = I1 + I2 + I3 + ....+ IN (9) 
 
 Isto é, a soma dos fasores de corrente de cada elemento do circuito é igual ao fasor 
da corrente total (IT) fornecida pela tensão de entrada. Ainda tem-se: 
 
 I1 = I2 = I3 = ... IN = (10) 
 
 Considerando que IT = , e combinando (9) com (10), tem-se: 
 (11) 
 
 Onde ZT é a impedância equivalente geral do circuito. Também podemos escrever: 
 
1Z
Vent
2Z
Vent
3Z
Vent
N
ent
Z
V
T
ent
Z
V
1
ZT
=
1
Z1
+
1
Z2
+.....+ 1
ZN
->
->
-> - -> ->
-> -> ->
-
↓
 10 
 Z = (12) 
 
 Por outro lado, se o circuito tem apenas duas impedâncias Z1 e Z2 tem-se de 
maneira mais simplificada: 
 
 (13) 
 
 Exemplo 5: 
 
 No circuito abaixo determinar as correntes em cada ramo do circuito, sua corrente 
total e sua impedância equivalente, sabendo-se que V = 220Ð0o 
 
 
 Solução: 
 
 O circuito tem duas impedâncias: 
 
 Z1 = 290 + j.368,8 = 469,16 Ð51,82o e Z2 = -j.596,31 = 596,31Ð-900 
 
 As correntes em cada ramo serão: 
 
 I1 = = 
 
 I2 = 
 
 IT = I1 + I2 = 0,290Ð0o 
 
 Em diagrama fasorial tem-se: 
 
T
ent
I
V
21
21
ZZ
xZZZT +
=
369,0.290,082,51469,0
82,5116,469
0220
1
j
Z
V o
o
o
-=-Ð=
Ð
Ð
=
369,0.90369,0
9031,596
0220
2
j
Z
V o
o
o
=Ð=
-Ð
Ð
=
-
->
#
-> -T
-2
-
-
# ↓ Iz
C
->
 11 
 
 
 
 
 A impedância equivalente é dada por: 
 
 Zeq = 
 
 O circuito como um todo tem comportamento aparentemente resistivo. 
 
 Exemplo 6 
 
 Determinar as correntes de cada ramo do circuito abaixo e somá-las para obter a 
corrente total V = 100Ð30o. Determinar, também, a impedância equivalente. 
 
 
 
 Solução: 
 
 Z1 = 3+ j.4 = 5Ð+ 53,1o 
 
 Z2 = 4- j.6 = 7,2Ð-56,3o 
 
 I1 = 18,40 - j.7,84I2 = 0,90 + j.13,86 
 
0
0
0
062,758
0290,0
0220
Ð=
Ð
Ð
=
TI
V
=-Ð=
Ð
Ð
= o
o
o
Z
V 1,2320
1,535
30100
1
=Ð=
-Ð
Ð
= o
o
o
Z
V 3,8689,13
3,562,7
30100
2
=
=>
-
->
↓ Es ↓2
↑
&
-
V
- i6
+ 54
-
2s z
L
 12 
 IT = I1 + I2 = 19,30 + j.6,02 = 20,22Ð17,32o 
 
 A impedância equivalente é: 
 
 Zeq = 
!
"!
 = 
#$$Ð%$"
&$,&&Ð#(,&%# = 4,94Ð12,77o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 7: 
 
 Trocando a reatância capacitiva acima de –j6 por uma indutiva de +j6 
 
 Solução: 
 
 Z1 = 3+ j.4 = 5Ð+ 53,1o 
 
 Z2 = 4+ j.6 = 7,2Ð+56,3o 
 
 I1 = 18,70 - j.7,1 
 
 I2 = 12,72 - j.5,58 
 
 IT = I1 + I2 = 31,42 - j.12,68 = 33,88Ð-24,42o 
 
 A impedância equivalente é: 
 
=-Ð=
Ð
Ð
= o
o
o
Z
V 1,2320
1,535
30100
1
=-Ð=
+Ð
Ð
= o
o
o
Z
V 3,2689,13
3,562,7
30100
2
20 ,
22A
>
->
->
=>
->
-
->
->
-> ->>
 13 
 Zeq = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IMPEDÂNCIAS EM PARALELO: METODO DAS ADMITÂNCIAS 
 
 Se várias impedâncias Z1, Z2 , e Z3 estão ligadas em paralelo a uma voltagem 
V, tem-se: 
 
 
 
 Chama-se admitância o inverso da impedância cujo símbolo é Y. Assim, 
 Y = = = = (14) 
 YT = Y1 + Y2 + .... YN 
 
 Exemplo 9 
 
 Um circuito em paralelo tem três ramos: 
 Ramo A : ZA = 3 + j10 
 Ramo B : ZB = 10 
 Ramo C : ZC = 7 + j4 
 
 O circuito é alimentado por uma tensão de 110V. Calcular pelo método das 
admitâncias a admitância total, a corrente de cada ramo e a corrente total. 
 
 Solução: 
 
 YA = = 0,096Ð-73,07o 
 
 YB = 1/10 = 0,1 = 0,1Ð0o 
 
 YC = = 0,11 –j.0,062 = 0,126Ð-29,41o 
 A corrente em cada ramo é: 
 
 IA = V x YA = 100 Ð0o x 0,096Ð-73,07o = 9,6Ð-73,07o = 2,80 - j9,18 
 
 IB = V x YB = 100 Ð0o x 0,1Ð0o = 10 + j.0 
 
0
0
0
42,5495,2
42,2488,33
30100
+Ð=
-Ð
Ð
=
TI
V
321
1111
ZZZZT
++=
Z
1
X.jR
1
+ )X.jR(x)X.jR(
X.jR
-+
+
2222 XR
X.j
XR
R
+
-
+
092,0.j028,0
10j3
1
-=
+
4j7
1
+
 14 
 IC = V x YC = 100 Ð0o x 0,126Ð-29,41o = 12,6Ð-29,41o = 10,98 - j.6,18 
 
 IA + IB + IC = 23,78 - j.15,36 = 28.31Ð-32,86o 
 
 A admitância total do circuito é: 
 
 YA + YB + YC = 0,238 - j.0,154 = 0,283Ð-32,91o 
 
 A impedância equivalente total do circuito é: 
 ZT = = 
 
TY
1
=
-Ð o91,32283,0
1
 14 
 IC = V x YC = 100 Ð0o x 0,126Ð-29,41o = 12,6Ð-29,41o = 10,98 - j.6,18 
 
 IA + IB + IC = 23,78 - j.15,36 = 28.31Ð-32,86o 
 
 A admitância total do circuito é: 
 
 YA + YB + YC = 0,238 - j.0,154 = 0,283Ð-32,91o 
 
 A impedância equivalente total do circuito é: 
 ZT = = 
 
TY
1
=
-Ð o91,32283,0
1
 14 
 IC = V x YC = 100 Ð0o x 0,126Ð-29,41o = 12,6Ð-29,41o = 10,98 - j.6,18 
 
 IA + IB + IC = 23,78 - j.15,36 = 28.31Ð-32,86o 
 
 A admitância total do circuito é: 
 
 YA + YB + YC = 0,238 - j.0,154 = 0,283Ð-32,91o 
 
 A impedância equivalente total do circuito é: 
 ZT = = 
 
TY
1
=
-Ð o91,32283,0
1