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UNIJORGE, DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS
Fenômenos de Transporte II
Exercícios – Condução
Marcos Fábio de Jesus
15 de março de 2015
1 ANÁLISE DE PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR:
METODOLOGIA – INCROPERA ET AL. [2011]
O principal objetivo desse testo é preparar o aluno(a) para resolver problemas de engenharia
que envolvam transferência de calor. Ao resolver problemas, sugeri-se o uso de um proce-
dimento sistemático, caracterizado por um formato predeterminado. Ele é constituído pelas
seguintes etapas:
1. DADOS: Após uma leitura cuidadosa do problema, escreva sucinta e objetivamente o
que se conhece a respeito do problema. Não repita o enunciado do problema;
2. ACHAR: Escreva sucinta e objetivamente o que deve ser determinado;
3. ESQUEMA: Desenhe um esquema do sistema físico. Se é previsto que as leis da conser-
vação serão aplicadas, represente no esquema a superfície ou superfícies de controle
necessárias através de linhas tracejadas. Identifique no esquema os processos de trans-
ferência de calor relevantes por meio de setas apropriadamente identificadas;
4. CONSIDERAÇÕES: Liste todas as considerações simplificadoras pertinentes;
5. PROPRIEDADES: Compile valores de propriedades físicas necessárias para a execução
dos cálculos subsequentes, identificando a fonte na qual foram obtidas;
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6. ANÁLISE: Comece sua análise aplicando as leis da conservação apropriadas e intro-
duza as equações de taxa na medida em que elas sejam necessárias. Desenvolva a aná-
lise da forma mais completa possível antes de substituir os valores numéricos. Execute
os cálculos necessários para obter os resultados desejados;
7. COMENTÁRIOS: Discuta os seus resultados. Tal discussão pode incluir um resumo
das principais conclusões, uma crítica das considerações originais e uma estimativa de
tendências obtidas através de cálculos adicionais do tipo qual seria o comportamento
se a análise de sensibilidade paramétrica.
A importância de realizar as etapas 1 e 4 não deve ser subestimada. Elas fornecem um guia
útil para pensar a respeito de um problema antes de resolvê-lo. Na etapa 7, espera-se que o
aluno(a) tenha a INICIATIVA de chegar a conclusões adicionais através da execução de cál-
culos que podem ser eventualmente efetuados em computador.
2 EXEMPLO 1.5 – ÇENGEL AND GHAJAR [2012]
O telhado de uma casa com aquecimento elétrico tem 6m de comprimento, 8m de largura
e 0,25m de espessura e é feito de uma camada de concreto cuja condutividade térmica é
κ = 0,8W /(m.K ). As temperaturas das faces interna e externa do telhado, medidas em uma
noite, são 15oC e 4oC , respectivamente, durante um período de 10 horas. Determine (a) a
taxa de perda de calor através do telhado naquela noite e (b) o custo dessa perda de calor
para o proprietário, considerando que o custo da eletricidade é de R$ 0,20/kWh. Resp.: (a)
1690W , (b) R$ 3,38
3 EXEMPLO 1.8 – ÇENGEL AND GHAJAR [2012]
Um fio elétrico de 2,0m de comprimento e 0,3cm de diâmetro se estende por uma sala a
15oC . Calor é gerado no fio como resultado do aquecimento da resistência. A medida da
temperatura na superfície do fio é 152oC , em funcionamento estável. Além disso, as medi-
das da queda de tensão e da corrente elétrica através do fio são 60V e 1,5A, respectivamente.
Ignorando qualquer transferência de calor por radiação, determine o coeficiente de transfe-
rência de calor por convecção para transferência de calor entre a superfície externa do fio e o
ar na sala. Resp.: 34,9W /(m2.K )
4 EXEMPLO 1.2 – INCROPERA ET AL. [2011]
Uma tubulação de vapor d’água sem isolamento térmico atravessa uma sala na qual o ar e
as paredes se encontram a 25oC . O diâmetro externo do tubo é de 70mm, a temperatura de
sua superfície é de 200oC e esta superfície tem emissividade igual a 0,8. Quais são o poder
emissivo da superfície e a sua irradiação? Sendo o coeficiente associado à transferência de
calor por convecção natural na superfície para o ar de 15W /(m2.K ), qual é a taxa de calor
perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo? Resp.: E = 2270W /m2; G =
447W /m2; q’=998W/m
2
5 EXEMPLO 2.2 – INCROPERA ET AL. [2011]
A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1m, em um certo
instante de tempo, é dada por:
T (x)= a+bx+ cx2
na qual T está em graus Celcius e x em metros. euquanto a = 900oC , b = −300oC/m e
c = −50oC/m2. Uma geração de calor uniforme, q˙ = 1000W /m3, está presente na parede,
cuja área é 10m2. O seu material possui as seguintes propriedades: ρ = 1600kg/m3, k =
40W /(mK ) eCp = 4k J/(kgK ).
1. Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a
parede (x = 1m). Resp.: x = 0→ q = 120kW ; x = 1m→ q = 160kW .
2. Determine a taxa de variação da energia acumulada na parede. Resp.: E˙acu =−30kW .
3. Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x =
0;0,25;0,5m. Resp.: ∂T∂t =−4,69×10−4 °C
6 EXERCÍCIO 2.20 – INCROPERA ET AL. [2011]
Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura no interior de um corpo ho-
mogêneo infinito é dada pela função
T (x, y,z)= x2−2y2+ z2−xy +2yz
considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo,
determine a regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.
Resp.: como ∂T∂t = 0 tem-se que a temperatura em qualquer ponto é independente do tempo,
para o instante em questão.
7 EXERCÍCIO 2.25 – INCROPERA ET AL. [2011]
Em uma parede plana com espessura 2L = 40mm e condutividade térmica k = 5W /(m.K )
há geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa q˙ , enquanto transferência de calor por
convecção ocorre em suas duas superfícies (x =−L,+L), cada uma exposta a um fluido com
temperatura T∞ = 20 °C. Em condições de regime estacionário, a distribuição de temperatura
no interior da parede tem a forma T (x) = a+bx + cx2, onde a = 82,0°C, b = −210°C/m, c =
−2×104 °C/m3 e x está em metros. A origem da coordenada x encontra-se no plano central
da parede.
(a) Esboce a distribuição de temperatura e identifique características físicas significativas.
(b) Qual a taxa volumétrica de geração de calor, q˙ , no interior da parede?
Resp.: q˙ = 2×105W /m3
3
(c) Determine os fluxos térmicos nas superfícies, q
′′
x(−L) e q
′′
x(+L). Como esses fluxos estão
relacionados com a taxa de geração de calor?
Resp.: q
′′
x(−L)=−2950W /m2 e q
′′
x(+L)= 5050w/m2 ; os fluxos estão relacionados com
a geração de calor através da 1a Lei da Termodinâmica
(d) Quais são os coeficiente de transferência de calor por convecção nas superfícies x =−L
e x =+L?
Resp.: h(−L)= 51W /(m2.K ) e h(+L)= 101W /(m2.K )
(e) Obtenha uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q
′′
x(x). O fluxo térmico é
nulo em algum local? Explique qualquer característica significativa desta distribuição.
Resp.: q
′′
x(x) = 1050− 2× 105x; o fluxo é nulo em x = −5,25mm (onde a temperatura
máxima)
(f) Se a fonte de geração térmica for subitamente desativada (q˙ = 0), qual é a taxa de vari-
ação da energia acumulada na parede nesse instante?
Resp.: E˙acu =−2×105W /m3
(g) Com (q˙ = 0), qual temperatura de parede será atingida após um longo período de
tempo? Que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por
unidade de área da parede (J/m2), para ela atingir esse estado? A massa específica e o
calor específico do material da parede são 2600kg/m3 e 800J/(kg .K ), respectivamente.
Resp.: T = 20oC ; E˙sai = 4,94×106 J/m2
8 EXERCÍCIO 2.37 – INCROPERA ET AL. [2011]
Um tubulação de vapor é envolvida por isolamento térmico cujos raios interno e externo
são r1 e r2, respectivamente.Em um dado instante de tempo, sabe-se que a distribuição de
temperatura no isolamento tem a forma
T (r )=C1ln
(
r
r2
)
+C2
O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam com o raio o
fluxo térmico e a taxa detransferência de calor?
Resp.: Regime estacionário já que ∂T∂t = 0; A taxa de transferência de calor é independente do
raio enquanto o fluxo térmico é inversamente proporcional ao raio.
9 EXERCÍCIO 3.02 – INCROPERA ET AL. [2011]
O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre a super-
fície interna.
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a) Se o ar quente está a T∞,1 = 40oC e o coeficiente de transferência de calor por con-
vecção correspondente é de h1 = 30W /(m2.K ), quais são as temperaturas das super-
fícies interna e externa do vidro, que tem 4mm de espessura, se a temperatura do
ar ambiente externo for T∞,2 = −10oC e o coeficiente convectivo associado for h2 =
65W /(m2.K ) ?
b) Na prática, T∞,2 e h2 variam com as condições climáticas e com a velocidade do carro.
Para valores de h2 = 2;65e100W /(m2.K ), calcule represente graficamente as tempe-
raturas das superfícies interna e externa do vidro como funções de T∞,2, para −30 ≤
T∞,2 ≤ 0oC
Resp.: (a) q
′′ = 969W ; Tint = 7,7oC e Text = 4,9oC
10 EXEMPLO 3.04 – INCROPERA ET AL. [2011]
O diagrama mostra uma seção cônica fabricada em pirocerâmica. Ela possui seção transver-
sal circular com diâmetro D = ax, onde a = 0,25. A base pequena se encontra a x1 = 50mm e
a maior em x2 = 250mm. As temperaturas nas bases são T1 = 400K e T2 = 600K . A superfície
lateral do cone é isolada termicamente. (a) Deduza uma expressão literal para a distribuição
de temperatura T (x) supondo condições unidimensionais. Esboce a distribuição de tempe-
ratura; (b) Calcule a taxa de transferência de calor q , através do cone.
Resp.: (a) T (x)= T1+ (T1−T2)
[
(1/x)−(1/x1)
(1/x1)−(1/x2)
]
; (b) qx =−2,12W
11 EXEMPLO 3.05 – INCROPERA ET AL. [2011]
A possível existência de uma espessura ótima para uma camada de isolamento térmico em
sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento
dessa espessura. Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição do
isolante, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa.
Dessa forma, deve existir uma espessura de isolamento que minimize a perda de calor pela
maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esse problema levando em
consideração o seguinte sistema:
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1. Um tubo de cobre com parede delgada, de raio ri , é usado para transportar um refrige-
rante a uma baixa temperatura Ti , que é inferior a temperatura ambiente T∞ adjacente
ao tubo. Há uma espessura ótima associada à aplicação de isolamento sobre o tubo?
2. Confirme o resultado anterior calculando a resistência térmica total, por unidade de
comprimento do tubo, em um tubo com 10mm de diâmetro possuindo as seguintes
espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20 e 40mm. O isolamento é composto por vidro
celular (κ= 0,055W /(m.K )) e o coeficiente de transferência de calor por convecção em
sua superfície externa é de 5W /(m2.K ).
Resp.: (1) Não existe espessura ótima de isolamento e sim um raio crítico de isolamento, onde
abaixo dele a taxa de calor aumenta e acima dele diminui (rcr i t i co = κh ); (2) rcr i t i co = 0,011m
12 EXEMPLO 3.05 – INCROPERA ET AL. [2011]
A possível existência de uma espessura ótima para uma camada de isolamento térmico em
sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento
dessa espessura. Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição do
isolante, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa.
Dessa forma, deve existir uma espessura de isolamento que minimize a perda de calor pela
maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esse problema levando em
consideração o seguinte sistema:
1. Um tubo de cobre com parede delgada, de raio ri , é usado para transportar um refrige-
rante a uma baixa temperatura Ti , que é inferior a temperatura ambiente T∞ adjacente
ao tubo. Há uma espessura ótima associada à aplicação de isolamento sobre o tubo?
2. Confirme o resultado anterior calculando a resistência térmica total, por unidade de
comprimento do tubo, em um tubo com 10mm de diâmetro possuindo as seguintes
espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20 e 40mm. O isolamento é composto por vidro
celular (κ= 0,055W /(m.K )) e o coeficiente de transferência de calor por convecção em
sua superfície externa é de 5W /(m2.K ).
Resp.: (1) Não existe espessura ótima de isolamento e sim um raio crítico de isolamento, onde
abaixo dele a taxa de calor aumenta e acima dele diminui (rcr i t i co = κh ); (2) rcr i t i co = 0,011m
REFERÊNCIAS
Frank P. Incropera, David P. Witt, Theodore L. Bergman, and Adrienne S. Lavine. Fundamen-
tos de Transferência de Calor e Massa. 6 edition, 2011.
Yunus A. Çengel and Afshin J. Ghajar. Transferência de Calor e Massa. 4 edition, 2012.
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