Métodos Numéricos em Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ (UVA)
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
Profº. JULIO CESAR SOUSA
1CONTEÚDO
Nº de encontros: 09
• Avaliação parcial 1 (AP1): 20/08/2024
_2ª Chamada da AP1: 27/08
• Avaliação parcial 2 (AP2): 10/09/2024
_2ª Chamada da AP2: 17/08
• Avaliação parcial 3 (AP3): 24/09/2024
_2ª Chamada da AP3: ?
Nota de Avaliação Final (NAF): 01/10/2024
Início da disciplina
Fim do semestre
_____________
(*) Cronograma sujeito a alterações, previamente informada!
___OBJETIVO(S)
• Conhecer alguns tipos de , (ii) saber implementá-los a outra 
linguagem (programação, por exemplo) e (iii) aplicá-los apropriadamente para 
soluções de problemas no mundo real.
Métodos numéricos: “...correspondem a um conjunto de ferramentas ou 
métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de 
forma aproximada. Esses métodos se aplicam a problemas que não 
apresentam uma solução exata , portanto precisam ser resolv idos 
numericamente.” 1 
_____________
1 Fonte: https://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/calnumI.pdf . Acessado em 02/08/2024.
�. (��) = �
ü Não possui solução analítica ü Possui solução analítica, mas um cálculo 
impraticável. Por exemplo: Resolva o 
sistema linear 10000 x 10000 usando 
Cramer.
_____________
Fonte: Profª Emanuele Santos (https://www.youtube.com/watch?v=WOoGUJQiLOs&list=PLomBG50UAP0m9ukqkap2GqlPXOBUq8FaL), acessado em 02/08/2024
1.1. Métodos numéricos; 
1.2. Apresentação dos problemas; 
1.3. Definição, tipos e fontes de erros; 
1.4. Propagação de erros; 
1.5. Algarismos significativos e arredondamento; 
1.6. Processos infinitos e recursividade; 
1.7. Síntese e conclusões.
1.8. Referências bibliográficas
___ INTRODUÇÃO
“A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da 
aplicação de métodos numéricos nem sempre fornece valores que se encaixam 
dentro de limites razoáveis. Esta afirmação é verdadeira mesmo quando se 
aplica um método adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira 
correta.
Esta diferença é chamada de e é inerente ao processo, não podendo, em 
muitos dos casos, ser evitada.”
Vejamos algumas fonte de erros, o problema de solução de 
um problema físico, por meio da aplicação de métodos 
númericos.
PROBLEMA 
FÍSICO
MODELO 
MATEMÁTICO SOLUÇÃO
PROBLEMA 
FÍSICO
MODELO 
MATEMÁTICO SOLUÇÃO
São erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para 
que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser 
representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser 
tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.
___Supondo-se que um engenheiro queira 
determinar a altura de um edifício e que para 
isso disponha apenas de uma bolinha de metal, 
um cronômetro e a formula, 
ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo 
que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 
segundos.
H 
� = 0 + 0. (3) +
1
2
(9,8)(3)² ≈
Este resultado é 
confiável?
PROBLEMA 
FÍSICO
MODELO 
MATEMÁTICO SOLUÇÃO
São erro provenientes da utilização de algum equipamento, como, por 
exemplo, um computador, para processarmos os cálculos necessáriosa à 
obtenção de uma solução para o modelo matemático.
VAMOS PENSAR UM POUCO!
Um determinado banheiro possui dimensões de piso igual a 
1,545m x 2,356m e que desejo revestir utilizando cerâmica cuja 
dimensões são equivalente a 25,3cm x 30,1cm. Considerando 
que p rec isaremos te r uma espessura de “ re jun te” 
correspondendo a 2,85mm qual a quantidade aproximada, por 
arredondamento, de peças cerâmicas que pecisarei?
Erros na fase de resolução ocorrem devido 
a o f a t o d e o e q u i p a m e n t o t e r e m 
capacidade limitada para armazenar os 
d í g i t o s s i g n i f i c a t i v o s d e v a l o r e s 
numéricos u t i l izados nas operações 
elementares de adição, mult ipl icação, 
subtração e divisão.
• Nesta fase são classificados em:
ERROS DE MUDANÇA DE BASE 
ERROS DE REPRESENTAÇÃO
Dado um numero real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da 
seguinte forma: 
�� = 
�=�
�
�� . �� �� ∈ 0, 1, 2, 3, . . . (� − 1) , s e n d o n e m 
inteiros.
(Arquitetura computacional)
�� = 
�=�
�
�� . �� �� ∈ 0, 1, 2, 3, . . . (� − 1) , sendo n e m inteiros.
ü BASE BINÁRIA
�� = 
�=�
�
�� . ��, �� ∈ 0, 1 
v Exemplo (1):
(1011)2 = 1.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23 = 1 + 2 + 0 + 8 = (11)10 
(111.01)2 = 1.2-2 + 0.2-1 + 1.20 + 1.21 + 1.22 = 0,25 + 0 + 1 + 0,50 + 0,25 = (2)10 
ü BASE DECIMAL
��� = 
�=�
�
�� . ���, �� ∈ 0, 1, 2, 3, . . . . , 9 
v Exemplo (2):
(18)10 
18/2 = 9 resto 0
 9/2 = 4 resto 1
 4/2 = 2 resto 0
 2/2 = 1 resto 0 
(14,25)10 = (14)10 + (0,25)10 = (1110)2 + (0.01)2 
14/2 = 7 resto 0
 7/2 = 3 resto 1
 3/2 = 1 resto 1
0,25.(2) = 0,50 inteira é 0, fracionária 0,50
0,50.(2) = 1 inteira é 1
Chama-se erro de arredondamento de um número decimal ao erro que se comete 
limitando-se a sua apresentação na decimal de ordem n, que deve ser aumentada 
de uma unidade se o primeiro algarismo é maior ou igual a 5.
Exemplo: Consideremos o número � = 3,1415926535. . . .Vamos definir um 
processo de representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos. 
_____________
Outra maneira de conhecer a precisão de um valor aproximado é ter informação sobre o número de 
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS dessa aproximação, i. é, número de algarismos da esquerda para a direita e 
a partir do primeiro dígito diferente de zero.
São erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou 
muito grandes para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são 
truncados.
Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções matemáticas, 
tais como, exponeciação, logarítmos, funções trigonométicas e várias outras que 
uma máquina pode ter.
Exemplo: Considerando o � = 3,1415926535. . . , temos que:
_Definição
���� = ��� − ������ 
onde, ��� é o valor exato da grandeza considerada e ������ é o valor aproximado 
da mesma.
Quando o valor exato não é disponível é necessário trabalharmos com um valor 
limitante superior para o erro (�).
 ��� − ������ ≤ � ⟺− � ≤ (��� − ������) ≤ � ⟺ ������ − � ≤ ��� ≤ ������ + �
Exemplo: Tomemos o valor exato 2,5392 cujo valor aproximaod temos 2,54. Qual o 
valor absoluto apresentado?
_Definição
���� = 
����
���
 =
 ��� − ����� 
 ��� 
onde, ��� é o valor exato da grandeza considerada e ������ é o valor aproximado 
da mesma.
Quando o valor exato não é disponível é necessário trabalharmos com um valor 
limitante superior para o erro (�).
Exemplo: Qual o valor relativo encontrado no exemplo anterior?
Erro Sistemático
São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São 
provenientes de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento 
utilizado.
Erros Acidentais
São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável.
Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são: 
Imperícia do operador; Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na 
observação de uma mesma grandeza por vários observadores; Erros de paralaxe; 
Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um cronômetro); 
dentre outros
1. Representar na base binária o seguintes números decimais:
(a) (13)10 (b) (29,75)10 (c) (17,6)10 (d) (0,46875)10 (e) (4
3
)10 
2. Represente na base decimal
(a) (110110)2 (b) (00110)2 (c) (011.01)2 (d) (111.11)2
3. Um número 1,7523 tem seu valor aproximado1,75. Qual o erro absoluto?
4. Qual o erro absoluto cometido quando se toma 0,45 para valor aproximado de 7
16
?
5. Qual o erro relativo cometido quando se toma 3,27 para valor aproximado do 
número 3,27125?
6. Qual o erro relativo cometido no número exato 7
16
 se o erro absoluto é 1
80
 ? 
Discuta o resultado quanto a representação numérica.
7. Seja x = 123456,789 e sua aproximação vale 123000. O valor relativo é?
8. Sejam � = 1,23456789 e � = 1,13. O erro absoluto é?
9. Represente os seguintes númeroscom três dígitos significativos usando 
arredondamento por truncamento e arredondamento por proximidade.
a) 3276 b) 42,55 c) 0,00003331
10. Calcule o erro relativo e absoluto envolvido nas seguintes aproximações e 
expresse as respostas com três algarismos significativos corretos.
a) � = 3,1415926535898 e � = 3,141593. a) � = 1
7
 e � = 1,43. 10−1.
BARROSO, Leonidas Conceição. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2ª 
edição - São Paulo. Editora Harbra ltda. 1987. 367p.
ARENALES, Selma; DAREZZO, Arthur. Cálculo numérico: aprendizagem com 
apoio de software. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 364p.