Exercício Resolvido Reações apoio, Q, M

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EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
 
 
Considere a estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
De forma equivalente, podemos obter: 
 
 
 
 
onde: d1 = 1,25 m 
 d2 = 4,00 m 
 c2 = 5,50 m 
 d3 = 7,25 m 
 c3 = 9,00 m 
 c4 = 12,50 m 
 d4 = 14,50 m 
 
 
 
 
Cálculo das cargas distribuídas: 
 
Pw1 = 18 x 2,5 = 45 kN 
Pw2 = 48 x 3 = 144 kN 
Pw3 = 24 x 3,5 = 84 kN 
Pw4 = 48 x 4 = 192 kN 
 
 
 
 
Cálculo da intensidade e posição da força resultante: 
 
 
 
 
 
 
SA = P1 + P2 + P3 + P4 + Pw1 +Pw2 + Pw3 + Pw4 
SA = 22,5 + 63 + 9 + 36 + 45 + 144 + 84 + 192 
SA = 595,5 kN 
 
 
SA⋅as = P1⋅c1 + Pw1⋅d1 +Pw2⋅d2 + P2⋅c2 + Pw3⋅d3 + P3⋅c3 + P4⋅c4+ Pw4⋅d4 
595,5⋅as = 22,5⋅0 + 45⋅1,25 + 144⋅4,0 + 63⋅5,5 + 84⋅7,25 + 9⋅9,0 + 36⋅12,5 + 192⋅14,5 
as = 8,23 m 
logo: Ltotal = L1 + Lv 
 Ltotal = 2,5 + 14 = 16,5 m 
 
 js = Ltotal – as 
 js = 16,5 – 8,23 = 8,27 m 
 
 
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
ΣMj = 0 
SA⋅js – Rc⋅Lv = 0 
595,5⋅8,27 - Rc⋅14 = 0 
Rc = 351,77 kN 
 
SA = Rc + Rj 
595,5 = 351,77 + Rj 
Rj = 243,73 kN 
 
 
 
 
Cálculo dos Esforços: 
 
 
 
 
 
¾ Esforços Cortantes: 
 
À esquerda: 
 
 V1(x1) = -P1 –W1⋅x1 
 
 V2(x2) = -P1 –Pw1 –W2 (x2 – x20) + Rc 
 
 V3(x3) = -P1 –Pw1 –Pw2 –P2 –W3 (x3 – x30) + Rc 
 
 V4(x4) = -P1 –Pw1 –Pw2 –P2 –Pw3 –P3 + Rc 
 
À direita: 
 
 V4(x4) = -Rj + Pw4 + P4 
 
 V5(x5) = -Rj + W4 (xal – x5) 
 
 
Facilitando os cálculos: 
 
 V1(x1) = -22,5 –18⋅x1 
 
 V2(x2) = 284,27 –48(x2 – 2,5) = 404,27 -48⋅x2 
 
 V3(x3) = 77,27 –24(x3 – 5,5) = 209,27 -24⋅x3 
 
 V4(x4) = -15,73 
 
 V5(x5) = -243,73 + 48(16,5 – x5) = 548,27 - 48⋅x5 
 
 
 
¾ Momento Fletor: 
 
À esquerda: 
 
 M1(x1) = -P1⋅x1 –W1⋅ 2
x 21 
 
 M2(x2) = -P1⋅x2 –Pw1(x2 –d1) –W2 2
) x- (x 2202 + Rc(x2 –L1) 
 
 M3(x3) = -P1⋅x3 –Pw1(x3 –d1) –Pw2(x3 –d2) –P2(x3 –c2) –W3 2
) x- (x 2303 + Rc(x3 –L1) 
 
À direita: 
 
 M4(x4) = Rj (xal –x4)-Pw4 (d4 –x4) –P4 (c4 –x4) 
 
 M5(x5) = Rj (xal –x5) –W4 2
) x- (x 25al 
 
 
Facilitando os cálculos: 
 
 M1(x1) = -22,5⋅x1 – 9⋅x12 
 
 M2(x2) = -22,5⋅x2 –45(x2 –1,25) –48 2
2,5) - (x 22 + 351,77(x2 –2,5) 
 = -22,5⋅x2 –45⋅x2 +56,25 –24(x22 –5⋅x2 + 6,25) + 351,77⋅x2 –879,425 
 = 284,27⋅x2 –823,175 –24⋅x22 + 120⋅x2 -150 
 M2(x2) = 404,27⋅x2 –973,175 –24⋅x22 
 
 M3(x3) = -22,5⋅x3 –45(x3 –1,25) –144(x3 –4) –63(x3 –5,5) –24 2
5,5)- (x 23 + 
351,77(x3 –2,5) 
 = -22,5⋅x3 –45⋅x3 + 56,25 –144⋅x3 + 576 –63⋅x3 + 346,5 –12(x32 -11⋅x3 + 
30,25) + 351,77⋅x3 –879,425 
 = -77,27⋅x3 –12⋅x32 + 132⋅x3 -363 + 99,325 
 M3(x3) = -12⋅x32 + 209,27⋅x3 –263,675 
 
 M4(x4) = 243,73(16,5 –x4)-192(14,5 –x4) –36(12,5 –x4) 
 = 4021,545 –243,73⋅x4)-2784 + 192⋅x4 –450 + 36⋅x4 
 M4(x4) = 787,545 –15,73⋅x4 
 
 M5(x5) = 243,73(16,5 –x5) –48 2
) x- (16,5 25 
 = 4021,545 -243,735⋅x5 –24(272,25 -33⋅x5 + x52) 
 = 4021,545 -243,735⋅x5 –6534 +792⋅x5 -24 x52 
 M5(x5) = -2512,455 + 548,27⋅x5 -24 x52 
 
 
Obtenção dos valores de xi, V(xi) e M(xi): 
 
 
Trecho L1: 
 Número de divisões: ndiv = 5 
 5,0
5
5,2
ndiv
L1
1 ===δ 
 i = 0,...,5 
 x1i = x10 + 0,5i ⇒ x1i = 0,5i 
 
i x1i V1(x1i) M1(x1i) 
0 0 -22,5 0 
1 0,5 -31,5 -13,5 
2 1,0 -40,5 -31,5 
3 1,5 -49,5 -54,0 
4 2,0 -58,5 -81,0 
5 2,5 -67,5 -112,5 
 
 
 
Trecho L2: 
 Número de divisões: ndiv = 6 
 5,0
6
3
ndiv
L2
2 ===δ 
 i = 0,...,6 
 x2i = x20 + 0,5i ⇒ x2i = 2,5 + 0,5i 
 
i x2i V2(x2i) M2(x2i) 
0 2,5 284 -112,5 
1 3,0 260 23,6 
2 3,5 236 147,7 
3 4,0 212 259,9 
4 4,5 188 360 
5 5,0 164 448 
6 5,5 140 524 
 
 
 
Trecho L3: 
 Número de divisões: ndiv = 7 
 5,0
7
5,3
ndiv
L3
3 ===δ 
 i = 0,...,7 
 x3i = x30 + 0,5i ⇒ x3i = 5,5 + 0,5i 
 
i x3i V3(x3i) M3(x3i) 
0 5,5 77 524 
1 6 65 560 
2 6,5 53 589 
3 7 41 613 
4 7,5 29 630 
5 8,0 17 642 
6 8,5 5 648 
7 9,0 -7 647 
 
 
 
Trecho L4: 
 Número de divisões: ndiv = 7 
 5,0
7
5,3
ndiv
L4
4 ===δ 
 i = 0,...,7 
 x4i = x40 + 0,5i ⇒ x1i = 9 + 0,5i 
 
i x4i V4(x4i) M4(x4i) 
0 9 -16 646 
1 9,5 -16 638,11 
2 10 -16 630,25 
3 10,5 -16 622,4 
4 11 -16 614,52 
5 11,5 -16 606,7 
6 12 -16 599 
7 12,5 -16 591 
 
 
 
Trecho L5: 
 Número de divisões: ndiv = 4 
 1
4
4
ndiv
L5
5 ===δ 
 i = 0,...,4 
 x5i = x50 + i ⇒ x5i = 12,5 + i 
 
i x5i V5(x5i) M5(x5i) 
0 12,5 -52 591 
1 13,5 -100 516 
2 14,5 -148 391,5 
3 15,5 -196 219,7 
4 16,5 -244 0 
 
Diagrama do Esforço Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama do Momento Fletor: