Matemática Revisada 011

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Matemática (011)
	CENTROWEG
MATEMÁTICA
 (011)
CURSO: GERAL
5ª revisão: Janeiro de 2012 (Cezar Varnier)
	
	
ÍNDICE
91
NOÇÕES FUNDAMENTAIS
91.1
Sistema de Numeração
111.2
Leitura de um Número
111.3
Escrita de um Número
121.4
Exercícios
132
CONJUNTOS NUMÉRICOS
132.1
Números Naturais (N)
132.2
Números Inteiros (Z)
142.3
Números Racionais (Q)
152.4
Números Irracionais (I)
152.5
Números Reais (R)
163
Operações Fundamentais
163.1
Operações Fundamentais com Números Inteiros
163.1.1
Adição:
173.1.2
Subtração:
173.1.3
Multiplicação:
193.1.4
Divisão:
193.1.5
Potenciação:
203.1.6
Radiciação:
213.2
Expressões Numéricas ou Aritméticas
223.3
Exercícios
233.4
Números Decimais
233.4.1
Leitura e Escrita de Números Decimais
243.4.2
Propriedades dos Números Decimais
243.4.3
Critérios de Aproximação
253.5
Operações Fundamentais com Números Decimais
253.5.1
Adição:
253.5.2
Subtração:
253.5.3
Multiplicação:
263.5.4
Divisão:
283.5.5
Potenciação
293.5.6
Radiciação
29
293.5.7
Potência de 10:
313.6
Exercícios
414
DIVISIBILIDADE
414.1
Múltiplos e Submúltiplos
414.2
Números Pares e Ímpares
414.3
Critérios de Divisibilidade
414.3.1
Divisibilidade por 2:
424.3.2
Divisibilidade por 3:
424.3.3
Divisibilidade por 4:
424.3.4
Divisibilidade por 5:
424.3.5
Divisibilidade por 6:
424.3.6
Divisibilidade por 9:
434.3.7
Divisibilidade por 10:
434.4
Exercícios
445
NÚMEROS PRIMOS
445.1
Definição de Números Primos
445.2
Números Primos Entre si
455.3
Crivo de Eratóstenes
465.4
Exercícios
476
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM
476.1
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
476.2
Determinação do Mínimo Múltiplo Comum
486.3
Determinação do Mínimo Múltiplo Comum Entre 2 Números Primos
486.4
Exercícios
496.5
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
496.6
Determinação do Máximo Divisor Comum
496.7
Propriedades de MMC e MDC
506.8
Exercícios
517
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
517.1
A Necessidade de um Sistema Internacional
517.2
As Três Classes de Unidades do SI
527.2.1
Unidades de Base
537.2.2
Unidades Derivadas
557.2.3
Unidades Suplementares
567.3
Regras para a Escrita e Emprego dos Símbolos das Unidades SI
577.4
Múltiplos e Submúltiplos Decimais
577.5
Regras para Emprego dos Prefixos no SI
587.6
Unidades Não Pertencentes ao SI
587.6.1
Unidades Em Uso com o SI
587.6.2
Unidades Admitidas Temporariamente
597.7
Sistema Métrico Decimal
597.7.1
Noções Fundamentais
597.7.2
Base do Sistema Métrico
607.7.3
Medida de Grandeza
617.7.4
Escrita e Leitura das Medidas Métricas
617.7.5
Conversões – Mudanças de Unidades
627.7.6
Emprego das Unidades Métricas
627.7.7
Instrumentos e Aparelhos de Medição de Comprimentos
627.7.8
Adição e Subtração de Medidas de Comprimento
637.8
Alguns Enganos
637.9
Exercícios
667.10
Conversão de Unidades com Potências
677.11
Volúme e Capacidade
687.12
Tabelas para Conversão de Unidades Métricas
697.13
Exercícios
707.14
Medidas Angulares
707.14.1
Sistema Sexagesimal
707.14.2
Sistema Decimal
707.14.3
Sistema Circular
707.15
Exercícios
707.16
Operação Com Unidades de Medidas de Tempo e Ângulos:
717.16.1
Adição:
717.16.2
Subtração:
717.16.3
Multiplicação:
717.16.4
Divisão:
727.17
Exercícios
738
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
738.1
Representação de uma Fração
748.2
Significado dos Termos da Fração
748.3
Leitura de uma Fração
758.4
Tipos de Frações Ordinárias
758.4.1
Fração Própria
758.4.2
Fração Imprópria
768.4.3
Número Misto:
768.4.4
Transformação de Fração Imprópria em Número Misto:
768.4.5
Transformação de Número Misto em Fração Imprópria:
778.5
Exercícios
788.6
Simplificação de Frações Ordinárias
788.7
Frações Ordinárias Equivalentes
798.8
Redução de Frações Ordinárias ao Mesmo Denominador
798.9
Comparação de Frações Ordinárias
798.9.1
Frações de Mesmo Denominador ou Homogêneas:
808.9.2
Frações com Mesmo Numerador:
808.9.3
Frações com Numeradores e Denominadores Diferentes (Heterogêneas):
818.10
Exercícios
828.11
Operações com Frações Ordinárias
828.11.1
Adição:
838.11.2
Subtração:
838.11.3
Multiplicação:
848.11.4
Divisão:
848.11.5
Potenciação:
858.12
Exercícios
898.13
Conversão de Frações Ordinárias
898.13.1
Conversão de Fração em Número Decimal:
898.13.2
Conversão de Número Decimal em Fração:
898.13.3
Dízimas Periódicas:
898.13.4
Conversão de Fração em Dízima Periódica:
908.13.5
Conversão de Dízima Periódica em Fração:
908.14
Operações Combinadas de Frações Ordinárias ou Expressões
928.15
Exercícios
949
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
949.1
Sentenças Numéricas
959.2
Equação
959.2.1
Resolução de uma Equação
969.2.2
Desigualdades (Inequações)
969.3
Conjunto Verdade (Solução) e Conjunto Universo de uma Equação
979.4
Exercícios
989.5
Equação do 1º Grau com Duas Variáveis
989.5.1
Resolução de Equação do 1º grau com Duas Variáveis
999.6
Sistemas de Equações
999.6.1
Resolução de Sistema de Equações pelo Processo da Substituição
1019.6.2
Resolução de Sistema de Equações pelo Processo da Adição
1039.7
Problemas do 1º grau
1049.8
Exercícios
10710
MATRIZES
10810.1
Representação Algébrica
10910.2
Exercícios
11010.3
Tipos de Matriz
11010.3.1
Matriz Nula
11010.3.2
Matriz Oposta
11010.3.3
Matriz Transposta
11010.3.4
Matriz Quadrada
11110.3.5
Matriz Diagonal
11110.3.6
Matriz Identidade
11210.4
Igualdade de Matrizes
11210.5
Exercícios
11310.6
Operações com Matrizes
11310.6.1
Adição e Subtração
11410.6.2
Exercícios
11510.6.3
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
11610.6.4
Exercícios
11610.6.5
Multiplicação de Matrizes
11810.6.6
Método Prático para resolver a Multiplicação de Matrizes
11910.6.7
Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
12010.6.8
Propriedades Que Não se Aplicam a Multiplicação de Matrizes:
12210.6.9
Exercícios
12210.7
Matriz Inversa
12410.8
Determinantes
12410.8.1
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª e de 2ª Ordem
12510.8.2
Exercícios
12610.8.3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem
12710.8.4
Exercícios
12810.9
Sistemas Lineares
12810.9.1
Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares
13010.10
Exercícios
13010.11
Classificação dos Sistemas Lineares
13110.12
Regra de Cramer
13510.13
Discussão de um Sistema Linear
13610.14
Exercícios
13711
RAZÃO E PROPORÇÂO
13711.1
Razão
13711.1.1
Representação e Leitura
13711.1.2
Razão Inversa
13711.2
Exercícios
13811.3
Proporção
13811.3.1
Representação e Leitura
13811.3.2
Propriedade Fundamental das Proporções:
13911.3.3
Grandezas Diretamente Proporcionais
13911.3.4
Grandezas Inversamente Proporcionais
13911.4
Regra de Três
14011.4.1
Regra de Três Simples Direta
14011.4.2
Regra de Três Simples Inversa
14111.5
Exercícios
14311.6
Regra de Três Composta
14411.7
Exercícios
14611.8
Porcentagem
14611.9
Exercícios
14812
Cálculo Algébrico
14812.1
Introdução
14812.1.1
O Uso das Expressões Algébricas
14812.1.2
Elementos Históricos
14812.2
Expressões Algébricas
14912.2.1
Termo Algébrico
14912.2.2
Monômios e Polinômios
15012.2.3
Valor numérico:
15012.3
Operações Algébricas
15012.3.1
Regra dos Sinais
15112.3.2
Regras de Potenciação
15112.3.3
Eliminação de Parênteses em Monômios
15212.3.4
Adição ou Subtração:
15312.3.5
Multiplicação:
15312.3.6
Divisão:
15612.3.7
Potenciação
15712.3.8
Radiciação
15912.4
Exercícios
16012.5
Produtos Notáveis
16112.5.1
Quadrado da soma de dois números:
16112.5.2
Quadrado da diferença de dois números:
16112.5.3
Produto da soma pela diferença de dois números:
16112.6
Exercícios
16212.7
Fatoração de expressões algébricas
16212.7.1
Fator Comum em Evidência
16312.7.2
Fatoração por Agrupamento
16412.7.3
Diferença de Dois Quadrados:
16412.7.4
Trinômio que é Quadrado Perfeito
16512.7.5
Trinômio de Segundo Grau
16512.8
Exercícios
16612.9
Operações com Frações Algébricas
16712.9.1
Mínimo Múltiplo Comum nas Expressões Algébricas(M.M.C.)
16812.9.2
Adição e Subtração
16912.10
Exercícios
17013
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
17013.1
Tipos de Equações do 2º Grau
17013.1.1
Equações do 2º Grau Incompletas
17013.1.2
Equações do 2º Grau Completas
17013.2
Resolução de equações incompletas do 2º grau
17113.2.1
Resolução de Equações do 2º Grau Incompletas
17313.2.2
Resolução de Equações do 2º grau Completas
17413.3
Exercícios
17614
O Plano Cartesiano e as Funções Matemáticas
17614.1
Plano Cartesiano
17714.2
Funções Matemáticas
17714.3
Função de 1º grau
17814.3.1
Representando a Função de 1º grau Graficamente
17814.3.2
Determinando a Função de 1º grau de um Gráfico
17914.3.3
Tipos de Funções de 1º grau
18214.4
Função de 2º grau
18214.4.1
Representando a Função de 2º grau Graficamente
18414.4.2
Determinando a Função de 2º grau de um Gráfico
18514.4.3
Tipos de Funções de 2º grau
18714.5
Exercícios
19115
GEOMETRIA BÁSICA
19115.1
Entes Geométricos Fundamentais
19115.2
Proposições Geométricas
19115.2.1
Postulados Básicos
19115.3
Definições
19115.3.1
Semi-Reta
19115.3.2
Segmento de Reta
19215.3.3
Semi-Plano
19215.4
Ângulo
19215.4.1
Ângulos Consecutivos
19215.4.2
Ângulos Adjacentes
19215.4.3
Ângulo Reto
19315.4.4
Ângulos Opostos pelo Vértice
19315.4.5
Ângulo Raso e Ângulo Nulo
19315.4.6
Ângulos Complementares, Suplementares ou Replementares
19315.4.7
Ângulos Agudos e Obtusos
19315.4.8
Bissetriz
19315.5
Propriedades dos Ângulos
19415.6
Triângulo
19415.6.1
Classificação dos Triângulos:
19515.6.2
Igualdade de Triângulos
19615.7
Triângulos Semelhantes
19615.7.1
Casos de Semelhança Entre Dois Triângulos:
19715.8
Exercícios
19815.9
Retas Paralelas
19915.10
Exercícios
20015.11
Ângulos nos Polígonos
20015.11.1
Polígono Convexo:
20115.12
Exercícios
20115.13
Quadriláteros
20115.13.1
Paralelogramo:
20215.13.2
Trapézio
20315.14
Exercícios
20315.15
Circunferência
20315.15.1
Definições:
20415.15.2
Secante e Tangente na Circunferência:
20415.16
Medidas Ângulares
20515.16.1
Sistema Sexagesimal
20515.16.2
Sistema Decimal
20515.16.3
Sistema Circular
20515.17
Exercícios
20616
TRIGONOMETRIA
20616.1
Trigonometria do Triângulo Retângulo
20616.2
Projeções no Triângulo Retângulo
20716.2.1
Relações de Semelhança
20816.3
Teorema de Pitágoras
20916.4
Lei Angular de Tales
20916.5
Funções Trigonométricas Básicas
20916.5.1
Seno
21116.5.2
Cosseno
21216.5.3
Tangente
21316.5.4
Outras Funções Trigonométricas
21316.5.5
Relações Entre as Funções Trigonométricas
21416.6
Exercícios
21516.7
Circulo Trigonométrico
21516.7.1
Seno e Cosseno
21616.7.2
Tangente e Cotangente
21716.7.3
Secante e Cossecante
21816.7.4
Ângulos Notáveis
21916.8
Algumas Aplicações da Trigonometria
21916.8.1
Cálculo da Diagonal de um Quadrado
22016.8.2
Cálculo da Altura de um Triângulo Eqüilátero:
22116.8.3
Cálculo do Apótema do Hexágono:
22116.8.4
Cálculo de um Cone para ser Torneado:
22216.8.5
Cálculo de Constantes para Confecção de Roscas:
22516.9
Exercícios
22917
FIGURAS PLANAS
22917.1
Perímetro
22917.1.1
Perímetro de polígonos
22917.1.2
Perímetro da circunferência
23017.2
Exercícios
23117.3
Cálculo de Superfície (S)
23217.3.1
Superfície de Retângulos e Quadrados
23217.3.2
Superfície de Triângulo Retângulo
23217.3.3
Superfície de Polígonos
23317.3.4
Superfície de Circunferência
23517.4
Exercícios
23618
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
23618.1
Exercício
23718.2
Cálculo de Volume de Prismas:
23818.3
Cálculo de Volume de Cilindros:
23918.4
Formulário para Cálculo de Volume de Pirâmide, Cone e Esfera:
24018.5
Exercícios
24119
VETORES
24119.1
Características de Um Vetor
24219.2
Representação de Vetores no Plano Cartesiano
24319.3
Relação Entre Vetores com Diferentes Direções
24619.4
Exercícios
24820
NÚMEROS COMPLEXOS
24820.1
UNIDADE IMAGINÁRIA
24920.2
Exercícios
24920.3
Forma Algébrica
25020.4
Exercícios
25020.5
Igualdade de Números Complexos
25120.6
Exercícios
25120.7
Conjugado de um Número Complexo
25120.8
Exercícios
25120.9
Operações com Números Complexos
25120.9.1
Adição e Subtração:
25220.9.2
Exercícios
25320.9.3
Multiplicação:
25320.9.4
Exercícios
25420.9.5
Divisão:
25420.9.6
Exercícios
25520.9.7
Potenciação:
25520.9.8
Exercícios
25620.10
Plano de Argand-Gauss
25720.11
Módulo e Argumento de um Número Complexo
25820.12
Exercícios
25920.13
Formas de um Número Complexo:
25920.13.1
Forma Retangular:
25920.13.2
Forma Polar
25920.14
Transformação de Número Complexo
26020.15
Operações na Forma Polar
26120.16
Exercícios
1 NOÇÕES FUNDAMENTAIS
O conhecimento dos números é muito importante, pois são necessários ao homem em todos os momentos da vida.
Você seria capaz de responder a qualquer uma destas perguntas sem o auxílio do número?
a) Qual é o seu peso?
b) Qual a sua altura?
c) Que horas são?
d) Quantos dias há num mês?
e) Qual é o diâmetro da carcaça 180-L?
f) Qual a rotação desta máquina?
g) Quantos eixos você já torneou?
h) Quantos centímetros têm um metro?
i) Quantos milímetros têm um metro?
j) Quantos décimos têm um milímetro?
k) Quantos centésimos têm um milímetro?
l) Quantos milésimos têm um milímetro?
Estes são exemplos suficientes para demonstrar que os números são indispensáveis ao homem. 
O número é uma idéia. Para exprimir essa idéia usamos nomes ou símbolos, aos quais denominamos numeral do número. Os símbolos empregados para representar os numerais dos números são 10 e são conhecidos, também, por algarismos indo-arábico.
Os algarismos de 1 até 9 são chamados de algarismos significativos.
O zero (0) é chamado de algarismo não significativo.
1.1 Sistema de Numeração 
São regras que permitem representar todos os números, utilizando poucos símbolos.
· Sistema de numeração decimal: Tem esse nome porque tem como base o número 10 (dez).
· Ordens e Classes: No sistema de numeração decimal os numerais dos números constituem-se em ordens e classes.
· Valor absoluto de um algarismo: É representado pelo algarismo isoladamente. Assim, no numeral 555, o 5 de 1ª ordem vale 5 unidades, o 5 de 2ª ordem vale 5 dezenas e o 5 de 3ª ordem vale 5 centenas.
· Valor relativo de um algarismo: É aquele que o algarismo representa de acordo com a posição que ocupa no numeral. Por esse princípio, um mesmo algarismo pode “valer” muitas ou poucas unidades. Assim, no numeral 555, o 5 de 1ª ordem vale 5 unidades, o 5 de 2ª ordem vale 50 unidades e o 5 de 3ª ordem vale 500 unidades.
Agora você entende porque se fala em valor absoluto e valor relativo de um algarismo significativo.
Exemplo 1.1
No numeral 307.523, temos:
6 ordens e 2 classes (classe das unidades e do milhar). Neste exemplo o valor absoluto do algarismo 7 é 7 e o valor relativo é de 7 unidades de milhar ou 7 milhares.
1.2 Leitura de um Número
Para ler um número devemos observar o seguinte:
a) Se o número não tem mais de três algarismos, anuncia-se esse número dando-lhe a denominação da classe das unidades. Deste modo o numeral 357 é lido assim: trezentos e cinqüenta e sete unidades.
b) Se o número tiver mais de três algarismos, é preciso separá-los em classes de três em três algarismos, da direita para a esquerda, anunciando-se, após cada classe como se estivesse isolado e atribuindo-lhe a denominação que lhe cabe.
Exemplo 1.2
Como se efetua a leitura dos números abaixo?
a) 3064
=
três mil e sessenta e quatro unidades;
b) 1.316.402
=
um milhão, trezentos e dezesseis mil e quatrocentas e duas unidades.
c) 69000
=
sessenta e nove milhares ou sessenta e nove mil.
1.3 Escrita de um Número
Para se escrever um número, escreve-se, sucessivamente, da esquerda para a direita, as centenas, as dezenas e as unidades de cada classe, começando pela classe mais elevada e substituindo-se por zero (0) as ordens que faltarem.
Exemplo 1.3
Escreva, em algarismos, o número quinhentos e trinta e nove mil e duzentos e seis unidades.
Solução:
539.206
1.4 Exercícios
1. Ler e escrever porextenso os números a seguir:
a) 9714
______________________________________________________________________________________________________________________________________
b) 269
______________________________________________________________________________________________________________________________________
c) 33777
______________________________________________________________________________________________________________________________________
d) 1068
______________________________________________________________________________________________________________________________________
e) 49676
______________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Escrever em algarismos os números a seguir:
a) Duas dezenas de milhar e cinco centenas de unidades;
___________________________________________________________________
b) Três unidades de milhão, sete centenas de milhar e doze unidades;
___________________________________________________________________
c) Cinco centenas e nove unidades;
___________________________________________________________________
d) Nove dezenas de milhão e oito centenas de milhar;
___________________________________________________________________
e) Quinze centenas de unidades.
___________________________________________________________________
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.
Nosso sistema de numeração surgiu no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, o que é comprovado em vários documentos, além de ser citado pelos árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).
2.1 Números Naturais (N)
Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, por exemplo, tenho uma casa, cinco filhos, 3 ovelhas, etc... O conjunto dos números naturais não incluía um símbolo para o nada (zero). Este símbolo só foi desenvolvido junto com o conjunto dos números inteiros, porém, devido as suas propriedades algébricas serem iguais as dos números naturais, ele acabou sendo incluído neste conjunto, que é representado pela letra N.
{
}
K
;
5
;
4
;
3
;
2
;
1
;
0
=
N
2.2 Números Inteiros (Z)
Os números naturais foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.
Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e também o número zero para representar o nada. Junto com estes números, um novo conjunto foi criado, o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z.
{
}
K
K
;
3
;
2
;
1
;
0
;
1
;
2
;
3
;
-
-
-
=
Z
Do conjunto dos números inteiros fazem parte todos os números naturais e seus opostos. Este conjunto pode ser representado graficamente conforme abaixo:
2.3 Números Racionais (Q)
Ainda analisando o desenvolvimento das sociedades, começou a ser necessário a representação de “partes” de alguma coisa, por exemplo, a divisão de um terreno em cinco herdeiros. 
þ
ý
ü
î
í
ì
-
-
-
=
K
K
;
4
7
;
2
1
;
357
,
0
;
0
;
5
1
;
4
3
;
5
,
0
;
Q
Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:
a) Fração: 
5
3
;
b) Número Misto: 
3
1
2
 ;
c) Números decimais de escrita finita: 
1725
,
0
; 
d) Dízimas periódicas: 
K
237237237
,
1
.
Definindo matematicamente os números racionais, são números que podem ser representados pela divisão de 2 números inteiros quaisquer. Do conjunto dos números racionais fazem parte todos os números inteiros. Este conjunto pode ser representado graficamente conforme abaixo:
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
2.4 Números Irracionais (I)
Durante muito tempo os números racionais conseguiram atender as necessidades dos homens, porém com o desenvolvimento da trigonometria surgiram números como o 
p
, e 
2
, que não são possíveis de serem representados por uma fração de números inteiros, pois apresentam infinitas casas depois da vírgula.
{
}
K
K
p
,
4
,
2
,
3
,
3
-
-
=
I
Do conjunto dos números Irracionais fazem parte apenas os números Reais que não fazem parte do conjunto dos números Racionais. Este conjunto pode ser representado graficamente conforme abaixo:
2.5 Números Reais (R)
O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é o conjunto considerado mais importante, e por este motivo foi chamado de conjunto dos números Reais. Este conjunto pode ser representado graficamente conforme abaixo:
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Nota-se que o circulo que representa o conjunto dos números Reais está representado por uma linha tracejada. Isto ocorre porque os números Reais fazem parte do conjunto dos números Racionais ou dos números Irracionais, não existindo um número Real que não pertença a qualquer um destes conjuntos.
3 Operações Fundamentais
Os números racionais são usados no nosso dia a dia em uma conta bancária quando recebemos nosso ordenado, quando fizemos um empréstimo e ficamos devendo algo, quando precisamos dividir uma pizza entre os amigos, etc. Para facilitar a compreensão dos problemas que serão estudados na matemática e em disciplinas afim, vamos estudar as operações fundamentais com números racionais.
3.1 Operações Fundamentais com Números Inteiros
3.1.1 Adição: 
As parcelas também são conhecidas como termos ou somandos.
4
1
Propriedades da Adição:
· Fechamento: 
A adição no conjunto dos números inteiros é fechada, pois a soma de dois números inteiros é ainda um número inteiro. 
11
3
8
=
+
· Associativa: 
A adição no conjunto dos números inteiros é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números inteiros quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos. Com três números inteiros, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somar um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com o resultado da soma entre o segundo e o terceiro.
(
)
(
)
11
3
8
11
3
8
+
+
=
+
+
· Elemento neutro: 
No conjunto dos números inteiros, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número inteiro qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número inteiro.
7
0
7
7
0
=
+
=
+
· Comutativa: 
No conjunto dos números inteiros, a adição é comutativa, poisa ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira.
8
3
3
8
+
=
+
3.1.2 Subtração: 
A subtração é a operação inversa da adição.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Propriedades da Subtração:
Como a subtração é a operação inversa da adição, as propriedades da subtração são as mesmas da adição, porém deve-se observar a regra dos sinais:
· Subtração de Números com Sinais Iguais: 
Na subtração de números inteiros com sinais iguais (negativos), somam-se os números entre si mantendo o sinal negativo.
10
2
8
-
=
-
-
· Subtração de Números com Sinais Diferentes: 
Na subtração de números inteiros com sinais diferentes, subtrai-se o número de maior valor pelo menor conservando-se o sinal do maior.
6
2
8
6
2
8
+
=
-
+
-
=
+
-
3.1.3 Multiplicação: 
O multiplicando e o multiplicador, também são conhecidos como fatores.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Propriedades da Multiplicação:
· Fechamento: 
A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N.
16
2
8
=
´
· Associativa: 
Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores naturais de maneiras diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo resultado do produto do primeiro pelo segundo.
(
)
(
)
60
5
4
3
5
4
3
=
´
´
=
´
´
· Elemento Neutro: 
No conjunto dos números inteiros o elemento neutro para a multiplicação é o número 1. Qualquer que seja o número inteiro, tem-se que:
7
1
7
7
1
=
´
=
´
· Comutativa: 
Quando multiplicamos dois números naturais inteiros quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro.
12
3
4
4
3
=
´
=
´
· Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números inteiros, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
(
)
(
)
(
)
30
3
6
2
6
3
2
6
=
´
+
´
=
+
´
· Multiplicação de Números com Sinais Iguais
Multiplicando um número por outro com mesmo sinal, multiplicam-se os números entre si e o resultado terá o sinal positivo.
(
)
(
)
(
)
(
)
30
5
6
30
5
6
+
=
-
´
-
+
=
+
´
+
· Multiplicação de Números com Sinais Diferentes
Multiplicando um número por outro com sinal diferente, multiplicam-se os números entre si e o resultado terá o sinal negativo.
(
)
(
)
(
)
(
)
30
5
6
30
5
6
-
=
+
´
-
-
=
-
´
+
3.1.4 Divisão: 
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Propriedades da Divisão:
A divisão é a operação inversa da multiplicação, porém as propriedades da multiplicação, com exceção do elemento netro, não podem ser aplicadas na divisão e deve-se observar a regra dos sinais:
· Divisão de Números com Sinais Iguais
Dividindo um número por outro com mesmo sinal, dividem-se os números e o resultado terá o sinal positivo.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
5
10
2
5
10
+
=
-
¸
-
+
=
+
¸
+
· Divisão de Números com Sinais Diferentes
Dividindo um número por outro com sinal diferente, dividem-se os números e o resultado terá o sinal negativo.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
5
10
2
5
10
-
=
+
¸
-
-
=
-
¸
+
3.1.5 Potenciação: 
É uma operação que representa a multiplicação de “n” fatores iguais, onde o número “n” de fatores é representado pelo expoente e o fator que deve ser multiplicado é representado pela base.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Propriedades da Potenciação:
· Potência de base unitária: 
Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1, sendo 
1
1
=
n
.
1
1
1
1
1
3
=
´
´
=
· Potência de expoente nulo: 
Se n é um número natural não nulo, então temos que 
1
0
=
n
. 
1
7
0
=
· Potência de expoente unitário: 
Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n, sendo 
n
n
=
1
.
7
7
1
=
· Potência de base decimal: 
Toda potência de base 10 elevado ao expoente natural n, é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
10000
10
4
=
· Multiplicação de potências de mesma base: 
Na multiplicação de potências de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.
7
3
4
3
4
5
5
5
5
=
=
´
+
· Divisão de potências de mesma base: 
Na divisão de potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
4
3
7
3
7
2
2
2
2
=
=
¸
-
· Potência de potência: 
Quando têm-se uma potência elevado a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(
)
12
3
4
3
4
5
5
5
=
=
´
3.1.6 Radiciação: 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto na potenciação multiplicam-se “N” fatores iguais entre si tantas vezes quanto for o expoente, na radiciação procura-se qual o fator “N” que multiplicado por si mesmo tantas vezes quanto o índice da raiz, seja igual ao radicando.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Obs.: no exemplo acima o fator procurado é 3, pois 3x3x3=27.
Propriedades da Radiciação:
As propriedades fundamentais da radiciação estão na tabela abaixo: 
	Propriedade
	Exemplo
	A raiz n-ésima de uma potência é igual ao radicando elevado à razão entre o expoente do radicando e o índice da raiz;
	
2
2
2
2
8
8
1
3
3
3
3
3
1
3
=
=
=
\
=
	A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das raízes n-ésimas de cada fator;
	
3
3
3
3
3
2
2
8
2
8
2
16
×
=
×
=
×
=
	A raiz n-ésima de uma razão é igual à razão entre as raízes n-ésimas do dividendo e do divisor;
	
3
2
3
2
3
2
27
8
27
8
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
=
=
=
=
	A raiz com índice par pode ter uma resposta tanto positiva quanto negativa;
	
(
)
(
)
16
2
2
2
16
4
4
4
=
-
=
+
\
±
=
3.2 Expressões Numéricas ou Aritméticas
As expressões numéricas devem obedecer a uma determinada seqüência de operações fundamentais para que sejam solucionadas corretamente. Primeiramente devem-se resolver as operações de potenciação e/ou de radiciação; em seguida as operações de multiplicação e/ou divisão; e por fim as operações de soma e/ou subtração. 
Exemplo 3.1
Calcule o valor da expressão 
2
6
12
2
20
¸
+
-
´
:
Solução: 
ï
î
ï
í
ì
=
+
-
=
¸
+
-
´
31
3
12
40
2
6
12
2
20
Quando as expressões numéricas apresentarem parênteses, colchetes ou chaves, a seqüência de solução das operações não deve ser alterada, porém agora deve-se resolver primeiramente todas as operações que estiverem entre parênteses; em seguida as operações que estiverem entre colchetes; e por fim as expressões que estiverem entre chaves. 
Exemplo 3.2
Calcule o valor da expressão 
(
)
[
]
{
}
2
2
6
8
20
2
¸
-
+
+
-
´
:
Solução:
(
)
[
]
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
20
10
2
10
20
2
10
20
2
2
8
20
2
2
4
8
20
2
2
2
6
8
20
2
=
´
=
-
´
=
+
-
´
=
+
+
-
´
=
¸
+
+
-
´
=
¸
-
+
+
-
´
3.3 Exercícios
1. Resolver as expressões abaixo:
a) 
=
+
+
-
+
-
+
-
1
10
1
9
5
3
8
7
b) 
(
)
[
]
{
}
=
¸
+
¸
-
-
´
-
2
1
2
10
12
2
3
5
c) 
(
)
[
]
{
}
=
+
¸
-
´
-
¸
-
´
-
´
100
3
30
2
10
2
50
3
30
2
100
d) 
(
)
[
]
=
+
¸
-
-
´
-
¸
-
´
+
1
2
100
3
3
10
2
20
3
8
2
3
3
e) 
(
)
[
]
=
-
-
´
+
¸
+
¸
-
9
2
8
2
7
14
2
4
2
2
3
3
3.4 Números Decimais
Os números decimais são todos aqueles que possuem algarismos significativos após a vírgula. O número decimal é assim chamado por possuir uma parte inteira e uma parte decimal. A parte inteira fica à esquerda da vírgula e aparte decimal à direita. O primeiro algarismo à esquerda da vírgula é sempre o algarismo referente à unidade.
3.4.1 Leitura e Escrita de Números Decimais
A leitura de um número decimal é feita da seguinte maneira:
1) Enuncia-se a parte inteira, quando existir.
2) Enuncia-se o número formado pela parte decimal, acrescentando-lhe o nome da ordem do último algarismo.
Exemplo 3.3
a) 13,4 = treze inteiros e quatro décimos;
b) 6,125 = seis inteiros e cento e vinte e cinco milésimos;
c) 0,08 = oito centésimos;
d) 2,1416 = dois inteiros e um mil quatrocentos e dezesseis décimos de milésimo;
Exemplo 3.4
Ler o número 352,115370
	Centenas
	Dezenas
	Unidades
	Décimos
	Centésimos
	Milésimos
	Décimos
De Milésimos
	Centésimos De Milésimos
	Milésimos 
De Milésimos
	3
	5
	2
	1
	1
	5
	3
	7
	0
Trezentos e cinqüenta e dois inteiros, cento e quinze mil, trezentos e setenta milésimos de milésimos.
3.4.2 Propriedades dos Números Decimais
· Adição de zeros à direita
Não se altera o valor de um número decimal quando se colocam ou se suprimem zeros (0) à sua direita.
400
,
2
40
,
2
4
,
2
=
=
· Deslocamento da vírgula para a direita
Deslocando-se a vírgula de um número decimal uma, duas ou três ordens ou casas para a direita, equivale a multiplicar o número original por 10, quantas ordens ou casas a vírgula for deslocada.
0
,
65430
1000
43
,
65
0
,
6543
100
43
,
65
3
,
654
10
43
,
65
43
,
65
1
43
,
65
=
´
=
´
=
´
=
´
· Deslocamento da vírgula para a esquerda
Deslocando-se a vírgula de um número decimal uma, duas ou três ordens ou casas para a esquerda, equivale a dividir o número original por 10, quantas ordens ou casas a vírgula for deslocada.
06543
,
0
1000
43
,
65
6543
,
0
100
43
,
65
543
,
6
10
43
,
65
43
,
65
1
43
,
65
=
¸
=
¸
=
¸
=
¸
3.4.3 Critérios de Aproximação
O processo de aproximação de valores numéricos consiste em eliminar as unidades inferiores às de uma determinada ordem, ou seja, deve-se definir a precisão desejada no resultado respeitando as regras abaixo:
· Aproximação com precisão milesimal de 62,8571
Quando o número imediatamente posterior à precisão desejada for menor do que 5, eliminam-se todas as unidades de ordem inferior a precisão desejada;
7
85
,
62
1
7
85
,
62
=
· Aproximação com precisão centesimal de 62,8571
Quando o número imediatamente posterior à precisão desejada for maior do que 5, adiciona-se uma unidade na ordem respectiva a precisão desejada e eliminam-se todas as unidades de ordem inferior a esta; 
6
8
,
62
71
5
8
,
62
=
· Aproximação com precisão decimal de 62,8571
Quando o número imediatamente posterior à precisão desejada for igual a 5, deve-se observar o próximo número, ordem a ordem, diferente de 5 e proceder de acordo com as situações anteriores.
9
,
62
6
8
,
62
571
8
,
62
=
=
3.5 Operações Fundamentais com Números Decimais
3.5.1 Adição: 
Para efetuar a adição com números decimais deve-se colocar vírgula embaixo de vírgula, por exemplo, a soma 
(
)
05
,
13
2
,
1
081
,
0
125
,
2
+
+
+
 fica:
6
5
4
,
6
1
5
0
,
3
1
2
,
1
1
8
0
,
0
5
2
1
,
2
+
3.5.2 Subtração: 
Para subtrair números decimais aplica-se o mesmo procedimento da adição, ou seja, vírgula embaixo de vírgula, por exemplo, a subtração 
(
)
5689
,
8
4
,
12
-
, fica:
1
1
3
8
,
3
9
8
6
5
,
8
4
,
2
1
-
3.5.3 Multiplicação: 
A multiplicação de números decimais é igual a dos números inteiros, tomando-se o cuidado para que o produto tenha o número de casas decimais igual a soma de casas decimais dos fatores.
· Multiplicação de números inteiros por número decimal.
Na multiplicação de um número inteiro por um número decimal têm-se o produto da multiplicação com o mesmo número de casas decimais que o fator decimal da multiplicação.
5
0
,
7
1
4
,
1
5
x
· Multiplicação de número decimal por número decimal.
Na multiplicação de dois números decimais têm-se o produto da multiplicação com o número de casas decimais igual a soma das casas decimais de ambos os fatores da multiplicação.
0
5
7
,
1
5
2
,
1
0
0
5
,
0
4
,
1
5
2
,
1
+
x
· Multiplicação de números decimais por 10
A multiplicação de números decimais por 10 resume-se em deslocar a vírgula para a direita, quantas vezes o número for multiplicado por 10.
1307
100
07
,
13
7
,
130
10
07
,
13
=
´
=
´
3.5.4 Divisão: 
Um dos processos para dividir números decimais é a transformação do divisor e do dividendo em números inteiros, igualando suas casas decimais.
125
700
25
,
1
00
,
7
25
,
1
7
¸
=
¸
=
¸
· Divisão inexata sem resto
Verificando-se a divisão exemplificada acima, têm-se uma divisão inexata: Dispõem-se os números de forma usual: 
Igualam-se as casas decimais do dividendo e do divisor: 
Efetuando a divisão, verifica-se que é inexata:
Prossegue-se, neste caso, a divisão, mediante o acréscimo de vírgula no quociente e zero no dividendo:
Assim: 
6
,
5
25
,
1
7
=
¸
· Divisão de números decimais por 10
A divisão de números decimais por 10 resume-se em deslocar a vírgula para a esquerda, quantas vezes o número for dividido por 10.
307
,
1
1000
1307
07
,
13
100
1307
7
,
130
10
1307
=
¸
=
¸
=
¸
· Divisão inexata com resto
Na divisão inexata com resto pode-se observar o resultado de duas maneiras distintas: analisando o resultado com critérios de aproximação ou analisando o resultado observando o resto da divisão.
Exemplo 3.5
Calcule 
7
13
¸
 com aproximação decimal:
Dispõem-se os números de forma usual: 
Efetuando a divisão, verifica-se que é inexata:
Prossegue-se, neste caso, a divisão, mediante o acréscimo de vírgula no quociente e zero no dividendo:
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Pode-se parar a divisão nesta etapa e ter-se como resultado 1,8 com resto 0,4. A ordem do resultado pode ser observada mantendo-se a vírgula na posição original do dividendo, conforme demonstrado abaixo:
Ou prossegue-se a divisão para verificar-se os critérios de aproximação:
Como o número seguinte é igual a 5, prossegue-se a divisão até o próximo número diferente de 5.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Assim, pode-se dizer que 
7
13
¸
 é aproximadamente 1,9
3.5.5 Potenciação
A potenciação, conforme já foi visto, é uma multiplicação de “n” fatores iguais, porém quando o fator for um número decimal, deve-se tomar o mesmo cuidado já discutido na operação de multiplicação de número decimal por número decimal.
(
)
625
,
15
5
,
2
5
,
2
5
,
2
5
,
2
3
=
´
´
=
5
2
6
,
5
1
0
5
,
2
1
5
2
1
,
3
5
,
2
5
2
,
6
5
2
,
6
0
,
5
5
2
,
1
5
,
2
5
,
2
+
Þ
+
x
x
Observa-se que a potência de um número decimal pode ser simplificada se este número for considerado como um número natural (desprezar a vírgula). Depois de calcular-se o resultado, posiciona-se a vírgula. A vírgula deve ser colocada à direita do último algarismo significativo do número calculado, e deslocada à esquerda. O número de casas para deslocar a vírgula deve ser calculado contando-se quantas casas decimais o número base tem e multiplicando-se pelo expoente da potência.
Exemplo 3.6
A expressão 
(
)
3
05
,
2
 pode ser resolvida considerando 
(
)
8615125
205
3
=
. Como o número base têm 2 casas decimais, têm-se 
(
)
6
3
2
=
´
, então o resultado fica com 6 casas decimais: 
(
)
615125
,
8
05
,
2
3
=
Exemplo 3.7
A expressão 
(
)
2
02
,
0
 pode ser resolvida da mesma maneira, considerando 
(
)
4
2
2
=
. Como o número base tem 2 casas decimais, têm-se 
(
)
4
2
2
=
´
, então o resultado fica com 4 casas decimais. Como o resultado obtido foi um número com apenas um algarismo, os espaços em branco que ficarem ao posicionar-se a vírgula, devem ser preenchidos com zero: 
(
)
0004
,
0
02
,
0
2
=
Exemplo 3.8
A expressão 
(
)
3
011
,
0
 pode ser considerada como 
(
)
133111
3
=
. Como o número base tem 3 casas decimais, têm-se 
(
)
9
3
3
=
´
, então o resultado fica com 9 casas decimais. Têm-se: 
(
)
000001331
,
0
011
,
0
3
=
3.5.6 Radiciação
A radiciação inexata têm como resultado um fator decimal. Existem técnicas matemáticas para se extrair o fator de uma raiz, porém estas não são relevantes a este estudo. Portanto, quando se fizer necessário conhecer o fator de algum radical, deve-se recorrer ao auxílio da calculadora, podendo utilizar os critérios de aproximação.
414
,
1
7
1688724209
7309504880
4142135623
,
1
2
@
=
3.6 Exercícios
1) Preencha as frases abaixo com a palavra conveniente:
a) O número decimal é caracterizado por uma ________ entre os seus algarismos.
b) 4,7 e 0,05 são chamados números ___________.
c) A parte inteira de um número é formada pelos algarismos escritos à __________ da vírgula.
d) A parte decimal de um número é formada pelos algarismos escritos à ________ da vírgula.
e) O resultado da potência de um número decimal tem tantas casas decimais quanto o produto do número de casas decimais da base pelo _______________ da potência.
2) Leia os números abaixo e escreva-os por extensos:
a) 2,75 = ___________________________________________________________
b) 0,125 = __________________________________________________________
c) 3,14 = ___________________________________________________________
d) 0,625 = __________________________________________________________
e) 25,4 = ___________________________________________________________
3) Quantos centésimos há em :
a) Seis décimos?
b) Cinco centésimos?
c) Quatro milésimos?
d) Duas unidades e sete décimos?
4) Quantos milésimos há em:
a) Duas unidades?
b) Quinze centésimos?
c) Três décimos?
d) Sete unidades e nove centésimos?
5) Assinale qual é o maior número:
	a) 
	
(
)
	
079
,
35
	(
	
1
,
48
	
(
)
	b) 
	
(
)
	
45
,
1
	(
	
5
,
1
	
(
)
	c) 
	
(
)
	
1
,
0
	(
	
079
,
0
	
(
)
	d) 
	
(
)
	
2
,
23
	(
	
099
,
23
	
(
)
	e) 
	
(
)
	
09
,
164
	(
	
099
,
164
	
(
)
6) Complete o quadro a seguir, observando o exemplo:
	
	UNIDADE
	DÉCIMO
	CENTÉSIMO
	MILÉSIMO
	Exemplo
	1,25
	12,5
	125
	1.250
	a) 
	
	
	35
	
	b) 
	
	
	
	128
	c) 
	0,8
	
	
	
	d) 
	
	40
	
	
	e) 
	
	
	301,99
	
7) Resolver as adições abaixo:
a) 
079
,
16
078
,
0
35
,
40
+
+
b) 
008
,
0
2
,
125
17
,
0
16
+
+
+
c) 
2
75
,
0
8
,
3
+
+
d) 
25
,
0
4
5
,
13
+
+
e) 
5
,
1
12
,
0
25
+
+
8) Resolver as subtrações abaixo:
a) 
32
,
0
5
,
0
-
b) 
095
,
0
25
,
3
-
c) 
35
,
6
4
,
25
-
d) 
752
,
0
125
,
1
-
e) 
12
,
9
35
,
16
-
9) Numa instalação elétrica de duas salas, foram gastos 8,5m e 12m de fio, respectivamente. Quantos metros de fio foram usados nessa instalação?
10) José gasta, diariamente, R$ 1,20. Carlos gasta R$ 0,24 a mais do que José. Quanto gastam os dois juntos por dia?
11) De um reservatório foram retirados de uma só vez 20 litros de óleo e de outro 25,5 litros. Quantos litros de óleo foram retirados ao todo?
12) Pedro comprou o seguinte material escolar: um caderno por R$ 1,90, um livro por R$ 27,00 e uma régua por R$ 0,85. Qual foi o gasto total de Pedro?
13) Certa fundição consumiu 108,5 kg de carvão no mês de Janeiro. Em Fevereiro consumiu 20 kg a mais do que em Janeiro. Em março 30,5 kg a mais do que em Fevereiro. Qual o consumo nesse trimestre?
14) Calcule o valor da cota “ x “:
x
68,5
50,7
32
15) Calcule o valor da cota “d”:
d
4,5
3
3
16) Qual o comprimento “x“ do parafuso?
x
48,5
38
12
17) Calcule o comprimento “x“ nas peças a seguir:
75
x
50
43,5
x
a)
b)
125,5
18) Faça os cálculos abaixo, observando os comprimentos indicados na figura (cm):
1
2
3
4
5
z
x
y
a) 
y
x
+
b) 
z
y
+
c) 
z
y
x
+
+
d) 
y
x
-
e) 
y
z
-
19) De um rolo com 200m de fio, foram utilizados 108,5m. Quantos metros ainda restam?
20) Um operário, cujo ordenado é de R$ 149,50, teve um desconto de R$ 11,96. Quanto recebeu?
21) Calcule o comprimento de “ x “ na figura a seguir:
25,6
x
7,6
10,2
22) Num reservatório havia 65 litros de óleo. Foram retirados 20,5 litros e depois mais 21 litros. Quantos litros de óleo sobraram?
23) Um aluno comprou o seguinte material escolar: 1 livro por R$ 25,00; 1 lápis por R$ 0,75; 1 caderno por R$ 0,85. Para efetuar o pagamento foi utilizada uma nota de R$ 50,00. Quanto recebeu de troco?
24) Calcule o valor de “ x “:
3,6
x
0.8
25) Calcule o valor de “x“:
8,6
3,5
3,4
x
26) Efetue as multiplicações abaixo:
a) 
5
414
,
1
´
b) 
05
,
0
02
,
3
´
c) 
8
,
0
5
,
0
´
d) 
100
14
,
3
´
e) 
1000
4
,
25
´
27) Observe o exemplo e complete o quadro, posicionando a vírgula nos produtos.
	
	FATORES
	Nº DE CASAS DECIMAIS DO PRODUTO
	PRODUTO
	Exemplo
	
138
25
,
4
´
	2
	586,50
	a) 
	
38
,
1
25
,
4
´
	
	58650
	b) 
	
138
5
,
42
´
	
	58650
	c) 
	
138
,
0
5
,
42
´
	
	58650
	d) 
	
138
,
0
425
,
0
´
	
	58650
	e) 
	
138
,
0
425
´
	
	
28) Complete as expressões abaixo de modo que as igualdades se tornem verdadeiras:
a) 
5
,
3
5
,
3
=
´
b) 
480
8
,
4
=
´
 
c) 
5
,
0
05
,
0
=
´
d) 
8
08
,
0
=
´
e) 
254
4
,
25
=
´
29) Se um quilograma de ferro custa R$ 1,60. Quanto pagarei por 22 kg?
30) Um litro de gasolina custa R$ 2,58. Qual é o preço de 251 litros?
31) Um eletricista instalador trabalha com a diária de R$ 82,00. Quanto receberá por um trabalho de 17 dias?
32) Um disco tem 4,5mm de raio. Calcule o diâmetro “ x “:
4,5
x
33) A distância entre dois rasgos consecutivos é 7,5mm. Calcular a distância “ x “ que existe entre o 1º e o 5º:
x
7,5
34) Calcular a distância “ x “ da peça:
x
2,5
35) Calcular a distância “ x ” da peça:
x
6,25
36) Efetue as potenciações abaixo:
a) 
=
2
3
,
0
b) 
=
3
1
,
0
 
c) 
=
2
04
,
0
d) 
=
2
3
,
2
e) 
=
4
1
,
1
37) Tornar inteiro os divisores e dividendos, observando o exemplo:
Exemplo:
2
460
02
,
0
6
,
4
¸
=
¸
a) 
=
¸
5
,
0
45
,
1
b) 
=
¸
001
,
0
8
c) 
=
¸
5
,
1
4
d) 
=
¸
325
,
4
2
,
1
e) 
=
¸
4
,
1
82
,
4
38) Coloque a vírgula no quociente das divisões:
39) Efetue as divisões:
a) 
2
8
,
4
¸
b) 
5
5
,
12
¸
c) 
4
,
0
08
,
6
¸
d) 
10
4
,
31
¸
e) 
100
2540
¸
40) Um aprendiz ganha por dia R$ 12,00. Recebeu por certo trabalho R$ 168,00. Quantos dias ele trabalhou?
41) Quantos pacotes de 0,5 kg posso obter com 20 kg de café?
42) Numa divisão, o quociente é 0,16 o divisor 10,6 e o resto 0,014. Qual é o dividendo?
43) Qual a relação entre os quocientes 
27
,
0
1
,
8
¸
 e 
4
,
0
2
,
1
¸
?
44) Em uma divisão o dividendo é 0,064, o quociente 0,4 e o resto 0. Qual o divisor?
45) Calcular os quocientes com aproximação de 0,001, e representar o resultado em notação de engenharia quando conveniente:
a) 
=
¸
015
,
0
174
b) 
=
¸
73
,
0
1003
c) 
=
¸
19
,
0
325
,
0
d) 
=
¸
3
,
1
78920
e) 
=
¸
34
6
,
10
3.7 Potência de 10: 
As potências de 10 podem ser utilizadas para representar números com valores muito grandes (1000000000) ou muito pequenos (0,000000001) de maneira simplificada. Um número escrito com o uso de potência de 10 segue o seguinte modelo:
e
m
10
´
±
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. Veremos 2 regras de utilização das potências de 10, a notação científica e a notação de engenharia.
· Notação científica
Na notação científica o valor absoluto da mantissa deve ser um número maior ou igual a 1 e menor do que 10.
10
1
<
£
m
· Notação de engenharia
Na notação de engenharia a ordem de grandeza (expoente da potência de 10) deve ser um número múltiplo de 3, pois números desta forma são de fácil leitura quando utilizam-se os prefixos (serão estudados no capítulo 7 desta apostila) quilograma,milímetro, etc. Consequentemente, o valor absoluto da mantissa deve ser maior ou igual a um e menor ou igual a 1000
1000
1
<
£
m
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula tantas casas quanto será o expoente da potência de 10. Se a vírgula for deslocada de forma que o número resultante seja menor do que o número original, o expoente da potência de 10 será positivo; caso contrário, o expoente será negativo. Observe as transformações abaixo:
	16
4
5
4
3
2
1
0
10
5375642
,
2
42
,
253756
10
375642
,
25
42
,
253756
10
75642
,
253
42
,
253756
10
5642
,
2537
42
,
253756
10
642
,
25375
42
,
253756
10
42
,
253756
42
,
253756
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
	4
3
	5
4
4
3
6
5
4
3
2
1
0
10
5
,
47
0000475
,
0
10
75
,
4
0000475
,
0
10
475
,
0
0000475
,
0
10
0475
,
0
0000475
,
0
10
00475
,
0
0000475
,
0
10
000475
,
0
0000475
,
0
10
0000475
,
0
0000475
,
0
-
-
-
-
-
-
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
	
Como 
42
,
253756
5375642
,
2
<
 e 
0000475
,
0
75
,
4
>
, então o expoente da potência de 10 são, respectivamente, em notação decimal 
5
+
 e 
5
-
, e em notação de engenharia 
3
+
 e 
6
-
.
Nas operações basicas que envolvem as potências de 10 devem ser observadas algumas regras matemáticas:
· Adição e Subtração: 
Para somar ou subtrair dois números com potências de 10, é necessário que os expoentes das potências sejam iguais.
3
2
2
1
1
6
5
7
7
5
7
7
7
5
7
10
35
,
42
10
5
,
3
10
2
,
4
10
235
,
4
10
5
,
3
10
2
,
4
10
035
,
0
10
2
,
4
10
5
,
3
10
2
,
4
´
=
´
+
´
´
=
´
+
´
´
+
´
=
´
+
´
2
3
2
1
6
10
9
7
10
9
9
9
9
10
9
10
70
10
625
,
0
10
32
,
6
10
7
10
625
,
0
10
32
,
6
10
07
,
0
10
25
,
6
10
32
,
6
10
625
,
0
10
32
,
6
´
=
´
-
´
´
=
´
-
´
´
=
´
-
´
=
´
-
´
· Multiplicação e Divisão:
Para multiplicar ou dividir números com potências de 10, multiplicam-se ou dividem-se as mantissas e somam-se ou subtraem-se os expoentes das potências.
64
16
9
1
9
3
9
5
>
>
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
5
8
14
5
8
13
5
8
5
8
10
208
10
2
,
3
10
5
,
6
10
08
,
2
10
2
,
3
10
5
,
6
10
8
,
20
10
2
,
3
5
,
6
10
2
,
3
10
5
,
6
´
=
´
×
´
´
=
´
×
´
´
=
´
×
=
´
×
´
+
16
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
11
7
4
11
8
11
7
10
871
,
3
10
2
,
6
10
4
,
2
10
3871
,
0
10
2
,
6
4
,
2
10
2
,
6
10
4
,
2
´
=
´
¸
´
´
=
´
¸
=
´
¸
´
-
-
-
-
-
-
-
· Potenciação e Radiciação:
Para elevar a um expoente ou extrair uma raiz de números com potências de 10, deve-se elevar a mantissa ao expoente indicado e multiplicar o expoente da potência de 10 pelo expoente da operação, ou extrair a raiz indicada da mantissa e dividir o expoente da potência de 10 pelo índice da raiz.
9
1
(
)
(
)
(
)
21
4
5
20
4
5
4
4
5
10
6
,
1
10
2
10
16
10
2
10
2
´
=
´
´
=
´
=
´
×
9
3
3
4
17
4
4
16
4
4
16
4
17
10
1
,
1
10
146410
10
11
10
14641
10
14641
10
146410
-
-
-
-
-
-
´
=
´
´
=
´
=
´
=
´
3.8 Exercícios
1) Escreva os números abaixo em notação científica:
	a) 
=
8763
,
123
b) 
=
10
,
79
c) 
=
004001
,
0
d) 
=
84
,
1236
e) 
=
9
,
5213
f) 
=
0000000098
,
0
g) 
=
22
,
4
	h) 
=
00238
,
0
i) 
=
00211
0000000000
,
0
j) 
=
´
-
8
10
751
,
0
k) 
=
´
-
12
10
82
,
64
l) 
=
´
5
10
1
,
756
m) 
=
´
8
10
00132
,
0
n) 
=
´
-
7
10
000285
,
0
2) Transforme as potências de 10 conforme indicado:
	a) 
=
´
7
10
41
,
8
3
10
´
b) 
=
697
5
10
-
´
c) 
=
´
-
9
10
1830
6
10
-
´
d) 
=
´
-
2
10
1
,
2
4
10
-
´
e) 
=
´
-
1
10
29574
3
10
-
´
f) 
=
´
10
10
67297
15
10
´
	g) 
=
´
17
10
35
,
4
12
10
´
h) 
=
180
3
10
´
i) 
=
´
-
2
10
7
,
332
2
10
´
j) 
=
´
8
10
215
,
29
5
10
´
k) 
=
´
-
31
10
318
,
14
35
10
-
´
l) 
=
´
9
10
25437
15
10
´
3) Resolva as adições e subtrações abaixo, representando os resultados em notação científica:
a) 
=
´
+
´
4
3
10
71
,
9
10
41
,
8
b) 
=
´
-
´
2
2
10
2
,
4
10
11
,
5
c) 
=
´
+
´
3
2
10
4
10
2
,
8
d) 
=
´
-
´
-
-
1
2
10
1
,
2
10
3
,
6
e) 
=
´
+
´
4
3
10
71
,
9
10
41
,
8
f) 
=
-
´
+
´
180
10
4
10
2
,
8
3
2
g) 
=
´
+
´
-
´
-
1
3
2
10
1830
10
42
,
0
10
11
,
5
h) 
=
´
+
´
-
´
-
-
-
4
3
1
10
29574
10
1817
10
3
,
78
i) 
=
´
-
´
+
´
2
4
5
10
600
10
68
,
8
10
2
,
73
4) Resolva as multiplicações e divisões abaixo, representando os resultados em notação científica:
a) 
=
´
×
´
6
5
10
3
10
3
b) 
=
´
×
´
-
9
7
10
3
10
2
c) 
=
´
×
´
-
-
4
6
10
4
10
4
d) 
=
´
´
-
2
8
10
74
,
6
10
45
,
3
e) 
=
´
´
3
7
10
6
,
8
10
7
,
6
f) 
=
´
´
-
-
6
2
10
7
,
5
10
7
,
4
g) 
=
´
×
´
¸
´
3
7
9
10
5
10
3
10
9
h) 
=
´
×
´
¸
´
-
-
6
12
7
10
5
10
7
10
28
i) 
(
)
=
´
´
+
´
×
´
-
8
8
6
10
10
6
10
005
,
0
10
2
,
1
10
2
,
3
j) 
=
´
´
-
´
×
´
-
-
-
9
5
7
4
10
3
10
500
10
7
10
2
k) 
=
´
´
+
´
×
´
-
-
-
5
7
3
5
10
4
10
2
,
0
10
9
10
6
5) Cada aula dura 50 minutos. Qual o tempo de duração, em segundos, de duas aulas seguidas?
6) Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Considerando que, aproximadamente, a velocidade da luz é de trezentos milhões de metros por segundo e um ano tem 32 milhões de segundos, devemos multiplicar (trezentos milhões) por (32 milhões) para obter o valor do ano-luz em metros. Efetue esta conta em notação científica.
4 DIVISIBILIDADE
4.1 Múltiplos e Submúltiplos
Com as noções obtidas no estudo da multiplicação e da divisão podemos concluir:
· Múltiplo: múltiplo de um número é o produto desse número por um número qualquer.
· Submúltiplos: submúltiplos ou divisor de um número é o número que o divide com divisão exata.
Exemplo 4.1
15 é múltiplo de 3 e de 5 por que:
15
5
3
=
´
.
Exemplo 4.2
5 e 3 são submúltiplos de 15 por que: 
3
5
15
=
¸
 e 
5
3
15
=
¸
.
4.2 Números Pares e Ímpares
Um número é par, quando o último algarismo à direita (unidades simples) do seu numeral for: 0; 2; 4; 6 ou 8.
Um número é ímpar, quando o último algarismo à direita (unidades simples) do seu numeral for: 1; 3; 5; 7 ou 9.
4.3 Critérios de Divisibilidade
Para verificar se um número é divisível por outro, basta efetuarmos a divisão e observarmos, se o resto é zero e se o quociente é um número inteiro. No entanto, existem algumas regras práticas que permitem verificar se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão.
4.3.1 Divisibilidade por 2: 
Um número é divisível por 2, quando este número for par.
· 1258 é divisível por 2 porque é um número par.
629
2
1258
=
¸
4.3.2 Divisibilidade por 3: 
Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3.
· 216 é divisível por 3 porque 
(
)
[
]
9
6
1
2
=
+
+
 e 
[
]
3
3
9
=
¸
.
72
3
216
=
¸
4.3.3 Divisibilidade por 4: 
Um número é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos são zeros ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4.
· 200 é divisível por 4 porque os dois últimos algarismos são zeros.
50
4
200
=
¸
· 516 é divisível por 4 porque 
4
4
16
=
¸
.
129
4
516
=
¸
4.3.4 Divisibilidade por 5: 
Um número é divisível por 5, quando o último algarismo deste número for 0 ou 5.
· 200 é divisível por 5 porque o últimoalgarismo é 0.
40
5
200
=
¸
· 205 é divisível por 5 porque o último algarismo é 5.
41
5
205
=
¸
4.3.5 Divisibilidade por 6: 
Um número é divisível por 6 quando for múltiplo de dois e de três ao mesmo tempo.
· 210 é divisível por 6 porque é par e, porque 
(
)
[
]
3
0
1
2
=
+
+
 e 
[
]
1
3
3
=
¸
.
35
6
210
=
¸
4.3.6 Divisibilidade por 9: 
Um número é divisível por 9, quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 9.
· 801 é divisível por 9 porque 
(
)
[
]
9
1
0
8
=
+
+
 e 
[
]
1
9
9
=
¸
.
89
9
801
=
¸
4.3.7 Divisibilidade por 10: 
Um número é divisível por 10 quando o último algarismo deste número for 0.
· 1620 é divisível por 10 porque o último algarismo é 0.
162
10
1620
=
¸
4.4 Exercícios
1. Responda:
a) Cite três divisores de 42:
b) 2728 é múltiplo de 4? Por que?
c) 228 é múltiplo de 6? Por que?
d) A unidade é divisor de qualquer número?
e) Qual é o menor divisor de um número?
f) Qual é o maior divisor de um número?
2. No quadro a seguir, marque com um “ x “ os divisores dos números, conforme exemplo:
	
	NÚMEROS
	DIVISORES
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	9
	10
	Exemplo
	228
	x
	x
	x
	x
	
	x
	
	
	a)
	1.620
	
	
	
	
	
	
	
	
	b)
	3.045
	
	
	
	
	
	
	
	
	c)
	1.236.463
	
	
	
	
	
	
	
	
	d)
	 883
	
	
	
	
	
	
	
	
	e)
	24.015
	
	
	
	
	
	
	
	
3. Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:
(_)
Todo número divisível por 3 é também por 9.
(_)
Um número divisível por 2 e por 5 é divisível por 10.
(_)
Um múltiplo de 2 e de 3 é divisível por 6.
(_)
Se um número é múltiplo de 15 é também múltiplo de 3.
(_)
Se um número é múltiplo de 3 é também múltiplo de 9.
5 NÚMEROS PRIMOS
5.1 Definição de Números Primos
Número primo é todo o número que possui somente dois divisores naturais, conseqüentemente os divisores são: o próprio número e o número 1.
Exemplo 5.1
Os números 11 e 13 são primos por terem apenas dois divisores: a unidade e o próprio número. Os números 9 e 18 não são números primos por terem mais de dois divisores. Outros números primos: 2, 5, 7, 17, 19, 23,...
5.2 Números Primos Entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando só admitem como divisor comum o número 1.
Exemplo 5.2
15 e 8 são primos entre si:
5.3 Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes é um processo para obter números primos menor do que um determinado número natural “n”. Este processo consiste em preencher uma tabela com os primeiros “n” números e eliminar os que não são primos a partir das regras abaixo:
· Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo e riscamos ele da tabela.
· Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
· Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
· Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela, e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela. Continuamos o processo, sempre repetindo esse passo.
· Os números que não foram eliminados são os números primos.
Exemplo 5.3
Construir o Crivo de Eratóstenes até o número 25.
	
1
	
2
	
3
	
4
	
5
	
6
	
7
	
8
	
9
	
10
	
11
	
12
	
13
	
14
	
15
	
16
	
17
	
18
	
19
	
20
	
21
	
22
	
23
	
24
	
25
· Risca-se o número 1.
· Marca-se o número 2 e risca-se todos os seus múltiplos: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24.
· Marca-se o número 3 e risca-se todos os seus múltiplos que ainda não foram riscados: 9, 15 e 21.
· Marca-se o número 5 e risca-se todos os seus múltiplos que ainda não foram riscados: 25.
· Os números que estão marcados são todos os números primos menores que 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23.
NOTA:
Além do Crivo de Eratóstenes existe uma regra prática para reconhecimento dos números primos: Divide-se o número, sucessivamente, pelos números primos a partir do número 2 e na ordem crescente, até obter-se um quociente igual ou menor que o divisor. Se a divisão sempre deixar resto diferente de zero o número é primo.
5.4 Exercícios
1. Responda às perguntas:
a) Há números que só tem dois divisores?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
b) Como são denominados esses números?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
c) O que é um número primo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. Risque os pares de números que são primos entre si:
2 e 3
8 e 9
5 e 4
4 e 12 
6 e 9
2 e 15
4 e 15
4 e 21
3. Construa o Crivo de Eratóstenes para os primeiros 50 números e escreva os números primos encontrados.
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM
6.1 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Chama-se múltiplo comum de dois ou mais números a um número que seja divisível, ao mesmo tempo, por todos eles.
Exemplo 6.1
Considerem-se os múltiplos de 3 e 4:
· Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,... 
· Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,... 
Pode-se observar que:
· Os múltiplos comuns de 3 e 4 são: 12, 24 e 36.
· Dos múltiplos comuns aos números 3 e 4, 12 é o menor deles. Portanto, conclui-se que o menor múltiplo comum entre 3 e 4 é 12.
NOTA:
Chama-se menor múltiplo comum de dois ou mais números o menor número, diferente de zero, divisível por todos eles ao mesmo tempo.
6.2 Determinação do Mínimo Múltiplo Comum
Na prática calcula-se o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, fatorando-os simultaneamente. Este processo é conhecido na literatura como decomposição em fatores primos, pois consiste em dividir todos os números relacionados pelo menor número primo possível, sempre que o resultado for um número inteiro. Quando todos os números fatorados ficarem igual à 1, deve-se multiplicar todos os números primos utilizados na decomposição.
Exemplo 6.2
Determinar o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) entre 6, 20 e 32:
480
5
3
2
5
3
2
2
2
2
2
.
.
.
5
3
2
2
2
2
2
1
,
1
,
1
1
,
5
,
1
1
,
5
,
3
2
,
5
,
3
4
,
5
,
3
8
,
5
,
3
16
,
10
,
3
32
,
20
,
6
5
=
´
´
=
´
´
´
´
´
´
=
Û
c
m
m
6.3 Determinação do Mínimo Múltiplo Comum Entre 2 Números Primos
O mínimo múltiplo comum de dois números primos entre si é igual ao produto entre eles.
EXEMPLO 6.3
Determinar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre 3 e 11:
33
11
3
.
.
.
11
3
1
,
1
11
,
1
11
,
3
=
´
=
Û
c
m
m
6.4 Exercícios
1. Fatore e calcule o m.m.c.
a) 3, 6 e 9
b) 4, 5 e 7
c) 6, 12 e 15
d) 36, 48 e 60
e) 12, 20, 32 e 46
2. Uma pessoa muito metódica preocupada com sua saúde, organizou uma agenda de comparecimento ao dentista, médico e hospital. Tendo feito todos os exames médicos, hospitalares e dentários em Janeiro de 1984, pretende ir ao dentista de 4 em 4 meses, ao médico de 6 em 6 meses e ao hospital de 8 em 8 meses. Em que mês e ano vai comparecer ao dentista, médico e hospital, simultaneamente?
3. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?
4. Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm  12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes estragados. Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamenteeste encontro.
6.5 Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
Para obter o máximo divisor comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número é divisor comum de outros números naturais se este número dividir simultaneamente os números naturais em questão.
Exemplo 6.4
Considerem-se os divisores de 16 e 24:
· Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16. 
· Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. 
Pode-se observar que:
· Os divisores comuns de 16 e 24 são: 1, 2, 4 e 8.
· Dos divisores comuns aos números 16 e 24, 8 é o maior deles. Portanto, conclui-se que o máximo divisor comum entre 16 e 24 é 8.
(
)
8
24
,
16
=
MDC
6.6 Determinação do Máximo Divisor Comum
Um método prático para se obter o máximo divisor comum de dois ou mais números é similar ao método de obtenção do MMC. Fatoram-se simultaneamente todos os números, e multiplicam-se os fatores comuns a todos os números.
Exemplo 6.5
9
5
Determinar o máximo divisor comum (M.D.C.) entre 12 e 18:
16
12
6
3
2
.
.
.
3
3
2
2
1
,
1
3
,
1
9
,
3
9
,
6
18
,
12
=
´
=
Û
c
d
m
6.7 Propriedades de MMC e MDC
Temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b), caso exista outro número natural (q) que satisfaça:
b
q
a
×
=
Entre dois números inteiros que não sejam nulos, diferentes de zero, tem-se os conjuntos dos divisores destes números, tendo sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.
Assim, definem-se algumas propriedades para o MMC e o MDC:
· 
(
)
b
a
b
a
MMC
×
=
,
, se a e b forem primos entre si;
· 
(
)
a
n
a
n
a
MMC
×
=
×
,
;
· 
(
)
1
,
=
b
a
MDC
, se a e b forem primos entre si;
· 
(
)
a
a
n
a
MDC
=
×
,
;
· 
(
)
(
)
b
a
b
a
MDC
b
a
MMC
´
=
´
,
,
6.8 Exercícios
1. Calcule o m.d.c.
a) 18 e 144
b) 75 e 90
c) 32 e 80
d) 18, 24 e 28
e) 12, 24, 36 e 45
2. Tenho três sarrafos que medem 12m, 18m e 30m. Quero dividi-los em partes iguais e do maior tamanho possível. Não posso perder nenhum pedaço de madeira. Em quantos pedaços devo dividi-los e qual o comprimento deles?
3. Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o maior número possível de ramalhetes iguais entre si. Quantos serão os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles?
4. Pretende-se dividir dois rolos de arame de 36 metros e 48 metros de comprimento, em partes iguais e de maior tamanho possível. Qual deverá ser o comprimento de cada uma destas partes?
7 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
7.1 A Necessidade de um Sistema Internacional
Essencial para a realização de uma medição é a existência da unidade, estabelecida por um padrão, segundo uma convenção própria: regional, nacional ou internacional.
No transcorrer do tempo, diversos foram os sistemas de unidades estabelecidas nas diferentes regiões do mundo. Em função do intercâmbio internacional de produtos e informações, bem como da própria incoerência entre unidades anteriormente adotadas, estabeleceu-se em 1960, através do “Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM)” um conjunto coerente de unidades, o SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADE (SI), que consta das unidades de: base, derivadas e suplementares.
O BIPM tem por missão assegurar a unificação mundial das medidas físicas; ele é encarregado de:
· Estabelecer os padrões fundamentais e as escalas das principais grandezas físicas, e de conservar os protótipos internacionais;
· Efetuar a comparação dos padrões nacionais e internacionais;
· Assegurar a coordenação das técnicas de medidas correspondentes;
· Efetuar e de coordenar as determinações relativas às constantes físicas que intervêm naquelas atividades.
A adoção das unidades do SI é no Brasil uma obrigatoriedade legal e traz uma série de pontos positivos:
· Facilidade de entendimento das informações a nível internacional (vantagem comercial e científica);
· Demonstração de maturidade técnico-científica através do abandono de sistemas superados;
· A simplificação das equações que descrevem os fenômenos físicos, pelo fato de existir consistência entre as unidades das grandezas envolvidas.
7.2 As Três Classes de Unidades do SI
No Sistema Internacional distinguem-se três classes de unidades:
· Unidades de base;
· Unidades derivadas;
· Unidades suplementares.
7.2.1 Unidades de Base
No SI apenas sete grandezas físicas independentes são definidas, as chamadas unidades de base. Todas as demais unidades são derivadas destas sete. 
As definições oficiais de todas as unidades de base do SI são aprovadas pela Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM). As definições destas grandezas são apresentadas na tabela 8.1. Essas definições são modificadas periodicamente motivadas por algum avanço tecnológico que cria melhores condições de reprodução do valor unitário destas grandezas.
Tabela 7.1 – Unidades de Base
	GRANDEZA FUNDAMENTAL
	UNIDADE DEFINIÇÃO
	UNIDADE SÍMBOLO
	ERRO DE REPRODUÇÃO
	Comprimento
	O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante o intervalo de tempo de 1/299792458 de segundo.
	
m
	
9
10
4
-
´
	Massa
	O quilograma é a unidade de massa; Ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.
	
kg
	
9
10
-
	Tempo
	O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiper finos do estado fundamental do césio 133. Essa definição se refere a um átomo de Césio em repouso, a uma temperatura de 0 K.
	
s
	
10
10
-
	Intensidade de corrente elétrica
	O ampére é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida entre dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de um metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 
7
10
2
-
´
 newton por metro de comprimento.
	
A
	
	Temperatura termodinâmica
	O Kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 
16
,
273
1
 da temperatura termodinâmica no ponto tríplice da água.
	
K
	
3
10
3
1
-
´
Þ
K
	Quantidade de matéria
	O mol é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quanto átomos existem em 0,012 quilogramas de carbono 12.
	
mol
	
	Intensidade luminosa
	A candela é a intensidade luminosa, numa dada direção de uma fonte que emite uma radiação, monocromática de freqüência 
12
10
540
´
 hertz e cuja intensidade energética nessa direção é 
683
1
 watt por esterradiano.
	
cd
	
NOTA:
Entre as unidades de base do SI, a unidade de massa é a única cujo nome, por motivos históricos, contém um prefixo ( k ).
7.2.2 Unidades Derivadas
Unidades derivadas são as unidades que são formadas pela combinação das unidades de base segundo relações algébricas que correlacionam as correspondentes grandezas. Constituem a grande maioria das grandezas em uso. Por serem muito empregadas, algumas grandezas recebem denominação específica, como exemplo o newton, pascal, watt, hertz, etc. (a grafia com inicias em letras minúsculas é intencional para diferenciar dos respectivos nomes dos próprios Newton, Pascal, Watt, Hertz, etc). As tabelas 8.2, 8.3 e 8.4 exemplificam algumas destas grandezas.
Tabela 7.2 – Unidades SI derivadas, expressas a partir das unidades de Base
	GRANDEZAS
	UNIDADE DO SISTEMA INTERNACIONAL
	
	NOME
	SÍMBOLO
	superfície
	metro quadrado
	
2
m
	volume
	metro cúbico
	
3
m
	velocidade
	metro por segundo
	
s
m
	aceleração
	metro por segundo quadrado
	
2
s
m
	massa específica
	quilograma por metro cúbico
	
3
m
kg
	volume específico
	metro cúbico por quilograma
	
kg
m
3
	densidade de corrente
	ampère por metro quadrado
	
2
m
A
	campo magnético
	ampère por metro
	
m
A
	concentração 
(de quantidade de matéria)
	mol por metro cúbico
	
3
m
mol
	luminância
	candela por metro quadrado
	
2
m
cd
Tabela 7.3 – Unidades SI derivadas possuidoras de nomes especiais e símbolos particulares
	GRANDEZAS
	UNIDADEDO SISTEMA INTERNACIONAL
	
	NOME
	SÍMBOLO
	BASE
	freqüência
	hertz
	
Hz
	
s
1
	força
	newton
	
N
	
2
s
kg
m
×
	pressão, esforço
	pascal
	
Pa
	
2
s
m
kg
×
	energia, trabalho, quantidade de calor
	joule
	
J
	
2
2
s
kg
m
×
	potência, fluxo de energia
	watt
	
W
	
3
2
s
kg
m
×
	quantidade de eletricidade, carga elétrica
	coulomb
	
C
	
A
s
×
	diferença de potencial elétrico, força eletromotriz
	volt
	
V
	
A
s
kg
m
×
×
3
2
	capacidade elétrica
	farad
	
F
	
2
2
4
m
A
s
kg
×
×
	resistência elétrica
	ohm
	
W
	
2
3
2
A
s
kg
m
×
×
	condutância elétrica
	siemens
	
S
	
kg
m
A
s
×
×
2
2
3
	fluxo de indução magnética
	weber
	
Wb
	
A
s
kg
m
×
×
2
2
	indução magnética
	tesla
	
T
	
A
s
kg
×
2
	indutância
	henry
	
H
	
2
2
2
A
s
kg
m
×
×
	fluxo luminoso
	lúmen
	
lm
	
sr
cd
×
	iluminamento
	lux
	
lx
	
2
m
sr
cd
×
Tabela 7.4 – Exemplos de unidades SI derivadas, cujos nome e símbolo compreendem unidades SI derivadas tendo nomes especiais e símbolos particulares
	GRANDEZAS
	UNIDADE DO SISTEMA INTERNACIONAL
	
	NOME
	SÍMBOLO
	BASE
	viscosidade dinâmica
	pascal segundo
	
s
Pa
×
	
s
m
kg
×
	momento de uma força
	newton metro
	
m
N
×
	
2
2
s
kg
m
×
	tensão superficial
	newton por metro
	
m
N
	
2
2
s
kg
m
×
	velocidade angular
	radiano por segundo
	
s
rad
	
s
1
	aceleração angular
	radiano por segundo quadrado
	
2
s
rad
	
2
1
s
	capacidade térmica, entropia
	joule por kelvin
	
K
J
	
K
s
kg
m
×
×
2
2
	energia mássica
	joule por quilograma
	
kg
J
	
2
2
s
m
	densidade de energia
	joule por metro cúbico
	
3
m
J
	
2
s
m
kg
×
	campo elétrico
	volt por metro
	
m
V
	
A
s
m
kg
×
×
3
	densidade de carga elétrica
	coulomb por metro cúbico
	
3
m
C
	
3
m
A
s
×
	densidade de fluxo elétrico
	coulomb por metro cuadrado
	
2
m
C
	
2
m
A
s
×
	permissividade
	farad por metro
	
m
F
	
kg
m
A
s
×
×
3
2
4
	permeabilidade
	henry por metro
	
m
H
	
A
s
kg
m
×
×
2
7.2.3 Unidades Suplementares
No SI são também definidas as unidades suplementares. São unidades cuja definição é puramente matemática, sem que um padrão ou elemento físico seja necessário. Trata-se basicamente das unidades de ângulo plano e ângulo sólido, como mostra a tabela 8.5. O ângulo plano é a relação entre dois comprimentos e o ângulo sólido é a relação entre uma área e o quadrado de um comprimento. São unidades sem dimensão. Nota-se que estas unidades também podem ser combinadas com as unidades base para formar novas unidades derivadas.
Tabela 7.5 – Exemplos de unidades SI suplementares
	GRANDEZAS
	UNIDADE DO SISTEMA INTERNACIONAL
	
	NOME
	SÍMBOLO
	BASE
	ângulo plano
	radiano
	
rad
	
1
1
=
×
-
m
m
	ângulo sólido
	esterradiano
	
sr
	
1
2
2
=
×
-
m
m
	velocidade angular
	radiano por segundo
	
s
rad
	
s
1
	aceleração angular
	radiano por segundo quadrado
	
2
s
rad
	
2
1
s
	intensidade energética
	watt por esterradiano
	
sr
W
	
3
2
3
2
4
s
kg
m
s
m
kg
m
×
=
×
×
	luminância energética
	watt por metro quadrado esterradiano
	
(
)
sr
m
W
×
2
	
3
3
2
2
s
kg
s
m
kg
m
=
×
×
7.3 Regras para a Escrita e Emprego dos Símbolos das Unidades SI
Os princípios gerais referentes a grafia dos símbolos das unidades, são:
· Os símbolos das unidades são expressos em caracteres romanos (verticais), em geral, minúsculos. Entretanto, se o nome da unidade deriva de um nome próprio, a primeira letra do símbolo é maiúscula. Exemplo:
Hz
hertz
Þ
.
· Os símbolos das unidades permanecem invariáveis no plural.
· Os símbolos das unidades não são seguidos por ponto.
A Organização Internacional de Normalização (ISO) baixou recomendações adicionais para uniformizar as modalidades de emprego dos símbolos das unidades SI. De acordo com essas recomendações:
· O produto de duas ou mais unidades pode ser indicado, de uma das seguintes maneiras. Por exemplo: 
m
N
×
 ou 
Nm
.
· Quando uma unidade derivada é constituída pela divisão de uma unidade por outra, pode-se utilizar a barra inclinada (
) ou potências negativas. Por exemplo: 
s
m
 ou 
1
-
×
s
m
.
· Nunca repetir na mesma linha mais de uma barra inclinada, a não ser com o emprego de parênteses, de modo a evitar quaisquer ambigüidades. Nos casos complexos devem utilizar-se parênteses ou potências negativas. Por exemplo: 
2
s
m
 ou 
2
-
×
s
m
, porém não 
s
s
m
.
7.4 Múltiplos e Submúltiplos Decimais
No SI foram estabelecidos para as unidades os múltiplos e submúltiplos decimais com a nomenclatura e simbologia dada na tabela 8.6. Apesar de serem previstos os múltiplos (
da
 e 
h
) bem como, os submúltiplos (
d
 e 
c
), o seu uso não é recomendado pelo SI. Desta forma, por exemplo, para comprimentos, recomenda-se expressar em 
km
, 
m
, 
mm
, 
m
m
, porém não em 
hm
, 
dam
, 
dm
 ou 
cm
.
Tabela 7.6 – Prefixos SI
	FATOR
	PREFIXO
	SÍMBOLO
	FATOR
	PREFIXO
	SÍMBOLO
	
24
10
	
yotta
	
Y
	
1
10
-
	
deci
	
d
	
21
10
	
zetta
	
Z
	
2
10
-
	
centi
	
c
	
18
10
	
exa
	
E
	
3
10
-
	
mili
	
m
	
15
10
	
peta
	
P
	
6
10
-
	
micro
	
m
	
12
10
	
tera
	
T
	
9
10
-
	
nano
	
n
	
9
10
	
giga
	
G
	
12
10
-
	
pico
	
p
	
6
10
	
mega
	
M
	
15
10
-
	
femto
	
f
	
3
10
	
quilo
	
k
	
18
10
-
	
atto
	
a
	
2
10
	
hecto
	
h
	
21
10
-
	
zepto
	
z
	
1
10
	
deca
	
da
	
24
10
-
	
yocto
	
y
7.5 Regras para Emprego dos Prefixos no SI
Os princípios gerais adotados pela ISO no emprego dos prefixos SI, são:
· Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos (verticais), sem espaçamento entre os símbolos do prefixo e o símbolo da unidade.
· O conjunto formado pelo símbolo de um prefixo ligado ao símbolo de uma unidade constitui um novo símbolo inseparável que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e que pode ser combinado a outros símbolos de unidades para formar os símbolos de unidades compostas. Exemplo: 
(
)
(
)
1
6
1
6
1
10
10
1
-
-
-
-
×
=
×
=
s
s
s
m
· Os prefixos compostos, formados pela justaposição de vários prefixos SI, não são admitidos. Exemplo: 
nm
1
, porém nunca 
m
m
m
1
.
· Um prefixo não deve ser empregado sozinho. Exemplo: 
3
6
10
m
, porém nunca 
3
m
M
.
7.6 Unidades Não Pertencentes ao SI
7.6.1 Unidades Em Uso com o SI
O CIPM reconheceu que os utilizadores do SI terão necessidade de empregar conjuntamente certas unidades que não fazem parte do SI, porém estão amplamente difundidas. Estas unidades desempenham papel tão importante que é necessário conservá-las para uso geral com o Sistema Internacional de Unidades. Elas são apresentadas na tabela 8.7.
A combinação de unidades desta tabela com unidades SI, para formar unidades compostas, não deve ser praticada senão em casos limitados, a fim de não perder as vantagens de coerência das unidades SI.
Tabela 7.7 – Unidades fora do SI, em uso com o SI
	NOME
	SÍMBOLO
	VALOR EM UNIDADES SI
	minuto
	
min
	
s
60
min
1
=
	hora
	
h
	
s
h
3600
min
60
1
=
=
	dia
	
d
	
s
h
d
86400
24
1
=
=
	grau
	º
	
(
)
rad
180
º
1
p
=
	minuto
	‘
	
(
)
(
)
rad
10800
60
1
'
1
p
=
°
=
	segundo
	“
	
(
)
(
)
rad
648000
'
60
1
"
1
p
=
=
	litro
	
L
l
,
	
3
3
3
10
1
1
m
dm
l
-
=
=
	tonelada
	
t
	
kg
t
1000
1
=
	polegada
	“
	
mm
4
,
25
"
1
=
7.6.2 Unidades Admitidas Temporariamente
Em virtude da força de hábitos existentes em certos países e em certos domínios, o CIPM julgou aceitável que as unidades contidas na tabela 8.8 continuassem a ser utilizadas, conjuntamente com as unidades SI, até que seu emprego não seja mais necessário. Estas unidades não devem todavia, ser introduzidas nos domínios onde elas não são mais