Leis de Newton e Suas Aplicacoes (1)

Prévia do material em texto

1 
 
NOTA DE AULA 
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 
 
 
LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Como pode um rebocador pequeno rebocar um navio muito mais pesado do que ele? Por que ele precisa de uma  longa 
distância para parar o navio depois do início do movimento? Por que seu pé se machuca mais quando você chuta uma rocha do que 
quando chuta uma bola de futebol? Por que é mais difícil controlar um carro que se desloca sobre uma pista de gelo do que quando 
ele se desloca sobre uma pista de concreto seco? As respostas a essas e outras questões semelhantes nos conduzem ao estudo da 
dinâmica, a relação entre o movimento e a força que o produz. Nos capítulos anteriores, estudamos a cinemática, a linguagem para 
descrever o movimento. Agora estamos aptos a entender o que faz os corpos se moverem da maneira como eles o fazem. 
Neste capítulo, para analisarmos os princípios da dinâmica, usaremos as grandezas deslocamento, velocidade e aceleração 
juntamente com dois conceitos novos, força e massa. Esses princípios podem ser sintetizados em um conjunto de três afirmações 
conhecidas como leis de Newton do movimento. A primeira afirma que, quando a força resultante que atua sobre um corpo é igual 
a zero, o movimento do corpo não se altera. A segunda lei de Newton relaciona a força com a aceleração quando a força resultante 
que atua sobre um corpo não é igual a zero. A terceira lei é uma relação entre as forças de interação que um corpo exerce sobre os 
outros.  Essas  leis,  baseadas  em  estudos  experimentais  do movimento  de  um  corpo,  são  fundamentais  sob  dois  aspectos.  Em 
primeiro  lugar, elas não podem  ser deduzidas ou demonstradas a partir de outros princípios. Em  segundo  lugar, elas permitem 
nosso entendimento dos tipos mais comuns de movimento; elas são o fundamento da mecânica clássica (também conhecida como 
mecânica newtoniana). Contudo, as  leis de Newton não são universais: elas necessitam de modificações para velocidades muito 
elevadas (próximas da velocidade da luz) e para dimensões muito pequenas (tal como no interior de um átomo).   
As leis do movimento foram claramente estabelecidas pela primeira vez por Sir Isaac Newton (1642‐1727), que as publicou 
em 1687 em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1 Capa da obra Philosophiae Naturalis 
Principia Mathematica. 
 
Muitos  outros  cientistas  anteriores  a  Newton  também  contribuíram  para  os  fundamentos  da  mecânica,  incluindo 
Copérnico, Brahe, Kepler e especialmente Galileu Galilei  (1564‐1642), que  faleceu no mesmo ano do nascimento de Newton. Na 
verdade, de acordo com palavras do próprio Newton, "Se eu  fui capaz de ver um pouco mais adiante do que outros homens, é 
porque eu montei nos ombros de gigantes". Agora é nossa vez de montarmos nos ombros de Newton e usar suas leis para entender 
como nosso mundo físico funciona. 
As  leis de Newton podem  ser enunciadas de modo muito  simples, embora alguns estudantes  tenham dificuldades para 
entendê‐las e utilizá‐las. A  razão é que, antes de estudar  física, durante anos você caminhou,  jogou bola, empurrou caixas e  fez 
dezenas de coisas que envolvem movimento. Durante esse período você desenvolveu um "senso comum", envolvendo ideias sobre 
o movimento e suas causas. Porém, muitas dessas ideias do "senso comum", embora possam funcionar em nossa vida diária, não se 
combinam com uma análise lógica nem com a experiência. Grande parte da tarefa deste capítulo — e do restante de nosso estudo 
da física — consiste em ajudar você a se convencer de que o "senso comum" deve ser substituído por outros tipos de análises. 
 
2. FORÇA E INTERAÇÕES 
Na  linguagem cotidiana, exercer uma  força significa puxar ou empurrar. O conceito de  força nos  fornece uma descrição 
 
2 
quantitativa da interação entre dois corpos ou entre o corpo e seu ambiente. Quando você empurra um carro atolado na neve, você 
exerce uma força sobre ele. Uma  locomotiva exerce uma força sobre o trem para puxar ou empurrar os vagões, um cabo de aço 
exerce uma força sobre a viga que ele sustenta em uma construção e assim por diante. 
Quando uma força envolve o contato direto entre dois corpos, ela é chamada de força de contato. Exemplos de força de 
contato são a força de puxar ou empurrar exercida pela sua mão, a força de puxar exercida por uma corda sobre um objeto no qual 
ela está presa e a  força que o  solo exerce  sobre um  jogador de  futebol. Existem  também  forças, denominadas  forças de  longo 
alcance, que atuam mesmo quando os corpos estão muito afastados entre si. Você já deve ter sentido o efeito de forças de longo 
alcance ao brincar com um par de  ímãs. A gravidade também é uma força de  longo alcance: para manter a Terra em órbita, o Sol 
exerce uma atração gravitacional sobre a Terra, mesmo a uma distância de 150 milhões de quilômetros. 
 
A força é uma grandeza vetorial; você pode puxar ou empurrar um objeto em diferentes direções e sentidos. Logo, para 
descrever uma força, além da direção e do sentido, precisamos descrever seu módulo, que especifica "quanto" ou "a intensidade" 
com que a força puxa ou empurra. A unidade SI do módulo de uma força é o newton, abreviado por N. 
  
3. PRIMEIRA LEI DE NEWTON 
Discutimos algumas propriedades das forças, mas até agora não dissemos nada sobre como as forças afetam o movimento. 
Para começar, vamos verificar o que ocorre quando a força resultante sobre um corpo é  igual a zero. Quando um corpo está em 
repouso, e se nenhuma força resultante atua sobre ele (isto é, nenhuma força puxa ou empurra o corpo), você certamente concorda 
que esse corpo deve permanecer em repouso. Porém, o que ocorre quando o corpo está em movimento e a força resultante sobre 
ele é igual a zero? 
Para ver o que ocorre nesse caso, suponha que você jogue um disco de hóquei sobre o topo de uma mesa horizontal e com 
a mão aplique sobre ele uma  força horizontal  (Figura 2a). Depois que você parou de empurrar, o disco não continua a se mover 
indefinidamente; ele diminui de velocidade e para. Para que seu movimento continuasse, você teria de continuar a empurrar (ou 
seja, aplicar uma força). O "senso comum"  levaria você a concluir que corpos em movimento devem parar e que seria necessário 
aplicar uma força para sustentar o movimento. 
Imagine agora que você empurre o disco de hóquei sobre um assoalho encerado  recentemente  (Figura 2b). Depois que 
você parar de empurrar, o disco percorrerá uma distância maior antes de parar. Coloque‐o em uma mesa com um colchão de ar, de 
modo que ele flutue dentro de uma camada de ar; nesse caso ele percorre uma distância muito maior (Figura 2c). Em cada caso, o 
atrito, uma força de  interação entre a superfície do disco e a superfície sobre a qual ele desliza, é responsável pela diminuição da 
velocidade do disco; a diferença entre os três casos é o módulo da força de atrito. O assoalho encerado exerce uma força de atrito 
menor do que a força de atrito da superfície do topo da mesa, de modo que o disco percorre uma distância maior antes de parar. As 
moléculas de ar exercem a menor força de atrito entre as três. Caso fosse possível eliminar completamente o atrito, a velocidade do 
 
3 
disco não diminuiria nunca e não precisaríamos de nenhuma força para mantê‐lo em movimento. Portanto, o "senso comum" de 
que seria necessário aplicar uma força para sustentar o movimento é incorreto. 
Experiências como as que acabamos de descrever mostram que, quando a força resultante é igual a zero, o corpo ou está 
em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
FIGURA 2(a) O disco de hóquei  recebe um  impulso 
inicial,  ele  para  em  uma  distância  curta  sobre  a 
mesa. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  2(b)  Em  uma  superfície  encerada 
recentemente,a  força  de  atrito  diminui,  e  o  disco 
percorre uma distância maior. 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 (c) Se ele se move em um colchão de ar 
sobre  a mesa,  a  força  de  atrito  é  praticamente 
zero  e  ele  se  move  com  velocidade  quase 
constante. 
 
Uma vez iniciado o movimento, não seria necessário nenhuma força resultante para mantê‐lo. Em outras palavras: Quando 
a força resultante sobre um corpo é igual a zero ele se move com velocidade constante (que pode ser nula) e aceleração nula. Este é 
o enunciado da primeira lei de Newton. 
A  tendência  de  um  corpo  de  se  manter  deslocando,  uma  vez  iniciado  o  movimento,  resulta  de  uma  propriedade 
denominada inércia. A tendência de um corpo parado se manter em repouso é também decorrente da inércia. Você já deve ter visto 
a seguinte experiência. A louça apoiada em uma toalha de mesa não cai quando a toalha é puxada repentinamente. A força de atrito 
sobre a porcelana durante o intervalo de tempo muito curto não é suficiente para ela se mover, logo ela permanece praticamente 
em repouso. 
É relevante notar que na primeira  lei de Newton o que  importa é conhecer a força resultante. Por exemplo, um  livro de 
física  em  repouso  sobre uma mesa horizontal possui duas  forças  atuando  sobre  ele: uma  força de  cima para baixo oriunda da 
atração gravitacional que a Terra exerce sobre ele (uma força de longo alcance que atua sempre, independentemente da altura da 
mesa) e uma força de baixo para cima oriunda da reação de apoio da mesa (uma força de contato). A reação de apoio da mesa de 
baixo para cima é igual à força da gravidade de cima para baixo, de modo que a força resultante que atua sobre o livro (ou seja, a 
soma vetorial das duas forças) é igual a zero. De acordo com a primeira lei de Newton, se o livro está em repouso sobre a mesa ele 
deve permanecer em  repouso. O mesmo princípio pode  ser aplicado a um disco de hóquei  se deslocando  sobre uma  superfície 
horizontal sem atrito: a soma vetorial da reação de apoio da superfície de baixo para cima e da  força da gravidade de cima para 
baixo  é  igual  a  zero.  Uma  vez  iniciado  o movimento  do  disco,  ele  deve  continuar  com  velocidade  constante  porque  a  força 
resultante atuando sobre ele é igual a zero. 
Quando não existe nenhuma  força atuando sobre um corpo, ou quando existem diversas  forças com uma soma vetorial 
(resultante) igual a zero, dizemos que o corpo está em equilíbrio. No equilíbrio, o corpo ou está em repouso ou está em movimento 
com velocidade constante. Para um corpo em equilíbrio, a força resultante é igual a zero: 
F=0           [1] 
 
3.1 SISTEMAS DE REFERÊNCIA INERCIAL 
 
4 
Suponha que você esteja em um avião que acelera ao longo da pista de decolagem. Se você pudesse ficar em pé apoiado 
em patins ao longo do eixo no interior do avião, você se deslocaria para trás em relação ao avião à medida que o piloto acelerasse o 
avião. Ao contrário, durante a aterrissagem do avião, você começaria a se mover para trás até o avião parar: Tudo se passa como se 
a primeira lei de Newton não estivesse sendo obedecida; aparentemente não existe nenhuma força resultante atuando sobre você, 
embora sua velocidade esteja variando. O que existe de errado? O fato é que o avião está sendo acelerado em relação à Terra e este 
não  é  um  sistema  de  referencia  adequado  para  a  aplicação  da  primeira  lei  de Newton.  Essa  lei  vale  para  alguns  sistemas  de 
referência e não vale para outros. Um sistema de referência para o qual a primeira lei de Newton seja válida denomina‐se sistema 
de  referência  inercial. A Terra pode ser considerada aproximadamente um sistema de  referência  inercial, mas nesse caso não é. 
Como a primeira lei de newton é usada para definir um sistema de referência inercial, algumas vezes ela é chamada lei da inércia.   
A  figura  3 mostra  como usar  a  primeira  lei  de Newton  para  compreender  o  que ocorre  você  viaja  em  um  veículo  em 
aceleração. Na Figura 3a, o veículo está inicialmente em repouso. e a seguir começa a acelerar para a direita. Uma passageira sobre 
patins praticamente não possui nenhuma força resultante atuando sobre ela, visto que as rodas dos patins minimizam os efeitos do 
atrito,  portanto,  ela  tende  a  permanecer  em  repouso  em  relação  ao  sistema  de  referência  inercial  da  Terra,  de  acordo  com  a 
primeira  lei de Newton. Como o veículo acelera para a  frente, ela se move para  trás em  relação ao veículo. Analogamente, se o 
veículo está em movimento e diminui de velocidade, ela tende a continuar em movimento com velocidade constante em relação à 
Terra  (Figura 3b). A passageira  se move para a  frente em  relação ao veículo. Um veículo  também acelera quando  se move com 
velocidade constante mas  faz uma curva  (Figura 3c). Nesse caso, a passageira  tende a continuar em movimento com velocidade 
constante em relação à Terra na mesma linha reta; em relação ao veículo, ela se move lateralmente para fora da curva. 
Em cada caso indicado na Figura 3, um observador fixo no sistema de referência do veículo poderia ser  levado a concluir 
que existe uma força resultante atuando sobre a passageira em cada caso. Esta conclusão está errada: a força resultante sobre a 
passageira é nula. O erro do observador do  veículo é que ele está  tentando  aplicar a primeira  lei de Newton  a um  sistema de 
referência que não é inercial, para o qual não vale a primeira lei de Newton.   
Mencionamos somente um sistema de referência (aproximadamente) inercial: a superfície da Terra. Porém, existem muitos 
sistemas de referência inerciais. Caso você tenha um sistema de referência inercial A no qual seja válida a primeira lei de Newton, 
então qualquer outro sistema de referência B que se mova em relação a A com velocidade relativa constante vB/A também será um 
sistema de referência inercial. Para provar isso, usamos a Equação do capítulo anterior, que relaciona as velocidades relativas: 
P/A P/B B/Av v v     
Suponha que P seja um corpo que se desloca com velocidade constante vP/A em relação a um sistema de referência inercial 
A. Pela primeira lei de Newton, a força resultante sobre o corpo é igual a zero. A velocidade relativa de P em relação a outro sistema 
de referência B possui um valor diferente vP/B = vP/A ‐ vB/A. Porém, a velocidade relativa vB/A entre os dois sistemas é constante, então 
vP/B também  é  constante.  Logo,  o  sistema  de  referência  B  também  é  inercial;  a  velocidade  de  P  em  relação  a  esse  sistema  é 
constante, a força resultante sobre P é nula e a primeira lei de Newton é válida em B. Observadores em B e em A não concordarão 
sobre a velocidade de P, mas concordarão que P se move com velocidade constante (aceleração nula) e que a força resultante sobre 
P é nula.   
 
FIGURA 3 Viajando em um veículo em aceleração, (a) Se você e o veículo estão inicialmente em repouso, você tende a permanecer 
em  repouso quando o veículo acelera,  (b) Se você e o veículo estão  inicialmente em movimento, você  tende a permanecer em 
movimento quando o veículo diminui de velocidade, (c) Você tende a continuar em linha reta quando o veículo faz uma curva. 
 
 
5 
 
 
 
 
FIGURA 4 Para o sistema de referência deste carro, tudo se 
passa como se uma força estivesse puxando os bonecos de 
teste  para  a  frente quando o  carro  para  repentinamente. 
Contudo,  essa  força  não  existe,  os  bonecos  devem 
continuar a se mover para a frente em virtude da primeira 
lei de Newton. 
 
 
4. SEGUNDA LEI DE NEWTON 
Ao discutirmos a primeira lei de Newton, vimos que quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo, ou quando 
a força resultante é  igual a zero, o corpo se move com velocidade constante e aceleração nula. Na Figura 5a, um disco de hóquei 
está deslizando para a direita sobre uma pista de gelo, de modo que o atrito édesprezível. Não existe nenhuma força horizontal 
agindo sobre o disco; a reação de apoio da superfície de gelo de baixo para cima anula a força da gravidade de cima para baixo. 
Sendo  assim,  a  força  resultante  sobre  o  disco  F é  igual  a  zero,  a  aceleração  do  disco  é  nula  e  ele  se move  com  velocidade 
constante. 
Porém,  o  que  ocorre  quando  a  força  resultante  for  diferente  de  zero?  Na  Figura  5b  aplicamos  uma  força  horizontal 
constante no mesmo sentido do deslocamento do disco de hóquei. Então,  F é constante e possui a mesma direção e sentido de 
v

. Verificamos que durante o  tempo em que a  força está atuando, a velocidade varia a uma  taxa constante, ou seja, o disco se 
move com aceleração constante. A velocidade escalar do disco aumenta, de modo que  F   possuem a mesma direção e sentido. 
A Figura 5c mostra outra experiência, na qual  invertemos o  sentido da  força  sobre o disco de modo que  F está orientada em 
sentido contrário ao de  v . Também nesse caso, o disco possui uma aceleração; ele se move com velocidade decrescente para a 
direita. Caso a força para a esquerda continue a atuar, ele por fim irá parar e começará a se acelerar para a esquerda. A aceleração 
a

nesse  caso  é para  a  esquerda,  no mesmo  sentido  de  F .  Como  no  caso  anterior,  a  experiência mostra  que  a  aceleração  é 
constante quando  F é constante. 
Concluímos que a presença de uma  força resultante que atua sobre um corpo produz uma aceleração no corpo. A  força 
resultante e a aceleração possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se o módulo da força resultante é constante, como nas 
Figuras 5b e 5c, então o módulo da aceleração também é constante. 
 
 
 
FIGURA  5  A  aceleração  de  um  corpo 
possui  a  mesma  direção  e  o  mesmo 
sentido  da  força  resultante  que  atua 
sobre o corpo (nesse caso, um disco de 
hóquei se movendo sobre uma pista de 
gelo),  (a)  Se  F =  0,  o  disco  está  em 
equilíbrio;  a  aceleração  é  nula  e  a 
velocidade é  constante,  (b) Se  F está 
orientada para a direita, a aceleração é 
para a direita,  (c) Se  F está orientada 
para a esquerda, a aceleração é para a 
esquerda. 
 
Essas  conclusões  sobre  força  resultante e aceleração  também valem para um movimento em uma  trajetória  curva. Por 
exemplo, a Figura 6 mostra um disco de hóquei deslizando em um círculo horizontal sobre uma pista de gelo com atrito desprezível. 
Um  fio  ligado ao disco exerce  sobre ele uma  força de módulo constante orientada para o centro do  círculo. O  resultado é uma 
aceleração de módulo constante orientada para o interior do círculo. A velocidade escalar do disco é constante, logo identificamos 
um movimento circular uniforme, como foi discutido no capítulo anterior. 
 
6 
 
 
 
FIGURA 6 Vista superior do movimento circular uniforme de 
um  disco  de  hóquei  em  uma  superfície  horizontal  sem 
atrito. Em qualquer ponto da trajetória, a aceleração  a   e 
força  resultante  F   estão orientadas no mesmo sentido, 
para o centro do círculo. 
 
A Figura 7a mostra outra experiência para explorar a relação entre a aceleração e a força resultante que atua sobre um 
corpo. Aplicamos uma  força horizontal constante sobre um disco de hóquei em uma superfície horizontal sem atrito, usando um 
dinamômetro(aparelho para medir forças) com a mola deformada de um mesmo valor. Tanto na Figura 5b quanto na Figura 5c, essa 
força horizontal é  igual  à  força  resultante que atua  sobre o disco.  Fazendo  variar o módulo da  força,  a  aceleração  varia  com a 
mesma  proporção.  Dobrando‐se  a  força  resultante,  a  aceleração  dobra  (Figura  7b);  usando‐se metade  da  força  resultante,  a 
aceleração  se  reduz  à  metade  (Figura  7c)  e  assim  por  diante.  Diversas  experiências  análogas  mostram  que  a  aceleração  é 
diretamente proporcional ao módulo da força resultante que atua sobre o corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  7  (a)  A  aceleração  a   é  proporcional  à  força 
resultante  F .  (b)  Dobrando‐se  a  força  resultante,  a 
aceleração  dobra,  (c)  Usando‐se  a  metade  da  força 
resultante, a aceleração se reduz à metade. 
 
Para um dado corpo, a razão entre o módulo da força resultante | F | e o módulo da aceleração a = | a | é constante, 
independentemente do módulo da  força resultante. Essa  razão denomina‐se massa  inercial do corpo, ou simplesmente massa, e 
será representada por m. Ou seja, m = | F |/a ou 
F    ma                            [2] 
A Equação (2) relaciona o módulo da força resultante que atua sobre o corpo com o módulo da aceleração que ela produz. 
Também vimos que a força resultante possui a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração, tanto no caso de uma trajetória 
retilínea quanto no caso de uma trajetória curvilínea. Newton sintetizou todas essas relações e resultados experimentais em uma 
única formulação denominada segunda lei de Newton: 
Quando  uma  força  resultante  externa  atua  sobre  um  corpo,  ele  se  acelera. A  aceleração  possui  a mesma  direção  e  o 
mesmo sentido da força resultante. O vetor força resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração do corpo. 
Em símbolos 
F   ma                   [3] 
Existem pelo menos quatro aspectos da segunda  lei de Newton que necessitam de atenção especial. Primeiro, a Equação 
(3) é uma equação vetorial. Normalmente ela será usada mediante a forma dos componentes, escrevendo‐se separadamente uma 
equação para cada componente da força e a aceleração correspondente: 
x x y y z zF    ma      F    ma     F    ma          [4] 
Esse conjunto de equações para cada componente é equivalente à Equação  (3). Cada componente da  força resultante é 
igual à massa vezes o componente correspondente da aceleração. 
Segundo, a segunda lei de Newton refere‐se a forças externas. Com isso queremos dizer que essas forças são exercidas por outros 
corpos existentes em suas vizinhanças. É impossível um corpo afetar seu próprio movimento exercendo uma força sobre si mesmo; 
se  isso fosse possível, você poderia dar um pulo até o teto puxando seu cinto de baixo para cima! É por  isso que somente forças 
externas são incluídas em todas as somas das forças indicadas nas Equações (3) e (4). 
Terceiro, as Equações (3) e (4) são válidas apenas quando a massa m é constante. É fácil  imaginar sistemas que possuem 
 
7 
massas  variáveis,  como  um  caminhão‐tanque  vazando  líquido,  um  foguete  se  deslocando  ou  um  vagão  em movimento  numa 
estrada de  ferro  sendo  carregado  com  carvão. Porém  tais  sistemas  são mais bem estudados mediante o  conceito de momento 
linear; esse assunto será abordado posteriormente. 
Finalmente, a segunda lei de Newton é válida somente em sistemas de referência inerciais, como no caso da primeira lei de 
Newton. 
 
 
 
O  projeto  de  uma  motocicleta  de  alto  desempenho 
depende  fundamentalmente  da  segunda  lei  de Newton. 
Para maximizar  a  aceleração,  o  projetista  deve  fazer  a 
motocicleta ser o mais leve possível (isto é, minimizar sua 
massa)  e  usar  a máquina mais  potente  possível  (isto  é, 
maximizar a força motriz). 
 
 
5. MASSA E PESO 
A massa mede quantitativamente a inércia, já discutida anteriormente. Quanto maior a massa, mais um corpo "resiste" a 
ser acelerado. Esse conceito pode ser facilmente relacionado com nossa experiência cotidiana. Se você bater em uma bola de tênis e 
depois arremessar com a mesma força uma bola de basquete, vai notar que a bola de basquete possui uma aceleração menor do 
que a da bola de tênis. Quando uma força produz uma aceleração grande, a massa do corpo é pequena; quando uma força produz 
uma aceleração pequena, a massa do corpo é grande. 
Efetivamente, a massa de um corpo depende do número de prótons, nêutrons e elétrons que elecontém. Esse não seria 
um bom modo para a definição de massa, visto que não existe nenhum método prático para se contar o número dessas partículas. 
Contudo, o conceito de massa fornece a maneira mais fundamental para se caracterizar a quantidade de matéria contida em um 
corpo. 
O peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Os termos massa e peso em geral 
são mal‐empregados  e  considerados  sinônimos  em nossa  conversação  cotidiana.  É  extremamente  importante que  você  saiba  a 
diferença entre estas duas grandezas físicas. 
A massa  caracteriza  a propriedade da  inércia de um  corpo. O peso de um  corpo, por outro  lado, é  a  força de  atração 
gravitacional exercida pela Terra (ou qualquer outro corpo grande) sobre o corpo. A experiência cotidiana mostra que um corpo que 
possui massa  grande  também  possui  peso  grande.  É  difícil  lançar  horizontalmente  uma  pedra  grande porque  ela  possui massa 
grande,  e  é  difícil  levantá‐la  porque  ela  possui  peso  grande.  Na  superfície  da  Lua,  a  dificuldade  para  lançar  essa  pedra 
horizontalmente seria a mesma, mas você poderia levantá‐la mais facilmente.   
Qualquer corpo de massa m deve possuir um peso com módulo w dado por 
w = mg (módulo do peso de um corpo de massa m)                                            [5] 
O  peso  de  um  corpo  é  uma  força,  uma  grandeza  vetorial,  de modo  que  podemos  escrever  a  Equação  (5)  como  uma  equação 
vetorial: 
w mg                                                                                                                  [6] 
Lembre‐se de que g é o módulo de  g , a aceleração da gravidade, logo g é sempre um número positivo. Portanto, w, dado 
pela Equação (5), é sempre um número positivo. 
ATENÇÃO ► As unidades SI de massa e de peso algumas vezes são mal‐empregadas em nossa vida diária. Expressões  incorretas 
como  "Esta  caixa  pesa  6  kg"  são  quase  universalmente  usadas.  Essa  frase  significa  que  a  massa  da  caixa,  provavelmente 
determinada  indiretamente  por  pesagem,  é  igual  a  6  kg.  Esse  uso  é  tão  arraigado  que  provavelmente  não  existe  nenhuma 
esperança de alterá‐lo, porém você deve estar consciente de que o termo peso está sendo usado incorretamente no lugar de massa. 
Tome cuidado para evitar esse tipo de erro nos seus trabalhos! Em unidades SI, o peso (uma força) é medido em newtons, enquanto 
a massa é medida em quilogramas.   
 
 
 
 
FIGURA 8 Uma balança de braços  iguais 
permite a determinação da massa de um 
corpo  mediante  comparação  com  um 
peso conhecido. 
 
 
8 
 
6. TERCEIRA LEI DE NEWTON 
Uma  força  atuando  sobre um  corpo é  sempre o  resultado de uma  interação  com outro  corpo, de modo que  as  forças 
sempre ocorrem em pares. Quando você chuta uma bola, a força para a frente que seu pé exerce sobre ela faz a bola se mover ao 
longo da sua trajetória, porém você sente a força que a bola exerce sobre seu pé. Quando você chuta uma rocha, a dor que você 
sente decorre da força que a rocha exerce sobre seu pé. 
Nesses  casos,  a  força  que  você  exerce  sobre  o  corpo  é  igual  e  contrária  à  força  que  o  corpo  exerce  sobre  você.  A 
experiência mostra que, quando dois corpos interagem, as duas forças decorrentes da interação possuem sempre o mesmo módulo 
e a mesma direção, mas sentidos contrários. Esse resultado denomina‐se terceira lei de Newton. Na Figura 9, FA/B é a força exercida 
pelo corpo A  (primeiro  índice  inferior)  sobre o corpo B  (segundo  índice  inferior) e FB/A é a  força exercida pelo corpo B  (primeiro 
índice inferior) sobre o corpo A (segundo índice inferior). O enunciado matemático da terceira lei de Newton é 
A/B B/AF F 
              [7] 
Expressa em palavras, 
Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B (uma "ação"), então o corpo B exerce uma força sobre o corpo A 
(uma "reação"). Essas duas forças têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. Essas duas forças 
atuam em corpos diferentes. 
Nesse enunciado, a "ação" e a "reação" são duas forças opostas; algumas vezes nos referimos a elas como um par de ação 
e reação.  Isso não significa nenhuma relação de causa e efeito; qualquer uma das forças pode ser considerada como a "ação" ou 
como  a  "reação". Algumas  vezes dizemos  simplesmente que  as  forças  são  "iguais e  contrárias", querendo dizer que elas  têm o 
mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. 
 
 
 
FIGURA 9 Quando um corpo A exerce uma força FA/B sobre 
um corpo B. então o corpo B exerce uma força FB, sobre o 
corpo A, que possui o mesmo módulo e a mesma direção, 
mas sentido contrário:  A/B B/AF   F 
   
 
Enfatizamos que as duas  forças na  terceira  lei de Newton atuam em corpos diferentes.  Isso é  importante na solução de 
problemas envolvendo a  terceira  lei de Newton ou a  segunda  lei de Newton, que dizem  respeito a  forças que atuam  sobre um 
corpo. Por exemplo, a força resultante que atua sobre a bola de futebol americano da Figura 9 é a soma vetorial do peso da bola 
com a força  A/BF

que o pé exerce sobre a bola. Nessa soma você não deve incluir a força  B/AF

porque essa força é exercida sobre o 
pé e não sobre a bola. 
Na Figura 4.18, a ação e a reação são forças de contato que estão presentes somente enquanto os dois corpos se tocam. 
Porém a terceira  lei de Newton também se aplica para as forças de  longo alcance que não necessitam do contato físico entre os 
corpos, como no caso da atração gravitacional. Uma bola de pingue‐pongue exerce sobre a Terra uma força gravitacional de baixo 
para cima de mesmo módulo que a força gravitacional de cima para baixo exercida pela Terra sobre a bola. Quando você deixa a 
bola cair, a bola e a Terra se aproximam. O módulo da força resultante sobre cada um desses corpos é o mesmo, mas a aceleração 
da Terra é extremamente microscópica por causa de sua massa gigantesca. 
Outro exemplo da terceira lei de Newton é mostrado na Figura 10. A força  mpF

exercida pelo martelo (m = martelo, p = prego) sobre 
o prego (a ação) é igual em módulo e oposta à força  pmF

exercida pelo prego sobre o martelo (a reação). Essa última força para o 
movimento para frente do martelo quando ele bate no prego. 
Você pode experimentar a terceira  lei diretamente se der um soco contra uma parede ou se chutar uma bola com o pé 
descalço. Você sente a força de volta em sua mão ou em seu pé. Você deve ser capaz de identificar as forças de ação e de reação 
nesses casos.   
 
 
 
FIGURA  10  A  terceira  lei  de  Newton:  A  força  mpF
  
exercida pelo martelo sobre o prego é igual em módulo 
e oposta  em direção  à  força  pmF
   exercida pelo prego 
sobre o martelo. 
 
 
 
9 
A Terra exerce uma força gravitacional  gF

sobre qualquer corpo. Se o corpo for um monitor de computador em repouso 
sobre uma mesa, como no desenho na Figura 11a  (M = monitor, T = Terra, m = mesa), a  força de reação é a  força exercida pelo 
monitor  sobre a Terra, dada por Mt tmF   F 
 
. O monitor não  se acelera, pois ele é  segurado pela mesa. A mesa exerce  sobre o 
monitor  uma  força  para  cima mMN  F
 
,  chamada  força  normal.  Essa  força  impede  que  o monitor  caia  da mesa;  ela  pode  ter 
qualquer valor necessário, até o  limite de quebrar a mesa. A partir da segunda  lei de Newton, vemos que, como o monitor  tem 
aceleração nula, segue‐se que    N ‐ mg = 0, ou N = mg. A força normal equilibra a força gravitacional sobre o monitor, de forma que 
a força resultante sobre o monitor é nula. A reação a  N   é a força exercida para baixo pelo monitor sobre a mesa, Mm mMF   F 
 
.Observe que as forças agindo sobre o monitor são gF e N
 
, como mostrado na Figura 11b. As duas forças de reação  mt mmF e F

são 
exercidas sobre corpos diferentes do monitor. Lembre‐se, as duas forças em um par ação‐reação sempre agem sobre dois corpos 
diferentes. 
 
 
FIGURA 11 (a) Quando um monitor de computador 
está  sobre  uma mesa,  várias  forças  estão  agindo 
(M = monitor, T = terra, m = mesa). (b) O diagrama 
de  corpo  livre  para  o monitor.  As  forças  agindo 
sobre o monitor são a  força normal  mMN   F
 
e a 
força  gravitacional g TMF  F
 
.  Estas  são  as  únicas 
forças  agindo  sobre  o monitor  e  as  únicas  forças 
que  devem  aparecer  em  um  diagrama  de  corpo 
livre para o monitor.   
7. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 
As  três  leis  de  Newton  contêm  todos  os  princípios  básicos  necessários  para  a  solução  de  uma  grande  variedade  de 
problemas de mecânica. Estas  leis possuem  formas muito  simples, mas  sua aplicação em  situações específicas pode  apresentar 
desafios reais. Esta seção apresenta algumas técnicas úteis. 
Quando  você  usar  a  primeira  lei  de  Newton,  F=0 ,  para  uma  situação  de  equilíbrio,  ou  a  segunda  lei  de  Newton, 
F=ma  , para uma situação sem equilíbrio, você deve aplicá‐las a um corpo especificado. É absolutamente necessário definir logo 
de  início o  corpo  sobre o qual  você  está  falando.  Isso pode parecer  trivial, mas não  é. Depois de  escolher o  corpo,  você deve 
identificar as forças que atuam sobre ele. Não confunda as forças que atuam sobre esse corpo com as forças exercidas por ele sobre 
outros corpos. Somente as forças que atuam sobre o corpo entram no  F . 
Para auxiliar a identificação das forças pertinentes, desenhe um diagrama do corpo livre. O que é isso? É um diagrama que 
mostra o corpo escolhido "livre" das suas vizinhanças, com vetores desenhados para mostrar o módulo, a direção e o sentido de 
todas as forças que atuam sobre o corpo. Já mostramos alguns diagramas do corpo livre nas Figuras 9, 10 e 11. Seja cuidadoso e não 
esqueça de incluir todas as forças que atuam sobre o corpo, tomando cuidado para não incluir as forças que esse corpo exerce sobre 
outros corpos. Em particular, as duas  forças de um par de ação e reação nunca devem aparecer em um diagrama do corpo  livre 
porque elas nunca atuam sobre o mesmo corpo. Além disso, as forças que um corpo exerce sobre si mesmo nunca devem aparecer 
porque forças internas não afetam o movimento do corpo. 
Exemplos: 
 
Uma velocista ganha uma grande aceleração para a  frente quando 
ela  começa  uma  competição  pressionando  para  trás  a  cunha  do 
bloco  de  partida.  O  bloco  exerce  sobre  ela  uma  grande  força  de 
reação normal  N . Essa  força deve possuir um grande componente 
horizontal Nx que acelera a velocista e um  componente vertical Ny 
menor. Caso esse componente vertical seja  igual ao módulo do seu 
peso w, a componente da  força  resultante na vertical é nula e não 
existe aceleração ao longo da vertical. 
 
Quando  submerso  na  água,  o  corpo  de  uma  pessoa 
recebe uma força de empuxo B de baixo para cima. Essa 
força é equilibrada pelo peso da mergulhadora w. Nessas 
circunstâncias,  o movimento  da mergulhadora  depende 
da força da água sobre ela, devida a correntes na água e à 
reação da força que a mergulhadora exerce sobre a água 
com o movimento das suas pernas e dos seus braços. 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
Um  jogador  de  basquete  pula  empurrando  seus  pés  contra  o 
solo. As forças que atuam sobre ele são o seu peso w e a reação 
do solo que o empurra para cima. Quando o jogador está no ar, 
a única força que atua sobre ele é seu peso; sua aceleração é de 
cima  para  baixo,  mesmo  quando  ele  está  subindo.  Seu 
adversário está submetido ao seu próprio peso e à força normal 
N
   exercida sobre ele pelo solo. 
 
 
Nesta seção apresentamos algumas aplicações simples das leis de Newton para corpos que estão em equilíbrio (a = 0) ou 
que estão acelerando  sob a ação de  forças externas  constantes. Vamos  supor que os  corpos  se  comportem  como partículas de 
forma  que  não  precisamos  nos  preocupar  com  movimento  de  rotação  ou  com  outras  complicações.  Nesta  seção  também 
aplicaremos  alguns  modelos  de  simplificação  adicionais.  Desprezamos  os  efeitos  do  atrito  para  os  problemas  que  envolvem 
movimento. Isso é equivalente a dizer que as superfícies são sem atrito. Normalmente desprezamos as massas de quaisquer cordas 
ou fios envolvidos no problema. Nessa aproximação, o módulo da força exercida em qualquer ponto ao longo de um fio é o mesmo 
em todos os pontos ao  longo do fio. Quando se colocam os problemas, os termos  leve e de massa desprezível são utilizados para 
indicar que uma massa é para ser desprezada quando você resolve o problema. Esses dois termos são sinônimos nesse contexto. 
Quando aplicamos as  leis de Newton a um  corpo, estamos  interessados apenas nas  forças externas que agem  sobre o 
corpo. Por exemplo, na Figura 11 as únicas forças externas agindo sobre o monitor são gN e F
 
. As reações a essas forças,  mm mtF e F
 
, 
agem sobre a mesa e sobre a Terra, respectivamente, e não aparecem na segunda lei de Newton quando aplicada ao monitor. Não 
pode  deixar  de  ser  enfatizada  a  importância  de  desenhar  um  diagrama  de  corpo  livre  apropriado  para  garantir  que  você  está 
considerando as forças corretas. 
Quando um corpo como um bloco está sendo puxado por uma corda ou um fio ligado a ele, a corda exerce uma força sobre 
o corpo. O módulo dessa força é chamado tensão na corda. Sua direção é ao longo da corda, afastando‐se do corpo. 
Considere uma caixa sendo puxada para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, como na Figura 12a. Suponha 
que  você  queira  saber  a  aceleração  da  caixa  e  a  força  exercida  pelo  chão  sobre  ela.  Em  primeiro  lugar,  observe  que  a  força 
horizontal  sendo aplicada  sobre a  caixa atua por meio da  corda. A  força exercida pela  corda  sobre a  caixa é  representada pelo 
símbolo T e seu módulo é a tensão na corda. 
Como estamos  interessados apenas no movimento da caixa, temos de ser capazes de  identificar todas as forças externas 
agindo sobre ela. Essas forças estão ilustradas no diagrama de corpo livre na Figura 12b. Além da força T, o diagrama de corpo livre 
para a caixa inclui a força gravitacional  gF

e a força normal  N   exercida pelo chão sobre a caixa. As reações às forças que listamos ‐ 
a saber, a força exercida pela caixa sobre a corda, a força exercida pela caixa sobre a Terra, e a força exercida pela caixa sobre o 
chão ‐ não estão incluídas no diagrama de corpo livre, pois elas agem sobre outros corpos e não sobre a caixa. 
Aplicamos agora a  segunda  lei de Newton à caixa. Primeiro  temos de escolher um  sistema de coordenadas apropriado. 
Nesse caso é conveniente utilizar o sistema de coordenadas mostrado na Figura 12b, com o eixo x horizontal e o eixo y vertical. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  12  (a)  Uma  caixa  sendo  puxada  para  a  direita 
sobre uma superfície sem atrito, (b) O diagrama de corpo 
livre que representa as forças externas sobre a caixa. 
 
 
11 
Podemos aplicar a segunda lei de Newton na direção x, na direção y, ou em ambas as direções, dependendo do que nos for 
pedido para encontrar no problema. Além disso, podemos ser capazes de utilizar as equações de movimento para a partícula com 
aceleração constante que discutimos no Capítulo 1. Contudo, você deve utilizar essas equações apenas quando a aceleração  for 
constante, o que é o caso se a força resultante é constante. Por exemplo, se a força T na Figura 12 é constante, então a aceleração 
na direção x  também é constante, pois a = T/m. Portanto, se precisarmos encontrar a posição ou velocidade da caixa em algum 
instante de tempo, poderemos usar as equações de movimento com aceleração constante. 
 
8.LEIDE HOOKE 
Quando pensamos em algo “elástico” logo associamos em alguma coisa que pode ser “esticada” ou “comprimida” através 
da aplicação de uma força, por exemplo, uma mola. Roberth Hooke (1635‐1703) estudou cuidadosamente várias situações em que 
uma mola sofria deformações. Considere uma mola com seu comprimento natural L0 fixada por uma das suas extremidades a um 
suporte como na figura 13. Ao aplicarmos uma força de intensidade F a mola distenderá passando a ter um comprimento L1 ou L2 
dependendo da intensidade da força. A diferença entre L0 e L1 ou L2 será a deformação x sofrida pela mola, ou seja, o quanto ela foi 
esticada. 
Vejam  na  figura  13  que  ao  acrescentarmos  massas  de  diferentes  pesos  (forças)  também  temos  uma  mudança  no 
alongamento da mola, e quanto maior a força aplicada (casos 1 e 2) maior é o valor da deformação x (compare x1 e x2). Isso mostra 
que há uma relação direta entre a força aplicada e a deformação sofrida pela mola. 
Hooke  também estudou a deformação  sofrida em  várias molas diferentes  (mais  rígida ou menos  rígida) ao acrescentar 
massas com o mesmo peso (compare L1 e L3). Ele conclui que o valor da distensão da mola também dependia do tipo de material da 
qual ela era feita, e quanto mais rígida fosse a mola maior deveria ser a força aplicada para produzirmos uma mesma deformação x 
(compare L1 com L3). 
 
 
FIGURA 13 (a) Várias situações de uma 
mola  sofrendo  deformações.  A  mola 
com  o  seu  comprimento  natural  L0; 
comprimento L1 e L2 após aplicação da 
força  F1  e  F2  (devido  ao  peso  das 
massas  de  100g  e  250g);  mola  mais 
rígida após com o comprimento final L3 
após  a  aplicação  da  força  F1.  (b)  As 
forças  que  atuam  no  sistema 
massa‐mola. 
 
Experimentalmente sabemos  (e a 3ª Lei de Newton confirma) que ao exercermos uma força sobre a mola puxando para 
baixo (pendurando os blocos) a mola exercerá uma força de intensidade oposta à força peso com o intuito de restaurar o seu estado 
“relaxado” (ou natural) em que se encontrava inicialmente. A esta força contrária, chamada muitas vezes de “força restauradora”, 
Hooke chamou de  força elástica da mola. Assim, para pequenos valores de x comparando ao comprimento L0 da mola, podemos 
escrever: 
Fe = ‐kx      [8] 
sendo k a constante da mola cujo valor depende da mola usada e x a deformação da mola. Essa expressão é conhecida como a Lei 
de Hooke. 
Quando retiramos a  força que causou a deformação à  tendência da mola é voltar ao seu comprimento  inicial, mas nem 
sempre isso ocorre. Pode acontecer de a mola ficar com um comprimento diferente de L0 ao ser retirada a força (o bloco de massa), 
situação em que não se aplica a Lei de Hooke.   
Nos casos em que a mola volta a seu comprimento inicial ao ser retirada a força dizemos que ela obedece a Lei de Hooke e 
que a deformação é elástica. 
No caso real, a mola tem um comportamento elástico até um determinado valor x’, que varia de acordo com a mola. Acima 
deste valor crítico ela passa a não obedecer a Lei de Hooke e dependendo da  intensidade da  força aplicada pode até se romper 
(“quebrar”). É por este motivo que a  Lei de Hooke  só é válida quando o  valor de  “x”  (deformação – quanto ela  se esticou)  for 
pequeno em comparação com L0 (comprimento natural da mola). 
 
9. FORÇAS DE ATRITO 
Nesta seção estudaremos o atrito, uma força importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana. O óleo no motor de 
um  automóvel minimiza  o  atrito  entre  as  partes móveis,  porém  se  não  fosse  o  atrito  entre  os  pneus  do  carro  e  o  solo,  não 
poderíamos guiar um carro nem fazer curvas. O arraste do ar — a força de atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele se move 
—  faz aumentar o consumo de combustível de um carro mas possibilita o uso do pára‐quedas. Sem o atrito, os pregos pulariam 
facilmente, os bulbos das lâmpadas seriam desenroscados sem nenhum esforço e caminhar seria impossível.   
Em nível microscópico, a força de atrito e a força normal decorrem de interações intermoleculares (fundamentalmente de 
 
12 
natureza elétrica) entre duas superfícies rugosas nos pontos onde elas se tocam (Figura 14). A área efetiva de contato é geralmente 
muito menor do que a área total da superfície. À medida que um bloco desliza sobre um piso, ligações microscópicas se formam e se 
rompem,  e  o  número  total  dessas  ligações  é  variável;  portanto,  a  força  de  atrito  quando  o  bloco  está  em movimento  não  é 
rigorosamente constante. Alisar as superfícies em contato pode na verdade  fazer aumentar o atrito, visto que mais moléculas se 
tornam  aptas  a  formar  ligações;  juntar  duas  superfícies  lisas  de  um mesmo metal  pode  produzir  uma  "solda  a  frio". Os  óleos 
lubrificantes fazem diminuir o atrito porque uma película de óleo se forma entre as duas superfícies (como no caso do pistão e das 
paredes do cilindro no motor de um carro) impedindo‐as de entrar em contato efetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 14 A força de atrito e a força normal decorrem 
de  interações  entre  moléculas  nos  pontos  mais 
elevados das superfícies de contato entre o bloco e o 
piso. 
 
Quando  você  tenta  arrastar uma  caixa  cheia de  livros, ela pode não  se mover porque o  solo exerce uma  força  igual e 
contrária. Essa força denomina‐se força de atrito estático fs. Na Figura 15a a caixa está em repouso equilibrada pela ação do peso w 
e pela força normal N exercida de baixo para cima pelo solo sobre a caixa, que possui o mesmo módulo do peso. Agora amarramos 
uma  corda  na  caixa  (Figura  15b)  e  aumentamos  gradualmente  a  tensão  T  na  corda. No  início,  a  caixa  permanece  em  repouso 
porque, à medida que T cresce, a força de atrito estático fs também cresce (permanecendo com o mesmo módulo de T). 
Em dado ponto, T torna‐se maior do que o máximo valor da força de atrito estático fs que a superfície pode exercer. Então 
a caixa "quebra o vínculo" (a tensão é capaz de quebrar as ligações moleculares entre as superfícies da caixa e do solo) e começa a 
deslizar. A Figura 15c mostra um diagrama das forças quando T atingiu esse valor crítico. Quando T supera esse valor, a caixa não 
está mais em equilíbrio. Para um dado par de superfícies, o valor máximo de fs depende da força normal. A experiência mostra que 
esse  valor  máximo  (fs)max  é  aproximadamente  proporcional  a  reação  normal;  chamamos  o  fator  de  proporcionalidade  de  μs 
(pronuncia‐se "mi,  índice s") de coeficiente de atrito estático. Na Tabela 1 são apresentados alguns valores típicos de μs. Em uma 
situação particular,  a  força de  atrito  estático pode  ter qualquer  valor entre  zero  (quando não  existe nenhuma outra paralela  à 
superfície) até um valor máximo dado por μsN. Em símbolos, 
fs≤ μsN                  [9]       
Essa equação não é uma relação vetorial, e sim uma relação entre módulos de vetores. O sinal de  igual só vale quando a 
força T, paralela à superfície, atingiu seu valor crítico e o movimento está na iminência de começar (Figura 15c). Quando T for menor 
do que esse valor  (Figura 15b), o sinal da desigualdade é válido. Nesse caso é necessário usar a condição de equilíbrio  ( F 0  ) 
para achar fs. Quando não existe nenhuma força aplicada (T = 0), como na Figura 15a, então também não existe nenhuma força de 
atrito estático (fs = 0). 
O tipo de atrito que atua quando um corpo está deslizando sobre uma superfície denomina‐se força de atrito cinético fc 
(Figura 15d). O adjetivo "cinético" e o índice inferior "c" ou "k" servem para você lembrar‐se de que existe um movimento relativo 
entre as duas superfícies. O módulo da força de atrito cinético geralmente cresce quando a força normal cresce. Para arrastar uma 
caixa cheia de livros você realiza uma força maior do que para arrastá‐la quando ela está vazia. Esse princípio também é usado no 
sistema de  freio de um carro,quanto mais as pastilhas de  freio  forem comprimidas contra o disco de  freio, maior é o efeito da 
freada. Em muitos casos verifica‐se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético fc é proporcional ao módulo N da 
força normal. Em tais casos, podemos escrever 
fc= μcN              (módulo da força de atrito cinético),        [10] 
onde μc (pronuncia‐se: "mi, índice c") possui um valor constante denominado coeficiente de atrito cinético. Quanto mais deslizante 
for uma superfície, menor é o seu coeficiente de atrito. Como se trata da razão entre duas grandezas, μc é um número puro sem 
unidades. 
Logo que o deslizamento começa  (Figura 15d), a  força de atrito normalmente diminui; manter a caixa deslizando é mais 
fácil do que produzir o início do movimento. Portanto, o coeficiente de atrito cinético é geralmente menor do que o coeficiente de 
atrito estático para um dado par de superfícies, conforme mostra a Tabela 1. Quando para t = 0 começamos sem nenhuma força 
aplicada  (T = 0) e gradualmente aumentamos a  força, ocorrerá uma pequena variação da  força de atrito, conforme  indicado na 
Figura 17. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
FIGURA  15  (a),  (b),  (c)  Quando  não  existe 
movimento  relativo  entre  as  superfícies. O 
módulo  da  força  de  atrito  estático  fs  é 
menor  do  que  ou  igual  a  μsN.  (d) Quando 
existe  movimento  relativo,  o  módulo  da 
força de atrito cinético fc é igual a μcN. 
 
 
Em alguns casos, as superfícies podem alternadamente aderir  (atrito estático) e deslizar  (atrito cinético). Essa é a causa 
daquele  som  horrível  feito  pelo  giz  quando  ele  é  colocado  numa  posição  errada  ao  escrevermos  sobre  o  quadro‐negro. Outro 
fenômeno de aderência‐deslizamento é o ruído que o limpador de pára‐brisa faz quando o vidro está seco; ainda outro exemplo é o 
violento som produzido quando os pneus deslizam no asfalto.   
 
 
FIGURA 16 Em resposta a uma  força aplicada 
externamente, a  força de atrito aumenta até 
fs(max).  Logo  as  superfícies  começam  a 
deslizar uma sobre a outra e a força de atrito 
diminui  para  um  valor  quase  constante  fc. A 
força  de  atrito  cinética  varia  um  pouco  ao 
formasse  e  rompesse  as  uniões 
intermoleculares. 
 
A Tabela 5.1 mostra alguns valores típicos de μc. Embora esses valores sejam dados com dois algarismos significativos, eles 
são apenas aproximados, visto que força de atrito cinético pode depender da velocidade do corpo em relação à superfície. Vamos 
ignorar esses efeitos : supor que μc e fc sejam independentes da velocidade, de modo que podemos nos concentrar nos casos mais 
simples. 
 
Superfícies em contato  μs  μk
Cobre sobre aço  0.53  0.36
Aço sobre aço  0.74  0.57
Alumínio sobre aço  0.61  0.47
Borracha sobre concreto  1.0  0.8
Madeira sobre madeira  0.25‐0.5 0.2
Madeira encerada sobre neve úmida 0.14  0.1
Teflon sobre teflon  0.04  0.04
Articulações sinoviais em humanos  0.01  0.003
A Tabela 1 Fonte: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw‐Hill. (1992) 
 
 
14 
10. RESISTÊNCIA DE UM FLUIDO E VELOCIDADE TERMINAL 
Se você colocar sua mão para fora da janela de um carro que se move com alta velocidade, ficará convencido da existência 
da resistência de um fluido, a força que um fluido (um gás ou um líquido) exerce sobre o corpo que se move em seu seio. O corpo 
que se move exerce uma força sobre o fluido para afastá‐lo do seu caminho. Pela terceira  lei de Newton o fluido exerce sobre o 
corpo uma força igual e contrária. 
A força da resistência de um fluido possui direção e sentido sempre contrários aos da direção e sentido da velocidade do 
corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através 
do  fluido. Compare esse  comportamento com o da  força de atrito  cinético entre  superfícies em  contato, que normalmente não 
depende da velocidade. Para baixas velocidades, o módulo da força de resistência de um fluido é aproximadamente proporcional à 
velocidade do corpo v: 
f = kv (resistência de um fluido para baixas velocidades),  [11] 
onde k é um  fator de proporcionalidade que depende da  forma e do tamanho do corpo e das propriedades do  fluido. Quando o 
movimento  ocorre  no  ar  para  velocidades  de  uma  bola  de  tênis  lançada  ou  para  velocidades  maiores  que  esta,  a  força  é 
aproximadamente proporcional a v2 em vez de v. Ela é então chamada de arraste do ar, ou simplesmente arraste. Aviões, gotas de 
água caindo e carros que se movem com velocidades elevadas, todos sofrem a ação do arraste do ar. Nesse caso, a Equação (11) 
deve ser substituída por 
f = Dv2      (resistência de um fluido para altas velocidades).  [12] 
Devido à dependência com v, o arraste do ar cresce rapidamente com a velocidade. O arraste do ar sobre um automóvel é 
desprezível para baixas velocidades, mas comparável com a resistência de rolamento quando o carro atinge a velocidade máxima 
permitida para uma auto‐estrada. O valor de D depende da forma e do tamanho do corpo e da densidade do ar. 
Convidamos você a mostrar que as unidades da constante k na Equação (11) são Ns/m ou kg/s e que as unidades da constante D na 
Equação (12) são Ns2 /m2 ou kg/m. 
Por  causa  dos  efeitos  da  resistência  do  fluido,  um  objeto  caindo  em  um  fluido  não  terá  aceleração  constante.  Para 
descrever seu movimento não podemos usar as fórmulas do movimento com aceleração constante deduzidas no Capítulo 1. Em vez 
disso, é necessário fazer nova solução, aplicando a segunda lei de Newton. Vamos considerar o seguinte caso. Você deixa cair uma 
pedra em um lago profundo e ela cai até o fundo. Nesse caso, a força de resistência do fluido é dada pela Equação (5.7). Qual é a 
aceleração, a velocidade e a posição da pedra em função do tempo? 
O  diagrama  do  corpo  livre  está  indicado  na  Figura  17.  Consideramos  o  sentido  positivo  como  de  cima  para  baixo  e 
desprezamos a força de empuxo da água. Não existe nenhum componente x, e a segunda lei de Newton fornece 
yF mg ( kv) ma      
Quando  a pedra  começa o movimento  v = 0, a  força  resistiva é nula, e  a  aceleração  inicial é a = g. À medida que  sua 
velocidade aumenta, a força resistiva também aumenta, até que finalmente ela se torna igual ao peso. Nesse instante, mg ‐ kv = 0, a 
aceleração se anula e não ocorrerá mais nenhum aumento de velocidade. A velocidade final vt, denominada velocidade terminal, é 
dada por mg ‐ kvt = 0 ou vt = mg/k      (velocidade terminal, resistência do fluido f= kv).            [13] 
 
 
 
 
 
FIGURA  17  Diagrama  do  corpo  livre  para  um  corpo 
caindo em um fluido. 
 
A Figura 18 mostra como a aceleração, a velocidade e a posição da pedra variam em função do tempo. À medida que o 
tempo passa, a aceleração tende a zero, e a velocidade tende ao valor vt (lembre‐se de que escolhemos o sentido positivo do eixo 
Oy como de cima para baixo). A  inclinação do gráfico de y contra  t  tende a  ficar constante à medida que a velocidade  se  torna 
constante. 
Para ver como os gráficos na Figura 18  foram deduzidos, devemos achar a  relação entre velocidade e  tempo durante o 
intervalo antes de o corpo atingir a velocidade terminal. Voltamos à segunda lei de Newton, que agora escrevemos na forma 
dv
m mg kv
dt
   
Depois de reagrupar os termos e substituir mg/k por vt, integramos ambos os membros, notando que v = 0 quando t = 0: 
v t
0 0
t
dv k
dt
v v m
    
e as integrais fornecem 
(k/m)tt
t t
v v k v
ln t ou 1 e
v m v
      
e finalmente 
 
15 
(k/m)t
tv v [1 e ]
          [14] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  18  As  curvas  inferiores mostram  os  gráficos  da 
aceleração,  da  velocidade  e  da  posição  em  função  do 
tempo para um corpo caindo em um fluido, supondo‐se a 
resistência  do  fluidoproporcional  a  v.  As  curvas 
superiores  mostram  as  grandezas  correspondentes 
imaginando a inexistência da resistência do fluido. 
 
Note que v só se torna igual à velocidade terminal vt no limite quando t tende ao infinito; a pedra não atinge o valor‐limite 
em nenhum intervalo de tempo infinito. 
A derivada de v fornece a em função do tempo, e a  integral de v fornece y em função do tempo. Deixamos para você a 
tarefa de completar as deduções; os resultados são 
(k/m)ta ge         [15]       
(k/m)t
t
m
y v t (1 e )
k
          [16] 
Agora examine novamente a Figura 18 que mostra os gráficos das três últimas equações. 
Ao deduzirmos a velocidade terminal na Equação (13), admitimos que a resistência do fluido era proporcional à velocidade. 
Para um objeto caindo no ar com velocidade elevada, de modo que a resistência do fluido seja proporcional a v2, como na Equação 
(12), convidamos você a provar que a velocidade terminal vt é dada por 
t
mg
v
D
           (velocidade terminal, resistência do fluido f= Dv2).      [17] 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01.Um cavalo puxa um trenó com força horizontal, fazendo‐o acelerar como na Figura abaixo. A terceira  lei de Newton diz que o 
trenó exerce uma  força de mesmo módulo e direção oposta  sobre o cavalo. Em vista disso, como pode o  trenó acelerar  ‐ essas 
forças não se cancelam? 
 
Solução. 
Ao aplicar a terceira  lei de Newton, é  importante  lembrar que as forças envolvidas agem sobre corpos diferentes. Observe que a 
força exercida pelo cavalo age sobre o  trenó, enquanto a  força exercida pelo  trenó age sobre o cavalo. Como essas  forças agem 
sobre corpos diferentes, elas não se cancelam. 
As forças horizontais exercidas apenas sobre o trenó são a força para frente T exercida pelo cavalo e a força de atrito para trás ftrenó 
entre o trenó e a superfície (Figura seguinte).   
 
16 
 
Quando T é maior do que ftrenó, o trenó acelera para a direita. 
As forças horizontais exercidas apenas sobre o cavalo são a força de atrito para frente fcavalo exercida pelo chão e a força para trás T 
exercida pelo trenó (Figura).   
 
A resultante dessas duas forças faz que o cavalo acelere. Quando fcavalo é maior do que T, o cavalo acelera para a direita. 
As duas forças descritas no texto do problema agem sobre corpos diferentes, de forma que não se cancelam. Se consideramos o 
trenó e o cavalo como um sistema, as duas forças descritas são internas do sistema e, portanto, não podem afetar o movimento do 
sistema. 
 
02.Na ausência de atrito do ar, afirma‐se que todos os corpos caem com a mesma aceleração. Um corpo mais pesado é puxado para 
a Terra com mais força do que um corpo leve. Por que o corpo mais pesado não cai mais rápido? 
SOLUÇÃO: 
É  de  fato  verdade  que  o  corpo  mais  pesado  é  puxado  com  força maior.  A  intensidade  da  força  é  determinada  pela  massa 
gravitacional do corpo. A resistência à força, e, portanto, à mudança no movimento do corpo, é representada pela massa  inercial. 
Assim,  se um  corpo  tem o dobro de massa de outro  corpo, ele é puxado para a Terra  com o dobro da  força, mas ele  também 
apresenta  o  dobro  da  resistência  a  ter  seu movimento modificado.  Esses  fatores  se  cancelam,  de  forma  que  a mudança  no 
movimento, a aceleração, é a mesma para todos os corpos, independentemente de suas massas. 
 
03.Quando dois corpos com massas desiguais são pendurados verticalmente por uma polia  leve, sem atrito, como na Figura (a), a 
montagem é chamada máquina de Atwood. Esse aparelho é utilizado algumas vezes em  laboratório para medir a aceleração de 
queda livre. Calcule o módulo da aceleração dos dois corpos e a tensão no fio. 
 
SOLUÇÃO: 
Pense na  representação mental sugerida pela Figura  (a)  ‐ enquanto um corpo sobe, o outro corpo desce. Como os corpos estão 
ligados por um fio inextensível, eles têm de ter o mesmo módulo de aceleração. Os corpos na máquina de Atwood estão sujeitos à 
força gravitacional assim como às  forças exercidas pelos  fios  ligados a eles. Modelamos os corpos como partículas sob a ação de 
uma força resultante. Os diagramas de corpo livre para os dois corpos estão mostrados na Figura (b).   
 
 
17 
Duas forças agem em cada corpo: a força para cima T exercida pelo fio e a força gravitacional para baixo. Em um problema como 
este, no qual a polia é modelada como não tendo massa e sem atrito, a tensão no fio nos dois lados da polia é a mesma. Se a polia 
tem massa ou se está sujeita a uma força de atrito, as tensões nos dois lados não são as mesmas. 
Nesses tipos de problema envolvendo fios que passam por polias, temos de ser cuidadosos com a convenção de sinais. Observe que 
se m1 sobe, então m2 desce. Assim, m1 subindo e m2 descendo devem ser representados equivalentemente no que diz respeito à 
convenção de sinais. Podemos fazer  isso definindo nossa convenção de sinais com a direção para cima como positiva para m1 e a 
direção para baixo como positiva para m2, como mostrado na Figura (a). 
Com essa convenção de sinais, o módulo da força resultante exercida sobre m1 é dado por T  ‐ m1g, enquanto o módulo da força 
resultante sobre m2 é dado por m2g ‐ T. Escolhemos os sinais das forças de forma consistente com as escolhas da direção positiva 
para cada corpo. 
Quando a segunda lei de Newton é aplicada a m1, encontramos 
y 1 1F T m g m a        [1] 
Similarmente, para m2 encontramos 
y 2 2F m g T m a        [2] 
Adicionando (1) a (2), T se cancela e ficamos com 
‐ m1g + m2g = m1a + m2a   
Dessa equação obtém‐se a aceleração a, 
2 1
1 2
m m
a g
m m
    
    [3] 
Substituindo (3) em (1) encontramos 
2 1
1 2
2m m
T g
m m
    
    [4] 
Se m2 > m1, a aceleração dada por (3) é positiva, isto é, m1 sobe e m2 desce. Isso é consistente com a sua representação mental? Se 
m1 > m2, a aceleração é negativa e as massas se deslocam na direção oposta. 
Casos Especiais: Quando m1 = m2,  (3) e  (4) nos  fornecem a = 0 e T = m1g = m2g, como esperaríamos  intuitivamente para o caso 
equilibrado. Também, se m2 >> m1, a = g (um corpo em queda  livre) e T = 0. Esperaríamos que m1 tivesse pouco efeito para uma 
massa  tão  grande  como m2 nesse  caso, de  forma que m2 está  simplesmente  caindo. Vemos  assim que nossos  resultados estão 
consistentes com nossas previsões intuitivas nessas duas situações‐limites. 
 
04.Dois blocos de massas m1 e m2, com m1 > m2, são colocados em contato entre si sobre uma superfície horizontal sem atrito, 
como na Figura (a). Uma força horizontal constante F é aplicada a m1 da forma mostrada na figura,   
 
a) Encontre o módulo da aceleração do sistema de dois blocos. 
b) Determine o módulo da força de contato entre os dois blocos. 
SOLUÇÃO: 
Os dois blocos têm de ter a mesma aceleração, pois estão em contato entre si e permanecem em contato entre si. Modelamos o 
sistema de dois blocos como uma partícula sob a ação de uma força resultante. Como F é a única força horizontal exercida sobre o 
sistema, temos 
x(sistema) 1 2F F (m m )a     
1 2
F
a
m m
      [1] 
A força de contato é interna do sistema de dois blocos. Assim, não podemos encontrar essa força modelando o sistema todo como 
uma partícula única. Precisamos agora tratar cada um dos dois blocos individualmente como uma partícula sob a ação de uma força 
resultante. Traçamos primeiro um diagrama de corpo livre para cada bloco, como mostrado nas Figuras (b) e (c), em que a força de 
contato é representada por P.   
 
 
18 
Vemos da Figura (c) que a única força horizontal agindo sobre m2 é a força de contato P12 (a força exercida por m1 sobre m2), que é 
direcionada para a direita. Aplicando a segunda lei de Newton a m2 obtém‐se 
x 12 2F P m a       [2] 
Substituindo em (2) o valor da aceleração a dada por (1) obtém‐se 
2
12 2
12
m
P m a F
m m
     
    [3] 
05.Apresenta‐se a seguir um método simples para medir os coeficientes de atrito. Suponha que um bloco seja colocado sobre uma 
superfície áspera inclinada em relação à horizontal, como mostrado na Figura abaixo.   
 
O ângulo do plano inclinado θ é aumentado até que o bloco inicie seu movimento,   
a) Como está relacionado o coeficiente de atrito estático com o ângulo crítico θ C no qual o bloco começa a se mover? 
b) Como podemos encontrar o coeficiente de atrito cinético? 
SOLUÇÃO: 
(a) As forças sobre o bloco, como mostrado na Figura, são a força gravitacional mg, a força normal N, e a força de atrito estático fs. 
Enquanto o bloco não está em movimento, essas forças estão equilibradas e o bloco está em equilíbrio. Escolhemos um sistema de 
coordenadas com o eixo x positivo, paralelo ao plano  inclinado e apontando para baixo, e o eixo y positivo apontando para cima, 
perpendicular ao plano inclinado. Aplicando a segunda lei de Newton em forma de componentes para o bloco obtêm‐se 
x sF mgsen f 0        [1] 
yF N mgcos 0        [2] 
Essas equações são válidas para qualquer ângulo de inclinação θ. No ângulo crítico θC no qual o bloco está na iminência de deslizar, 
a força de atrito tem seu valor máximo de módulo μsN, assim reescrevemos (1) e (2) como 
mgsenθC = μsn      [3] 
mgcosθC = n        [4] 
Dividindo (3) por (4), obtemos   
tg θC = μs 
Assim, o coeficiente de atrito estático é igual à tangente do ângulo em que o bloco começa a deslizar. 
(b) Uma vez que o bloco comece a se deslocar, o módulo da força de atrito é o valor cinético μcN, que é menor que o valor da força 
de  atrito  estático. Como  resultado disso,  se o  ângulo  é mantido no  valor  crítico, o bloco  acelera para baixo  ao  longo do plano 
inclinado. Para retornar à situação de equilíbrio na Equação (1), com fs substituído por fc o ângulo tem de ser reduzido para um valor 
θ'c tal que o bloco deslize pelo plano inclinado com uma velocidade escalar constante. Nessa situação, as Equações (3) e (4), com θC 
substituído por θ'c e fS por fc, nos fornecem 
tg Θ’c = μc 
 
06.Uma caixa de 10 kg é colocada sobre uma balança que está dentro de um elevador. O elevador parte do térreo acelera a uma 
taxa de 2 m/s2 e ao parar no 10° andar ele desacelera com mesma taxa de 2 m/s2. Determine o peso da caixa e a leitura da balança 
a) quando o elevador está parado,   
b) quando o elevador está partindo do térreo e   
c) quando o elevador está parando no 10° andar. 
SOLUÇÃO: 
A primeira coisa a ser compreendida é que a balança “marca” a força que a caixa faz sobre ela; esta será a leitura da balança. Agora, 
a força que a caixa faz sobre a balança tem mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário à força que a balança faz sobre a 
caixa (Ação e reação). A Figura seguinte mostra um diagrama das forças que atuam na caixa. A componente normal (só tem ela) da 
força de contato é, justamente, a força que a balança faz sobre a caixa. 
Desta forma, nós precisamos, apenas, determinar o valor da normal para cada caso. 
Da 2ª lei de Newton temos: 
N   P  ma     
 
19 
 
(a) O peso da caixa é a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está parado, a = 0. Então da 2ª Lei de Newton fica: 
N ‐ P = 0 → N = P = 98 N 
que é a leitura da balança. Portanto a balança marcará 98 N. 
(b) O peso da caixa continua sendo a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está partindo do térreo, a aceleração é para cima (Figura a). Assim, 
N ‐ P = ma 
Usando os valores do problema, encontramos: 
N =mg +ma 
N= m( g+ a) =10 × (9,8 + 2) N=118N 
Portanto a balança marcará 118 N . 
(c) O peso da caixa é sempre a força que a Terra faz sobre a caixa: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está parando no 10° andar, a aceleração é para baixo (Figura b). Então, 
N ‐ P = ‐ma 
Vetores que têm o mesmo sentido aparecem com o mesmo sinal na equação. 
É o que acontece, agora, com os vetores peso e aceleração. Usando os valores do problema, encontramos: 
N=m (g ‐ a ) = 10× (9,8 ‐ 2)N = 78N 
Portanto a balança marcará 78 N . 
 
07.Nas academias de ginástica, usa‐se um aparelho  chamado pressão  com pernas  (leg press), que  tem a  função de  fortalecer a 
musculatura das pernas. Este aparelho possui uma parte móvel que desliza sobre um plano  inclinado,  fazendo um ângulo de 60° 
com a horizontal. Uma pessoa, usando o aparelho, empurra a parte móvel de massa igual 100 kg e a faz mover ao longo do plano, 
com velocidade constante como é mostrado na figura.   
 
Considere o coeficiente de atrito dinâmico entre o plano inclinado e a parte móvel 0,10 e a aceleração da gravitacional 10m/s².   
a) Faça o diagrama das forças que estão atuando sobre a parte móvel do aparelho identificando‐as. 
b) Determine a intensidade da força que pessoa está aplicando sobre a parte móvel do aparelho. 
SOLUÇÃO: 
 
P: peso da parte móvel 
Px : componente horizontal de P 
Py: componente vertical de P 
N: reação normal do apoio 
 
20 
F: força aplicada pela pessoa 
Fat: força de atrito dinâmico entre as superfícies 
b) 910 N 
 
08. Na figura, A é um bloco de 4,4 kg e B é um bloco de 2,6 kg. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre A e a mesa são 0,18 
e 0,15.   
a) Determine a massa mínima do bloco C que deve ser colocada sobre A para evitar que ele deslize,   
b) O bloco C é repentinamente levantado. Qual é a aceleração do bloco A? 
 
SOLUÇÃO: 
a) 
 
Para que não exista movimento, a resultante de forças que atuam nos blocos devem ser nulas, e o atrito estático entre o bloco A e a 
mesa deve ser máximo: 
• A C aN T P P F 0    
      
N ‐ PA ‐ PC = 0    e    T – Fa = 0 
• BT' P 0 
   
PB = T’ 
Como a corda que liga os blocos A e B tem massa desprezível, temos que T = T´. Desse modo: 
T = Fa = μEN = μE(PA + PC) 
Por outro lado: 
PB = T = T’ logo 
PB = T = μE(PA + PC) 
ou seja: 
PC = PB/μE – PA = 66N 
b) 
• A a AN T P F m a   
      
N ‐ PA = 0    e    T – Fa = mAa 
• B BT' P m a' 
    
PB – T’ = mBa’ 
Como a corda que liga os blocos A e B é inextensível, a = a´, e desse modo: 
T – μCPA = mAa      e      PB – T = mBa 
Somando essas duas equações, encontramos: 
PB – μCPA = (mA + mB)a 
2B C A
B A
P P
a g 2,28m/ s
P P
    
 
 
09. Uma curva circular de uma auto‐estrada é projetada considerando o tráfego de veículos a 60 km/h .   
a) Se o raio da curva é 150 m , qual é o ângulo correto da inclinação da estrada?   
b) Se a curva não  fosse  inclinada, qual seria o coeficiente de atrito mínimo entre os pneus e a estrada que manteria os veículos 
trafegando sem derrapar nesta velocidade? 
SOLUÇÃO: 
 
21 
a) 
 
Vamos considerar uma situação que envolva os dois  itens, a estrada é  inclinada e tem atrito. O desenho da direita mostra a força 
resultante, e como já foi dito é conhecida como força centrípeta. Usando a segunda Lei de Newton: 
aN P F ma  
      de onde tiramos: 
Ncosθ – Fasenθ – P = 0        e      Nsenθ + Facosθ = ma   
Da primeira equação da direita, encontramos que: 
E
P
N
cos sen
    
e usando esse valor na segunda equação: 
E
E E
P P
sen cos ma
cos sen cos sen
              
 
ou seja: 
E E
E E
sen cos tan
a g g
cos sen 1 tag
          
ou ainda: 
E
E
a g
tan
g a
    
Quando μE = 0 , que é o caso do primeiro item, quando não existe atrito: 
2a v
tan 0,188
g Rg
     
com    θ = 10,70° 
b)Neste caso θ = 0 e portanto encontramos que: 
E
a
0,188
g
    
10. Um disco de massa m está sobre uma mesa sem atrito e preso a um cilindro suspenso de massa M, por uma corda que passa por 
um  furo na mesa  (ver  figura). Encontre a velocidade com a qual o disco deve se mover em um círculo deraio r, de modo que o 
cilindro permaneça em repouso. 
 
SOLUÇÃO: 
O cilindro permanecerá em repouso se a tensão na corda que o sustenta for igual ao seu peso. 
Forças no cilindro: 
 
 
22 
y
M
F 0
T P 0
 
   
T Mg        [1] 
Forças no disco: 
 
x xF ma   
cpT ' F         [2] 
Na Eq. (2) Fcp é a força centrípeta responsável pelo movimento circular do disco e T’ = T (par ação‐reação). 
2mv
T
r
       [3] 
Substituindo‐se (1) em (3): 
2mv
Mg
r
Mgr
v
m


 
 
11. Um  trabalhador deseja empilhar areia em uma área  circular do  seu quintal. O  raio do  círculo é R. Nenhuma areia deve  ser 
derramada para  fora da área circular; ver  figura. Mostre que o maior volume de areia que pode  ser armazenado dessa  forma é 
πμeR3/3, onde μe é o coeficiente de atrito estático entre areia e areia.   
 
SOLUÇÃO: 
Considere o seguinte esquema: 
 
O volume do monte cônico é dado por: 
2Ah R h
V
3 3
          [1] 
Pelo esquema acima, vemos que: 
h = Rtanθ        [2] 
Substituindo‐se (1) em (2): 
3R tan
V
3
          [3] 
Vamos analisar a dinâmica de um grão de areia em particular.   
Forças em x: 
 
23 
xF 0
N Pcos 0
 
    
N mgcos          [4] 
Forças em y: 
yF 0
f Psen 0
 
    
eN mgsen           [5] 
Substituindo‐se (4) em (5): 
e tan           [6] 
Substituindo‐se (6) em (3): 
3
eRV
3
   
 
12. Dois blocos, m = 16 kg e M = 88 kg, mostrados na figura, estão  livres para se mover. O coeficiente de atrito estático entre os 
blocos é μe = 0,38, mas a superfície abaixo de M não possui atrito. Qual é a mínima força horizontal F necessária para manter m 
contra M? 
 
SOLUÇÃO: 
Para segurar m contra M, a condição necessária é que o módulo da  força de atrito que M exerce em m para cima seja  igual ao 
módulo do peso de m.   
Forças no bloco m: 
 
Forças em x no bloco m: 
x x
m
F ma
F N ma
 
   
mF ma N          [1] 
Forças em y no bloco m: 
y
m e e m
F 0
P f mg N 0
 
     
m
e
mg
N           [2] 
Forças no bloco M: 
 
Forças em x no bloco M: 
N’ = Ma 
Como Nm = N’ (par ação‐reação): 
 
24 
a = N/M         [3] 
Substituindo‐se (2) e (3) em (1): 
e e e
mg mg mg m
F m 1 488,1N
M M
            
 
13. Dois objetos, com massas m1 = 1,65 kg e m2 = 3,22 kg, conectados através de uma barra sem massa e paralela ao plano inclinado 
sobre o qual  ambos deslizam,  conforme mostrado na  figura, deslocam‐se para baixo,  com m1  seguindo m2. O  ângulo do plano 
inclinado  é  θ  =  29,5°.  O  coeficiente  de  atrito  cinético  entre m1  e  o  plano  é  μ1,  =  0,226;  entre m2,  e  o  plano,  o  coeficiente 
correspondente é μ2 = 0,127. Calcule: 
a) a aceleração comum dos dois objetos   
b) a tração da barra,   
c) Quais são as respostas de (a) e (b) para a situação em que m2 está seguindo m1? 
 
SOLUÇÃO: 
a) 
 
1 1 a1 1 1N T P F m a   
    
        2 2 a2 2 2N T' P F m a   
    
 
Como o bastão é inextensível as acelerações dos blocos são iguais, e como esse bastão tem massa desprezível as forças T e T´ têm 
mesmo módulo. Desse modo: 
T + P1senθ – Fa1 = m1a            ‐T + P2senθ – Fa2 = m2a 
N1 = P1cosθ = 0              N2 = P2cosθ = 0 
T + P1senθ – μ1P1cosθ = m1a 
‐T + P2senθ – μ2P2cosθ = m2a 
Somando essas duas equações, encontramos 
(P1 + P2)senθ – (μ1P1 + μ2P2)cosθ = (m1 + m2)a 
ou seja: 
   1 2 1 1 2 2 2
1 2
m    m sen   –   m   m cos
a g 3,62m/ s
m    m
         
 
b)Temos que: 
T = m1a ‐ P1senθ + μ1P1cosθ   
e usando o resultado do cálculo da aceleração, encontramos: 
  1 21 2
1 2
m m
T gcos 1,05N
m m
     
c)Se nos resultado da aceleração trocarmos 1 por 2 a equação não se modificará, e portanto não irá alterar o movimento com essa 
mudança. No entanto a tensão irá trocar de sinal, e isso significa que o bloco que empurrava irá puxar e vice‐versa. 
 
14. Um bloco de 4 kg é colocado no topo de um bloco de 5kg. Para que o bloco de cima deslize sobre o de baixo, que é mantido fixo, 
deve ser aplicada uma força horizontal de 12,0 N ao bloco de cima. Em seguida, o conjunto de blocos é colocado sobre uma mesa 
horizontal sem atrito; ver figura. Encontre   
a) a máxima força horizontal F que pode ser aplicada ao bloco de baixo de modo que os blocos se movimentem juntos,   
b) a aceleração resultante dos blocos e o coeficiente de atrito estático entre os blocos. 
 
25 
 
SOLUÇÃO: 
a) 
 
Como foi mencionado, quando mantemos o bloco de baixo fixo, uma força horizontal de pelo menos T = 12N deve ser aplicada ao 
de cima, para que ele inicie um movimento. Isso significa que a força de atrito estático máxima entre os dois blocos tem esse valor. 
Quando uma força F menor que a limite, atuar no bloco de baixo, o conjunto se moverá com acelerado, logo: 
F = (m1 + m2)a 
Os dois blocos  interagem através da  força de atrito, de modo que essa é a única  força horizontal que atua no bloco de cima, e, 
portanto: 
Fa = m2a 
a = Fa/m2 
logo: 
1 2 1 2
a
2 2
m m m m
F F T 27N
m m
     
b)   
a = Fa/m2 = 3m/s2 
 
15.Uma força horizontal F de 53 N empurra um bloco que pesa 22 N contra uma parede vertical como na figura. O coeficiente de 
atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. Considere o bloco inicialmente em repouso. 
a) O bloco começará a se mover?   
b)Qual é a força exercida no bloco pela parede? 
 
SOLUÇÃO: 
Forças no bloco: 
 
(a) A condição para que o bloco escorregue é que o seu peso (P) seja maior do que a força de atrito estático (fe). Forças em x: 
xF 0
F N 0
 
   
F = N        [1] 
Força de atrito estático: 
fe ≤ μeN        [2] 
Substituindo‐se (1) em (2): 
fe ≤ μeF = 0,60 . 53N 
 
26 
fe ≤ 31,8N 
Este resultado significa que fe pode suportar um bloco de até 31,8 N de peso. Como o peso do bloco é menor do que esse  limite 
máximo, o bloco não desliza. 
(b) A força exercida pela parede (FP) sobre o bloco tem duas componentes. A componente horizontal é a força normal e a vertical é 
a força de atrito. Ou seja: 
p e
ˆ ˆF Ni f j   
De acordo com o esquema acima e os valores dados no enunciado, temos: 
p
ˆ ˆF ( 53N)i (22)j    
 
16.Um bloco desliza para baixo de uma calha de ângulo reto inclinada, como na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco 
e o material da calha é μk. Ache a aceleração do bloco. 
 
SOLUÇÃO: 
Considere o seguinte esquema da situação: 
Forças em z: 
zF 0
N Pcos 0
 
   
N mgcos  [1] 
Devemos  considerar  a  força de  atrito  cinética  total  (fk)  como  sendo  a  soma de duas  forças de  atrito  (com  fk’  =  fk’’),  cada uma 
surgindo a partir da interação entre a caixa e a calha na direção x. 
 
fk = f’k + f’k = μkN + μkN = 2μkNcos45° 
k  kf   2 N          [2] 
Substituindo‐se (1) em (2): 
k  kf   2 mgcos         [3] 
Forças em x: 
x xF ma  
kPsen f ma  [4] 
Substituindo‐se (3) em (4): 
k
k
mgsen   2 mgcos ma
a g(sen   2 cos )
   
     
Este resultado indica que a aceleração será zero (condição de equilíbrio estático, na iminência de deslizar na calha) quando: 
ksen   2 cos     
k
1
tan
2
    
Este resultado difere da situação de uma caixa na iminência de deslizar sobre uma superfície inclinada: 
s tan    
 
17.Uma laje de m1 = 42 kg repousa sobre um assoalho sem atrito. Um bloco de m2 = 9,7 kg repousa sobre a laje, como na figura. O 
coeficiente de atrito estático entre o bloco e a laje é 0,53, enquanto o coeficiente de atrito cinético é 0,38. O bloco de 9,7 kg sofre a 
ação de uma força horizontal de 110 N. Qual é a aceleração resultante   
a) do bloco e   
b) da laje? 
 
27