aula 8

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2a
1º bimestre
Aula 8
Ensino
Médio
Matemática
Circunferência trigonométrica – 
Parte 2
Série
2025_EM_V1
A circunferência trigonométrica/arcos côngruos.
Resolver problemas relacionados à circunferência trigonométrica e a arcos côngruos;
Utilizar expressão geral dos arcos côngruos;
Obter a menor determinação positiva de arcos.
Conteúdos
Objetivos
2025_EM_V1
Para começar
É possível representar arcos maiores que 360° na circunferência trigonométrica?
Se sim, considere o arco de 400°:
Esse arco seria construído no sentido horário ou anti-horário?
Em qual quadrante esse arco seria representado?
As extremidades do arco coincidiriam com algum outro arco menor? Se sim, qual?
5 minutos
2025_EM_V1
Para começar
Sim, é possível representar arcos maiores que 360° na circunferência trigonométrica!
Arcos maiores que 360°, ou 2π rad, representam mais de uma volta na circunferência.
O arco de 400° é construído no sentido anti-horário, por ser positivo.
O arco de 400° equivale a 1 volta completa na circunferência + 40°, logo, o arco estaria no 1° quadrante.
As extremidades desse arco coincidiram com as extremidades do arco de 40°.
Observe a construção do arco de 400° no vídeo abaixo:
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Professor, passar o mouse em cima da imagem e clicar no “play”.
Dois arcos são considerados côngruos quando suas extremidades se coincidem.
Os arcos 60° e –300°, por exemplo, são congruentes, pois:
-300º (em sentido horário) parte do ponto A e vai até o ponto P; 
60º (em sentido anti-horário) parte do ponto A vai até o ponto P. 
Relembre: arcos côngruos
5 minutos
Foco no conteúdo
2025_EM_V1
Foco no conteúdo
A menor determinação positiva na circunferência trigonométrica é o menor ângulo positivo, medido em graus ou radianos, que é congruente ao ângulo original. Esse ângulo está sempre entre 0° e 360° (ou entre 0 e 2π radianos). 
Por exemplo, o ângulo de 40° é a menor determinação positiva do ângulo 400°.
Menor determinação positiva:
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Na prática
7 minutos
Utilizando o software Geogebra, arraste o controle deslizante para representar os arcos a seguir:
Para cada um dos ângulos acima, anote o número de voltas completas e o valor da primeira determinação positiva . 
Link para applet
Você percebe alguma relação entre os valores de , k e α? É possível escrever uma expressão algébrica que os relacione?
Reprodução – JÚLIA QUEIROZ/GEOGEBRA, 2024. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/zp6t44c4. Acesso em: 4 dez. 2024.
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No círculo trigonométrico, todos os arcos possuem determinações, ou seja, têm origem e extremidade. Assim, dado um arco de medida , todos seus arcos côngruos podem ser encontrados pela seguinte relação:
, para medido em graus.
ou
, para medido em radianos.
Onde é a primeira determinação positiva e é um número inteiro, que corresponde à quantidade de voltas. O número k pode ser positivo ou negativo, indicando voltas no sentido anti-horário, quando positivo, e voltas no sentido horário, quando negativo.
A expressão geral dos arcos côngruos:
Foco no conteúdo
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A expressão geral dos arcos côngruos:
Assim, para os arcos a seguir, as expressões gerais de arcos côngruos serão as seguintes:
I) Para 60°, usamos: 	
		 	
II) Para , usamos: 	
 			 
Em cada caso, qual é o arco obtido para k = 1? E para k = 2?
Foco no conteúdo
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Foco no conteúdo
Qual é a menor determinação positiva de um arco de 1 125°?
Deste arco podemos obter as seguintes informações:
com resto 
 
Logo, temos que:
O arco representa 3 voltas completas + 45°;
Sua primeira determinação positiva é de 45°;
O arco está localizado no 1° quadrante;
Sua expressão geral é: .
A primeira determinação positiva de um arco:
A expressão geral de um arco é dada por:
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Na prática
10 minutos
a) 
b) 
c) 
d) 
1. Obtenha, para cada um dos arcos de a) a d), a:
 
- quantidade de voltas completas 
- primeira determinação positiva 
- expressão geral dos arcos côngruos;
- localização no círculo trigonométrico, em quadrantes.
Atividade 1
Veja no livro!
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Na prática
a) 1 000°
	
b) 4 250°
c) radianos
d) radianos
Resolução:
	1 000 ÷ 360 = 2 voltas + 280° 	280 + 360 k	280°	4° quadrante
	4 250 ÷ 360 = 11 voltas + 290° 	290 + 360 k	290°	4° quadrante
	765 ÷ 360 = 2 voltas + 45° 	45 + 360 k	45°	1° quadrante
	630 ÷ 360 = 1 volta + 270° 	270 + 360 k	270°	Divide o 3º e o 4º quadrantes 	
Atividade 1
Veja no livro!
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15° com posição no 1° quadrante;
144° com posição no 2° quadrante.
145° com posição no 2° quadrante;
130° com posição no 2° quadrante;
30° com posição no 1° quadrante;
Na prática
5 minutos
2. Dado um arco de radianos, a sua menor determinação positiva será:
Atividade 2
Veja no livro!
B
C
D
E
A
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15° com posição no 1° quadrante;
144° com posição no 2° quadrante.
145° com posição no 2° quadrante;
130° com posição no 2° quadrante;
30° com posição no 1° quadrante;
2. Dado um arco de radianos, a sua menor determinação positiva será:
Na prática
Atividade 2
Veja no livro!
B
C
D
E
A
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Na prática
Primeiramente, vamos fazer a conversão para graus:
360° ----- 2
X ---- 
X =  X = 864°
864 ÷ 360 = 2 com resto igual a 144° que é a menor determinação positiva e está posicionado no 2° quadrante.
Resolução:
Atividade 2
Veja no livro!
2025_EM_V1
Encerramento
Como sabemos se dois arcos são côngruos?
Qual é a menor determinação positiva de um arco de 460°?
3 minutos
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Aprofundando
A seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras, 
que ampliam as possibilidades de prática, de retomada e aprofundamento do conteúdo estudado.
2025_EM_V1
1. (EEAR, 2018 – Adaptada) Considere um ângulo de medida rad. 
A expressão geral dos arcos côngruos para esse ângulo é:
Aprofundando
Veja no livro!
A
B
C
D
2025_EM_V1
1. (EEAR, 2018 – Adaptada) Considere um ângulo de medida rad. 
A expressão geral dos arcos côngruos para esse ângulo é:
Aprofundando
Veja no livro!
A
B
C
D
2025_EM_V1
Aprofundando
Primeiramente, é necessário realizar a conversão para graus:
 
Ao realizarmos a divisão de 405° por 360°, encontramos quociente igual a 1 e resto igual a 45°, logo temos que e .
Dessa forma, a expressão geral é: .
(EEAR, 2018 – Adaptada) Resolução:
Veja no livro!
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 Um arco posicionado no 3° quadrante
310 radianos
 radianos
Um arco cuja expressão geral é 
210°
2. (UNICENTRO, 2016 – Adaptada) A menor determinação positiva de um arco de 2 000º é:
Aprofundando
Veja no livro!
B
C
D
E
A
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 Um arco posicionado no 3° quadrante
310 radianos
 radianos
Um arco cuja expressão geral é 
210°
2. (UNICENTRO, 2016 – Adaptada) A menor determinação positiva de um arco de 2 000º é:
Aprofundando
Veja no livro!
B
C
D
E
A
2025_EM_V1
Aprofundando
Veja no livro!
Ao realizarmos a divisão de 2 000° por 360°, encontramos um quociente igual a 5 e resto equivalente a 200°. Este resultado nos mostra que e , logo a menor determinação positiva para o arco de 2 000° é de 200°, que está posicionado no 3° quadrante. Esse arco possui como expressão geral dos arcos côngruos. 
Assim, apenas a alternativa A apresenta uma afirmação verdadeira.
(UNICENTRO, 2016 – Adaptada) Resolução:
2025_EM_V1
ALMEIDA, G. Arcos côngruos. Geogebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/std9pu35. Acesso em: 4 dez. 2024.
ARAUJO, F. Círculo trigonométrico. Geogebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/z6g7snnp. Acesso em: 4 dez. 2024. 
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
MARQUES, F. N. Arcos côngruos. Geogebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/dew5adwn. Acesso em: 4 dez. 2024.
QUEIROZ, J. Arcos côngruos – 2. Geogebra, 2024. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/zp6t44c4. Acesso em: 4 dez. 2024.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. CurrículoPaulista, 2019. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf. Acesso em: 4 dez. 2024.
Identidade visual: imagens © Getty Images.
Referências
2025_EM_V1
Para professores
2025_EM_V1
Slide 2
Habilidade: (EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria. (SÃO PAULO, 2020)
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Slide 8
Aprofundamento: No slide 8, ao falar sobre a expressão geral dos arcos côngruos, dê alguns exemplos de arcos múltiplos de 360º que resultam em resto zero.
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