Aula 2 - Lei de Engrenamento

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Lei de 
Engrenamento
INTRODUÇÃO
•Engrenagens são utilizadas 
para transmitir movimento de 
um eixo rotativo para outro ou 
de um eixo rotativo para outro 
que translada (rotação em 
relação a um eixo no infinito, 
exemplo: cremalheira)
•Transmissão de movimento 
com razão de velocidade 
angular constante.
LEI FUNDAMENTAL DE
ENGRENAMENTO
•Para um par de engrenagens transmitir uma razão 
de velocidade angular constante, a forma dos perfis 
de contato deve ser de tal forma que a normal 
comum passe através de um ponto fixo na linha dos 
centros (P).
A =
AO
B BO
NOMENCLATURA
• Superfícies cilíndricas;
• Dentes retos e paralelos aos eixos.
ENGRENAGENS RETAS
•Transmitem potência entre eixos paralelos;
ENGRENAGENS RETAS
NOMENCLATURA
ENGRENAGENS RETAS
•Diâmetro primitivo D é o 
diâmetro da circunferência 
primitiva;
•Passo frontal é a distância de 
um ponto de um dente até o 
ponto correspondente no 
próximo dente medido ao longo 
da circunferência primitiva;
•O `diametral pitch´ (passo 
diametral) P é usado com 
sistema de unidades inglesas e é 
a razão do número de dentes em 
uma engrenagem e o diâmetro 
primitivo em polegadas.
P =
N
D
Exemplo de engrenagem de passo diametral
P = 2, N = 20 e N = 40 respectivamente.
P =
N
D
Exemplo de engrenagem de passo diametral
P = 2, N = 20 e N = 40 respectivamente.
P =
N
D
Exemplo de engrenagem de passo diametral
P = 2 e 4, respectivamente, N = 20.
EXEMPLO
No sistema SI, usa-se o módulo m.
Razão entre o diâmetro (D) em milímetros e o 
número de dentes (N).
m =
D
N
Exemplo de engrenagem de módulo m = 1, N = 20 
e N = 40 respectivamente.
NOMENCLATURA
Exemplo de engrenagem de módulo m = 1 e m = 
2, respectivamente, para N = 20.
Como
p =
 D
•Tanto o passo frontal, módulo ou diametral pitch é 
uma medida do tamanho dos dentes.
•Altura da cabeça ou saliência: é a distância radial da 
circunferência primitiva à circunferência de cabeça;
•Profundidade ou altura de pé: é a distância radial da 
circunferência primitiva à circunferência de pé;
N N
p =
 (m N )
= m
C =
D2 + D3
2
•Profundidade de trabalho (hk): é a profundidade total de 
um dente (soma de addendum e dedendum);
•Folga do fundo do dente: é a quantidade na qual o 
dedendum(profundidade) excede o addendum (saliência);
•Espessura do dente é a espessura do dente medida ao 
longo do círculo pitch;
•Distância entre-centros C: é a distância dos centros das 
engrenagens;
23 D2 N
•Jogo primitivo (Backlash): é a quantidade na qual a 
espessura do dente em uma engrenagem excede a 
espessura do dente na outra engrenagem
•Deveria ser zero, mas não é para evitar jamming do 
dente devido a erros de fabricação e expansão 
térmica.
•Pinhão: a menor das duas engrenagens;
•Engrenagem: a maior das duas engrenagens.
2 =
D3 =
N3
Razão/relação de engrenamento
2
3
Transmissão
•Transmitir movimento de um eixo a outro usando 
engrenagens.
Conjunto de engrenagens simples
•Apenas uma engrenagem em cada eixo.
V = R
2 R2 =3 R3
3 = 2
2 R3
 R
Onde
 = vel. Angular
V = vel. Linear
R = Raio
Exemplo
• A P E N A S U M A E N G R EN AGEM E M C A DA E I XO.
3
2
3
V
V = R
2 R2 =3 R3
2 R3
3 =
R2
Conjunto de engrenagens simples
•Apenas uma engrenagem em cada eixo.
V = R
Conjunto de engrenagens simples 
•O módulo usado no SI é a relação entre o diâmetro 
primitivo e o número de dentes.
m =
D
N
D2 = m N2 D3 = m N3
3 =
m N2 / 2
=
N2
2 m N3 / 2 N3
B NA
A =
NB
V
C NB
B =
NC
D NC
C =
ND
E ND
D =
NE
Conjunto de engrenagens simples 
V
NA NB NC ND
=
NB NC ND NE=
A B C D
D EE B C
VR=
A
•VR: razão de velocidade angular ou relação de 
transmissão.
Conjunto de engrenagens simples 
V
AE
=
NE
 N
VR=
A
•Sinal de VR:
+ ; se a primeira e última engrenagem 
giram no mesmo sentido.
- ; se elas giram em sentidos opostos.
Conjunto de engrenagens simples 
V
• A relação de transmissão é ditada apenas pelo número 
de dentes da primeira e última engrenagens.
• Engrenagens intermediárias: IDLER GEARS: usadas 
para conectar engrenagens onde a distância entre centros 
é grande e controlar a questão do sentido de rotação 
requerido.
Conjunto de engrenagens simples 
EXERCÍCIO 1
• Determinar a relação de transmissão para o conjunto abaixo, onde o 
diâmetro do pinhão é 50 mm, e o diâmetro da engrenagem é 150 mm. 
Determinar a velocidade angular da engrenagem, se a velocidade do pinhão é 
de 1000 RPM. Se o torque de entrada for 10 N.m, qual o torque de saída
3
2
=
N3
3 N2
VR=
2
=
R3
3 R2
VR=
2
3
R2
3 2 R
 =
150 mm
3
 =1000 RPM
50 mm
= 333,33 RPM
Determinação da Velocidade de saída
T = F R
F =
T2 =
T3
R2 R3
2
3
3 2 R
R
T = T
50 mm
3
T =10 Nm
150 mm
= 30 Nm
Determinação do torque de saída
CONJUNTO DE ENGRENAGENS 
COMPOSTOS
T E M - S E M A I S D E U M A E N G R EN AG EM E M U M D O S E I XO S .
CONJUNTO DE ENGRENAGENS COMPOSTOS
T E M - S E M A I S D E U M A E N G R EN AG EM E M U M D O S E I XO S .
=1600
30
= −960
50B
B A N
NA =
C =B
40
=
20
(960) = 480
40
CED
=
20
 =
36
=
18
480 = −240
36
EF
 =
18

240F
VR =
A = −
1600
= −6,66
EXERCÍCIO 2
•Determinar a velocidade de saída sendo a velocidade angular da 
engrenagem A de 1600 RPM.
relação de transmissão.
30 20 18
VR =
50 40 36
= 6,66
VR =
produto do númerodedentes das movidas
produto do númerodedentes das motoras
Relação de Transmissão
EXERCÍCIO 3
• Determinar a relação de transmissão para o conjunto abaixo, onde o 
n[umero de dentes de cada engrenagem encontra-se a seguir em milímetros e 
a velocidade angular de A é 1000 RPM:
B
RA
A RB
=1000
20
= −500 RPM
40
 = C =B = −500 RPM
D C 60 60
 =
10
= 500
10
= 83,33 RPM
R
E
RD
DE
= 83,33
60
=166,66 RPM
30
 =
G
RF 
RFG
=166,66
45
=150 RPM
50
 =
G 150
VR =
A =
1000
= 6,66
VR =
produto do númerodedentes das movidas
=
40 6030 50
produto do númerodedentes das motoras 20 1060 45
TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
• A: engrenagem motora.
•D, E, F e G: giram juntas
•H: intermediária
•B e C: deslizam axialmente;
•Figura atual: posição neutra.
1a relação de transmissão:
•Engrenagem C é deslocada 
para a esquerda ligando-se a F.
C 14 18
VR =
A =
31 27
= 3,32
AD
31
=
14

F =D
ADC
27 27 31
=
18

14
=
18

TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
2a relação de transmissão:
•Engrenagem B é deslocada 
para a direita, ligando-se a E.
C 14 25
VR =
A =
31 20
=1,77
TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
3a relação de transmissão:
•Engrenagem B é deslocada 
para a esquerda, conectando-
se ao eixo do motor por meio 
de uma embreagem.
VR =1
TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
Reversa:
•Engrenagem C é deslocada
para a direita conectando-se
com H.
VR =
31

14 27
= −4,27
14 14 14
TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
Trem de engrenagem reversa:
•A primeira e a última engrenagens são coaxiais.
•Usadas em automotiva, redutores de velocidades industriais, relógios 
(eixo dos minutos e horas são coaxiais).
TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
EXERCÍCIOS PARA CASA
• 1. Determine a velocidade e direção de rotação da engrenagem G no
conjunto de engrenagem mostrado.
• 2. No conjunto de engrenagem , as engrenagens A e B têm módulo 2,5 mm e as 
engrenagens C e D módulo de 2 mm. Determinar o número de dentes em cada 
engrenagem se a razão de velocidades é 11,4 aproximadamente. O número de dentes 
em cada engrenagem é para ser um mínimo, mas não menos do que 24.
EXERCÍCIOS
Mas:
DA =
DB 
ZA ZB B
A B Z
ZAD = D
DA + DB = 300
m ZA +m ZB = 300
m =
D
Z
2,5(ZA + ZB )= 300 (ZA + ZB )=120
Mas:
=11,4
D A C
R
V
 Z Z
=
A =
ZB ZD
Inicial:
= 32
220
= 88
80A
B A D
DBZ = Z
DA = 80mm Z =
DA =
80 mm
= 32
m 2,5mm
A
DB = 300mm −80mm = 220mm
= 4,1454=11,4
CD C
R
Z
ZDV
 32 Z
=
A =
88 ZD
EXERCÍCIOS
m ZC +m ZD = 300 2(ZC + ZD )= 300 (ZC + ZD )=150
ZD = 4,1454 ZC (ZC + 4,1454ZC )=150 (5,1454ZC )=150
ZC = 29,15 ZC = 29 ZD =150 −29 =121
C
R
=
88 121
=11,47
32 Z 32 29
=
88 ZDV
DC = mZC = 2,5 29 = 72,5mm
DD = mZD = 2,5 121= 302,5mm
Refazendo para Z = 24:
= 24
240
= 96
60A
B A D
DBZ = Z
ZA = 24 DA = m ZA = 2,5 24 = 60 mm
DB = 300mm − 60mm = 240mm
= 2,85=11,4
CD C
R
Z
ZDV
 24 Z
=
A =
96 ZD
m ZC +m ZD = 300 2(ZC + ZD )= 300 (ZC + ZD )=150
ZD = 2,85 ZC (ZC + 2,85ZC )=150 (3,85ZC)=150
ZC = 38,96 ZC = 39 ZD =150 −39 =111
C
R
=
96 111
=11,38
32 Z 24 39
=
88 ZDV
DC = mZC = 2,5 39 = 97,5mm
DD = mZD = 2,5 111= 277,5mm
ZT = 270
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Martin, G.H., Kinematics and Dynamics of Machines, Second Edition, 
McGrawHill, 1982.
	Slide 1: Lei de Engrenamento
	Slide 2: INTRODUÇÃO
	Slide 3: LEI FUNDAMENTAL DE ENGRENAMENTO
	Slide 4: NOMENCLATURA
	Slide 5: ENGRENAGENS RETAS
	Slide 6: NOMENCLATURA
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10: EXEMPLO
	Slide 11
	Slide 12: NOMENCLATURA
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17: Exemplo
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: CONJUNTO DE ENGRENAGENS COMPOSTOS
	Slide 28: CONJUNTO DE ENGRENAGENS COMPOSTOS
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33: TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
	Slide 34: TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
	Slide 35: TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
	Slide 36: TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
	Slide 37: TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA
	Slide 38
	Slide 39: EXERCÍCIOS PARA CASA
	Slide 40
	Slide 41: EXERCÍCIOS
	Slide 42
	Slide 43: 2ZC  ZD   300
	Slide 44
	Slide 45: 2ZC  ZD   300
	Slide 46: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
	Slide 47