Física 1 - Mecânica 14 Ed. - Resumo Capítulo 3

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CAPITULO 3 - MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES
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SEÇÃO - 3.1 VETOR POSIÇÃO E VETOR VELOCIDADE
O estudo do movimento em duas ou três dimensões exige o uso de vetores para representar a posição e a velocidade de uma partícula. Diferente do movimento unidimensional, onde se usa apenas um eixo, aqui utilizamos coordenadas cartesianas (x, y, z) para descrever o movimento.​
3.1.1 - Vetor Posição ()
O vetor posição descreve a localização de uma partícula em relação a um ponto de referência, normalmente a origem do sistema de coordenadas. Ele é expresso na forma vetorial:
· são as coordenadas da partícula no tempo .
· são os vetores unitários que indicam as direções dos eixos .
3.1.2 - Deslocamento Vetorial 
O deslocamento vetorial é a diferença entre as posições de uma partícula em dois instantes e t2 é dado por:
Ou seja, o deslocamento vetorial é expresso como:
· O vetor posição aponta da origem para a localização da partícula.
· O deslocamento vetorial conecta dois pontos diferentes da trajetória da partícula.
3.2.3 - Vetor Velocidade Média e Velocidade Instantânea
A velocidade média entre dois instantes t1​ e t2 ​ é definida como a razão entre o deslocamento vetorial e o intervalo de tempo:
· é o vetor posição no instante .
- Velocidade Instantânea
Quando o intervalo de tempo tende a zero, obtemos a velocidade instantânea, que é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo. Ela é dada pela derivada do vetor posição:
O módulo da velocidade instantânea é dado por:
- Interpretação Gráfica
· O vetor posição indica a localização da partícula no espaço em um dado instante.
· O vetor velocidade aponta na direção do movimento da partícula e é tangente à trajetória naquele ponto.
· Se a velocidade muda de direção, significa que o movimento não é retilíneo.
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SEÇÃO - 3.2 VETOR ACELERAÇÃO
O vetor aceleração descreve a variação do vetor velocidade de uma partícula ao longo do tempo. Diferente do movimento unidimensional, em que a aceleração é um escalar, no movimento em duas ou três dimensões a aceleração é um vetor que pode mudar tanto em módulo quanto em direção.
3.2.1 - Definição de Vetor Aceleração
A aceleração média de uma partícula em um intervalo de tempo é dada por:
A aceleração instantânea é definida como:
Em componentes cartesianas:
Ou seja, a aceleração é a derivada da velocidade e a segunda derivada da posição​.
3.2.2 - Componentes do Vetor Aceleração
A aceleração pode ser decomposta em dois componentes principais:
- Aceleração Tangencial 
· Está na mesma direção do vetor velocidade.
· Indica a variação do módulo da velocidade.
· Se a∥ > 0, a partícula está acelerando; se , está desacelerando.
- Aceleração Normal 
· Perpendicular à trajetória e ao vetor velocidade.
· Indica a mudança na direção do movimento.
· Em um movimento curvo, aponta sempre para o lado côncavo da trajetória (como no movimento circular).
Onde:
 
A decomposição da aceleração em componentes paralela e perpendicular é especialmente útil na análise de movimentos curvilíneos​.
- Interpretação Gráfica
· Se a aceleração tem apenas componente tangencial, o movimento ocorre em linha reta com velocidade variável.
· Se há apenas componente normal, o movimento ocorre com velocidade constante, mas mudando de direção (como no movimento circular uniforme).
· Se ambos os componentes estão presentes, o movimento ocorre com variação de velocidade e mudança de direção.
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SEÇÃO 3.3 - MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
O movimento de um projétil refere-se ao deslocamento de um corpo lançado com uma velocidade inicial e que se move sob a ação exclusiva da aceleração da gravidade, desprezando a resistência do ar. A trajetória descrita pelo projétil é parabólica.
3.3.1 - Características do Movimento de um Projétil
· O movimento ocorre em duas dimensões no plano , onde:
- O eixo representa o movimento horizontal (sem aceleração).
- O eixo representa o movimento vertical (com aceleração constante g).
· A aceleração da gravidade atua apenas na direção vertical, causando uma variação na velocidade vertical.
· A velocidade horizontal do projétil permanece constante, pois não há forças atuando nessa direção (no modelo idealizado).
3.3.2 - Componentes do Movimento
O movimento de um projétil pode ser dividido em dois movimentos independentes:
- Movimento Horizontal 
- Não há aceleração horizontal , então a velocidade horizontal é constante.
- A equação para a posição no eixo x é dada por: 
- Movimento Vertical
- A aceleração vertical é igual a gravidade (
- A equação para a posição no eixo y é dada por: 
No ponto mais alto, a velocidade é zero 
Ângulo de lançamento para maior alcance:
A distância entre o projétil e a origem é:
A velocidade escalar do projétil (o módulo de sua velocidade) em qualquer instante é:
A direção e o sentido da velocidade em termos do ângulo a que ela faz com o sentido positivo do eixo x.
O vetor velocidade em cada ponto é tangente à trajetória no referido ponto. Podemos deduzir a equação da forma da trajetória em termos de e de eliminando 
Vimos que: 
Substituindo t na equação deposição y, temos
- Tempo de Voo
Da equação: , fazendo , temos
- Alcance Horizontal
Da equação: , fazendo , temos , substituindo , temos 
Da trigonometria temos: , daí
- Altura Máxima
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula . Ela é dada por:
Da equação: , fazendo temos:
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SEÇÃO 3.4 - MOVIMENTO CIRCULAR
O movimento circular é caracterizado por um objeto se movendo ao longo de uma trajetória circular. Esse tipo de movimento pode ser uniforme, quando a velocidade escalar é constante, ou não uniforme, quando a velocidade escalar varia ao longo da trajetória.
3.4.1 - Movimento Circular Uniforme
Quando uma partícula se move em um círculo com velocidade escalar constante, ela descreve um movimento circular uniforme.
- Características Principais:
· A velocidade escalar é constante, mas a direção da velocidade muda continuamente.
· A aceleração centrípeta atua sempre na direção do centro do círculo, sendo responsável por manter o objeto na trajetória circular.
· O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada ponto.
- Período (tempo de uma volta)
- Frequência
Número de voltas por unidade de tempo
- Aceleração radial
- Perpendicular à trajetória, sempre apontando para o centro do círculo.
- Responsável pela mudança na direção da velocidade.
Outra forma de expressar a aceleração radial é em termos do período (tempo para completar uma volta):
Como , então:
- Movimento Circular Não Uniforme 
No movimento circular não uniforme, a velocidade escalar varia ao longo da trajetória. Nesse caso, há duas acelerações atuando sobre a partícula:
- Aceleração Tangencial :
- Paralela à trajetória.
- Responsável pela variação do módulo da velocidade (aceleração da velocidade escalar).
O módulo da aceleração total é dado por:
Se a aceleração tangencial for zero ), o movimento será circular uniforme.
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SEÇÃO 3.5 - VELOCIDADE RELATIVA
A velocidade relativa descreve a velocidade de um objeto em relação a um sistema de referência específico.
3.5.1 - Definição de Velocidade Relativa
Quando dois observadores se movem com velocidades diferentes, a velocidade de um objeto medida por cada um deles pode ser diferente. A relação entre a velocidade de um ponto P em relação a um referencial A, medida a partir de um referencial B, é dada por:
- Posição: 
 
- Velocidade: 
· é a velocidade de P em relação a A.
· é a velocidade de P em relação a B.
· é a velocidade de B em relação a A.
- Aceleração: 
 
- Se A, B e P estiverem parados:
- A e B parados e P em movimento:
- A parado, mas B e P em movimento:
3.5.2 - Velocidade Relativaem Duas ou Três Dimensões
Quando os movimentos ocorrem em direções diferentes, a velocidade relativa deve ser calculada vetorialmente.
- Posição 
- Velocidade
- Aceleração 
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