Aula 02 - Revisão de cinematica

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Disciplina: Dinâmica de Máquinas
Prof.: Erb Ferreira Lins
Código: TE-04191
Carga horária semestral: 34 h
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Mecânica
 
Dinâmica de Máquinas - UFPA (Aula 02)
2
Capítulo 2: Cinemática de uma partícula
2.1. Cinemática retilínea: Movimento uniforme
2.2. Cinemática retilínea: Movimento não uniforme
2.3. Movimento curvilíneo geral
2.4. Movimento curvilíneo: componentes retangulares
2.5. Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial
2.6. Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
2.7. Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas
Movimento Retilíneo Uniforme
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▪A Cinemática de uma partícula é caracterizada ao se 
especificar, em qualquer instante, posição, velocidade e 
aceleração
▪A trajetória em linha reta de uma partícula será definida 
utilizando-se um único eixo de coordenada 𝑠
▪Nesse caso, 𝑠 é positivo, visto que o eixo de coordenada é 
positivo à direita da origem. Da mesma maneira, ele é 
negativo se a partícula for posicionada à esquerda de O.
Movimento Retilíneo Uniforme
4
Deslocamento
▪O deslocamento de uma partícula é definido como a variação 
na sua posição. 
▪Deslocamento é uma grandeza vetorial; distância é uma 
grandeza escalar 
Movimento Retilíneo Uniforme
5
Velocidade
▪ Se uma partícula se move com um 
deslocamento ∆s durante o 
intervalo de tempo ∆t, a velocidade 
média da partícula durante esse 
intervalo de tempo é 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
Δ𝑠
Δ𝑡
▪ A velocidade instantânea é definida 
como
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
▪ Já a velocidade escalar média é a 
razão entre a distância total 
percorrida e o tempo
𝑣𝑠𝑚 =
𝑠𝑇
Δ𝑡
Movimento Retilíneo Uniforme
6
Aceleração
▪ Se uma partícula tem uma
variação de velocidade Δ𝑣
durante o intervalo de tempo ∆t, 
a aceleração média da partícula 
durante esse intervalo de tempo 
é 
𝑎𝑚𝑒𝑑 =
Δ𝑣
Δ𝑡
▪ A aceleração instantânea é 
definida como
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
▪ A relação abaixo pode ser obtida 
pela 
𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
Movimento Retilíneo Não Uniforme
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▪Nesse caso, a aceleração varia ao longo do tempo.
▪Quando uma partícula tem um movimento irregular ou 
variável, uma série de funções será necessária para 
especificar o movimento em diferentes intervalos ou gráficos 
descrevendo o comportamento de duas variáveis
Exemplo
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▪Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória horizontal 
com uma velocidade (𝑚/𝑠) 
𝑣 = 3𝑡2 − 6𝑡
▪de onde 𝑡 é dado em 𝑠. Se ela está localizada inicialmente na 
origem O, determine a distância percorrida em 3,5 s, a 
velocidade média e a velocidade escalar média durante o 
intervalo de tempo
Exemplo
9
▪𝑣 = 3𝑡2 − 6𝑡
▪𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡2
▪𝑑 = 4 + 4 + 6,125 = 14,1𝑚
▪𝑣𝑚𝑒𝑑 =
6,125
3,5
= 1,75𝑚/𝑠
▪𝑣𝑠𝑚 =
14,125
4,5
= 4,0𝑚/𝑠
Exercício
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▪o gráfico 𝑣 − 𝑠 descrevendo o movimento de uma 
motocicleta é mostrado na Figura. Determine o tempo 
necessário para a motocicleta alcançar a posição 𝑠 = 120 𝑚.
Movimento Curvilíneo Geral
11
Movimento curvilíneo: 
▪Ocorre quando uma partícula 
se move ao longo de uma 
trajetória curva.
▪Visto que essa trajetória é 
frequentemente descrita em 
3 dimensões, a análise 
vetorial será usada para 
formular a posição, a 
velocidade e a aceleração da 
partícula
▪Revisão de análise vetorial: 
apêndice B do Hibbeler
(Dinâmica)
Movimento Curvilíneo Geral
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Posição
▪ Considere uma partícula 
localizada sobre uma curva 
espacial definida pela trajetória 
𝑠(𝑡). A posição da partícula, 
medida a partir de um ponto fixo 
𝑂, será designada pelo vetor 
posição 𝐫 ≡ 𝐫 𝑡 .
▪ Tanto a intensidade quanto a 
direção deste vetor podem 
variar ao longo da curva
▪ Deslocamento: variação na 
posição da partícula. É 
determinado pela subtração 
vetorial 
Δ𝐫 = 𝐫′ − 𝐫
Movimento Curvilíneo Geral
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Velocidade 
▪Velocidade média
𝐯𝑚𝑒𝑑 =
Δ𝐫
Δ𝑡
▪Velocidade Instantânea
• É sempre tangente a curva
𝐯 =
𝑑𝐫
𝑑𝑡
▪Velocidade Escalar
𝑣 = 𝐯 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Movimento Curvilíneo Geral
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Aceleração 
▪Aceleração Média
𝐚𝑚𝑒𝑑 =
Δ𝐯
Δ𝑡
• Sendo Δ𝐯 = 𝐯′ − 𝐯
• Trace os dois vetores velocidade a 
partir do mesmo ponto 𝑂. A curva 
obtida é chamada hodógrafa
Movimento Curvilíneo Geral
15
Aceleração 
▪Aceleração Instantânea
𝐚 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
=
𝑑2𝐫
𝑑𝑡2
▪Tangente a hodógrafa
▪Normalmente não é tangente 
ao movimento
▪Aponta para o lado côncavo 
(interno de uma curva)
Movimento curvilíneo: componentes retangulares
16
▪Ocasionalmente, o movimento de uma partícula pode ser 
mais bem descrito ao longo de uma trajetória que pode ser 
expressa em termos de suas coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Movimento curvilíneo: componentes retangulares
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Posicão
▪Se a partícula está em um 
ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre a 
trajetória curva, então sua 
posição é dada por:
𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤
▪As coordenadas são funções 
do tempo 
▪𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑧 𝑡
▪A direção do vetor 𝐫 é o vetor 
unitário
𝐮𝑟 =
𝐫
𝑟
Movimento curvilíneo: componentes retangulares
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Velocidade
▪Pode ser obtida derivando o 
vetor posição em relação ao 
tempo
𝐯 =
𝑑𝐫
𝑑t
= 𝑣𝑥𝐢 + 𝑣𝑦𝐣 + 𝑣𝑧𝐤
▪As velocidades em cada 
direção podem ser obtidas a 
partir das posições
𝑣𝑥 = ሶ𝑥 𝑡 , 𝑣𝑦 = ሶ𝑦 𝑡 ,
𝑣𝑧 = ሶ𝑧 𝑡
Movimento curvilíneo: componentes retangulares
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Aceleração
𝐚 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥𝐢 + 𝑎𝑦𝐣 + 𝑎𝑧𝐤
▪As velocidades em cada 
direção podem ser obtidas a 
partir das posições
𝑎𝑥 = ሶ𝑣𝑥 𝑡 , 𝑎𝑦 = ሶ𝑣𝑦 𝑡 ,
𝑎𝑧 = ሶ𝑣𝑧 𝑡
Exercício
20
▪Em qualquer instante de 
tempo, a posição horizontal 
do balão meteorológico é 
definida por 𝑥 = (9𝑡) 𝑚, 
onde 𝑡 é dado em segundos. 
Se a equação da trajetória é 
𝑦 = 𝑥2/30 sendo 𝑥 dado em 
metros, determine a 
intensidade e a direção da 
velocidade e da aceleração 
quando 𝑡 = 2𝑠.
Exercício
21
▪A posição de uma partícula (em metros) é dada por
𝐫 = 3𝑡3 − 2𝑡 𝐢 − 4𝑡1/2 + 𝑡 𝐣 + 3𝑡2 − 2 𝐤
▪Sendo 𝑡 medido em segundos. Determine a intensidade da 
velocidade e aceleração da partícula quando 𝑡 = 2𝑠.
• Resp: 36𝑚/𝑠; 36,5𝑚/𝑠²
Exercício
22
▪Uma caixa desce deslizando encosta abaixo, como descrito 
pela equação 𝑦 = (0,05𝑥2) 𝑚, onde 𝑥 é dado em metros. Se 
a caixa tem componentes 𝑥 de velocidade e aceleração com 
𝑣𝑥 = −3𝑚/𝑠 e 𝑎𝑥 = −1,5 𝑚/𝑠² em 𝑥 = 5 𝑚, determine as 
componentes 𝑦 da velocidade e aceleração da caixa neste 
instante.
• Resp: 1,5𝑚/𝑠; 0,15𝑚/𝑠²
Exercício
23
▪As cavilhas A e B estão restritas a moverem-se nas fendas 
elípticas devido ao movimento da fenda da barra. Se esta se 
desloca com uma velocidade escalar constante de 10 m/s, 
determine a intensidade da velocidade e da aceleração da 
cavilha A quando 𝑥 = 1𝑚.
• Resp: 10,4𝑚/𝑠; 38,5𝑚/𝑠²
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
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▪Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se 
move é conhecida, costuma ser conveniente descrever o 
movimento utilizando-se eixos de coordenadas 𝑛 e 𝑡 os 
quais atuam normal e tangente à trajetória, 
respectivamente, e no instante considerado tem sua origem 
localizada na partícula.
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
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Movimento plano
▪ Considere a partícula mostrada na 
Figura, que se move em um plano 
ao longo de uma curva fixa tal que 
em dado instante ela está na 
posição 𝑠, medida a partir do ponto 
𝑂.
▪ A única escolha para o eixo normal 
pode ser feita observando-se que 
geometricamente a curva é 
construída a partir de uma série 
de segmentos do arco diferenciais 
𝑑𝑠.
▪ O plano que contém os eixos 𝑛 e 𝑡 é
referido como o plano osculador, e 
nesse caso ele é fixo no plano do 
movimento
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
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Velocidade
▪A velocidade da partícula 𝐯
tem uma direção que é 
sempre tangente à trajetória.
▪A intensidade é determinada 
pela derivada da posição 
escalar 𝑣 = ሶ𝑠
𝐯 = 𝑣𝐮𝑡
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
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Aceleração▪A aceleração da partícula é a 
taxa de variação temporal da 
velocidade. Assim,
𝐚 = ሶ𝐯 = ሶ𝑣𝐮𝑡 + 𝑣 ሶ𝐮𝑡
▪Para determinar ሶ𝐮𝑡, observe a 
variação desta velocidade ao 
longo da trajetória.
ሶ𝐮𝑡 =
𝑣
𝜌
𝐮𝑠
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
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Aceleração
▪Utilizando as componentes 
calculados se obtém 
𝐚 = 𝑎𝑡𝐮𝑡 + 𝑎𝑛𝐮𝑛
▪Sendo 𝑎𝑡 = ሶ𝑣, e 𝑎𝑡𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣.
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
▪A intensidade da aceleração 
será
𝑎 = 𝑎𝑛
2 + 𝑎𝑡
2
Movimento curvilíneo: componentes normal e 
tangencial
29
Aceleração
▪Casos especiais: 
• Movimento ao longo de uma linha reta: 𝜌 → ∞, 𝑎𝑛 = 0
• Velocidade escalar constante ao longo de uma curva: 𝑎𝑡 = 0, 𝑎𝑛 = 𝑣2/𝜌
é a aceleração centrípeta.
Exercício
30
▪O trem passa o ponto A com uma velocidade escalar de 
30 𝑚/𝑠 e começa a reduzir sua velocidade escalar a uma taxa 
constante de −0,25 𝑚/𝑠2 . Determine a intensidade da 
aceleração do trem quando ele chega ao ponto B.
▪R: 0,31m/s²
Movimento tridimensional
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▪No plano osculador, nenhum movimento ocorre na direção 
𝐮𝑏.
▪Se quaisquer duas direções são conhecidas, então pode ser 
determinada a terceira por
𝐮𝑏 = 𝐮𝑡 × 𝐮𝑛
▪ Lembre, entretanto, que 𝐮𝑛, está sempre do lado côncavo da 
curva.
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
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▪Às vezes, o movimento da partícula está restrito a uma 
trajetória que é mais bem descrita utilizando-se coordenadas 
cilíndricas. Se o movimento é restrito ao plano, então 
coordenadas polares são usadas. 
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
33
Coordenadas polares
▪ Podemos especificar a posição da partícula utilizando uma 
coordenada radial 𝑟, que se estende para fora a partir da 
origem fixa 𝑂 até a partícula, e a coordenada transversal 𝜃, 
que é o ângulo no sentido anti-horário entre uma linha de 
referência fixa e o eixo 𝑟.
Posição
▪𝐫 = 𝑟𝐮𝑟
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
34
Velocidade
▪ A variação temporal de 𝐮𝑟 é, então, Δ𝐮𝑟. Para ângulos Δ𝜃
pequenos esse vetor tem uma intensidade 𝐮𝑟 ≈ 1 Δ𝜃 e age 
na direção 𝐮𝜃. Portanto, Δ𝐮𝑟 ≈ Δ𝜃𝐮𝜃, e assim
ሶ𝐮𝑟 = ሶ𝜃𝐮𝜃
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
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Velocidade
▪A velocidade pode ser escrita na forma de componentes 
como:
𝑣 = 𝑣𝑟𝐮𝑟 + 𝑣𝜃𝐮𝜃
▪𝑣𝑟 = ሶ𝑟 (taxa de aumento do vetor 𝐫)
▪𝑣𝜃 = 𝑟 ሶ𝜃 (velocidade tangencial)
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
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Aceleração
▪Calculamos a partira da derivada de 𝐯
▪𝐚 = ሶ𝐯 = ሷ𝑟𝐮𝑟 + ሶ𝑟 ሶ𝐮𝑟 + ሶ𝑟 ሶ𝜃𝐮𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃𝐮𝜃 + 𝑟 ሶ𝜃 ሶ𝐮𝜃
𝐚 = 𝑎𝑟𝐮𝑟 + 𝑎𝜃𝐮𝜃
▪Com 
𝑎𝑟 = ሷ𝑟 − 𝑟 ሶ𝜃2
𝑎𝜃 = 𝑟 ሷ𝜃 + 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃
Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas
37
Coordenadas cilíndricas 
▪As derivadas temporais deste vetor são zero, e, portanto, a 
posição, velocidade e aceleração da partícula podem ser 
escritas em termos das suas coordenadas cilíndricas, como a 
seguir:
𝐫𝑝 = 𝑟𝐮𝑟 + 𝑧𝐮𝑧
𝐯 = ሶ𝑟𝐮𝑟 + 𝑟 ሶ𝜃𝐮𝜃 + ሶ𝑧𝐮𝑧
▪𝐚 = ሷ𝑟 − 𝑟 ሶ𝜃2 𝐮𝑟 + 𝑟 ሷ𝜃 + 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝐮𝜃 + ሷ𝑧𝐮𝑧
Exercício
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▪O movimento do pino 𝑃 é restringido pela fenda curva da 
lemniscata em OB e pela fenda do braço em OA. Se OA gira no 
sentido anti-horário com uma velocidade angular de ሶ𝜃 =
3𝑟𝑎𝑑/𝑠, determina a intensidade da velocidade e aceleração 
do pino em 𝜃 = 30𝑜.
▪R: 8,5m/s; 88m/s²
Análise do movimento absoluto dependente de duas 
partículas
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▪Em alguns problemas, o movimento de uma partícula 
dependerá do movimento de outra partícula 
▪Geralmente quando as partículas estão ligadas por uma corda
▪Por exemplo, o movimento do bloco A vai causar um 
movimento correspondente no bloco B.
Análise do movimento absoluto dependente de duas 
partículas
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▪Seja o comprimento total da corda 𝑙𝑇, temos
𝑠𝐴 + 𝑙𝐶𝐷 + 𝑠𝐵 = 𝑙𝑇
▪Derivando esta
𝑑𝑠𝐴
𝑑𝑡
+
𝑑𝑠𝐵
𝑑𝑡
= 0
▪Ou
𝑣𝐴 = −𝑣𝐵
▪E
𝑎𝐴 = −𝑎𝐵
Análise do movimento absoluto dependente de duas 
partículas
41
▪Para casos mais complicados, 
a análise pode ser estendida 
de acordo com a geometria 
dos deslocamentos.
𝑠𝐴 + ℎ + 2𝑠𝐵 = 𝑙𝑇
▪Derivando
ሶ𝑠𝐴 = −2 ሶ𝑠𝐵
E
ሷ𝑠𝐴 = −2 ሷ𝑠𝐵
Análise do movimento absoluto dependente de duas 
partículas
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▪Para casos mais complicados, 
a análise pode ser estendida 
de acordo com a geometria 
dos deslocamento.
𝑠𝐴 + ℎ + 2(ℎ − 𝑠𝐵) = 𝑙𝑇
▪Derivando
ሶ𝑠𝐴 = 2 ሶ𝑠𝐵
▪E
ሷ𝑠𝐴 = 2 ሷ𝑠𝐵
Exercício
43
▪Determine a velocidade escalar do cilindro A se a corda é 
puxada na direção do motor 𝑀 com uma taxa constante de 
10𝑚/𝑠
▪R: 10/3 m/s
Exercício
44
▪O movimento do anel em A é controlado por um motor em B 
de tal maneira que quando o anel está em 𝑠𝐴 = 3𝑚 ele está 
se deslocando para cima a 2 𝑚/𝑠 e desacelerando a razão de 
1 𝑚/𝑠2. Determine a velocidade e aceleração de um ponto 
sobre o cabo no instante quando ele é puxado na direção do 
motor B.
▪R: 1,2 m/s; 1,1m/s²