APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

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Aplicação das Derivadas
Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções
Padilha
Aplicação das Derivadas
Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções.
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
PONTO CRÍTICO
Definição: “Diz-se que é um ponto crítico de se ou se não é definida em ”
Roteiro de Teste para Funções Crescentes e Decrescentes
Derive 
Encontre todos os pontos críticos.
Teste o sinal de em um ponto arbitrário pertencente a cada intervalo de teste.
Use o teste para determinar se é crescente ou decrescente.
Exemplo 1. Teste para determinar se a função é crescente ou decrescente.
Mostre que é decrescente em ( - e crescente em (0, .
Solução:
Derive 
Ponto crítico: em 
Para negativo , logo a função é decrescente
Para positivo, portanto a função é crescente.
Vejamos o gráfico da função:
Exemplo 2. Determinando os intervalos nos quais uma função é crescente e decrescente.
Determine os intervalos abertos nos quais é crescente ou decrescente.
Solução:
Vamos seguir o Roteiro.
Calculamos a primeira derivada de , a saber: 
Calculamos os números críticos, fazendo a 1ª derivada nula 
 Assim: 
Assim: os números críticos são: 
Assim os intervalos são: (-, (0, 1) e ( 1, . 
Vejamos a tabela:
	Intervalo
	-
	0
	1
	Valor de Teste
	
	
	
	Sinal de 
	(-1) 
	
	2) 
	Conclusão
	Crescente
	Decrescente
	Crescente
Gráfico 
 
CONCAVIDADE
Teste da Concavidade e o Teste da Segunda Derivada.
) , no intervalo considerado I
 , no intervalo considerado I
Roteiro para o Teste da Concavidade
Determine os valores para os quais ou não é definida.
Use esses valores para determinar os intervalos de teste.
Verifique o sinal de em todos os intervalos de teste.
Exemplo 1. Determinando a concavidade.
Determine os intervalos nos quais a concavidade da curva da função dada é para cima e os intervalos nos quais a concavidade é para baixo.
Seja: 
Solução:
Cálculo de 
 Ou 
Finalmente,
 = 
 mostra que é definida para qualquer valor de e para Logo podemos testar a concavidade de testando o sinal de nos intervalos ( , ( e como visto na tabela a seguir:
	Intervalo
	
	
	
	Valor de Teste
	
	
	
	Sinal de 
	
	
	
	Conclusão
	Côncava para cima
	Côncava para baixo
	Côncava para cima
Observe, no gráfico abaixo, os pontos nos quais a curva muda a concavidade que são em e 
A função tem seu valor máximo, de amplitude em 
 
 
PONTOS DE INFLEXÃO
Definição: é o ponto onde a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo.
Propriedade do ponto de Inflexão.
“Se (, f()) é um ponto de inflexão de f ou não é definida no ponto onde .”
Exemplo 2: Determinação de Pontos de Inflexão.
Discuta a concavidade da curva da função + 1 e determine os pontos de inflexão.
Solução:
Vamos derivar duas vezes, pois, teremos que determinar a segunda derivada da função dada.
Assim:
Calculamos 
 + - 
 +
Fatorando, temos: 
O resultado mostra os possíveis pontos de inflexão em , e 
 Testando nos intervalos , vemos que:
Concavidade para cima em 
Concavidade para baixo em 
Concavidade para cima em 
Como a concavidade muda em existem dois pontos de inflexão.
Gráfico da função + 1
EXTREMOS RELATIVOS E O TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA
Exemplo: Determine todos os extremos da função:
Solução: Calculamos os números críticos de 
 .... Cálculo da 1ª derivada
....Igualo a zero
 .................Coloca-se 6 em evidência
 .............Fatora-se a expressão
 que são os números críticos.
.
Vamos, assim, montar a tabela abaixo:
	Intervalo
	
	
	
	Valor de Teste
	
	
	
	Sinal de 
	
	
	
	Conclusão
	Crescente
	Decrescente
	Crescente
Assim, x = -2 ( número crítico) corresponde a um máximo relativo igual a 58 ( o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo) e o número crítico x = 3 corresponde a um mínimo relativo igual a -67 ( o sinal de f’(x) passa de negativo para positivo). Observemos no gráfico abaixo estas afirmativas.
Resumindo: 
Máximo relativo: 
Mínimo relativo : 
O TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMO e MÍNIMO RELATIVO
Teste: “ Seja ; suponha que exista em um intrervalo aberto que contenha . Então:
Se , é um mínimo relativo;
Se , é um máximo relativo;
Se , o teste não permite chegar a nenhuma conclusão. Nesse caso usar o Teste da Primeira Derivada.
Exemplo: Uso do Teste da Segunda Derivada.
Determine os extremos relativos da função .
Solução:
Calculando os números críticos:
Derivando (1)
 ou
) .....(2)
A equação (2) nos dá 3 números críticos, a saber:
 
Estes números críticos correspondem aos pontos(ver equação (1)
 Para = . Assim o ponto é .
Para . Logo o ponto é 
Para . Assim o ponto é 
Eles são os únicos números críticos de .
Calculando a segunda derivada: .....(3)
Aplicando o Teste da Segunda Derivada – Tabela
	Ponto
	Sinal de 
	Conclusão
	
	
	Mínimo relativo
	
	
	Indefinido
	
	
	Máximo relativo
Como o Teste não é satisfatório no ponto (0,0), aplica-se o Teste da Primeira Derivada e concluímos que que o ponto (0,0) não é nem mínimo relativo e nem máximo relativo. Na verdade, o Teste da Concavidade mostra que se trata de um ponto de inflexão.
Gráfico de 
EXTREMOS ABSOLUTOS
Os termos máximo relativo e mínimo relativo são usados para descrever o comportamento local de uma função. Para descrevermos o comportamento global de uma função, i.e, o comportamento em um dado intervalo, usa-se o termo máximo absoluto ou mínimo absoluto. 
TEOREMA:
“Se a função é contínua em um intervalo I, possui um valor mínimo e um valor máximo em I.”
 ;
.
Às vezes chamamos de somente MÁXIMO e MÍNIMO.
ROTEIRO PARA DETERMINAR EXTREMOS
(Intervalo Fechado)
Determine os valores de nos pontos críticos do intervalo;
Determine os valores de nas extremidades do intervalo;
O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máximo.
Exemplo:
 Determine os valores máximo e mínimo de , no intervalo 
Solução:
Começamos calculando os números críticos:
de 
 ou 
Como está no interior do intervalo dado, devemos testar os valores de nesse número e nas extremidades do intervalo, como na tabela a seguir:
Tabela
	Valor de 
	Extremidade 
	Nº crítico = 3
	Extremidade 
	
	
	
	
	Conclusão
	Máximo
	Mínimo
	Nem máximo e nem mínimo
Gráfico de de 
 
Observe:
 O ponto de máximo (0, 2);
O ponto de mínimo (3, -7)
O ponto que não é nem máximo e nem mínimo (5, -3) 
Bibliografia:
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo – Um Curso Moderno e Suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 201