Calculo I aula 6

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Cálculo I
Aula 6: Análise de grá�cos: pontos máximo e mínimo
Apresentação
Nessa aula vamos ver como determinar máximos, mínimos e os extremos de uma função, além da concavidade e pontos
de in�exão do grá�co de uma função.
Objetivos
Determinar máximos e mínimos de funções;
Determinar os extremos de uma função;
Determinar a concavidade e pontos de in�exão do grá�co de uma função;
Analisar o grá�co de uma função
"Os empresários ainda estão otimistas em relação à
economia e ao desempenho das suas empresas, mas o nível
de con�ança caiu em março para o menor patamar desde
outubro de 2009."
- Pesquisa da Confederação Nacional da Indústria (CNI).
Análise de grá�cos: pontos máximo e mínimo
Como mostra o grá�co abaixo, o Índice de Con�ança do Empresário Industrial (ICEI) baixou de 61,8 para 60,5 pontos, mas
valores acima de 50, segundo a CNI, indicam empresários con�antes.
 Fonte: O Globo Por Mirian Leitão 18/03/2011.
A derivada pode ser utilizada quando precisamos determinar se uma função é crescente e decrescente. Quando analisamos o
comportamento de uma função, é interessante e muito útil determinarmos quando a função cresce e/ou quando decresce.
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A função f é dita crescente em um intervalo I, se f é de�nida em I e se x1 < x2 , então f(x )< f(x ).
Exemplo
f(x) = 5x +2 é uma função crescente em todo o seu domínio
Função Crescente 
1 2
A função f é dita decrescente em um intervalo I, se f é de�nida em I e se x1 < x2 , então f(x ) > f(x )
Exemplo
A função f(x) = -4x³ decrescente em todo o seu domínio.
Função Decrescente 
1 2
Atenção
Volte ao grá�co do Índice de Con�ança do Empresário Industrial (ICEI) e note que de abril de 2009 a janeiro de 2010 a função é
crescente, enquanto de abril de 2008 a janeiro de 2009, a função é decrescente.
O que f’' nos diz sobre f ?
Teste função crescente/decrescente (cálculo vol. 1 Munen e Foulis)
Considere que uma função f seja de�nida e contínua no intervalo I. Considere ainda f diferenciável ∀ x ∈ I, não
necessariamente nos pontos extremos de I.
(i) Se f '(x)>0, ∀ x ∈ I , exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é crescente em I.
(ii) Se f '(x)<0, ∀ x ∈ I , exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é decrescente em I.
 Fonte: shutterstook Por eamesBot
Exemplo
Determine os intervalos nos quais f(x) = x³ é crescente e decrescente.
Vamos utilizar o teste da função crescente/decrescente: f'(x) = 3x²
Observe que para qualquer valor de x, temos que a derivada de x é positiva. Assim, a função é crescente.
Concavidade: Considere uma função f diferenciável no intervalo aberto I.
O grá�co de f tem a concavidade para cima em I se f ' for uma função
crescente em I.
O grá�co de f tem a concavidade para baixo em I se f ' for uma função
decrescente em I.
Teste da concavidade. (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis)
Considere uma função f duas vezes diferenciável no
intervalo aberto I.
(i) Se f ''(x)>0, ∀ x ∈ I, então o grá�co de f possui
concavidade para cima em I.
(ii) Se f ''(x)<0, ∀ x ∈ I, então o grá�co de f possui
concavidade para baixo em I.
Voltemos ao exemplo anterior, e vamos determinar a concavidade da função f(x) = 3x.
f '(x) = 3x² 
f '' (x) =6x 
6x = 0 
x =0
Para valores de x maiores que 0, temos que f '(x) = 6x > 0 , portanto, o grá�co terá
concavidade para cima.
Para valores de x menores que 0, temos que f '(x) = 6x < 0 , portanto, o grá�co terá
concavidade para baixo. 
De fato, veja ao lado o grá�co da função.
Ponto de in�exão
Dizemos que um ponto P sobre uma curva é um ponto de
in�exão se a curva mudar de côncava para cima para
côncava para baixo ou vice-versa neste ponto P. 
No exemplo f(x) = x³, temos que em x=0 o grá�co muda de
côncavo para convexo.
 
Se pensarmos em uma cordilheira, a Cordilheira dos Andes, por exemplo, como uma função, podemos perceber que há vários
“picos”. Cada um deles é um máximo local, ou seja, é a maior altura, o maior valor em uma vizinhança próxima.
 Cordilheira dos Andes | Fonte: shutterstook Por celio messias silva.
Máximo e mínimo relativo
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Dizemos que uma função f possui um máximo relativo ou um máximo local em um ponto de abscissa c se existe um
intervalo aberto contendo este ponto de abscissa c tal que f seja de�nida em I e f(c) ≥ f(x), ∀ x ∈ I.
Exemplo: A função f(x) = x³ = 3x +3 possui máximo relativo em x = -1.
Máximo Relativo 
Dizemos que uma função f possui um mínimo relativo ou um mínimo local em um ponto de abscissa c se existe um
intervalo aberto contendo este ponto de abscissa c tal que f seja de�nida em I e f(c) ≤ f(x), ∀ x ∈ I. 
Exemplo: A função f(x)= x³ -3x +3 possui mínimo relativo em x = 1.
Mínimo Relativo 
Ponto crítico
Dizemos que um ponto de abscissa c é um ponto crítico para a função f  quando f  é de�nida em c, mas não é diferenciável em
c, ou seja, quando a derivada no ponto de abscissa c for zero: f '(c) = 0
Para que a função não seja diferenciável em c, precisamos que a tangente seja zero, e, como tangente é de�nida como sendo
seno do ângulo dividido pelo cosseno do ângulo, temos que o seno do ângulo que a reta tangente faz com o eixo x precisa ser
zero, ou seja, o ângulo precisa ser zero.
Exemplo
Vamos determinar os pontos críticos da função f(x) = x³ -3x +3.
f '(x) = 3x² – 3 = 0t
x = ± 1
Se observarmos o grá�co f(x) = x³ - 3x +3 con�rmamos que em x = -1 e x =1 temos os pontos críticos. A derivada nesses
pontos é zero, o que signi�ca que a tangente nesses pontos é paralela ao eixo x.
Se a função f possui um extremo relativo em um ponto c, então c é um ponto crítico para f.
Teste da primeira derivada para extremos relativos
Considere uma função f de�nida e contínua em (a,b). Suponha um ponto de abscissa c ∈ (a,
b) e suponha ainda que f seja diferenciável em todo ponto pertencente ao intervalo aberto
(a,b), exceto possivelmente em c.
(i) Se f ' (x) > 0, ∀ x ∈ (c,b) e f '(x) < 0, ∀ x ∈ (c,b), então f possui máximo relativo em c.
(ii) Se f ' (x) < 0, ∀ x ∈ (c,b) e f '(x) > 0, ∀ x ∈ (c,b), então f possui mínimo relativo em c.
Teste da segunda derivada
Considere a função f  diferenciável no intervalo aberto I e considere ainda que c
seja um ponto pertencente ao intervalo aberto I tal que f ' (c) = 0  e  f '' (c) exista.
(i) Se f '' (x) > 0, ∀ x ∈ (a,c), então f possui máximo relativo em c. 
(ii) Se f '' (x) < 0, ∀ x ∈ (a,c), então f possui mínimo relativo.
Como fazer para encontrar os
extremos relativos de uma
função f ?
A princípio, precisamos encontrar a derivada da função f: f ’
A seguir, devemos encontrar os pontos críticos para f, isto é,
encontrar os pontos c ∈ Dom(f) para os quais  f ' (c) não
existe e os pontos c para os quais f ' (c) = 0.
Devemos, então, testar cada um dos pontos críticos,
substituindo-os na função f , para veri�carmos quando ele
será um máximo relativo, um mínimo relativo ou não será
um extremo relativo. Podemos utilizar os testes da primeira
ou segunda derivadas.
 Fonte: Por wavebreakmedia / Shutterstock.
Máximo e o mínimo absoluto
1
Máximo Absoluto
Consideremos uma função f de�nida no intervalo I, e suponha
um ponto c pertencente a esse intervalo I: c ∈ I.
Se f (c) ≥ f(x) ∀ x ∈ I, então dizemos que, no intervalo I, a
função f atinge o seu valor máximo absoluto f(c) no ponto
2
Mínimo Absoluto
Consideremos uma função f de�nida no intervalo I, e suponha
um ponto c pertencente a esse intervalo I: c ∈ I.
Se f (c) ≤ f(x) ∀ x ∈ I, então dizemos que, no intervalo I, a
função f atinge o seu valor mínimo absoluto f(c) no ponto c.
 Extremo absoluto
Se f atinge um valor máximo absoluto ou mínimo absoluto
em c, então dizemos que possui um extremo absoluto em c.
Teorema da existência de extremos absolutos:
Se f  é uma função de�nida e contínua em [a,b], então:
(a)  f atinge um valor máximo absoluto em algum ponto em
[a,b] e 
(b)  f atinge um valor mínimo absoluto em algum ponto em
[a,b].
Como encontrar extremos absolutos de uma função contínua em
um intervalo fechado?
A princípiodevemos encontrar todos os pontos críticos c para a função f  no intervalo aberto (a,b).
A seguir, calcule os valores f(c) da função para cada um dos valores encontrados como pontos críticos.
Calcule também os valores de f nos pontos extremos a e b do intervalo, ou seja, f(a) e f(b).
Note que podemos concluir que o maior de todos os números calculados é o máximo absoluto de f em [a,b] e o menor
desses números é o mínimo absoluto de f em [a,b].
 Fonte: shutterstook Por Dr Project
Vamos determinar o mínimo absoluto da função f(x) = x² + 3
em [-3,3]
Determinando os pontos críticos:
f' (x) = 2x = 0 
x = 0
Calculando os valores da função nos pontos críticos:
f (0) = 3
Calculando os valores da função nos extremos do
intervalo:
f(-3) = 12
f(3) = 12
O maior dos valores, 12, é o máximo absoluto desse
intervalo [-3,3]. 
O menor dos valores, 3, é o mínimo absoluto desse intervalo
[-3,3].
 Gráfico da função
Atividade
Considere a função f (x) = x³ – 6x² + 9x.
Utilizando o teste da segunda derivada, determine os pontos de extremo relativo e esboce o grá�co da função a partir deles.
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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Referências
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
IEZZI G l MURAKAMI C l MACHADO Nil J é F d t d t áti l t 8 li it d i d
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar 8: limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: ATUAL, 1999.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.
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