Aplicacoes de funcoes

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2 Funções 43 Resolvendo esta equação para e pela fórmula quadrática, obtemos 2x + 2 Como > 0 para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, Tomando o logaritmo natural, temos seja, arg 2.16 Aplicações Nas mais diversas áreas utilizam-se funções para a compreensão de fenômenos e resolução de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o mundo ao nosso redor. É claro que essa afirmação não é com- pletamente verdadeira, pois o mundo ao nosso redor é altamente complexo e ao trabalharmos com um modelo fazemos simplificações para reduzir essa complexidade. Em geral, os modelos são validados para que sejam efetivamente aplicáveis como ferramentas para entender e ana- lisar diferentes Os exemplos apresentados nesta seção são didáticos e, portanto, não foram necessariamente validados. Apresentamos a seguir um conjunto de exemplos ilustrativos. Observamos que os recursos tecnológicos disponíveis atualmente facilitam o manuseio de diferentes modelos mate- máticos. (1) preço de uma corrida de táxi, em geral, é constituído de uma parte fixa, chamada bandeirada, e de uma parte variá- vel, que depende do número de quilômetros rodados. Em uma cidade X a bandeirada é R$ 10,00 e o preço do qui- lômetro rodado é R$ 0,50. (a) Determine a função que representa o preço da corrida. (b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa, situada a 8 km de distância, quanto pagará pela corrida? Solução: (a) Inicialmente devemos introduzir uma notação para as variáveis envolvidas. Sejam: P = preço da a = preço do quilômetro rodado; b = bandeirada; x = número de quilômetros rodados. Como o preço da corrida é a bandeirada mais o preço do quilômetro rodado multiplicado pelo número de quilôme- tros rodados, a função que determina o preço da corrida é dada por: Para a cidade X, temos a = 0,50 Logo, P(x) = 0,50x + 10,00 que é uma função do primeiro grau. (b) Para a situação descrita neste item temos x=8. Assim, P(8) 14,00 Portanto, a pessoa pagará R$ 14,00.44 Cálculo A Funções, limite, derivação e integração (2) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia? Solução: Do enunciado do problema extraímos os seguintes dados e variáveis: Capacidade do avião: 120 lugares Número de passageiros: Preço por passageiro: parcela fixa: 900,00 parcela variável: 10 Receita da companhia: R Temos: Podemos observar que R é uma função quadrática com concavidade voltada para baixo. Assim o número de passa- geiros que torna máxima a receita é dado pela coordenada do vértice da parábola. Reescrevendo R na forma sendo o vértice da parábola, vem: = - = - = Portanto, o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia é = 105. A receita máxima é igual a R$ (3) Curvas de oferta e demanda Em Economia, estamos interessados em saber como o preço influencia a demanda e a oferta de um dado produto. Para isso usamos as curvas de oferta e demanda. A curva de oferta demonstra como a quantidade que os produtores pretendem oferecer de um dado produto depende de seu preço. A curva de demanda demonstra como a quantidade procurada pelos consumidores de um dado produto depende de seu preço. A Figura 2.44 (a) apresenta uma curva de oferta e a Figura 2.44 (b) uma curva de demanda. p p P1 q q Figura 2.44(a) Figura 2.44(b)CAPÍTULO 2 Funções 45 No eixo horizontal representamos a quantidade q do produto e no eixo vertical seu preço p. Intuitivamente pode- mos perceber que q depende de p, ou seja, p seria a variável independente. No entanto, representamos q no eixo hori- zontal para manter o mesmo padrão dos textos de Economia. (a) Qual a leitura prática que pode ser feita do gráfico da Figura (a)? (b) E do gráfico da Figura 2.44 (b)? Solução: (a) No gráfico da Figura (a) podemos observar que, por um preço inferior a os produtores não estão dis- postos a produzir qualquer quantidade do produto. A partir de Po, à medida que o preço aumenta, a quantida- de a ser ofertada do produto também aumenta. Isso retrata a possibilidade de aumento de lucros, o que é comum na prática. (b) Na Figura (b) temos uma curva de demanda. Pode-se observar que ao nível de preço não há deman- da para o produto, ou seja, ninguém está disposto a pagar esse preço pelo produto. À medida que o preço dimi- nui, a demanda aumenta, chegando a um ponto de saturação Isso significa que, quando se chega ao nível não há mais aumento na demanda, mesmo que o produto seja oferecido de graça. (4) Restrição Orçamentária Em nosso país, um dos problemas que os governos enfrentam diz respeito à alocação de verbas para programas sociais e pagamento de funcionários. Vamos supor que existe um montante fixo, M, a ser repartido entre os dois propósitos. Se denotarmos por x o montante a ser gasto com o pagamento de funcionários e por y o montante destinado aos pro- gramas sociais, temos: Essa equação é conhecida como restrição orçamentária. Seu gráfico é uma reta. Como as variáveis e y são não negativas, só a parte do primeiro quadrante é de interesse para a análise (ver Figura 2.45). Y M M X Figura 2.45 (a) Qual a leitura prática que podemos fazer desse gráfico? (b) Suponha que numa cidade X existam 200 funcionários que ganham um salário médio de R$ 800,00 mensais e que o montante M é de R$ 300.000,00 mensais. Qual o montante mensal disponível para programas sociais? Os funcionários reivindicam 13% de aumento em seus salários. Qual o impacto desse aumento sobre os pro- gramas sociais? Solução: (a) A leitura prática que se faz da reta de restrição orçamentária é que o aumento dos gastos de um setor acarre- tará a diminuição dos gastos com o outro. (b) Como temos 200 funcionários com salário médio de R$ 800,00, segue que46 Cálculo A Funções, limite, derivação e integração 800,00 Como M = 300 000,00, vem que - 160.000,00 = 140.000,00 Um aumento de 13% sobre os salários produzirá um incremento de no montante gasto com funcio- nários, que passará a ser = 180.800,00 Portanto, o montante correspondente disponível para programas sociais será de Isso corresponde a uma diminuição de aproximadamente 15% sobre o montante anterior. (5) Crescimento Populacional Para prever a população de um dado país numa data futura, muitas vezes é usado um modelo de crescimento exponencial. Para isso, observa-se o valor real da população em intervalos de tempo iguais, por um dado período de tempo. Calcula-se, a seguir, a razão entre a população observada em períodos consecutivos. Se a razão for aproximadamente constante, em cada observação, a população é dada pela população anterior multiplicada por esta razão, que é chamada fator de crescimento. A tabela que segue apresenta dados da população brasileira no período de 1940 a 1980. População Brasileira, 1940-1980 Ano População Absoluta Razão 1940 41.165.289 51.941.767 1950 51.941.767 1,26 41.165.289 70.070.457 1960 70.070.457 1,35 51.941.767 93.139.037 1970 93.139.037 70.070.457 119.002.706 1980 119.002.706 93.139.037 Fonte: IBGE. Anuários Estatísticos do Brasil (Adaptação das autoras). (a) Usando esses dados, obter uma previsão para a população brasileira no ano (b) Sabendo que a população brasileira no ano 2000 era de qual o erro cometido, em percentual, na previsão?2 Funções 47 Solução: (a) Observando a terceira coluna da tabela dada, apesar da variação, poderíamos supor que a taxa é razoavelmen- te constante e aproximá-la de ano 1940 corresponde a observação no instante = 0. Nossa unidade de tempo (intervalo entre observações) é de dez anos. Dessa forma, = 1 corresponde a 1950, = 2 a 1960, e assim sucessivamente. Temos, então, as seguintes estimativas para a população: Ano Valor de Valor de P 1940 0 1950 1 41.165.289 1960 2 41.165.289 1970 3 41.165.289 1980 4 41.165.289 1,34 Extrapolando para um tempo qualquer t, vem: P(t) = 41.165.289 Esse modelo é conhecido como modelo de crescimento exponencial. Usando esse modelo, podemos prever a população para o ano 2000. ano 2000, corresponde a = 6. Portanto, a população prevista para o ano 2000, é dada por: P(6) = 41.165.289 X 1,36 = 198.696.000 pessoas. (b) Como a população brasileira era de 169.799.170 no ano 2000, segue que a previsão obtida apresenta um erro para mais de aproximadamente 17% em relação à população observada. (6) Decaimento Radioativo A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, o urânio ou o se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por a massa inicial (corresponde ao instante e por M a massa presente num instante qualquer podemos estimar M pela função exponencial dada por M (1) sendo K > 0 uma constante. A equação (1) é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante K depende do material radioati- considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5.730 anos, determinar: (a) a constante K. do modelo de decaimento exponencial para esse (b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era (c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original. Solução: (a) A meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5.730 anos. Assim, supondo a massa inicial devemos determinar o valor de K. tal que48 Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração Resolvendo esta equação exponencial com o auxílio de logaritmos, vem 1 = 2 = 0,0001209. Logo, o modelo de decaimento exponencial para o carbono-14 é dado por (2) (b) Para um material radioativo qualquer, após dois períodos de meia-vida, a massa presente será sendo a massa inicial. Usando o modelo de decaimento exponencial do carbono-14, podemos comprovar empiricamente este resultado. Temos, Para = 11.460, vem (c) Temos M = Usando a equação (2), vem: -0,0001209 = 1.846 anos. (7) Equilíbrio de Mercado Analisar o equilíbrio sob a ótica do mercado implica a definição de um conjunto de variáveis que se inter-relacio- nam, ajustadas umas às outras, envolvidas em um modelo matemático. Para discutir esse tipo de modelo precisamos observar o comportamento das variáveis escolhidas e as propriedades das funções que definem o modelo. É importante deixar claro que o equilíbrio perde a relevância se outras variáveis são incluídas no modelo, pois a idéia básica é que estamos diante da inexistência de mudanças. Para exemplificar vamos supor que2 Funções 49 Qd = quantidade procurada de uma mercadoria (demanda); = quantidade ofertada de mercadoria (oferta); p = preço. A suposição que alicerça o equilíbrio é que o excesso de demanda é zero ou Supondo que as curvas de oferta e demanda são funções lineares é possível escrever: Os parâmetros b, e d são definidos em função do mercado. Do ponto de vista gráfico, o equilíbrio do mercado representa a intersecção entre duas curvas (no caso linear entre duas retas). Algebricamente estamos diante da resolução de um sistema de equações. Supondo que Qd = -2p + 15 3, fazendo A Figura 2.46 mostra o ponto de equilíbrio do mercado em = p Qd= 15 2p 3,6 7,8 Q Figura 2.46 (8) Custo total A definição formal de custo varia conforme o contexto. Por exemplo, os economistas tratam os custos de forma diferente dos contadores, pois estes estão preocupados em retratar o desempenho da empresa em seus demonstrativos anuais. Para ficar mais claro podemos citar que os custos contábeis incluem a desvalorização dos equipamentos, ao passo que os economistas preocupam-se com os custos que ocorrerão no futuro. Sem entrar em detalhes nessa concei- tuação, podemos de forma menos formal lembrar que os custos de um empresa variam com o nível de produção (custos variáveis Cv), enquanto outros são fixos (custos fixos - CF). Dependendo da empresa, podemos considerar como exemplo de custos fixos os gastos com a manutenção da fábrica, seguro e um número mínimo de funcionários. Como custos variáveis podemos incluir salários e matérias-primas.50 Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração o custo total teoricamente é a soma dos custos variáveis com os custos fixos. Supondo que é o custo total da produção de x unidades de um determinado produto e assumindo, de forma mais simples, que o custo total depende somente da variável podemos escrever a Função Custo Total Vários tipos de funções podem ser usados para modelar a função custo total. Em geral as curvas têm característi- cas bem definidas, tais como: Quando nenhuma unidade é produzida, o custo total é zero ou positivo. Caso tenhamos o valor zero, fica enten- dido que o custo fixo é zero. o custo total aumenta quando x aumenta. o custo total médio (CTM), denotado na maioria das vezes como custo médio, é o custo por unidade quando X uni- dades são produzidas. Vamos observar na Figura 2.47 o gráfico da função = 2x + 20. Essa função pode representar o custo total de uma empresa que tem o seu custo fixo de R$ 20.000,00. Estamos diante de um custo do tipo linear, pois a função é de primeiro grau. Observamos também que estamos considerando somente valores de pois o valor do núme- ro de unidades produzidas não pode ser negativo. Na Figura 2.48 temos o gráfico da função custo total = + 20. Neste caso a função custo total é uma função quadrática definida para valores de x Considerando que = 20, temos que o custo fixo é de R$ 20.000,00 e o custo variável é definido por Observe que a função custo fixo é constante, assim a distância entre os gráficos das funções custo total e custo variável é exatamente o valor constante 20. mil reais C(X) mil reais 80 80 Custo total 70 70 60 60 50 50 Custo variável 40 40 30 30 20 20 Custo 10 10 fixo 5 10 15 20 25 30 35 X 5 10 15 20 25 30 35 X Figura 2.47 Figura 2.48 Em alguns momentos a variável independente é representada pela letra em sintonia com as curvas de demanda. Vejamos agora um exemplo que envolve a função custo: o custo para produzir q metros de um tecido é dado por C = 50 + (a) Encontrar uma fórmula para a função inversa. (b) Explicar, em linguagem coloquial, o significado da função inversa; Solução: (a) Temos que o custo é uma função do primeiro grau da quantidade de metros produzidos, admitindo, portanto, uma inversa. A sua inversa é dada por:CAPÍTULO 2 Funções 51 4 Como o domínio da função custo é dado por 9 1. segue que o domínio da função inversa é dado por C 54. (b) Podemos dizer que a quantidade de tecido produzida, em metros, depende do montante gasto em sua produ- ção (custo). (9) Receita e lucro total Se o preço de um produto é e a quantidade demandada a esse nível de preço é q, podemos definir receita total como Exemplos: (a) Supondo que p=44 - 2q. podemos escrever a função receita total R=q(44 2q) R = Podemos visualizar o gráfico na Figura 2.49. R 240 192 144 96 48 11 22 q Figura 2.49 Observando o gráfico podemos perceber que: A receita se anula quando a quantidade demandada é igual a zero ou 22; A receita atinge um valor máximo quando q = 11. Já discutimos a função custo total e nesse item a receita assim, podemos estabelecer a função Lucro total, denotada por Exemplo: Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por 20q + 475, q 0. A função receita total em mil reais é dada por R(q) = 120q. Determinar: (a) o lucro para a venda de 80 unidades. (b) Em que valor de acontecerá o lucro máximo?52 Cálculo A Funções, limite, derivação e integração Solução: (a) Inicialmente vamos escrever a função lucro total: = 475) = 100q 475. Assim, podemos calcular o lucro para a venda de 80 unidades: Portanto, temos o valor de R$ 1.125.000,00. (b) Para saber o valor de q tal que o lucro seja máximo, vamos utilizar a visualização gráfica da função lucro na Figura L 2025 1620 1215 810 405 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110 Figura 2.50 Observamos que estamos diante de uma função do segundo grau num domínio q E [5,95] o vértice da parábola caracteriza o ponto máximo da curva. Temos, então, o valor = 50 unidades, que corresponde ao lucro máximo. (10) Depreciação de equipamentos contador de uma empresa usa o método da linha reta para fazer a depreciação de um certo equipamento de uma empresa no decorrer do tempo. Cada equipamento tem uma estimativa de vida útil e o valor contábil decresce a uma taxa constante de tal forma que ao término da vida útil podemos ter um valor zero ou um valor residual denotado por r. Vamos considerar que: y é o valor I, o valor do investimento na compra do equipamento; T, a vida t, o tempo. Temos que é uma função do primeiro grau tal que f(t) = at + b, sendo ou Supondo inicialmente o valor residual nulo temos:2 Funções 53 Assim, temos que b = + que é uma função do primeiro grau decrescente. Quando o valor residual ér # 0, podemos escrever Dessa forma = + I, que é uma função do primeiro grau decrescente muito usada para analisar a depreciação de equipamentos. Observamos que esta função só tem significado para o domínio t E Para exemplificar, vamos supor que um notebook foi comprado por R$ e a estimativa de vida útil é de 5 anos. Supondo um valor residual de R$ 800,00, qual é o valor contábil ao término de 3 anos? Para este exemplo temos: Assim, f(t) = + 4.200. Logo, o valor contábil ao término de 3 anos é f(3) = 2.160, ou seja, R$ 2.17 Exercícios 1. Construir os gráficos das funções de 1° grau. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = se k 0, 1, 2. 1/2, - -2 (b) = (c) = 2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) (b) (c) = (d) y = ax2 + bx + se a = b = -2 C = 5. 3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem. 4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem. (b) 5. A função f(x) é do 1° grau. Escreva a função se 3.