Aplicações de funções

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Aplicações de funções
Prof.º André Luís Corte Brochi
Descrição Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Interpretação de
gráficos que representem a variação das funções custo, receita e lucro em relação à quantidade
produzida de certa utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas
quanto ao seu crescimento e decrescimento.
Propósito Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com exemplos que frequentemente
surgem no dia a dia profissional.
Preparação Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
Objetivos
Módulo 1
Taxas de variação médias
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Módulo 2
Taxas de variação em grá�cos
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos
de crescimento e decrescimento.
Módulo 3
Funções custo, receita e lucro
Analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seus
gráficos.
Módulo 4
Demanda e a oferta de produtos
Analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de
produtos a partir do preço praticado.
Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento. Ela vai desde
análises abstratas até as aplicações mais corriqueiras do nosso cotidiano.
Praticamente qualquer fenômeno ao nosso redor pode ser representado
matematicamente, e muitas vezes essa representação nos ajuda a aprender algo
importante, ou a solucionar um problema concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações tanto teóricas
quanto práticas. Desse modo, você vai se habituar com uma linguagem que
poderá encontrar e usar ao longo dos seus estudos e da sua vida profissional.
1 - Taxas de variação médias
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Vamos começar!
Os diversos usos das variáveis
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre os
diversos usos das variáveis. Vamos lá!


Taxa de variação média de em relação a 
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos
as funções matemáticas, como aquelas que você estudou no ensino médio, em que,
geralmente, expressamos o valor de uma variável em relação à outra, que
costumamos denotar por .
Variável dependente
A variável é comumente chamada
de variável dependente.
Variável independente
A variável é comumente chamada
de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à
variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de variação da
primeira em relação à segunda, isto é, quanto que varia para cada unidade de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo (para 
variando de até ), é dada por:
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada unidade
aumentada na variável independente .
É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega
 ("delta" maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo, a variação da variável 
será notada por . Sendo assim, a taxa de variação de em relação a poderá ser
expressa por:
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das fórmulas acima são
indicados por e , respectivamente. De forma semelhante, escrevemos:
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
y x
y
x
y x
y x
y x
y = f(x)
y x a ≤ x ≤ b x
a b
f(b)−f(a)
b−a
y
x
Δ x
Δx y x
Δy
Δx
=
f(b)−f(a)
b−a
a b
x
2
x
1
y
2
= f(b) e y
1
= f(a)
Exemplo 1
Dada a função , em que , vamos calcular, inicialmente, a taxa de
variação média de para variando de 2 a .
Nesse caso, consideramos:
 e 
Assim:
Consequentemente:
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável para cada
aumento de uma unidade em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
 e 
Já vimos que:
Já o valor de será dado por:
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em relação a . É
que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é descrita por uma função de
primeiro grau. Nesse caso, a variação de em relação a é uma constante.
Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de e note que o
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
y = f(x) f(x) = 3 + 2x
y = f(x) x 5(2 ≤ x ≤ 5)
x
1
= 2 x
2
= 5
y
1
= f (x
1
) = f(2) = 3 + 2.2 = 3 + 4 = 7
y
2
= f (x
2
) = f(5) = 3 + 2.5 = 3 + 10 = 13
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
13−7
5−2
=
6
2
= 2
y
x
x
x
1
= 2 x
2
= 4
y
1
= f (x
1
) = f(2) = 7
y
2
y
2
= f (x
2
) = f(4) = 3 + 2.4 = 3 + 8 = 11
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
11−7
4−2
=
4
2
= 2
y x
y x
x
Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de e note que o
resultado será sempre o mesmo.
Exemplo 2
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função:
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a no intervalo
.
Temos, portanto, e . Assim,
e
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que e, além disso,
teremos:
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa
de variação constante como a do exemplo anterior.
x
y = f(x) = x
2
+ 2x
y x 0 ≤ x ≤ 3
y x
0 ≤ x ≤ 3
x
1
= 0 x
2
= 3
y
1
= f (x
1
) = f(0) = 0
2
+ 2 ⋅ 0 = 0
y
2
= f (x
2
) = f(3) =
3
2
+ 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
15 − 0
3 − 0
=
15
3
= 5
0 ≤ x ≤ 2
x
1
= 0 x
2
= 2 y
1
= f (x
1
) = f(0) = 0
y
2
= f (x
2
) = f(2) =
2
2
+ 2 ⋅ 2 = 4 + 4 = 8
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
8 − 0
2 − 0
=
8
2
= 4
Exemplo 3
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro, crescimento.
Considere a função:
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo . Temos que:
 е .
Daí:
e
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
E:
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
f(x) = x
3
− 3x
2
+ x + 3
y x 1 ≤ x ≤ 3
1 ≤ x ≤ 3
x
1
= 1 x
2
= 3
y
1
= f (x
1
) = f(1) =
1
3
− 3 ⋅ 1
2
+ 1 + 3 =
1 − 3 + 1 + 3 = 2
y
3
= f (x
2
) = f(3) =
3
3
− 3 ⋅ 3
2
+ 3 + 3 =
27 − 27 + 3 + 3 = 6
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
y x
1 ≤ x ≤ 2
x
1
= 1, x
2
= 2 y
1
= f (x
1
) = f(1) = 2
y
2
= f (x
2
) = f(2) =
2
3
− 3 ⋅ 2
2
+ 2 + 3 =
8 − 12 + 2 + 3 = 1
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em quando 
aumentou uma unidade.
Exemplo 4
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas
considerando também valores negativos para .
Considere a função:
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo .
Temos e . Daí:
e
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será preciso atentar-
se aos sinais.
Mão na massa
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
1 − 2
2 − 1
=
−1
1
= −1
y x
x
f(x) = x
2
− 3x − 4
−3 ≤ x ≤ −1
x
1
= −3 x
2
= −1
y
1
= f(−3) =
(−3)
2
− 3(−3) − 4 =
9 + 9 − 4 = 14
y
2
= f(−1) =
(−1)
2
− 3(−1) − 4 =
1 + 3 − 4 = 0
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
0−14
−1−(−3)
=
−14
2
= −7

Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervaloé:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Considerando e , temos:
e
.
Daí:
.
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no intervalo é:
f(x) = 5 − 3x 2 ≤ x ≤ 7
A -3
B 5
C -0,6
D -5
E -7
x
1
= 2 x
2
= 7
f (x
1
) = f(2) = 5 − 3 ⋅ 2 = 5 − 6 = −1
f (x
2
) = f(7) = 5 − 3 ⋅ 7 = 5 − 21 = −16
Δf
Δf
=
f(x
2
)−f(x
1
)
x
2
−x
1
=
−16−(−1)
7−2
=
−16+1
5
=
−15
5
= −3
f(x) = −3x
2
+ x − 4 −1 ≤ x ≤ 2
A -3
B -2
C -4
D 0
Parabéns! A alternativa B está correta.
Considerando e , temos:
e
.
Daí:
.
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de
seu preço unitário , a taxa de variação média de para o intervalo
 é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
Portanto, a taxa média de variação da demanda , nesse intervalo, será dada por:
E 1
x
1
= −1 x
2
= 2
f (x
1
) = f(−1) = −3 ⋅ (−1)
2
+ (−1) − 4 = −3 − 1 − 4 = −8
f (x
2
) = f(2) = −3 ⋅ 2
2
+ 2 − 4 = −12 + 2 − 4 = −14
Δf
Δx
=
f(x
2
)−f(x
1
)
x
2
−x
1
=
−14−(−8)
2−(−1)
=
−14+8
2+1
=
−6
3
= −2
D
D = 8.500 − 5p D
500 ≤ p ≤ 1.000
A -8 unidades/real.
B 2 unidades/real.
C 5 unidades/real.
D -5 unidades/real.
E -2 unidades/real.
p
1
= 500 p
2
= 1.000
D
1
= 8.500 − 5.500 = 8.500 − 2.500 = 6.000
D
2
= 8.500 − 5 ⋅ 1.000 = 8.500 − 5.000 = 3.500
D
ΔD
=
D
2
−D
1
=
-5 unidades/real.
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em
função do seu preço unitário , em reais, na forma , o quanto essa
quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
e
Portanto, a taxa média de variação da quantidade ofertada , nesse intervalo, será
dada por:
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa utilidade à sua
quantidade produzida q, ela é denominada função custo total dessa utilidade. A taxa
de variação do custo total em relação à quantidade produzida, isto é, considerando
uma variação de 0 a quantidades produzidas, é denominada custo variável médio de
Δp
=
p
2
−p
1
=
3.500−6.000
1.000−500
=
−2.500
500
=
S
p S = 2p − 240
A 240 unidades/real.
B 20 unidades/real.
C 2 unidades/real.
D 12 unidades/real.
E 31 reais/unidade.
p
1
= 150 p
2
= 180
S
1
= 2 ⋅ 150 − 240 = 300 − 240 = 60
S
2
= 2 ⋅ 180 − 240 = 360 − 240 = 120
S
ΔS
Δp
=
S
2
−S
1
p
2
−p
1
=
120−60
180−150
=
60
30
=   2 unidades/real.
C
T
uma variação de 0 a quantidades produzidas, é denominada custo variável médio de
produção e é dada por , em que é o custo
total para a produção de unidades dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por , qual
será o custo variável médio para a produção de 200 unidades? Considere em
unidades e em reais.
Parabéns! A alternativa B está correta.
O custo variável médio para é a taxa de variação de para o intervalo
 e é dado, nesse caso, por:
como
e
21 unidades/real.
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O
seu tamanho, anos após 2010, pode ser calculado pela expressão
.
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012
e 2019 é:
CV M(q) =
C
T
(q)−C(0)
q−0
=
C
T
(q)−C(0)
q
C
T
(q)
q
C
T
(q) = 2.000 + q + 0, 1q
2
q
C
T
A 20 reais/unidade.
B 21 reais/unidade.
C 18 reais/unidade.
D 16 reais/unidade.
E 56 reais/unidade.
q = 200 C
T
0 ≤ q ≤ 200
CV M(200) =
C
T
(200)−C(0)
200
C(200) = 2.000 + 200 + 0, 1 ⋅ 200
2
= 2.000 + 200 + 4.000 = 6.200 reais 
C(0) = 2.000 + 0 + 0, 1 ⋅ 0
2
= 2.000 reais, 
CV M(200) =
6.200 − 2.000
200
=
4.200
200
=
y 5%
x
y = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)
x
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para 2012, temos e, em 2019, anos. Então:
e
Portanto, a taxa média de variação da população dessa cidade, de 2012 a 2019, foi
de, aproximadamente:
2565 hab/ano.
Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a
velocidade média. Ela corresponde à taxa média de variação da posição de um
objeto em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um objeto que se desloca de
acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à sua posição, em
metros, no instante segundos.
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo ,
basta calcular a variação média de sua posição nesse intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual vamos calcular
A 1.875 hab/ano.
B 2.125 hab/ano.
C 2.565 hab/ano.
D 2.955 hab/ano.
E 3.150 hab/ano.
x
1
= 2 x
2
= 9
y
1
= 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)
2
= 40.000 ⋅ 1, 05
2
= 40.000 ⋅ 1, 1025 = 44.100hab
y
2
= 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)
9
= 40.000 ⋅ 1, 05
9
≅40.000 ⋅ 1, 5513 = 62.052hab
Δy
Δx
=
62.052−44.100
9−2
=
17.952
7
≅
_black
t
s(t) = −t
2
+ 10t
(Δt)
sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos.
Carro em movimento
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado intervalo, representa:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas
unidades aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável é
aumentada em uma unidade.
Questão 2

Mostrar solução
y x
A
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma
unidade em nesse intervalo.
y
x
B Quantas unidades variou no intervalo considerado.x
C Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.y
D Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.x
E
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma
unidade em nesse intervalo.
x
x
y x
y x
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando de 1 a 6 é igual a
10, então é correto concluir que:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Então, .
2 - Taxas de variação em grá�cos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar as taxas de variação em grá�cos com períodos de
crescimento e decrescimento.
Vamos começar!
f(x) x
A f(1) = 10
B f(6) = f(1) + 10
C f(6) − f(1) = 10
D f(6) − f(1) = 50
E f(6) = 10
f(6)−f(1)
6−1
= 10
f(6) − f(1) = 10 ⋅ (6 − 1) = 50
Representando Funções em Grá�cos
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre a
representação de funções em gráficos. Vamos lá!
Análises grá�cas e representações
geométricas
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de
crescimento ou decrescimento de uma variável em relação à outra por meio dos
valores calculados a partir das funções que as relacionam. No entanto, toda função
matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a análise da taxa
de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra
com base em análises gráficas e como representá-la geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela está definida.
• A próxima imagem mostra a variação de e a variação de para o
intervalo dado.
• Os pontos A e B têm coordenadas e , respectivamente.
• A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a
taxa de variação média da função em relação a no intervalo .
• Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de
variação aumentar, por exemplo, a reta apresentará inclinação mais acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento

y = f(x) a ≤ x ≤ b
y(Δy) x(Δx)
(a, f(a)) (b, f(b))
f(x) x a ≤ x ≤ b
em um intervalo dado, basta calcular a taxa de variação média nesse intervalo ou
verificar se a reta que une os dois pontos correspondentes ao intervalo é crescente
(coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente angular negativo).
Exemplo 1
Considereo gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a , inicialmente, para o
intervalo Temos, nesse caso, e .
Logo, a taxa de variação média é:
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, 
, a taxa de variação média permanecerá igual, pois se trata de um gráfico com
comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e .
Portanto, a taxa de variação média é:
Exemplo 2
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir para
os intervalos e .
y x
2 ≤ x ≤ 6. Δx = 6 − 2 = 4 Δy = 6 − 4 = 2
Δy
Δx
=
2
4
= 0, 5
2 ≤ x ≤ 4
Δx = 4 − 2 = 2 Δy = 5 − 4 = 1
Δy
Δx
=
1
2
= 0, 5
1 ≤ x ≤ 3 −1 ≤ x ≤ 2
Considerando e , teremos e . Portanto, a taxa média de
variação de em relação a será dada por:
Agora, se considerarmos e , teremos e . Portanto, a taxa
média de variação de em relação a será dada por:
Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de —2 a 4 é:
x
1
= 1 x
2
= 3 y
1
= 2 y
2
= 6
y x
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
x
1
= −1 x
2
= 2 y
1
= −2 y
2
= 1
y x
Δy
Δx
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
1 − (−2)
2 − (−1)
=
3
3
= 1

y x
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para variando de 2 a 5 é:
A -3,5
B -2,3
C -1,5
D -1,2
E -0,7
x
1
= −2 y
1
= 4 x
2
= 4 y
2
= −5
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
−5−4
4−(−2)
=
−9
6
= −1, 5
x
A 0,5
B -0,4
C -0,25
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
.
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para variando de -4
a -3 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para , temos e para , temos .
D -0,5
E 0
x
1
= 2 y
1
= 1, 2 x
2
= 5 y
2
= 0
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
0−1,2
5−2
=
−1,2
3
= −0, 4
x
A -2,4
B 1,25
C -3,2
D -4,8
E 0
x
1
= −4 y
1
= −1 x
2
= −3 y
2
= −3, 4
Portanto:
.
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para analisarmos a maior taxa média de crescimento, uma das formas é traçar as
retas passando pelos pontos definidos pelos intervalos, como mostrado no gráfico a
seguir. Porém, observe que, aparentemente, não há diferença nas inclinações dessas
Δy
Δx
=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
=
−3,4+1
−3+4
=
−2,4
1
= −2, 4
x x
A 2 e 2
B 3 e 2
C 2 e 3
D 3 e 3
E 8 e 7
retas.
Para termos certeza de que há ou não diferença, determinaremos as taxas de
variação nesses dois casos. Para o intervalo —1 ≤ ≤ 2, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
Para o intervalo 0 ≤ ≤ 3, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de 2013 a
2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
x
x
1
= −1; x
2
= 2; y
1
= 3 y
2
= 9
Δy
Δx
=
9−3
2−(−1)
=
6
3
= 2
x
x
1
= 0; x
2
= 3; y
1
= 1 y
2
= 7
Δy
Δx
=
7−1
3−0
=
6
3
= 2
Parabéns! A alternativa D está correta.
Em 2013, podemos considerar uma produção de 4,5 toneladas. Em 2019, ela passa a
ser de 5 toneladas. Sendo assim, a taxa média de variação nesse período é dada
por:
 0,083 ton/ano.
Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de 2010 e
2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de
consumo, se comparada ao período 2010-2015. Sendo assim, qual foi a quantidade
consumida desse cereal em 2019?
A 0,75 ton/ano.
B -0,025 ton/ano.
C 0,097 ton/ano.
D 0,083 ton/ano.
E 0,5 ton/ano.
5,0 ton −4,5 ton 
(2019−2013) anos 
=
5,0 ton −4,5 ton
6 anos 
≅
A 1,87 ton.
B 2,98 ton.
C 3,15 ton.
D 3,75 ton.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Vemos que, de 2010 a 2015, houve um aumento de 0,75 ton no consumo desse
cereal. Como o período é de 5 anos, concluímos que a taxa média de variação é:
 0,15 ton/ano.
Como, no período entre 2015 e 2019, houve diminuição da taxa média de variação
em 20%, concluímos que essa taxa foi de:
 ton ano.
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais
diversas áreas. Inclusive, já vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo
marginal, que consiste na mudança no custo total de produção resultante da
variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de
custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a
receita gerada pela sua comercialização. Dessa forma, torna-se possível a avaliação
dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos principais conceitos que devem ser
considerados nessa análise são: custo variável médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção,
utilizamos um conceito que foge ao escopo desse texto, que é o de derivada de uma
função para definir e obter o custo marginal. Porém, quando os custos são
analisados com base em tabelas que os relacionam com a quantidade produzida,
esse conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
2.000 17.000,00
D 3,75 ton.
E 2,00 ton.
0,75 ton 
5 anos 
=
(1 − 0, 20) ⋅ 0, 15 = 0, 80 ⋅ 0, 15 = 0, 12 /
_black
2.000 17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo marginal médio?
Quantidade de
garrafas
Custo total (R$) Custo marginal Custo médio (R$)
0 5.000 - -
1.000 11.000 6.000 6,00
1.500 12.000 1.000 0,67
1.800 14.000 2.000 1,11
2.000 17.000 3.000 1,50
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades,
o custo total varia R$1.000,00, ou seja, cada unidade produzida a mais, nesse intervalo,
gera um aumento de R$2,00 no custo total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados.
Entretanto, quando a produção passa de 1.800 para 2.000 unidades, o custo marginal
é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida
gira em torno de 1.500 unidades, e menos favorável quando ela se aproxima de 2.000
unidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Mostrar solução
Questão 1
Considerando dois pontos e em um gráfico, a taxa de
variação média de para o intervalo é dada por:
Parabéns! A alternativa C está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas
unidades aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável é
aumentada em uma unidade. Portanto, ela será dada por:
.
Questão 2
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa
utilidade para determinadas quantidades produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
A = (x
1
, y
1
) B = (x
2
, y
2
)
y x
1
≤ x ≤ x
2
A
y
2
y
1
B
y
2
x
2
C
y
2
−y
1
x
2
−x
1
D
x
2
−x
1
y
2
−y
1
E
y
2
−x
2
y
1
−x
1
y x
y x
y
2
−y
1
x
2
−x
1
A 180 R$/kg.
B 160 R$/kg.
C 72,00 R$/kg.
Parabéns! A alternativa B está correta.
O custo variável médio para certa quantidade é a taxa de variação do custo total
quando a produção varia de 0 a essa quantidade. Portanto, a solução será dada por:
3 - Funções custo, receita e lucro
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seu grá�cos.
Vamos começar!
Funções Matemáticas Aplicadas à Área
Financeira
Neste vídeo,o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as
funções matemáticas aplicadas à área financeira. Vamos lá!
C 72,00 R$/kg.
D 32,50 R$/kg.
E 175 R$/kg.
7.200−800
40−0
=
6.400
40
= 160R$/kg. 

Funções custo, receita e lucro totais
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas
nas análises de variação de duas grandezas, uma em relação à outra, em vários
cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas. Neste módulo, serão abordadas
as funções custo, receita e lucro totais.
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e
em áreas afins.
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total de produção
 com a quantidade produzida que é dada pela soma dos custos fixos e
dos custos variáveis , como a seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação do custo
unitário pela quantidade produzida q. Dessa forma, a função custo total pode
ser expressa por:
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de
poder assumir outras formas, a função custo total geralmente apresenta esse
tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à
produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo aluguel que a empresa paga
pela instalação, pelos salários de seus colaboradores etc. Mesmo que, em
determinado período, não seja produzida nenhuma unidade do produto, o custo
fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma direta à
quantidade produzida: quanto mais se produz, maior é o custo variável (total).
Se nenhuma unidade for produzida, o custo variável será nulo.
Função custo total 
C
T
C
F
C
V
C
T
= C
F
+ C
V
c
C
T
= C
F
+ c ⋅ q
Função receita total 
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total recebido pela
comercialização de unidades dessa utilidade e é expressa pelo produto entre
o seu preço unitário e a quantidade comercializada, como a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade),
conseguimos representá-la com função apenas da variável . Isso porque o
preço pode ser fixado ou expresso em relação à quantidade. Quando o preço 
é fixo, a função receita tem comportamento linear. Porém, quando o preço se
relaciona com a quantidade (por meio de uma função de demanda, como
veremos no próximo módulo), assume outras formas, como, por exemplo, a de
uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de
nivelamento. Ele é importante na determinação da meta de produção e venda,
pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de lucro.
A função denominada função lucro total associa, a cada quantidade q
produzida e comercializada, a diferença entre as respectivas funções receita
total e o custo total. Sua forma é:
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de
uma utilidade, podendo assumir valores negativos (prejuízo), positivos (lucro),
ou até mesmo ser nula. Neste último caso, consideramos que custo e receita
se igualam.
Exemplo
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma
despesa fixa (que independe da quantidade produzida) de R$800,00. Cada unidade
produzida é vendida por R$14,00.Temos:
• Custo fixo: = R$800,00.
• Custo unitário: = R$10,00.
• Preço unitário de venda: = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida , colocamos
esses valores na expressão:
R
T
q
p
R
T
= p ⋅ q
q
p
Função lucro total 
(L
T
)
L
T
= R
T
− C
T
C
F
c
p
C
T
q
C
T
= C
F
+ c ⋅ q
Assim, temos:
A função receita total tem a forma:
Nesse caso, ela é expressa por:
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-
lo, começamos resolvendo a equação:
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades,
não há lucro nem prejuízo, pois receita e custo assumem o mesmo valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
ou
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento.
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo
e receita ocorre quando . À esquerda desse ponto, o custo supera a receita,
indicando, portanto, que, para (quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre
prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando que, para , ocorre
C
T
= 800 + 10 ⋅ q
R
T
= p ⋅ q
R
T
= 14 ⋅ q
R
T
= C
T
14q = 800 + 10q
14q − 10q = 800
4q = 800
q =
800
4
q = 200
C
T
(200) = 800 + 10 ⋅ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais 
R
T
(200) = 14 ⋅ 200 = 2.800 reais 
q = 200
q < 200
q > 200
lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Daí, temos:
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão
representadas as funções custo total e receita total, podemos comparar as variações
dessas três funções. Veja a seguir:
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal
no valor = 200 (isso significa que o lucro é igual a zero quando a quantidade é igual a
200), que é a mesma quantidade do ponto de nivelamento, pois, quando receita e
custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de
certa quantidade q dessa utilidade e para determinar qual quantidade deve ser
produzida e vendida para que determinada meta de lucro seja alcançada. Por exemplo,
se queremos determinar o lucro quando são produzidas e comercializadas 500
unidades, fazemos:
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o
lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, devemos resolver a equação:
Isto é:
L
T
L
T
= R
T
− C
T
L
T
= 14q − (800 + 10q)
L
T
= 14q − 800 − 10q
L
T
= 4q − 800
q
L
T
(500) = 4.500 − 800 = 2.000 − 800 = 1.200 reais 
L
T
(q) = 3.000
4q − 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
Mão na massa
Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida
q, em quilogramas, é dada por C(q) = 3.000 + 50q.
Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico que representa
essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
4q = 3.800
q =
3.800
4
q = 950

A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como a função é de primeiro grau, seu gráfico é parte de uma reta. Portanto, basta
tomarmos dois pontos para traçá-lo. Vamos considerar, para obtê-los, as
quantidades limites 0 e 200.
 reais
 reais
Considerando os pontos obtidos anteriormente, temos:
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são:
e
O seu ponto de nivelamento é:
E Imagem 5
q = 0 → C(0) = 3.000 + 50 ⋅ 0 = 3.000
q = 200 → C(200) = 3.000 + 50 ⋅ 200 = 3.000 + 10.000 = 13.000
C
T
= 4.000 + 12q
R
T
= 20q
A (125; 2.500)
B (600; 12.000)
C (600; 12.000)
D (500; 10.000)
E (125,1.500)
Parabéns! A alternativa D está correta.
O ponto de nivelamento é aquele em que . Portanto, obtemos a quantidade
(q) desse ponto resolvendo a equação abaixo:
.
Substituindo esse valor na função receita total (pode ser também na função custo
total), chegamos a:
 reais.
Logo, o ponto de nivelamento será dado por: (500; 10.000).
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são,
respectivamente:
Parabéns! A alternativa C está correta.
R
T
= C
T
R
T
= C
T
20q = 4.000 + 12q
8q = 4.000
q = 500
R
T
(500) = 20.500 = 10.000
A R$1.000,00 e R$50,00.
B R$5.000,00 e R$10,00.
C R$1.000,00 e R$25,00.
D R$5.000,00 e R$50,00.
E R$0,00 e R$30,00.
Parabéns! A alternativa C está correta.
O custofixo corresponde ao valor do custo total quando . Observe, no gráfico,
que esse valor é R$1.000,00 (valor do eixo vertical).
Já o custo variável unitário é a taxa de variação média (quando a função é de
primeiro grau) do custo para q variando de 0 até qualquer outro valor positivo.
Observe, no gráfico, que, quando , temos reais e, quando ,
temos reais. Portanto, a taxa de variação será dada por:
25 reais/unidade.
Questão 4
Dadas as funções custo total e receita total e , o gráfico
de sua função lucro total no intervalo é:
q = 0
q = 0 C
T
= 1.000 q = 200
C
T
= 6.000
ΔC
T
Δq
=
6.000−1.000
200−0
=
5.000
200
=
C
T
= 2.500 + 150q R
T
= 280q
0 ≤ q ≤ 100
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
Parabéns! A alternativa C está correta.
Primeiro, vamos obter a expressão que fornece o lucro total desse produto em
relação à sua quantidade produzida e vendida. Temos:
.
Escolhendo valores arbitrários para , tais como e , temos:
 reais
e
reais.
Localizando esses dois pontos no gráfico e traçando um segmento por eles,
obtemos o gráfico a seguir:
Questão 5
Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em
que são fabricadas 500 camisetas, o custo total de produção é de R$22.000,00. Já
no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas, esse custo passa a ser de
R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é
correto concluir que o custo fixo de produção desse modelo de camiseta é:
D Imagem 4
E Imagem 5
L
T
= R
T
− C
T
L
T
= 280q − (2.500 + 150q)
L
T
= 280q − 2.500 − 150q
L
T
= 130q − 2.500
q q = 0 q = 100
L
T
(0) = 130 ⋅ 0 − 2.500 = 0 − 2.500 = −2.500
L
T
(1.000) = 130 ⋅ 100 − 2.500 = 13.000 − 2.500 = 10.500
A R$14.000,00
B R$22.000,00
Parabéns! A alternativa A está correta.
O custo total tem a forma . Como a função é de primeiro grau, temos
. , e o custo unitário , nesse caso, é dado pela taxa de variação média do
custo total para qualquer intervalo. Considerando o intervalo ,
temos:
Agora, considerando, por exemplo, que o custo total para produzir 500 camisetas foi
de R$22.000,00, temos:
 reais.
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são,
respectivamente:
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a
quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro
seja igual a R$60.000?
C R$12.000,00
D R$8.000,00
E R$16.000,00
C
T
= C
F
+ C
V
C
V
= c q c
500 ≤ q ≤ 1.000
C =
ΔC
T
Δq
=
30.000−22.000
1.000−500
=
8.000
500
= 16
C
F
+ 16 ⋅ 500 = 22.000
C
F
+ 8.000 = 22.000
C
F
= 14.000
C = 50.000 + 400q R = 700q
q
A 367 ton.
B 350 ton.
C 338 ton.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para determinarmos a função lucro desse bem, devemos subtrair o custo da receita:
.
Igualando-se o lucro a R$60.000 e resolvendo a equação resultante, chegamos ao
valor solicitado:
 ton (aprox.).
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no
estudo da viabilidade de instalação de produção em determinadas filiais ou regiões.
Assim, as funções custo e receita são primordiais nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração –
Questão 13) As decisões sobre a localização de empresas são estratégicas e
integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de venda da
grande maioria dos bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é preciso que as
empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em determinada
localidade. O modelo padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A
figura a seguir apresenta, em um único gráfico, as curvas de custo total versus a
quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e
Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de
brinquedos. Sabe-se que a receita total é a mesma para as três localidades e que a
decisão com base no lucro esperado em cada localidade varia com a quantidade
produzida.
D 383 ton.
E 393 ton.
L = R − C
L = 700q − (50.000 + 400q)
L = 700q − 50.000 − 400q
L = 300q − 50.000
300q − 50.000 = 60.000
300q = 110.000
q = 367
_black
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a
quantidade mensal a ser produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades,
considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a
quantidade a ser produzida mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a
partir desse volume de produção, é a localidade que proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de
produção mensal inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que viabilizará maior
lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida
mensalmente for superior a 10.000 unidades, tendo em vista que, nas condições
apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é
produzir uma quantidade mensal exatamente igual a 5.000 unidades, considerando
que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma
empresa – cujo faturamento anual é de R$840 milhões, o custo unitário do produto é
de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por unidade – esteja estudando
alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar um aumento de 10% na
quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o
incremento no valor do lucro final é de:
Mostrar solução
A R$2 milhões
B R$14 milhões
C R$16,8 milhões
Parabéns! A alternativa B está correta.
Se o preço de venda é de e o faturamento (receita total) é de R$
$40.000.000,00, então a quantidade vendida é igual a 2. 
unidades ao ano. Com um aumento de nessa quantidade, a empresa espera
vender unidades, o que proporcionará um aumento de também no
faturamento, que deverá ir para R$924.000.000,00.
Antes, o custo variável era de 350 ∙ 2.000.000 = 700.000.000 reais.
Ocorrendo o aumento esperado de 10% na quantidade vendida (e produzida), o
custo variável irá para 350∙2.200.000 = 770.000.000 reais.
Observe que se espera um incremento de 84 milhões no faturamento e de 70
milhões no custo. No lucro, portanto, o incremento será de 14 milhões.
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de
produção (celular, automatizada e intermitente) e a receita de vendas de
determinado produto.
Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura
intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a manufatura celular é a preferível;
acima de 43.000, a manufatura automatizada é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam os
custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000, respectivamente, para as manufaturas
celular, automatizada e intermitente. A respeito das informações anteriores, conclui-
se que:
D R$70 milhões
E R$84 milhões
R$420, 00
840.000.000
420
= 000. 000
10%
2.200.000 10%
Parabéns! A alternativa B está correta.
A primeira afirmação é correta, pois podemos notar que, para cada um dos
intervalos citados, as formas de produção que geram menor custo são aquelas
cujos gráficos de custo estão abaixo dos demais, o que significa que geram maior
lucro (já que a função receita independe, nesse caso, da forma de produção).
A segunda também está correta, pois os pontos de equilíbrio para as diferentesformas de produção são aqueles em que os gráficos das respectivas funções custo
interceptam o gráfico da função receita.
No entanto, a segunda afirmativa não justifica a primeira, porque os pontos de
equilíbrio comparam cada modelo de produção com a receita e não entre si.
4 - Demanda e a oferta de produtos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a
partir do preço praticado.
A As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
B
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a
primeira.
C A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
D A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
E Ambas as afirmações são falsas.
Vamos começar!
De�nições das Funções: Demanda, Oferta e
Preço de Equilíbrio
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as
definições das funções: demanda, oferta e preço de equilíbrio. Vamos lá!
Análise das funções demanda e oferta
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a
demanda e a oferta. Delas deriva o preço de equilíbrio de mercado, que é peça
fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demanda ou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou serviço) a um
preço unitário é a soma das quantidades que todos os compradores do mercado
desejam e estão aptos a adquirir a esse preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma utilidade é
denominada função demanda dessa utilidade.

Q
D
Q
D
P
Q
D
P
A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade
demandada cai, pois o produto torna-se menos interessante para o consumidor.
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço
unitário é a soma das quantidades que todos os fornecedores ou produtores estão
aptos e dispostos a vender desse produto ao preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada função oferta
dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que
geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade ofertada aumenta,
pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece. Porém, se o preço cai, a
oferta também tende a cair.
Preço 
O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandada e ofertada se
igualam é denominado preço de equilíbrio de mercado ou, simplesmente, preço de
equilíbrio.
Preço superior ao de
equilíbrio
Preço inferior ao de
equilibrio
Q
O
Q
0
P
P
Q
0
P
P
Se o preço praticado for superior ao de
equilibrio, a demanda será inferior à
oferta e, dessa forma, haverá sobra do
produto no mercado.
Se o preço praticado for inferior ao de
equilíbrio, a oferta será maior que a
demanda, provocando falta ou escassez
do produto no mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio.
Representação grá�ca
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para
facilitar suas análises e a do ponto de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra uma
situação genérica que representa tais elementos.
Exemplo
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade ofertada dadas,
respectivamente, por:
e
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas
graficamente por um segmento de reta no intervalo designado. Portanto, para traçá-
las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo
considerado, para calcular os valores apresentados na tabela a seguir.
Preço (R$)
Quantidade
Demandada
Quantidade
Ofertada
Q
D
Q
0
Q
D
= 10.000 − 15p
Q
0
= −1.200 + 25p
P
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada.
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo
algebricamente, basta resolver a equação a seguir:
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma
das funções, demanda ou oferta. Substituindo-o na função demanda, temos:
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto, bem como as
funções demanda e oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta Sobra
Q
o
= Q
D
−1.200 + 25p = 10.000 − 15p
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
p =
11.200
40
p = 280 reais
Q
D
= 10.000 − 15.280 = 10.000 − 4.200 = 5.800 unidades 
Falta
À medida que os preços vão se
afastando de R$280,00 para valores
menores, a tendência é que haja falta
do produto no mercado, já que a
demanda superará a oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o
preço de equilíbrio, a oferta deverá
superar a demanda, portanto haverá
sobra desse produto no mercado.
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas
podem ser de outros tipos, como quadráticas, exponenciais, logarítmicas, entre outros
formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que fizemos há pouco pode ser realizado
quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam essas duas variáveis em
relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo
anterior, as funções demanda e oferta são obtidas por meio de processos estatísticos.
Esses, por sua vez, obtêm equações relacionando duas variáveis a partir de
levantamentos, para, assim, obter valores associados dessas variáveis.
Mão na massa
Questão 1
1. A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada por ,
em que é o seu preço por tonelada. O seu preço atual proporciona demanda de
80 toneladas. O valor de :
Parabéns! A alternativa D está correta.
Igualando a demanda a 80 toneladas, temos:
.

Q
D
Q
D
= 200 − 3p
p p
O
p
O
A é menor do que R$30,00.
B é maior do que R$50,00.
C está entre R$32,00 e R$37,00.
D está entre R$39,00 e R$45,00.
E está entre R$30,00 e R$32,00.
200 − 3p = 80
−3p = −120
p =
−120
−3
p = 40
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
e
O ponto de equilíbrio desse produto é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Igualando a demanda e a oferta, o preço de equilíbrio pode ser obtido da seguinte
forma:
.
A quantidade de equilíbrio pode ser dada pelo valor da demanda ou da oferta
quando .
Substituindo esse valor na função oferta, temos:
Portanto, o ponto de equilíbrio será: (100; 800).
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00.
Sabe-se que a função que relaciona sua quantidade demanda com seu preço é do
Q
D
= 3.600 − 28p
Q
O
= 20p − 1.200
A (100; 800)
B (120; 560)
C (800; 100)
D (560; 120)
E (560; 120)
Q
O
= Q
D
20p − 1.200 = 3.600 − 28p
20p + 28p = 3.600 + 1.200
48p = 4.800
p = 100
p = 100
Q
0
= 20 ⋅ 100 − 1.200 = 2.000 − 1.200 = 800
primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00 em seu preço unitário causa
uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando por D sua quantidade
demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que representa
corretamente a relação entre essas duas variáveis é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
.
Nessa forma, a é seu coeficiente angular e , seu intercepto. Como a função cai 25
unidades para cada aumento de R$1,00 no preço, então . Além disso, sabe-
se que quando . Então:
.
Logo, a função procurada é: .
Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preço
de forma linear. Sabe-se que a redução no preço de R$50,00 para R$40,00 aumenta a
quantidade vendida de 200 para250 unidades. Se denotarmos por a quantidade
vendida e por o preço do produto, a expressão que relaciona corretamente essas
variáveis é:
A D = −p + 1.300
B D = −25p + 2.350
C D = 25p − 2.350
D D = p − 1.300
E D = 21p + 6.500
D = ap + b
b
a = −25
D = 1.300 p = 42
1.300 = −25 ⋅ 42 + b
1.300 = −25 ⋅ 42 + b
1.300 + 1.050 = b
b = 2.350
D = −25p + 2.350
q
p
A q = −10p + 50
B q = 5p − 450
C q = 10p − 50
Parabéns! A alternativa D está correta.
O coeficiente angular dessa reta (função do primeiro grau) é a taxa de variação da
quantidade em relação ao preço. Então:
.
Como a equação dessa reta tem a forma , com e considerando
que é um de seus pontos, podemos escrever:
.
A expressão que relaciona corretamente as variáveis (p) e (q) para esse produto é,
portanto:
.
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
e
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores de preço para os
quais haverá sobra desse bem no mercado será dado pelo intervalo:
D q = −5p + 450
E q = 10p + 450
a
a =
250−200
40−50
=
50
−10
= −5
q = ap + b a = −5
(40, 250)
250 = −5.40 + b
250 = −200 + b
b = 450
q = −5p + 450
D S
D = 80 − 5p
S = 3p − 18
D S
A (0 < p < 16)
B (12,25 ≤ p < 16)
C (0 < p < 12,25)
D (3 < p < 5).
Parabéns! A alternativa B está correta.
Igualando as funções dadas, temos:
.
Para que a demanda seja positiva, o preço tem de ser menor que 16. Sendo
assim, o intervalo para o qual haverá sobra desse bem no mercado (a demanda será
menor que a oferta), a ponto de as duas funções, e , serem positivas é
.
Questão 6
Dadas (demanda) e (oferta), o preço de equilíbrio é
igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para determinar o preço de equilíbrio, devemos igualar as funções oferta e
demanda:
.
Assim, chegaremos à equação de segundo grau que possui as raízes — 15 e 6:
.
Como só nos interessa a raiz positiva, pois ela indicará o preço do produto, então o
(3 < p < 5).
E (0 < p < 3)
3p − 18 = 80 − 5p
8p = 98
p = 12, 25
D p
D S
(12, 25 ≤ p < 16)
D = −p
2
− 2p + 80 S = 7p − 10
A 4
B 5
C 6
D 7
E 8
7p − 10 = −p
2
− 2p + 80
p
2
+ 9p − 90 = 0
Como só nos interessa a raiz positiva, pois ela indicará o preço do produto, então o
preço de equilíbrio é igual a 6.
Teoria na prática
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa
utilidade dada em relação à sua quantidade vendida. Essa função pode ser expressa
na forma:
Em que:
 é o seu preço de venda unitário.
 é a quantidade comercializada.
Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise:
Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será representado
por uma semirreta. Nesse caso, quanto maior for a quantidade vendida, maior será o
lucro. E, se a função custo dessa utilidade também for de primeiro grau, podemos
concluir que, quanto maior for a quantidade produzida e vendida, maior será o lucro
obtido.
Nem sempre o preço é fixo; na maior parte dos casos, o preço do produto varia.
Essa variação geralmente pode ser expressa por uma função demanda. Nesse caso,
você sabe que, geralmente, as variáveis preço e quantidade variam em sentidos
inversos. Se a demanda está abaixo do esperado para um produto, seus
fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o número de consumidores
dispostos a consumi-lo aumente. De modo semelhante, se a demanda está alta,
pode ser que que haja aumento no preço.
A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos pensar
que o aumento do preço, por exemplo, aumentará a receita. Porém, se a quantidade
demandada do produto diminuir, o que garantirá o aumento da receita? Da mesma
forma, a diminuição do preço poderia nos levar a concluir pela diminuição da
receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no
preço tiver mais peso sobre a receita, o que podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e
vendida também aumentar. Se o aumento do preço provoca diminuição na
quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação matematicamente para
obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função demanda para
obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise
e qual sua importância na determinação de um nível de produção e venda que pode
levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário
de R$80,00. A sua quantidade demanda q, em unidades, relaciona-se com seu preço
de venda unitário p, em reais, através da função demanda:
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma:
_black
R
T
= p ⋅ q
p
q
q = 400 − p
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-
lo a partir da sua relação com a quantidade q dada pela função demanda. Tomando
essa função, podemos isolar a variável p, isto é, escrever p em função de q. Assim,
teremos:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A função de demanda para certo produto é , onde caixas são
demandadas quando é o preço por caixa.
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para obter a função receita total em função da quantidade , devemos, em primeiro
lugar, escrever a função demanda isolando a variável .
Temos, então:
.
Substituindo essa expressão na função (receita total) e aplicando a
C
T
= 6.000 + 80q
q + p = 400
Mostrar solução
q = 8.000 − p q
p
A R$1.560.000
B R$720.000
C R$1.980.000
D R$875.000
E R$8.000
q
p
p = 8.000 − q
R = p ⋅ q
Substituindo essa expressão na função (receita total) e aplicando a
propriedade distributiva, temos:
.
Para uma quantidade igual a 200 caixas, temos a receita dada por:
 reais.
Questão 2
O lucro referente à produção e venda de unidades de certo produto é dado por
 reais, para variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal
função, o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Como o lucro é expresso por uma função quadrática com , ou seja, seu gráfico
é uma parábola com concavidade voltada para baixo , seu valor máximo é a
coordenada do vértice . Portanto, o lucro máximo pode ser obtido da seguinte
forma:
Considerações �nais
R p q
R = (8.000 − q) ⋅ q
R = 8.000q − q
2
R = 8.000 ⋅ 200 − 200
2
= 1.560.000
q
L(q) = −q
2
+ 150q− 3.000 q
A R$2.000,00
B R$2.625,00
C R$3.000,00
D R$3.775,00
E R$4.250,00
a < 0
(∩)
y (y
v
)
y
v
=
−Δ
4a
=
−
b
2
− 4ac
4a
−
150
2
− 4 ⋅ (−1) ⋅ (−3.000)
4 ⋅ (−1)
=  2.625 reais.
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em
especial daqueles em cargo de gestão. Essas taxas nos ajudam a estimar o que
acontece com uma grandeza quando outra grandeza relacionada varia. Podemos
reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de uma grandeza que
acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras
situações onde esse conhecimento é aplicado. Neste estudo, vimos a aplicação direta
nas situações com custo de produção, receita e lucro (algo bem presente na vida de
muitos profissionais!). Também vimos a aplicação direta na relação de oferta de
demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática,
mas existem muitas outras! O importante é que, utilizando esses conhecimentos
como ferramentas, podemos tomar decisões mais acertadas em situações futuras.
Podcast
Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados ao
longo dos módulos.
Explore +
Se quiser gerar gráficos como usamos neste estudo, veja o software Geogebra, um
dos mais simples e mais usados em matemática.
Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.Matemática aplicada. 10. ed. Porto
Alegre: Bookman, 2006.
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de
Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning,
2012.

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