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Se dois sinais de entrada de polaridades opostas são 
aplicados, a operação é chamada de “entrada dupla”.
Se o mesmo sinal de entrada é aplicado a ambas as 
entradas, a operação é chamada de “modo-comum”.
Em uma operação com entrada simples, aplica-se 
um único sinal de entrada. No entanto, devido à cone-
xão emissor-comum, o sinal de entrada aciona ambos os 
transistores, resultando na saída em ambos os coletores.
Em uma operação com entrada dupla, aplicam-se 
dois sinais de entrada, sendo que a diferença das entradas 
resulta em saídas em ambos os coletores por causa da 
diferença dos sinais aplicados a ambas as entradas.
Em uma operação modo-comum, o sinal de entrada 
comum resulta em sinais opostos em cada coletor, e esses 
sinais se cancelam, de maneira que o sinal de saída resul-
tante é igual a zero. Na prática, os sinais opostos não se 
cancelam por completo, e o resultado é um pequeno sinal.
A principal característica do amplificador diferencial 
é o ganho muito grande quando sinais opostos são apli-
cados às entradas, em comparação com o ganho muito 
pequeno resultante de entradas comuns. A razão entre o 
ganho diferencial e o ganho de modo-comum é chamada 
de rejeição de modo-comum.
Polarização CC
Analisaremos primeiro a operação de polarização 
CC do circuito da Figura 10.9. Com entradas CA obtidas 
das fontes de tensão, a tensão CC em cada entrada está 
essencialmente conectada a 0 V, como mostra a Figura 
10.10. Com cada tensão de base em 0 V, a tensão de po-
larização CC do emissor-comum é:
VE = 0 V – VBE = – 0,7 V
A corrente de polarização CC de emissor é, então,
 
IE =
VE - ( - VEE)
RE
VEE - 0,7 V
RE
 
 
(10.1)
Supondo que os transistores estejam bem casados 
(como ocorreria em um circuito integrado), obtemos
 
IC1 = IC2 =
IE
2
 
 
(10.2)
o que resulta em uma tensão de coletor de:
VC1 = VC2 = VCC - ICRC = VCC -
IE
2
 RC 
 
(10.3)
EXEMPLO 10.1
Calcule as tensões e correntes CC no circuito da 
Figura 10.11.
Solução:
Equação 10.1:
IE =
VEE - 0,7 V
RE
=
9 V - 0,7 V
3,3 k
2,5 mA 
A corrente de coletor é então
Equação 10.2:
IC =
IE
2
=
2,5 mA
2
= 1,25 mA 
VB = 0 V
+VCC
IE
2
≅IC
IE
2
RE
−VEE
IE
IE
2
IE
2
≈IC RC
VC1
Q1 Q2
VE
VC2
RC
VB = 0 V
Figura 10.10 Polarização CC do circuito amplificador 
diferencial. 
, ,
,
Figura 10.11 Circuito amplificador diferencial para o 
Exemplo 10.1.
508 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
resultando em uma tensão de coletor de
Equação 10.3:
VC = VCC – ICRC = 9 V – (1,25 mA)(3,9 kΩ) ≈ 4,1 V
A tensão de emissor-comum é, portanto, – 0,7 V, en-
quanto a tensão de polarização do coletor está próxima 
de 4,1 V para ambas as saídas.
Operação CA do circuito
Uma conexão CA de um amplificador diferencial 
é mostrada na Figura 10.12. Sinais de entrada separados 
são aplicados como Vi1 e Vi2, com saídas separadas resul-
tantes Vo1 e Vo2. Para realizar a análise CA, redesenhamos 
o circuito na Figura 10.13. Cada transistor é substituído 
por seu equivalente CA.
Ganho de tensão CA com saída simples Para 
calcular o ganho de tensão CA com saída simples, Vo/Vi, apli-
que sinal a uma entrada com a outra ligada ao terra, como 
mostra a Figura 10.14. O equivalente CA dessa conexão 
está desenhado na Figura 10.15. A corrente de base CA pode 
ser calculada utilizando-se a Lei das Tensões de Kirchhoff 
(LTK) para malha de entrada na base 1. Supondo-se que os 
dois transistores estão bem casados, então
Ib1 = Ib2 = Ib
ri1 = ri2 = ri = βre
Com RE muito grande (idealmente infinita), o cir-
cuito para obtenção da equação pela LTK é simplificado 
para o da Figura 10.16, a partir do qual podemos escrever
Vi1 – Ibri – Ibri = 0
Figura 10.13 Equivalente CA do circuito amplificador diferencial.
−VEE
Q2
VE Vi2Vi1
Vo1 Vo2
+VCC
RE
RCRC
Q1
Figura 10.12 Conexão CA do amplificador diferencial.
RE
+VCC
–VEE
Vi1
Q1 Q2
Vo1
RC RC
= 0Vi2
Figura 10.14 Conexão para calcular AV1 = Vo1/Vi1. 
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 509
de maneira que
Ib =
Vi1
2ri
=
Vi
2bre
 
Se também assumirmos que 
β1 = β2 = β
então,
 
IC = bIb = b
Vi
2bre
=
Vi
2re
 
 
e a magnitude da tensão de saída em cada coletor é
Vo = ICRC =
Vi
2re
 RC =
RC
2re
 Vi 
e o valor do ganho de tensão com entrada simples em 
cada coletor é
 
Av =
Vo
Vi
=
RC
2re
 
 
(10.4)
EXEMPLO 10.2
Calcule a tensão de saída simples Vo1 para o circuito 
da Figura 10.17.
Solução: 
Os cálculos de polarização CC fornecem:
IE =
VEE - 0,7 V
RE
=
9 V - 0,7 V
43 k
= 193 m A
Logo, a corrente CC de coletor é 
IC =
IE
2
= 96,5 mA 
de maneira que
VC = VCC – ICRC = 9 V – (96,5 µA)(47 kΩ) = 4,5 V
O valor de re é, então,
re =
26
0,0965
269 
Vi1
Ib1 Vo1 Vo2
Ib2
= 0Vi2ri2
RE
ri1 RC RC
IC1 IC2
β 1 Ib1 β 2 Ib2
Figura 10.15 Equivalente CA de circuito da Figura 10.14.
Q1 Q2
RC
Vo
+ 9 V
– 9 V
47 kΩ 47 kΩ
43 kΩ
20 kΩ
Vi1 = 2 mV
= ri2 =ri1
75= β2 =β1
Figura 10.17 Circuito para os exemplos 10.2 e 10.3.
Vi1
RE ≅ ∞
= IbIb1
= riri1
= Vi
= IbIb2
= riri2
+
–
Figura 10.16 Circuito parcial para o cálculo de Ib.
510 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
O valor do ganho de tensão CA pode ser calculado pela 
Equação 10.31:
Av =
RC
2re
=
(47 k )
2(269 )
= 4,78
o que proporciona uma tensão CA de saída de magnitude
Vo = AvVi = (87,4)(2 mV) = 174,8 mV = 0,175 V
Ganho de tensão CA com saída dupla Uma 
análise semelhante pode ser usada para mostrar que, para a 
condição de sinais aplicados a ambas as entradas, o valor do 
ganho de tensão diferencial é 
 
Ad =
Vo
Vd
=
RC
re
 
 
(10.5)
onde Vd = Vi1 – Vi2. 
Circuito de operação em modo-comum
Embora um amplificador diferencial forneça grande 
amplificação sobre a diferença dos sinais aplicada a ambas 
as entradas, ele também deve proporcionar uma amplifi-
cação pequena do sinal comum a ambas as entradas. Uma 
conexão CA mostrando uma entrada comum a ambos os 
transistores é apresentada na Figura 10.18. O circuito 
equivalente CA está desenhado na Figura 10.19, e a partir 
dele podemos escrever
Ib =
Vi - 2(b + 1)IbRE
ri
 
que pode ser reescrito como
Ib =
Vi
ri + 2(b + 1)RE
 
A magnitude da tensão de saída é, portanto,
Vo = ICRC = bIbRC =
bViRC
ri + 2(b + 1)RE
 
o que fornece uma amplitude de ganho de tensão de:
 
Ac =
Vo
Vi
=
bRC
ri + 2(b + 1)RE
 
 
(10.6)
EXEMPLO 10.3
Calcule o ganho de modo-comum para o circuito am-
plificador da Figura 10.17. 
Solução:
Equação 10.6: 
Ac =
Vo
Vi
=
bRC
ri + 2(b + 1)RE
=
75(47 k )
20 k + 2(76)(43 k )
= 0,54 
Figura 10.19 Circuito CA da conexão modo-comum.
Figura 10.18 Conexão modo-comum.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 511
Uso de fonte de corrente constante
Um bom amplificador diferencial apresenta um 
ganho diferencial muito grande Ad, que é muito maior do 
que o ganho de modo-comum Ac. A capacidade de rejeição 
de modo-comum do circuito pode ser consideravelmente 
melhorada fazendo-se o ganho de modo-comum o menor 
possível (idealmente, 0). Pela Equação 10.6, vemos que 
quanto maior for RE, menor será Ac. Um método comum de 
aumentar o valor CA de RE é utilizar um circuito de fonte 
de corrente constante. A Figura 10.20 mostra um ampli-
ficador diferencial com fonte de corrente constante para 
fornecer um valor elevado de resistência entre o emissor-
-comum e o terra CA. O principal melhoramento desse 
circuito em relação ao da Figura10.9 é a impedância CA 
muito maior para RE obtida pelo uso da fonte de corrente 
constante. A Figura 10.21 mostra o circuito CA equivalente 
para o circuito da Figura 10.20. Uma fonte de corrente 
constante utilizada na prática é mostrada como uma alta 
impedância, em paralelo com a fonte de corrente constante.
Figura 10.20 Amplificador diferencial com fonte de 
corrente constante.
EXEMPLO 10.4
Calcule o ganho de modo-comum para o amplificador 
diferencial da Figura 10.22.
Solução: 
Usar RE = ro = 200 kΩ fornece:
Ac =
bRC
ri + 2(b + 1)RE
=
75(10 k )
11 k + 2(76)(200 k )
= 24,7 × 10 3 
10.3CIRCUITOS AMPLIFICADORES 
DIFERENCIAIS BiFET, 
BiMOS E CMOS
Embora a seção anterior tenha apresentado uma 
introdução para o amplificador diferencial usando disposi-
tivos bipolares, unidades comercialmente disponíveis tam-
bém utilizam transistores JFET e MOSFET para construir 
esses tipos de circuito. Um circuito integrado construído 
tanto com transistores bipolares (Bi) quanto com transis-
tores de efeito de campo de junção (FET) é chamado de 
circuito BiFET. Um circuito integrado construído tanto 
com transistores bipolares (Bi) quanto com transistores 
MOSFET (MOS) é chamado de circuito BiMOS. Por fim, 
um circuito construído com transistores MOSFET de tipos 
opostos é um circuito CMOS.
O CMOS é uma forma de circuito comum em circui-
tos digitais e usa transistores MOSFET tipo intensificação 
tanto de canal n quanto de canal p (Figura 10.23). Esse 
circuito MOSFET complementar ou CMOS utiliza esses 
transistores de tipo oposto (ou complementar). A entrada 
Vi é aplicada a ambas as portas com a saída tomada dos 
drenos conectados. Antes de abordar a operação do circuito 
CMOS, repassaremos o funcionamento dos transistores 
MOSFET tipo intensificação.
Operação nMOS ligado/desligado
A curva característica de dreno de um MOSFET 
tipo intensificação de canal n ou um transistor nMOS é 
mostrada na Figura 10.24(a). Com 0 V aplicado entre porta 
e fonte, não há corrente de dreno. Somente quando VGS é 
aumentada e ultrapassa o valor de limiar do dispositivo VTh, 
gera-se alguma corrente. Com uma entrada de, digamos, 
Figura 10.21 Equivalente CA do circuito da Figura 10.20.
512 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
+5 V, o dispositivo nMOS está totalmente ligado com 
corrente ID presente. Em resumo:
Uma entrada de 0 V deixa o nMOS “desligado”, 
enquanto uma entrada de +5 V liga o nMOS.
Operação pMOS ligado/desligado
A curva característica de dreno para um MOSFET 
de canal p ou um transistor pMOS é mostrada na Fi-
gura 10.24(b). Quando se aplica 0 V, o dispositivo está 
“desligado” (não há presença de corrente), enquanto 
para uma entrada de –5 V (além da tensão limiar), o 
dispositivo é “ligado” com uma corrente de dreno pre-
sente. Em resumo:Figura 10.23 Circuito inversor CMOS. 
−VTh
EmVGS = 0 V
ID = 0 (dispositivo “desligado”)
EmVGS = −5 V
ID = está presente 
 (dispositivo “ligado”)
0
VGS (V)
(b)
pMOS
ID (mA)ID (mA)
nMOS
VGS (V)
+VTh0
EmVGS = +5 V
ID = está presente 
 (dispositivo “ligado”)
Em VGS = 0 V
ID = 0 (dispositivo “desligado”)
(a)
Figura 10.24 Curvas características do MOSFET tipo intensificação que mostram os estados ligado e desligado: (a) nMOS; (b) pMOS.
10 kΩ
+9 V
Q1 Q2
Vi
Q3
5,1 kΩ
−9 V
R2
8,2 kΩR1
1 kΩ
=β 1 β 2 = β 75=
ri1= ri2 = ri 11 kΩ=
Q3
=ro 200 kΩ
β 3 =75
10 kΩ
Figura 10.22 Circuito para o Exemplo 10.4.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 513
VGS = 0 V deixa o pMOS “desligado”; VGS = –5 V liga 
o pMOS.
Verificaremos a seguir como o circuito CMOS real 
da Figura 10.25 funciona para uma entrada de 0 V ou +5 V.
Entrada de 0 V 
Quando aplicamos 0 V como entrada para o circuito 
CMOS, fornecemos 0 V para ambas as portas dos tran-
sistores nMOS e pMOS. A Figura 10.25(a) mostra que
Para nMOS (Q1):
VGS = Vi – 0 V = 0 V – 0 V = 0 V
Para pMOS (Q2):
VGS = Vi – (+5 V) = 0 V – 5 V = –5 V
Uma entrada de 0 V em um transistor nMOS Q1 
deixa esse dispositivo “desligado”. A mesma entrada de 
0 V, no entanto, resulta na tensão porta-fonte do transistor 
pMOS Q2 igual a –5 V (porta em 0 V é 5 V menor do que 
a fonte em +5 V), o que faz com que esse dispositivo seja 
ligado. A saída Vo é, então, +5 V.
Entrada de +5 V
Quando Vi = +5 V, ela fornece +5 V para ambas as 
portas. A Figura 10.25(b) mostra que 
Para nMOS (Q1):
VGS = Vi – 0 V = +5 V – 0 V = +5 V
Para pMOS (Q2):
VGS = Vi – (+5 V) = +5 V – 5 V = 0 V
Essa entrada faz com que o transistor Q1 seja ligado 
e o transistor Q2 se mantenha desligado, com a saída 
próxima de 0 V, através da condução do transistor Q1. 
A conexão CMOS da Figura 10.23 funciona como um 
inversor lógico com Vo oposta a Vi, tal como mostra a 
Tabela 10.1.
Os circuitos utilizados a seguir para mostrar os vários 
circuitos multidispositivos são, na maior parte, simbóli-
cos, uma vez que os circuitos reais utilizados em CIs são 
muito mais complexos. A Figura 10.26 mostra um circuito 
BiFET com transistores JFET nas entradas e transistores 
bipolares formando a fonte de corrente (usando um circuito 
Desligado
Desligado Ligado
Ligado
Figura 10.25 Operação de circuito CMOS: (a) saída +5 V, (b) saída 0 V.
+V
Vo
Vi2
−V
Vi1
Figura 10.26 Circuito amplificador diferencial BiFET. 
Tabela 10.1 Operação de circuito CMOS.
 V i (V) Q1 Q2 V o )V( 
 0 5 
 5 0 Ligado
Ligado
Desligado
Desligado
514 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
espelho de corrente). O espelho de corrente assegura que 
cada JFET funcione com a mesma corrente de polarização. 
Em operação CA, o JFET fornece uma alta impedância de 
entrada (bem mais elevada do que a obtida utilizando-se 
somente transistores bipolares).
A Figura 10.27 mostra um circuito com transistores 
MOSFET de entrada e transistores bipolares para as fon-
tes de corrente; neste caso, a unidade BiMOS apresenta 
impedância de entrada ainda mais elevada do que a BiFET 
por causa do uso de transistores MOSFET.
Por fim, um circuito amplificador diferencial pode ser 
construído a partir de transistores MOSFET complemen-
tares, como mostra a Figura 10.28. Os transistores pMOS 
fornecem as entradas opostas, ao passo que os transistores 
nMOS operam como a fonte de corrente constante. Uma 
única saída é retirada do ponto comum entre transistores 
nMOS e pMOS de um lado do circuito. Esse tipo de ampli-
ficador diferencial CMOS é particularmente adequado para 
o funcionamento com baterias devido ao baixo consumo 
de energia de um circuito CMOS.
10.4 FUNDAMENTOS BÁSICOS 
DE AMP-OPS
Um amplificador operacional é um amplificador de 
ganho muito alto com uma impedância de entrada muito 
alta (normalmente alguns megaohms) e uma baixa impe-
dância de saída (menor do que 100 Ω). O circuito básico é
construído utilizando-se um amplificador diferencial com 
duas entradas (positiva e negativa) e ao menos uma saída. 
A Figura 10.29 mostra uma unidade de amp-op básica. 
Como já discutimos, a entrada positiva (+) produz uma 
saída que está em fase com o sinal aplicado, enquanto um 
sinal de entrada negativa (–) resulta em uma saída com 
polaridade oposta. O circuito CA equivalente do amp-op é 
mostrado na Figura 10.30(a). Como podemos ver, o sinal 
de entrada aplicado entre os terminais de entrada enxerga 
uma impedância de entrada, Ri, normalmente muito alta. A 
tensão de saída é mostrada como sendo o ganho do ampli-
ficador multiplicado pelo sinal de entrada, tomado através 
de uma impedância de saída, Ro, normalmente muito baixa. 
Um circuito amp-op ideal, mostrado na Figura 10.30(b), 
teria impedância de entrada infinita, impedância de saída 
nula e um ganho de tensão infinito.
Amp-op básico
A conexão de circuito básico que utiliza um amp-op 
é mostrada na Figura 10.31. Esse circuito opera como um 
multiplicador de ganho constante. Um sinal de entrada V1 é 
aplicado através do resistor R1 à entrada negativa. A saída é, 
então, conectada de volta à mesma entrada negativa através 
do resistor Rf. A entrada positiva é conectada ao terra. Visto 
que o sinal V1 é aplicado exclusivamente à entrada negativa, 
a saída resultante é de fase oposta ao sinal de entrada. A Fi-
gura 10.32(a) mostra o amp-op substituído por seu circuito 
CA equivalente. Se utilizarmos o circuito equivalente ideal 
para o amp-op, substituindo Ri por uma resistência infinita 
Vo
I
+V
Vi2
−V
Vi1
Figura 10.27 Circuito amplificador diferencial BiMOS.
Entrada inversora
Saída
Entrada não inversora
Amp-op
Figura 10.29 Amp-op básico.
pMOS
nMOS
Figura 10.28 Amplificador diferencial CMOS.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 515
e Ro poruma resistência nula, o circuito CA equivalente 
será aquele mostrado na Figura 10.32(b). O circuito seria, 
a seguir, redesenhado como mostra a Figura 10.32(c), e a 
partir dele a análise de circuito é efetuada.
Utilizando-se superposição, é possível calcular a 
tensão V1 em termos dos componentes devido a cada uma 
das fontes. Para a fonte V1 apenas (–AvVi fixado em zero),
Vi1 =
Rf
R1 + Rf
V1 
Para a fonte –AvVi apenas (V1 fixado em zero),
Vi2 =
R1
R1 + Rf
(-AvVi )
A tensão total Vi é, portanto,
Vi = Vi1 + Vi2
=
Rf
R1 + Rf
V1 +
R1
R1 + Rf
(-AvVi )
Amp-op
Figura 10.31 Conexão amp-op básica.
Ri
Ro
Ad Vd
(a)
Ad Vd
(b)
VdVoVd Vo
Figura 10.30 Equivalente CA do circuito amp-op: (a) real; (b) ideal.
(c)
Figura 10.32 Operação do amp-op como um multiplicador de ganho constante: (a) circuito CA equivalente do amp-op; 
(b) circuito equivalente do amp-op ideal; (c) circuito equivalente redesenhado.
516 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
que pode ser resolvida para Vi como
 
Vi =
Rf
Rf + (1 + Av)R1
V1 
 
(10.7)
Se Av >> 1 e AvR1 >> Rƒ, como normalmente ocorre, 
então
Vi =
Rf
AvR1
V1 
Calculando Vo/Vi, obtemos
Vo
Vi
=
-AvVi
Vi
=
-Av
Vi
 
RfV1
AvR1
= -
Rf
R1
 
V1
Vi
 
de modo que
 
Vo
V1
= -
Rf
R1
 
 
(10.8)
O resultado da Equação 10.8 mostra que a razão 
da tensão de saída global pela tensão de entrada depende 
somente dos valores dos resistores R1 e Rƒ — desde que 
Av seja muito grande.
Ganho unitário
Se Rƒ = R1, o ganho é
= -
Rf
R1
= -1 Ganho de tensão
de maneira que o circuito fornece um ganho de tensão uni-
tário com inversão de fase de 180°. Se Rƒ for exatamente 
igual a R1, o ganho de tensão é exatamente 1.
Ganho constante
Se Rƒ for múltiplo de R1, o ganho global do amplifi-
cador é uma constante. Por exemplo, se Rƒ = 10R1, então
Ganho de tensão = -
Rf
R1
= -10 
e o circuito fornece um ganho de tensão de exatamente 
10 com uma inversão de fase de 180° do sinal de entrada. 
Se selecionarmos valores precisos de resistores para Rƒ e 
R1, poderemos obter uma ampla faixa de ganhos, sendo o 
ganho tão preciso quanto os resistores utilizados e apenas 
levemente afetado pela temperatura e por outros fatores 
do circuito.
Terra virtual
A tensão de saída é limitada pela tensão de alimenta-
ção, normalmente em alguns volts. Como já mencionado, 
os ganhos de tensão são muito altos. Se, por exemplo, 
Vo = –10 V e Av = 20.000, a tensão de entrada é
Vi =
-Vo
Av
=
10 V
20.000
= 0,5 mV 
Se o circuito tiver um ganho global (Vo/V1) de, di-
gamos, 1, o valor de V1 será 10 V. Comparado a todas as 
outras tensões de entrada e saída, o valor de Vi é então 
pequeno e pode ser considerado 0 V.
Observe que, embora Vi ≈ 0 V, ela não é exatamente
0 V. (A tensão de saída é de alguns volts, por causa da en-
trada muito pequena Vi multiplicada por um ganho muito 
grande Av.) O fato de que Vi ≈ 0 V leva a um conceito de
que na entrada do amplificador existe um curto-circuito 
virtual ou um terra virtual.
O conceito de curto virtual implica que, embora a 
tensão seja quase 0 V, não há corrente da entrada do am-
plificador para o terra. A Figura 10.33 descreve o conceito 
de terra virtual. A linha mais grossa é utilizada para indicar 
que podemos considerar a existência de um curto com 
Vi ≈ 0 V, mas um curto virtual, pois nenhuma corrente
circula do curto para o terra. A corrente circula somente 
através dos resistores R1 e Rƒ, como mostrado.
Utilizando o conceito de terra virtual, podemos es-
crever equações para a corrente I, como segue:
I =
V1
R1
= -
Vo
Rf
 
a qual pode ser calculada para Vo/V1:
Vo
V1
= -
Rf
R1
 
O conceito de terra virtual, que depende de Av 
ser muito grande, permitiu uma solução simples para 
Figura 10.33 Terra virtual em um amp-op.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 517
a determinação do ganho de tensão global. Devemos 
compreender que, embora o circuito da Figura 10.33 não 
esteja fisicamente correto, ele nos permite determinar 
mais facilmente o ganho de tensão global.
10.5 CIRCUITOS PRÁTICOS 
COM AMP-OPS
O amp-op pode ser conectado em um grande nú-
mero de circuitos para estabelecer várias possibilidades 
operacionais. Nesta seção, abordaremos algumas das 
conexões mais comuns destes circuitos.
Amplificador inversor
O circuito amplificador de ganho constante mais 
amplamente utilizado é o amplificador inversor, mostrado 
na Figura 10.34. A saída é obtida pela multiplicação da 
entrada por um ganho fixo ou constante, definido pelo 
resistor de entrada (R1) e pelo resistor de realimentação 
(Rƒ) — essa saída também é invertida em relação à entrada. 
Aplicando a Equação 10.8 podemos escrever
Vo = -
Rf
R1
 V1 
EXEMPLO 10.5
Se o circuito da Figura 10.34 tiver R1 = 100 kΩ e 
Rƒ = 500 kΩ, qual a tensão de saída resultante para uma
entrada de V1 = 2 V?
Solução:
Equação 10.8: 
 Vo = -
Rf
R1
 V1 = -
500 k
100 k
 (2 V) = 10 V 
Amplificador não inversor
A conexão da Figura 10.35(a) mostra um circuito 
com amp-op que trabalha como um amplificador não in-
versor ou um multiplicador de ganho constante. Observe 
que a conexão de amplificador inversor é mais amplamente 
utilizada por ter melhor estabilidade em frequência (a ser 
discutido mais adiante). Para determinar o ganho de tensão 
do circuito, podemos utilizar a representação equivalente 
mostrada na Figura 10.35(b). Note que a tensão através 
de R1 é V1, uma vez que Vi ≈ 0 V. Isso também vale para
a tensão de saída através do divisor de tensão entre R1 e 
Rƒ, de maneira que
V1 =
R1
R1 + Rf
Vo 
o que resulta em
 
Vo
V1
=
R1 + Rf
R1
= 1 +
Rf
R1
 
 
(10.9)
Rf
–
Amp-op
V1
Rf
R1
( )V1Vo +=
Rf
R1
1 
(a)
Vi ≈ 0
V1
(b)
+
VoR1
Figura 10.35 Amplificador de ganho constante não inversor.
–
Amp-op
+
V1
Rf
R1
V1Vo −=
Rf
R1
Figura 10.34 Amplificador inversor de ganho constante.
518 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
EXEMPLO 10.6
Calcule a tensão de saída de um amplificador não 
inversor (como o da Figura 10.35) para valores de 
V1 = 2 V, Rƒ = 500 kΩ e R1 = 100 kΩ.
Solução:
Equação 10.9: 
Vo = a1 +
Rf
R1
bV1 = a1 +
500 k
100 k
b (2 V)
= 6(2 V) = 12 V 
Seguidor unitário
O circuito seguidor unitário mostrado na Figura 
10.36(a) fornece um ganho unitário (1) sem inversão de 
polaridade ou fase. Pelo circuito equivalente [veja a Figura 
10.36(b)] fica claro que
 Vo = V1 (10.10)
e que a saída tem a mesma polaridade e magnitude da 
entrada. O circuito opera como um circuito seguidor de 
emissor ou seguidor de fonte, só que o ganho é exata-
mente unitário.
Amplificador somador
Provavelmente, o mais utilizado dos circuitos com 
amp-op é o circuito amplificador somador mostrado na 
Figura 10.37(a). O circuito mostra um circuito ampli-
ficador somador de três entradas que fornece um meio 
de somar algebricamente (adicionando) três tensões, 
cada uma multiplicada por um fator de ganho constante. 
Utilizando-se a representação equivalente, mostrada na 
Figura 10.37(b), a tensão de saída pode ser escrita em 
termos das entradas como
 
Vo = -a
Rf
R1
V1 +
Rf
R2
V2 +
Rf
R3
V3b 
 
(10.11)
Em outras palavras, cada entrada adiciona uma ten-
são à saída multiplicada pelo seu correspondente fator 
de ganho. Se mais entradas forem utilizadas, cada uma 
acrescentará um componente adicional à saída.
Amp-op
Figura 10.37 (a) Amplificador somador; (b) circuito equivalente com terra virtual.
Amp-op
Figura 10.36 (a) Seguidor unitário; (b) circuito equivalente com terra virtual.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 519
EXEMPLO 10.7
Calcule a tensão de saída de um amplificador somador 
com amp-op para os conjuntos de tensões e resistores 
a seguir. Use Rƒ = 1 MΩ em todos os casos.
a) V1 = +1 V, V2 = +2 V, V3 = +3 V, R1 = 500 kΩ,
 R2 = 1 MΩ, R3 = 1 MΩ.
b) V1 = –2 V, V2 = +3 V, V3 = +1 V, R1 = 200 kΩ,
 R2 = 500 kΩ, R3 = 1 MΩ.
Solução: 
Utilizando a Equação 10.11, obtemos:
a)
 
Vo = - c
1000 k
500 k
 (+1 V) +
1000 k
1000 k
 (+2 V)
+
1000 k
1000 k
 (+3 V) d
= -[2(1V) + 1(2 V) + 1(3 V)] = 7 V
 
b) 
Vo = - c
1000 k
200 k
 (-2 V) +
1000 k
500 k
 (+3 V)
+
1000 k
1000 k
 (+1 V) d
= -[5(-2 V) + 2(3 V) + 1(1 V)] = 3 V 
Integrador
Até aqui, os componentes de entrada e os componen-
tes de realimentação foram resistores. Se o componente 
de realimentação utilizado for um capacitor, como mostra 
a Figura 10.38(a), a conexão resultante será chamada de 
integrador. O circuito equivalente, com terra virtual [Fi-
gura 10.38(b)], mostra que uma expressão para a tensão 
entre entrada e saída pode ser deduzida em função da 
corrente I, da entrada para a saída. Lembramos que terra 
virtual significa que podemos considerar que a tensão 
na junção de R e XC é a mesma do terra (uma vez que 
Vi ≈ 0 V), mas nenhuma corrente flui para o terra nesse
ponto. A impedância capacitiva pode ser expressa por
XC =
1
jvC
=
1
sC
 
onde s = jω corresponde à notação de Laplace.* Calcu-
lando para Vo/V1, obtemos:
I =
V1
R
= -
Vo
XC
=
-Vo
1>sC
= -sCVo 
 
Vo
V1
=
-1
sCR
 
 
(10.12)
A expressão anterior pode ser reescrita no domínio 
do tempo como:
 
vo(t) = -
1
RC
 v1(t) dt 
 
(10.13)
A Equação 10.13 mostra que a saída é a integral da 
entrada, invertida e um multiplicador de valor 1/RC. A ca-
pacidade de integrar um dado sinal resulta no computador 
analógico, com a capacidade de resolver equações dife-
renciais e, portanto, de resolver eletricamente a operação 
de sistemas físicos análogos.
A operação de integração é uma soma, uma vez que 
se constitui da soma da área sob uma forma de onda ou 
sob uma curva em um período de tempo. Se uma tensão 
fixa for aplicada como entrada a um circuito integrador, 
a Equação 10.13 mostra que a tensão de saída cresce ao 
longo de um período de tempo, fornecendo uma tensão 
Amp-op
Figura 10.38 Integrador.
* A notação de Laplace permite expressar operações diferenciais ou integrais, que fazem parte da teoria de Cálculo, utilizando o operador s. Leitores não 
familiarizados com essa teoria devem ignorar etapas que levem à Equação 10.13 e seguir o significado físico descrito adiante.
520 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
em forma de rampa. Essa equação mostra que a rampa 
de tensão de saída (para uma tensão de entrada fixa) é 
oposta em polaridade à tensão de entrada e é multiplicada 
pelo fator 1/RC. Embora o circuito da Figura 10.38 possa 
operar com vários tipos de sinal de entrada, os exemplos a 
seguir utilizarão apenas uma tensão de entrada fixa, o que 
resultará em uma rampa de tensão de saída.
Como exemplo, considere uma tensão de entrada, 
V1 = 1 V, para o circuito integrador da Figura 10.39(a). 
O fator de escala de 1/RC é
-
1
RC
=
1
(1 M )(1 mF)
= - 1 
de modo que a saída é uma rampa de tensão negativa, 
como mostra a Figura 10.39(b). Se o fator de escala for 
alterado, fazendo-se R = 100 kΩ, por exemplo, então
-
1
RC
=
1
(100 k )(1 mF)
= -10 
e a saída é, portanto, uma rampa de tensão mais inclinada, 
como mostra a Figura 10.39(c).
Mais de uma entrada pode ser aplicada a um in-
tegrador, como mostra a Figura 10.40, com a operação 
resultante dada por:
vo(t) = - c
1
R1C
v1(t) dt +
1
R2C
v2(t) dt
+
1
R3C
v3(t) dt d 
 
 
(10.14)
Um exemplo de integrador somador utilizado em um 
computador analógico é dado na Figura 10.40. O circuito 
real é mostrado com resistores de entrada e capacitor de 
realimentação, enquanto a representação do computador 
analógico indica apenas o fator de escala para cada entrada.
Diferenciador
Um circuito diferenciador é mostrado na Figura 
10.41. Embora não seja tão útil quanto os circuitos já 
abordados, ainda assim o diferenciador fornece uma ope-
ração, cuja relação resultante para o circuito é
 
vo(t) = -RC 
dv1(t)
dt
 (10.15)
na qual o fator de escala é –RC.
10.6 ESPECIFICAÇÕES DO AMP-OP 
— PARÂMETROS DE OFFSET CC
Antes de abordarmos várias aplicações práticas que 
utilizam amp-ops, devemos nos familiarizar com alguns 
dos parâmetros utilizados para definir a operação da uni-
dade. Essas especificações incluem tanto características 
CC quanto características em frequência ou transitórias, 
abordadas a seguir.
Tensões e correntes de offset
Embora a saída do amp-op deva ser 0 V quando a 
entrada for 0 V, na prática, há alguma tensão de offset na 
saída. Por exemplo, se aplicarmos 0 V a ambas as entradas 
do amp-op e então medirmos 26 mV (CC) na saída, essa 
tensão será indesejada e gerada pelo circuito, e não pelo 
sinal de entrada. Mas, visto que o usuário pode construir 
o circuito amplificador para operar com vários ganhos e 
polaridades, o fabricante especifica uma tensão de offset de 
entrada para o amp-op. A tensão de offset de saída é, então, 
calculada a partir da tensão de offset de entrada e do ganho 
do amplificador, conforme determinado pelo usuário.
A tensão de offset de saída pode ser afetada por duas 
condições de circuito independentes: (1) uma tensão de 
offset de entrada, VIO, e (2) uma corrente de offset devido 
à diferença nas correntes resultantes nas entradas positiva 
(+) e negativa (–).
Amp-op
+
–
(a)
R
(b)
C = 1 Fμ
(t)v1
(t)vo
= 1 V
−1 V
0 V
( )
RC
− =1 1−
RC
1 MΩ
0 V
−10 V
( )− =1 10−
(c)
Figura 10.39 Operação de integrador com entrada em degrau. 
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 521
Tensão de offset de entrada, VIO As folhas de 
dados do fabricante fornecem um valor de VIO para o amp-
-op. Para determinar o efeito dessa tensão de entrada sobre 
a saída, considere a conexão mostrada na Figura 10.42. 
Utilizando Vo = AVi, podemos escrever
Vo = AVi = AaVIO - Vo
R1
R1 + Rf
b 
Resolvendo para Vo, temos
Vo = VIO
A
1 + A 3 R1>(R1 + Rf) 4
VIO
A
A 3 R1>(R1 + Rf) 4
 
+
–
Vo
= 200 kΩR1
= 100 kΩR2
= 1 MΩR3
C = 1 Fμ
(b)
V1
V2
V3
+
–
vo (t)
v1 (t)
v2 (t)
v3 (t) Op-amp
R1
R2
R3
C
(a)
V1
V2
V3
Vo
(c)
10
5
1
Op-ampAmp-op
Amp-op
Figura 10.40 (a) Circuito integrador somador; (b) valores dos componentes; (c) representação do circuito integrador no 
computador analógico.
v1 (t)
vo (t)
 
Amp-op
Figura 10.41 Circuito diferenciador.
+
–
Rf
Vi Vo
Rf VIOR1
+= 1
A
R1
VIO
RC
+
–
+
–
[[ ( )
Figura 10.42 Operação que mostra os efeitos da tensão 
de offset de entrada, VIO.
522 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos
de onde podemos concluir
 
Vo(offset) = VIO
R1 + Rf
R1
 
 
(10.16)
A Equação 10.16 mostra como a tensão de offset de 
saída resulta de uma tensão de offset de entrada especifi-
cada para uma dada conexão do amp-op.
EXEMPLO 10.8
Calcule a tensão de offset de saída do circuito da Fi-
gura 10.43. As especificações do amp-op fornecem 
VIO = 1,2 mV.
Solução:
Equação 10.16:
Vo(offset) = VIO
R1 + Rf
R1
= (1,2 mV)a
2 k + 150 k
2 k
b = 91,2 mV 
Tensão de offset de saída devido à corrente 
de offset de entrada, IIO Qualquer diferença entre 
as correntes de polarização das entradas também produzirá 
uma tensão de offset na saída. Uma vez que dois transis-
tores de entrada nunca são exatamente iguais, cada um 
irá operar com uma corrente ligeiramente diferente. Para 
uma conexão amp-op típica, como a mostrada na Figura 
10.44, uma tensão de offset de saída pode ser determinada 
como segue. Substituindo-se as correntes de polarização 
através dos resistores de entrada pela queda de tensão 
correspondente, como mostra a Figura 10.45, é possível 
determinar a expressão para a tensão de saída resultante. 
Utilizando-se superposição, verificamos que a tensão de 
saída devida à corrente de polarização de entrada I +IB, 
denotada por V
+
o , é dada por
V+
o = I +IB RC a1 +
Rf
R1
b 
enquanto a tensão de saída devida apenas a IIB
– , denotada 
por Vo
–, é dada por
V -
o = I -IB R1a-
Rf
R1
b 
para uma tensão de offset de saída total de
 
Vo(offset devido a I +IB e I-IB)
= I +IB RC a1 +
Rf
R1
b - I -IB R1
Rf
R1
 
 
(10.17)
Uma vez que a principal consideração é sobre a 
diferença entre correntes de polarização das entradas em 
vez de cada valor separadamente,definimos a corrente de 
offset IIO a partir de:
IIO = I +IB - I -IB 
Figura 10.43 Conexão do amp-op para os exemplos 10.8 
e 10.9.
Figura 10.45 Circuito redesenhado da Figura 10.44.
Figura 10.44 Conexão do amp-op que mostra correntes 
de polarização das entradas.
Capítulo 10 Amplificadores operacionais 523
Como a resistência de compensação RC costuma ser 
aproximadamente igual ao valor de R1, utilizando RC = R1 
na Equação 10.17, podemos escrever
Vo(offset) = I +IB(R1 + Rf) - I -IB Rf
= I +IBRf - I -IB Rf = Rf (I +IB - I -IB)
resultando em:
 Vo (offset devido a IIO) = IIORf (10.18)
EXEMPLO 10.9
Calcule a tensão de offset do circuito da Figura 10.43 
para uma especificação do amp-op IIO = 100 nA.
Solução: 
Equação 10.18:
Vo = IIO Rƒ = (100 nA)(150 kΩ) = 15 mV
Offset total devido a VIO e IIO Considerando-se 
que a saída do amp-op pode apresentar uma tensão de off-
set de saída devida a ambos os fatores vistos anteriormente, 
a tensão de offset de saída total pode ser escrita como
|Vo(offset)| = |Vo(offset devido a VIO)| 
 + |Vo(offset devido a IIO)| (10.19)
O valor absoluto é utilizado devido ao fato de que 
a polaridade da tensão de offset pode ser positiva ou 
negativa.
EXEMPLO 10.10
Calcule a tensão de offset total para o circuito da Figura 
10.46 para um amp-op com valores especificados de 
tensão de offset de entrada VIO = 4 mV e corrente de 
offset de entrada de IIO = 150 nA.
Solução: 
O offset devido a VIO é
Equação 10.16: 
Vo(offset devido a VIO) = VIO 
R1 + Rf
R1
= (4 mV) a
5 k + 500 k
5 k
b
= 404 mV
Equação 10.18: Vo(offset devido a IIO) = IIO Rƒ = 
(150 nA)(500 kΩ) = 75 mV
o que resulta em um offset total
Equação 10.19: Vo(offset total) = Vo (offset devido a VIO) 
 + Vo (offset devido a IIO) 
 = 404 mV + 75 mV = 479 mV
Corrente de polarização de entrada, IIB Um 
parâmetro relacionado a IIO e às correntes separadas de 
polarização das entradas I +IB e I -IB é a corrente média de 
polarização definida como:
 
IIB =
I +IB + I -IB
2
 
 
(10.20)
Podemos determinar correntes de polarização das 
entradas separadamente utilizando os valores especifica-
dos para IIO e IIB. É possível mostrar que para I +IB 7 I -IB:
 
I +IB = IIB +
IIO
2
 
 
(10.21)
I -IB = IIB -
IIO
2
 (10.22) 
EXEMPLO 10.11
Calcule as correntes de polarização de cada entrada de 
um amp-op com valores especificados de IIO = 5 nA e 
IIB = 30 nA.
Solução: 
Utilizando a Equação 10.21, obtemos:
I +IB = IIB +
IIO
2
= 30 nA +
5 nA
2
= 32,5 nA
I -IB = IIB -
IIO
2
= 30 nA -
5 nA
2
= 27,5 nA 
10.7 ESPECIFICAÇÕES DO AMP-OP — 
PARÂMETROS DE FREQUÊNCIA 
Um amp-op é projetado para ser um amplificador 
de alto ganho, com ampla largura de banda. Essa ope-
ração tende a ser instável (oscilar) devido a efeitos de 
realimentação positiva (veja o Capítulo 14). Para garantir 
uma operação estável, os amp-ops são construídos com 
circuitos de compensação interna, o que também faz com Figura 10.46 Circuito com amp-op para o Exemplo 10.10.
524 Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos