Listas de Exercícios de Cálculo

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Universidade Federal de Sergipe
Departamento de Matemática – DMA
Listas de Exercícios
Franklin Zillmer
São Cristóvão, SE - Brasil
2023
Resumo
Essas listas de exercícios são destinada aos alunos das disciplinas de Cálculo. A primeira
lista trata da parte de equações paramétricas e coordenadas polares.
Os exercícios da primeira lista foram baseados no livro de (STEWART, 2013).
Sumário
1 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Lista de Exercícios nº1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Respostas da Lista de Exercícios nº1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Lista de Exercícios nº2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Respostas da Lista de Exercícios nº2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Lista de Exercícios nº3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Respostas da Lista de Exercícios nº3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Sequencias e Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1 Lista de Exercícios nº4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Respostas da Lista de Exercícios nº4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
1 Equações Paramétricas e Coordenadas Po-
lares
1.1 Lista de Exercícios nº1
1. Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do
parâmetro dado.
(a) x = 1 + 4t − t2, y = 2 − t3; t = 1;
(b) x = t cos(t), y = tsen(t); t = π.
2. Encontre uma equação da tangente à curva x = 1 + ln(t), y = t2 + 2 no ponto
(1, 3) por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) primeiro eliminando o
parâmetro.
3. Encontre dy
dx
e d2y
dx2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
(a) x = t2 + 1, y = t2 + t;
(b) x = 2sen(t), y = 3 cos(t), 0= 4⃗i + 4⃗j + 4k⃗ e r′(t) · r′′(t) = (8t2 + 12t + 12)e4t − 8e−4t.
5. (a) x = 1 − t, y = t, z = 1 − t;
(b) x = 2 + 1
2t, y = ln 4 + 1
2t, z = 1 + t.
6. θ = cos−1
(
1√
6
)
≈ 66◦.
7. (a) 2⃗i − 4⃗j + 32k⃗;
(b) πj⃗ + ln(2)k⃗;
(c) tg (t)⃗i + 1
8(t2 + 1)4j⃗ +
(
1
3t3 ln(t) − 1
9t3
)
k⃗ + C, sendo C um vetor constante.
8. r(t) =
(
1
2t2 + 1
)
i⃗ + et⃗j + (tet − et + 2)k⃗.
9. (a) L = 7
3 ;
(b) L = e − e−1;
(c) L = 15;
10. r(t(s)) = 2√
29 s⃗i +
(
1 − 3√
29s
)
j⃗ +
(
5 + 4√
29s
)
k⃗.
11. (a) κ(t) =
√
5
(1+5t2)
3
2
;
(b) κ(t) = 6t2
(9t4+4t2)
3
2
.
12. κ(1) =
√
30
18 .
13. (a) T (1) =
(
2
3 , 2
3 , 1
3
)
, N(1) =
(
−1
3 , 2
3 , −2
3
)
e B(1) =
(
−2
3 , 1
3 , 2
3
)
;
(b) T (0) = (0, 1, 0), N(0) =
(
− 1√
2 , 0, − 1√
2
)
e B(0) =
(
− 1√
2 , 0, 1√
2
)
.
14. Plano normal: y − 6x = π. Plano osculador: x + 6y = 6π.
15. τ = 2
t4+4t2+1 .
16. (a) v(t) = −3sen t⃗i + 2 cos t⃗j, |v(t)| =
√
4 + 5sen 2t e a(t) = −3 cos t⃗i − 2sen t⃗j;
Capítulo 2. Funções Vetoriais 9
(b) v(t) = i⃗ + 2t⃗j, |v(t)| =
√
1 + 4t2 e a(t) = 2⃗j;
(c) v(t) =
√
2⃗i + et⃗j − e−tk⃗, |v(t)| = et + e−t e a(t) = et⃗j + e−tk⃗;
(d) v(t) = et(cos t − sen t)⃗i + et(sen t + cos t)⃗j + et(t + 1)k⃗, |v(t)| = et
√
t2 + 2t + 3 e
a(t) = −2etsen t⃗i + 2et cos t⃗j + et(t + 2)k⃗.
17. (a) v(t) = t⃗i + 2t⃗j + k⃗ e r(t) =
(
1
2t2 + 1
)
i⃗ + t2j⃗ + tk⃗ ;
(b) v(t) = (2t + 1)⃗i + 3t2j⃗ + 4t3k⃗ e r(t) = (t2 + t)⃗i + (t3 + 1)⃗j + (t4 − 1)k⃗.
18. θ = 3π
4
19. θ = 0, π, 2π
20. Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
(a) aT = 6t e aN = 6;
(b) aT = 4sen (2t) cos(2t)√
1+2sen 2(2t)
e aN = 2
√
2| cos(2t)|√
1+2sen 2(2t)
.
10
3 Derivadas Parciais
3.1 Lista de Exercícios nº3
1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(a) lim
(x,y)→(2,1)
4 − xy
x2 + 3y2 ;
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2 ;
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2 ;
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
√
x2 + y2 + 1 − 1
;
(e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4 .
2. Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua, sendo g(t) = t2+
√
t
e f(x, y) = 2x + 3y − 6.
3. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(a) z = xe3y;
(b) f(x, y) = x − y
x + y
;
(c) f(r, s) = r ln(r2 + s2);
(d) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4;
(e) w = ln(x + 2y + 3z);
(f) f(x, y, z, t) = xyz2tg (yt).
4. Use a derivação implícita para determinar ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
(a) x2 + y2 + z2 = 3xyz;
(b) x − z = tg −1(yz).
5. Determine ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
(a) z = f(x) + g(y);
(b) z = f(x + y).
6. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 11
(a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y;
(b) z = tg −1
(
x + y
1 − xy
)
.
7. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y, z) = cos(4x + 3y + 2z), fxyz, fyzz;
(b) w = x
y + 2z
, ∂3w
∂z∂y∂x
, ∂3w
∂x2∂y
.
8. Use a regra da cadeia para determinar dz
dt
ou dw
dt
.
(a) z = sen(x) cos(y), x = πt, y =
√
t;
(b) w = xe
y
z , x = t2, y = 1 − t, z = 1 + 2t.
9. Use a regra da cadeia para determinar ∂z
∂s
ou ∂z
∂t
, sendo z = sen(θ) cos(ϕ), θ = st2,
ϕ = s2t;
10. Se z = f(x, y), onde f é diferenciável, e x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, h(3) = 7,
g′(3) = 5, h′(3) = −4, fx(2, 7) = 6, fy(2, 7) = −8, determine dz
dt
quando t = 3.
11. Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u + vew; zu, zv, zw quando u = 2, v = 1 e
w = 0;
(b) R = ln(u2 + v2 + w2), u = x + 2y, v = 2x − y, w = 2xy; ∂R
∂x
, ∂R
∂y
quando x =
y = 1.
12. Determine:
(a) dy
dx
se cos(x − y) = xey;
(b) ∂z
∂x
, ∂z
∂y
se x − z = tg −1(yz).
13. O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em
certo instante, as dimensões da caixa são l = 1m e w = h = 2m, l e w aumentam a
uma taxa de 2m/s, ao passo que h diminui à taxa de 3m/s. Nesse instante, determine
as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
(a) O volume;
(b) A área da superfície;
(c) O comprimento da diagonal.
14. Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis. Se z = f(x, y), onde x =
r cos θ e y = rsenθ:
Capítulo 3. Derivadas Parciais 12
(a) determine ∂z
∂r
e ∂z
∂θ
;
(b) mostre que
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+ 1
r2
(
∂z
∂θ
)2
.
15. Determine a derivada direcional de f(x, y) = ye−x no ponto (0, 4) na direção do
ângulo θ = 2π/3.
16. (a) Determine o gradiente de f(x, y) = 5xy2 − 4x3y;
(b) Calcule o gradiente no ponto P = (1, 2);
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u = 5
13 i⃗ + 12
13 j⃗.
17. Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xey + yez + zex no ponto (0, 0, 0) na
direção de v = 5⃗i + j⃗ − 2k⃗.
18. Determine a derivada direcional de f(x, y) = √
xy em P = (2, 8) na direção de
Q = (5, 4).
19. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso
ocorre.
(a) f(x, y) = y2
x
, (2, 4);
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, (3, 6, −2).
20. Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x, y) =
x2 + y2 − 2x − 4y é i⃗ + j⃗.
21. Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em P = (3, 4, 5) na direção do vetor
u = i⃗ + j⃗ − k⃗.
(b) Em que direção V varia mais rapidamente em P?
(c) Qual a taxa máxima de variação em P?
22. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
(a) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4;
(b) f(x, y) = (x2 + y2)ey2−x2 .
23. Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
(a) f(x, y) = 1 + 4x − 5y, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (2, 0)
e (0, 3);
(b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = {(x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 13
24. Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que estão mais próximo do ponto (4, 2, 0).
25. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos
da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
(a) f(x, y, z) = 2x + 6y + 10z; x2 + y2 + z2 = 35;
(b) f(x, y, z) = x + 2y; x + y + z = 1, y2 + z2 = 4.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 14
3.2 Respostas da Lista de Exercícios nº3
1. (a) lim
(x,y)→(2,1)
4 − xy
x2 + 3y2 = 2
7 ;
(b) limite não existe.;
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2 = 0;
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
√
x2 + y2 + 1 − 1
= 2;
(e) limite não existe.
2. h(x, y) = (2x + 3y − 6)2 +
√
2x + 3y − 6 e D = {(x, y)|y ≥ −2
3x + 2}.
3. (a) zx = e3y e zy = 3xe3y;
(b) fx = 2y
(x + y)2 e fy = −2x
(x + y)2 ;
(c) fr = 2r2
r2 + s2 + ln(r2 + s2) e fs = 2rs
r2 + s2 ;
(d) fx = z − 10xy3z4, fy = −15x2y2z4 e fz = x − 20x2y3z3;
(e) wx = 1
x + 2y + 3z
, wy = 2
x + 2y + 3z
e wz = 3
x + 2y + 3z
;
(f) fx = yz2tg (yt), fy = xyz2t sec2(yt) + xz2tg (yt), fz = 2xyztg (yt) e ft = xy2z2 sec2(yt).
4. (a) ∂z
∂x
= 3yz − 2x
2z − 3xy
e ∂z
∂y
= 3xz − 2y
2z − 3xy
;
(b) ∂z
∂x
= 1 + y2z2
1 + y + y2z2 , ∂z
∂y
= − z
1 + y + y2z2 .
5. (a) ∂z
∂x
= f ′(x) e ∂z
∂y
= g′(y);
(b) ∂z
∂x
= ∂z
∂y
= f ′(x + y).
6. (a) fxx = 6xy5 + 24x2y, fxy = fyx = 15x2y4 + 8x3, fyy = 20x3y3;
(b) zxx = −2x
(1 + x2)2 , zxy = zyx = 0, zyy = −2y
(1 + y2)2 .
7. (a) fxyz = 24sen(4x + 3y + 2z), fyzz = 12sen(4x + 3y + 2z);
(b) ∂3w
∂z∂y∂x
= 4
(y + 2z)3 , ∂3w
∂x2∂y
= 0.
8. (a) dz
dt
= π cos(πt) cos(
√
t) − sen(πt)sen(
√
t)
2
√
t
;
(b) dw
dt
= e
1−t
1+2t
(
2t − t2
1 + 2t
− 2t2(1 − t)
(1 + 2t)2
)
.
9. ∂z
∂s
= t2 cos θ cos ϕ − 2stsenθ senϕ e ∂z
∂t
= 2st cos θ cos ϕ − s2senθ senϕ.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 15
10. dz
dt
(3) = 62.
11. (a) zu = 85, zv = 178 e zw = 54;
(b) ∂R
∂x
= ∂R
∂y
= 9
7 .
12. (a) dy
dx
= ey + sen(x − y)
−xey + sen(x − y) ;
(b) ∂z
∂x
= 1 + y2z2
1 + y + y2z2 , ∂z
∂y
= − z
1 + y + y2z2 .
13. (a) dV
dt
= 6m3/s;
(b) dS
dt
= 10m2/s;
(c) dL
dt
= 0m/s.
14. (a) ∂z
∂r
= ∂z
∂x
cos θ + ∂z
∂y
senθ e ∂z
∂θ
= − ∂z
∂x
rsenθ + ∂z
∂y
r cos θ;
(b)
15. Duf(0, 4) = 2 +
√
3
2 .
16. (a) ∇f = (5y2 − 12x2y, 10xy − 4x3);
(b) ∇f(1, 2) = (−4, 16);(c) Duf(1, 2) = 172
13 .
17. Duf(0, 0, 0) = 4√
30
.
18. Duf(2, 8) = 2
5 .
19. (a) u = ∇f = 1√
2
(−1, 1), |∇f(2, 4)| = 4
√
2;
(b) u = ∇f = 1
7(3, 6, −2), |∇f(3, 6, −2)| = 1.
20. A direção de maior variação da função f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 4y é i⃗ + j⃗ em todos
os pontos da reta y = x + 1.
21. (a) DuV (3, 4, 5) = 32√
3
.
(b) ∇V (3, 4, 5) = (38, 6, 12).
(c) |∇V (3, 4, 5)| = 2
√
406.
22. (a) mínimo local: f(0, 0) = 4; pontos de sela: f(±
√
2, −1) = 5;
(b) mínimo local: f(0, 0) = 0; ponto de sela: f(±1, 0) = 1
e
.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 16
23. (a) máximo global f(2, 0) = 9; mínimo global f(0, 3) = −14;
(b) máximo global f(±1, 1) = 7; mínimo global f(0, 0) = 4.
24. d(2, 1, ±
√
5) =
√
10.
25. (a) valor máximo: f(1, 3, 5) = 70; valor mínimo: f(−1, −3, −5) = −70;
(b) valor máximo: f(1,
√
2, −
√
2) = 1 + 2
√
2; valor mínimo: f(1, −
√
2,
√
2) = 1 − 2
√
2.
17
4 Sequencias e Séries
4.1 Lista de Exercícios nº4
1. Determine o termo geral de cada sequencia.
(a)
{
1,
1
3 ,
1
5 ,
1
7 , . . .
}
;
(b) {2, 7, 12, 17, . . .}.
2. Determine se as sequencias a seguir convergem ou divergem. Se ela convergir, encontre
o limite.
(a) an = 3 + 5n2
n + n2 ;
(b) an = tg
( 2nπ
1 + 8n
)
;
(c) an = (−1)n−1n
n2 + 1 ;
(d) an = (2n − 1)!
(2n + 1)! ;
(e) an =
(
1 + 2
n
)n
.
3. Determine se a sequencia an = 1
2n + 3 é crescente, decrescente ou não monótona. A
sequencia é limitada?
4. Mostre que a sequencia an definida por a1 = 1, an = 3 − 1
an
é crescente e que an